Curso de variable compleja

Curso de Variable compleja

Nota: el temario es el de la UAM

Números complejos

Definición del campo de los números complejos.

Operaciones básicas con números complejos.

Plano complejo.

Forma polar de números complejos.

Teorema de Moivre.

Raíces de números complejos.

Funciones de una variable compleja.

Geometría de las funciones elementales.

Funciones multivaluadas.

Ramas

Superficies de Riemann

Calculo diferencial de funciones de una variable compleja.

Limites y continuidad.

Derivadas y funciones analíticas.

Mapeos conformes.

Condiciones de Cauchy-Riemann

Funciones inversas.

Funciones armónicas.

Diferenciación de las funciones elementales.

Integración compleja.

Integrales de línea en el plano complejo y sus propiedades básicas.

Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.

Teorema integral de Cauchy.

Formulas integrales de Cauchy.

Formula integral de Cauchy para derivadas altas.

Representación en serie de funciones analíticas.

Series complejas.

Convergencia uniforme.

Series de funciones analíticas.

Criterios de convergencia.

Series de potencia y series de Taylor.

Series de Laurent.

Integración por el método de residuos.

Definición y calculo de residuos.

Evaluación de integrales definidas.

Teoremas del residuo.

Compleja: Teorema del residuo

Teorema de los residuos El teorema de los residuos es consecuencia directa del teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Enunciado

Sea ${\displaystyle f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ una función analítica en un dominio simplemente conexo ${\displaystyle D}$, excepto en un número finito de puntos ${\displaystyle z_{k}}$ que constituyen singularidades aisladas de ${\displaystyle f}$. Sea ${\displaystyle C}$ una curva en ${\displaystyle D}$, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de ${\displaystyle f}$. Entonces se tiene:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} (f,z_{k})}$

donde ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{k})}$ es el Residuo de la función ${\displaystyle f}$ en el punto singular ${\displaystyle z_{k}}$.

Demostración

Sea ${\displaystyle f}$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial ${\displaystyle f(z)\,dz}$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, sabemos que la integral ${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz}$ es igual a ${\displaystyle \int _{C'}f(z)\,dz}$ siempre que ${\displaystyle C'}$ sea una curva homotópica con ${\displaystyle C}$.

En específico, podemos considerar una curva tipo ${\displaystyle C'}$ la cual tiene una rotación alrededor de los puntos ${\displaystyle a_{j}}$ sobre círculos pequeños, cuando unimos todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva ${\displaystyle C'}$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo necesitaremos sumar las integrales de ${\displaystyle f}$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea ${\displaystyle z=a_{j}+\rho e^{i\theta }}$ parametrización de la curva alrededor del punto ${\displaystyle a_{j}}$, entonces tendremos ${\displaystyle dz=\rho ie^{i\theta }\,d\theta }$, por lo tanto:

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=\int _{C'}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{\partial B_{\rho }(a_{j})}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho ie^{i\theta }\,d\theta }$

donde ${\displaystyle \rho >0}$, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas ${\displaystyle B_{\rho }(a_{j})}$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio ${\displaystyle U}$. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle i\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =2\pi i\mathrm {Res} (f,a_{j}).}$

Sea ${\displaystyle j}$ fija y apliquemos la serie de Laurent para ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle a_{j}:}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}(z-a_{j})^{k}}$

de tal forma que ${\displaystyle {\rm {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}}$, donde c_-1, es el coeficiente de ${\displaystyle {1 \over (z-a_{j})}}$ en la serie de laurent. Entonces tenemos:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =\sum _{k}\int _{0}^{2\pi }c_{k}(\rho e^{i\theta })^{k}\rho e^{i\theta }\,d\theta =\rho ^{k+1}\sum _{k}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta .}$

Observemos que si ${\displaystyle k=-1}$ , tendremos:

${\displaystyle \rho ^{k+1}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =c_{-1}\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi c_{-1}=2\pi \,\mathrm {Res} (f,a_{j})}$

mientras que para ${\displaystyle k\neq -1}$ tenemos que los términos de la suma se anulan, debido a que:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =\left[{\frac {e^{i(k+1)\theta }}{i(k+1)}}\right]_{0}^{2\pi }=0.}$

${\displaystyle \square }$

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Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 14:21 22 nov 2020 (CST)

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Mapeos conformes y continuación analítica.

Teoría básica de los mapeos conformes.

Continuación analítica. Función gama.

Superficies de Riemann de funciones elementales.

Aplicaciones de Variable compleja.

Ejercicios Resueltos de Variable Compleja

Libro A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan Primera edición.

Ejercicios resueltos Zill

Libro Lascurain-Orive, Antonio: Curso básico de variable compleja, las prensas de ciencias, 2007

Ejercicios resueltos Libro Lascurain-Orive