Compleja:Zill-Cap6.1

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Ejercicios del capítulo 6, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.


Sección 6.1

Ejercicio 1

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

${5i^{n}}$


Procedimiento


Si $z_{n}=5i^{n}$


Entonces para $n=1,2,3,4,5.$, tenemos los siguientes resultados


Para $z_{1}=5i$


Para $z_{2}=-5$


Para $z_{3}=-5i$


Para $z_{4}=5$


Para $z_{5}=5i$


Por lo tanto la sucesión $z_{n}=5i^{n}$ converge ya que


$\lim_{n\to\infty}{\left\{5i^{n}\right\}}=0$


como vemos en

Solución

$\left \{ 5i, -5, -5i, 5, 5i \right \}$



Comentario por:Tlacaelel Cruz (discusión) 17:53 2 jul 2015 (CDT) El límite como tal no tiende a 0, pero la sucesión no diverge; en todo caso se dice que esta acotado pero no por eso es 0

Elaborado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:27 26 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 2

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada.

$2+(-i)^{n}$


Procedimiento

Para $n=1$

$2+(-i)^{1}=2-i$


Para $n=2$

$2+(-i)^{2}=1$


Para $n=3$

$2+(-i)^{3}=2+i$


Para $n=4$

$2+(-i)^{4}=3$


Para $n=5$

$2+(-i)^{5}=2-i$

Solución

Finalmente para $n=1,2,3,4,5$ tenemos los resultados $\left \{ 2-i,1,2+i,3,2-i \right \}$ respectivamente.


Elaborado porFernando Vazquez V. (discusión) 18:06 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 3

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

${1 + e ^{n\pi i}}$


Procedimiento


Si $z_{n}= {1 + e ^{n\pi i}} $


Sustituimos $n=1,2,3,4,5.$ en $z_{n}$:

$n=1$

$z_{1}= {1 + e ^{ \pi i}} = 1 + (cos \pi + isen \pi) = 1+(-1)=0$

$n=2$

$z_{2}= {1 + e ^{2 \pi i}} = 1 + (cos 2\pi + isen 2\pi) = 1+(1)=2$

$n=3$

$z_{3}= {1 + e ^{ 3\pi i}} = 1 + (cos 3\pi + isen 3\pi) = 1+(-1)=0$

$n=4$

$z_{4}= {1 + e ^{ 4\pi i}} = 1 + (cos 4\pi + isen 4\pi) = 1+(1)=2$

$n=5$

$z_{5}= {1 + e ^{ 5\pi i}} = 1 + (cos 5\pi + isen 5\pi) = 1+(-1)=0$


Solución

Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ {1 + e ^{n\pi i}} $ son:

$\left \{ 0,2,0,2,0 \right \}$


Nancy Martínez Durán (discusión) 23:48 26 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 4

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

$\left \{(1+i)^{n}\right \}$


Procedimiento

Sea $z=i+i$

Escribiendo en su forma polar, se tiene que:

$\left |z \right |=\sqrt{1+1}=\sqrt2$

Y el $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$

Por lo que

$z=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$

Por lo que la sucesión, se puede escribir, como:

$\left \{ \left (\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}} \right )^{n} \right \}$

Para:

$n=1$

$z_{1}=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}=(1+i)$

$n=2$

$z_{2}=\sqrt{2}^{2} e^{i\frac{2\pi}{4}}=2i$

$n=3$

$z_{3}=\sqrt{2}^{3} e^{i\frac{3\pi}{4}}=2(-1+i)$

$n=4$

$z_{4}= \sqrt{2}^{4} e^{i\frac{4\pi}{4}}=-4$

$n=5$

$z_{5}= \sqrt{2}^{5} e^{i\frac{5\pi}{4}}=4(-1-i)$

En el ultimo paso se utilizo la forma trigonométrica del numero polar.

Solución

Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ \left \{(1+i)^{n}\right \}$ son:

$\left \{ (1+i),2i,2(-1+i),-4,4(-1-i) \right \}$



Re elaborado por Manuel Rodríguez


Ejercicio 5

Determine si $\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}$ converge o no.

Procedimiento

Si la sucesión converge: \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=L=a+ib \] \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(3ni+2)(1-i)}{n(1+i)(1-i)}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(2+3n)+i(-2+3n)}{2n}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\left(\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right)+i\left(-\frac{1}{n}+\frac{3}{2} \right)\right\}} \] \[ =\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}+i\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}=\frac{3}{2}+i\frac{3}{2}=L=a+ib \]

Solución

\[ \therefore \left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\} \; es \, convergente \]


Tlacaelel Cruz (discusión) 20:23 25 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 6

Determine si la sucesión $\left\{\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}\right\}$ converge o diverge.


Teorema 6.1.1. Criterio para la convergencia

Una sucesión $\left\{z_{n}\right\}$ converge a un número complejo $L=a+ib$ si y sólo si $Re(z_{n})$ converge a $Re(L)=a$ e $Im(L)=b$.


Procedimiento


De \[ z_{n}=\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}=\frac{(ni+2^n)(3ni-5^n)}{(3ni+5^n)(3ni-5^n)}=\frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 }-i \frac{2^n \;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2} \]

vemos que

\[ Re(z_{n})= \frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 } \rightarrow 0 \]


\[ Im(z_{n})= -\frac{2^n\;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2} \rightarrow 0 \]

Solución

Conforme $n\rightarrow{}\infty$. Del teorema 6.1.1, los últimos resultados son suficientes para concluir que la sucesión dada converge a $a+ib=0+i0$.



Emmanuell Castro Flores (discusión) 17:11 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 7

Determine si la sucesión dada diverge o converge.

${\frac{(ni+2)²}{n²i}}$

Procedimiento

Conocemos que:

$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=L=a+ib$

Desarrollando:

$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{-n²+4ni+4}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{i}+\frac{4}{n}+\frac{4}{n²i}\right\}}=-\frac{1}{i}$

Por lo cual la sucesión converge.


Anahi Limas (discusión) 22:58 26 jun 2015 (CDT)


ejercicio 8

Determinar si la sucesión dada diverge o converge

$\left\{ \frac{n\left(1+i^{n}\right)}{n+1}\right\} $


Procedimiento

desarrollamos y tenemos

$\frac{n}{n+1}+\frac{ni^{n}}{n+1}$

lo multiplicamos todo por $\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$ y nos da

$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$

sabemos que al resolver el límite lo podemos separar

Solución

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$

en el segundo termino $\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$ no se aproxima a un número complejo fijo, va variando por lo tanto nuestra sucesión diverge



Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:59 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 10

Determinar si la sucesión dada diverge o converge

e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$...$\left(1\right)$

Procedimiento

Si:

$z_{n}=e^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$es una sucesión, converge a un número complejo $L=a+ib$

si y sólo si $Re\left(z_{n}\right)$converge a $Re\left(L\right)=a$ e $Im\left(z_{n}\right)$converge a $Im\left(L\right)=b$

Así, de la ecuación $\left(1\right)$se puede obervar que:

$Re\left(z_{n}\right)=e^{\frac{1}{n}}$

$Im\left(z_{n}\right)=2\left[\arctan\left(n\right)\right]$

Cuando $n\rightarrow\infty$

$e^{\frac{1}{n}}\rightarrow$1

$2\left[\arctan\left(n\right)\right]\rightarrow2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi$

Por lo tanto la sucesión:

e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$

Solución

Es convergente y converge a:

$L=a+ib=1+\pi i$



Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:29 26 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 11

En los problemas 11 y 12, muestran que la secuencia dada ${z_n}$ converge a un número complejo $L$ mediante el cálculo de $\lim_{n\to\infty}$ $Re_(z_n)$ y $\lim_{n\to\infty}$ $Im_(z_n)$


${\frac{4n+3ni}{2n+i} } $

Procedimiento

Entonces:

Desarrollando:


$\lim_{n\to\infty}{\frac{8n^2+3n}{4n^2+1} + i \lim_{n\to\infty}\frac {6n^2-4n} {4n^2+1}} = 2 + i\frac {3}{2}$


Solución

Por lo tanto.

$\lim_{n\to\infty} Re_(z_n) = 2$ y $\lim_{n\to\infty} Im_(z_n)= i\frac {3}{2}$


Nancy Martínez Durán (discusión) 01:04 27 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 13

Utilice la secuencia de sumas parciales para demostrar que la serie dada es convergente,

Procedimiento

\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]\]

Para poder demostrar la convergencia de esta suma, bastara con darle algunos valores que nos dejen ver de manera clara la convergencia, y para esto descompondremos la suma en dos sumas, así tendremos;

dando algunos valores ala primera suma tendremos;

dando valores ala segunda suma;

Ahora restando la segunda suma a la primera, nos daremos cuenta que todos los términos se cancelan a excepción del primero y el ultimo, así obtendremos;

\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2i}-\frac{1}{n+1+2i}\]


de donde es evidente que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1+2i}=0$ (incluso se puede usar la regla de "L'Hôpital")

asi;

\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+2i}=\frac{1}{1+2i}\]

Expresando este ultimo termino en la forma $z=a+bi$ esto es multiplicando y dividiendo por su conjugado tendremos;

\[\frac{1}{1+2i}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]

Conclusión

La serie

$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]$ es convergente y converge a $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$


Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 02:37 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 15

Determine si la serie geométrica dada converge o diverge. Si converge, encuentre sus sumas


$\sum_{k=0}^{\infty} (1-i)^{k}$

Procedimiento

Haciendo uso del criterio de la raíz N-esima


$\sum_{k=0}^{\infty} (a_n) $ tal que $a_n \neq 0$ $\forall n$ y sea $\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|} = l$


Donde


$l = \begin{cases} <1 & \text{ la serie converge } \\ >1 & \text{ la serie diverge }\\ = 1 & \text{ la serie puede o no converger }\end{cases}$


Entonces aplicando este criterio a nuestra serie geométrica tenemos :


$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|}$


Con $a_n = {|1 - i|}^k$


$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{({|1 - i|}^k)} = \lim_{k \rightarrow \infty} {[{(\sqrt{2})}^k}]^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Conclusión

En este caso $l = \sqrt{2}$ como $l > 1$ la serie es divergente


Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 21:52 27 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 16

Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre su suma.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}$

Procedimiento

Sabemos que es una serie geométrica, osea es de la forma:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=a+az+az^{2}+\cdots$

Entonces, primero encontramos las partes de la serie

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=4i+4i(\frac{1}{3})+4i(\frac{1}{3})^{2}+\cdots$

$a=4i$

$z=\frac{1}{3}$ $\Longrightarrow$ $|z|=\frac{1}{3}<1$

Por el ultimo argumento sabemos que la serie converge y se puede escribir como

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=\frac{a}{1-z}$

En nuestro caso

\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=\frac{4i}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4i}{\frac{2}{3}}=6i \]

Conclusión

Así, la serie es convergente y converge a:

\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}=6i \]



Fernando Vazquez V. (discusión) 20:02 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 17

Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre sus suma.

Procedimiento

La serie infinita la escribimos como

y tiene la forma de una serie geométrica

comparamos (2) con (1) y observamos que:

donde vemos que

en el cuál “z” es menor que uno, lo que nos dice que la serie es convergente , y la suma de una serie geométrica esta dada por:

Observando el detalle que es el equivalente de (2).

Entonces sustituyendo , y simplificando se tiene finalmente que

Conclusión

por lo tanto la serie geométrica converge en


Elaborado por Ricardo García Hernández --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:31 25 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 18

Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, hallar su suma .

${\displaystyle \sum_{k=1}\frac{1}{2}i^{k}}$

Procedimiento

Expandiendo la serie, se tiene que:

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}i^{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}i^{2}+\frac{1}{2}i^{3}+...$

Esta serie, es una serie geométrica, en la que se sabe que diverge, si $\left |z \right |\geqslant 1$

Sacando el radio de convergencia usando:

$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{z_{n+1}}{z_n} \right |=L$

Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$

$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{\frac{1}{2}i^{n+1}}{\frac{1}{2}i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | \frac{i^{n+1}}{i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | i^{n+1-n} \right |$

$\lim_{n\to\infty}\left | i^{} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | 1^{} \right |=1$

Conclusión

Por lo que se concluye que el radio de convergencia es 1, dado que es una serie geométrica, la serie diverge.


Re elaborado por Manuel Rodríguez


Ejercicio 19

Determinar si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su suma.

$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}$

Procedimiento

Para determinar si el convergente usamos el criterio de la convergencia para series geométricas de la forma:

$S_{n}=a+az+az^{2}+az^{3}.....$ de la cual siempre es posible encontrar una fórmula que la determine y la cual converge si

$S_{n}=L$ cuando $n\rightarrow\infty$ .

Para $S{}_{n}=\frac{a(1-z^{n})}{1-z}$

Tenemos que si $z^{n}\rightarrow o$ conforme $n\rightarrow\infty$ siempre que $|z|<1,$ y así ...

$\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$ .......(1)

Entonces analizando nuestra ecuación, vemos que está de la forma (1) identificando a:

$a=3$

$z=\frac{2}{1+2i}$

Entonces para obtener $|z|$ primero :

$z=\frac{2}{1+2i}(\frac{1-2i}{1-2i})=\frac{2(1-2i)}{5}=\frac{2}{5}-i\frac{4}{5}$

$\Longrightarrow|z|=\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(-\frac{4}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{20}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\Longrightarrow|z|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Por tanto, como $|z|<1,$ la serie es convergente y su suma está dada por $\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$

donde:

$\frac{3}{1-\frac{2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3+6i}{-1+2i}=\frac{(3+6i)(-1-2i)}{1+4}=\frac{-3+12-6i-6i}{5}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$

Conclusión

Por lo tanto, la serie converge a:

$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$


A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:12 25 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 21

Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias.

$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-2i)^k+1}(z-2i)^k $

Procedimiento

De la serie se tiene que:

Resolviendo por la prueba de la raíz :

Por tanto de la prueba de la razón:

Donde el radio de convergencia está definido como :

Conclusión

Por tanto el círculo de convergencia es:

El circulo de convergencia esta centrado en 2i y tiene un radio de $\sqrt5$


Samantha Martinez (discusión) 23:27 27 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 23

Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k2^{k}}\left(z-1-i\right)^{k}$

Procedimiento

Resolveremos este problema con la prueba de razón dada por:

$\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|=L$ ...(1)

ademas sabemos que el radio es:

$R=\frac{1}{L}$ ... (2)

Sacamos los $a_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}$

Ahora usaremos (1) para resolver la potencia

$\underset{n\rightarrow\prime}{lim}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}}{\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}}\right|=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n2^{n}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n}{2n+2}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{1}{2+\frac{2}{n}}$

Aplicando el limite tenemos $L=\frac{1}{2}$

De (2) tenemos que

$R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Conclusión

Por lo tanto $\left|z-1-i\right|=2$ y

El circulo esta centrado en $z_0=1+i$ y tiene radio$R=2$


Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:25 25 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 25

Encuentre el circulo y el radio de convergencia de la serie de potencias


Procedimiento

Identificamos en la serie que:

Entonces aplicando el teorema de la prueba de la raíz en la forma

donde

y sabemos

el radio de convergencia es

Entonces el radio de convergencia de la serie es

La serie de potencias converge absolutamente para

Conclusión

El circulo de convergencia es



Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:49 25 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 27

Identifique el radio de convergencia y el círculo de convergencia de

Procedimiento

Identificamos que a serie tiene la forma de , por lo que identificando a y

y

Por lo que el límite se obtiene como

Por lo que resolviendo para a tenemos que

El radio de convergencia está dado por y el círculo de convergencia está dado por

Por lo que concluimos que

y

Conclusión

Por lo que la serie converge absolutamente cuando

El circulo de convergencia esta centrado en $z_0=4+3i$ y tiene un radio de convergencia de 25


Pablo (discusión) 14:35 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 32

Demuestre que la serie de potencias $\sum_{k=1}^\infty\dfrac{z^k}{k^{2}}$ Converge en cada punto de su radio de convergencia

Procedimiento

Donde $|z^{k}/k^{2}| = 1/k^{2}$


\[ \sum_{k=1}^\infty |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}| = \sum_{k=1}^\infty |\dfrac{1}{n^{2}}| \]


Aplicando el criterio del cociente


\[ \lim_{n\rightarrow \infty} |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}|= \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{z^{n^{2}+1}/(n^{2}+1)}{z^{n}/n^{2}} =|z| \]


Convergencia absoluta en si $ |z=1|$


Por lo tanto

\[ |z|<1 converge\]



\[ |z|>1 diverge\]

Conclusión

Para $ |z=1|$ La serie converge absolutamente dentro de su radio de convergencia


Esther Sarai (discusión) 23:43 27 jun 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 35

Considerando la serie $\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta},0<r<1,$ demuestre que:

$\sum_{k=0}^{\infty}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}\;y\;\sum_{k=0}^{\infty}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}$

Procedimiento

si desarrollamos la serie :

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots$

si a esta serie la llamamos $f{}_{m}$ entonces:

$f{}_{m}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}...(1)$

si la multiplicamos por $re^{i\theta}$

$re^{i\theta}f{}_{m}=re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n}e^{in\theta}...(2)$

restando la serie $1$ de $2$

$f{}_{m}-re^{i\theta}f{}_{m}=1-r^{n}e^{in\theta}\Longleftrightarrow f{}_{m}=\frac{1-r^{n}e^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}$

escribiendo $f{}_{m}$ en su forma trigonométrica

$f{}_{m}=\frac{1-r^{n}\left[\cos n\theta+i\sin n\theta\right]}{1-r\left[\cos\theta+i\sin\theta\right]}=\frac{1-r^{n}\cos n\theta-ir^{n}\sin n\theta}{1-r\cos\theta-ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}$

multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador:

$f{}_{m}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}.\frac{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)(1-r\cos\theta)+(r^{n}\sin n\theta)(r\sin\theta)+i\left[(1-r^{n}\cos n\theta)(r\sin\theta)+(1-r\cos\theta)(-r^{n}\sin n\theta)\right]}{(1-r\cos\theta)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}=$

$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}\cos n\theta\cos\theta+r^{n+1}\sin n\theta\sin\theta+i\left[r\sin\theta-r^{n+1}\cos n\theta\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}\sin n\theta\cos\theta\right]}{1+r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}$

$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)+i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

de esto podemos ver que hay dos partes, la real y la imaginaria:

$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

$como\;0<r<1,\;entonces\;r^{n}\rightarrow0\;conforme\;n\rightarrow\infty$

así

$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

y

$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

de aquí que:

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\left[\cos k\theta+i\sin k\theta\right]=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta+\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}+i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

Conclusión

Al separar la parte real de la imaginaria tenemos:

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}\Longleftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

como se quería.



Francisco Medina Albino (discusión) 12:29 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 36

Supongamos que $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ converge. Analice: ¿Se deduce que al menos una de las sucesiones $\left\{ z_{n}\right\} \hspace{1em}o\hspace{1em}\left\{ w_{n}\right\} $ converge?


No necesariamente si $z_n$ converge y $w_n$ converge $z_n + w_n$ convergerá, pero que la suma converja no implica que cada una lo haga, por ejemplo:

\[ z_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}=1-z+\frac{z^2}{2!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}+\ldots \] Es una serie que diverge para $1\leq |z|$ y: \[ w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=-1+z-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}-\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots \] También diverge para $1\leq |z|$ \[ z_n + w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}+\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=\sum_{n=0}^{\infty} {[(-1)^n +(-1)^{n+1}]\, z^n}=0 \] que evidentemente no diverge

Conclusión

Por lo que si la suma converge $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ no lo hace necesariamente $\left \{ z_n \right \} \left \{ w_n \right \}$ alguna de ellas converge.


Tlacaelel Cruz (discusión) 18:10 2 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 37

Una sucesión $\{z_n\} $ se dice que está acotada si el conjunto $S$ de todos los términos de la sucesión es un conjunto acotado:

a) Pruebe que la sucesión del ejemplo 2 está acotada.

b) De otro ejemplo de sucesión compleja que esté acotada.

c) De ejemplo de una sucesión que no esté acotada.

Procedimiento

a) La sucesión del ejemplo 2 es: $\{ \frac{3+ni}{n+2ni} \} $.

Ahora: $z_n=\frac{3+ni}{n+2ni}=\frac{3+ni}{n(1+2i)} \cdot \frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(3+2n)+(n-6)i}{5n} \Longrightarrow |z_n|=\frac{1}{5n}\sqrt{(3+2n)^2+(n-6)^2}=\frac{1}{5n}\sqrt{9+12n+4n^2+n^2-12n-36}=\frac{1}{5n}\sqrt{5n^2+45}=\frac{\sqrt{5}}{n}\sqrt{n^2+9}$.

Notemos ademas: $ (\forall n\in \mathbb{N}): 1\leq n^2 \Longleftrightarrow 9\leq 9n^2 \Longleftrightarrow n^2+9\leq 10n^2 \Longleftrightarrow \frac{1}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{10} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{50} \Longleftrightarrow |z_n|\leq \sqrt{50} $

Se ha exhibido un número real positivo que es mayor (ó igual) al módulo de cualquier término de la sucesión, por lo tanto la sucesión está acotada.

b) La sucesión: $\{\frac{n-i}{n+1}\}$ está acotada. En efecto, $\ |z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}$. Note además que $|z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}\leq 1 \Longleftrightarrow n^2+1 \leq n^2+2n+1 \Longleftrightarrow 0\leq 2n $.

c) Un ejemplo de sucesión no acotada es $\{n+ni\}$.


Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:02 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 39

¿La sucesión {$i^{1/n}$}, donde $i^{1/n}$ denota la $n$-ésima vez raíz principal de $i$, converge?

Procedimiento

Si $lím_{n\longrightarrow \infty}z_n=L$, se dice que la sucesión {$z_n$} es convergente.

El problema menciona que {$i^{1/n}$} es la $n$-ésima raíz principal de $i$. Sea $z=i$ y $w=i^{1/n}$. De la fórmula para las raíces


$w_k=^n\sqrt{r}[\cos (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})]$


Con $|z|=1$ y $\theta = \frac{\pi}{2}$. Se busca la raíz principal, por lo que $k=0$. Así


$w_0=^n\sqrt{1}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]$


Hacemos tender al límite


$lím_{n\longrightarrow \infty}w_0=lím_{n\longrightarrow \infty} 1^{1/n}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]=1^0[\cos 0 +i\sin 0]=1$


Conclusión

Dado que $L=1$ concluimos que la sucesión converge.


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:56 3 jul 2015 (CDT)