Compleja:Zill-Cap3.1
Ejercicios del capítulo 3, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 3.1
Ejercicio 1
Usando la definición 3.1 $\left(f'(z_0)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\right)$ para encontrar $f'(z)$ para la función $f(z)=9iz+2-3i$.
Procedimiento
Usando la definición tenemos:
\[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9i\left( z+\Delta z \right)+2-3i\;-\left( 9iz+2-3i \right)}{\Delta z}=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9iz+9i\Delta z+2-3i-9iz-2+3i}{\Delta z}=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9i\Delta z}{\Delta z} \] Por propiedades de límites $\left( \lim c\,f=c\,\lim f \right)$, si $c$ es una constante compleja. \[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9i\Delta z}{\Delta z}=9i\,\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta z} \]
Solución
Como $a/a=1$ para todo $a\not= 0$, y dado que $\Delta z$ tiende a $0$ (no es cero), podemos hacer la división \[ f'(z)=9i(1)=9i \]
Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 13:02 27 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Use la definición 3.1.1 para encontrar $f´(z)$ para
$f(z)=15z^{2}-4z+1-3i$
Procedimiento
empezamos escribiendo $f(z+\varDelta z)$
$f(z+\varDelta z)=15(z+\varDelta z)^{2}-4(z+\varDelta z)+1-3i$
desarrollamos y simplificamos
$f(z+\varDelta z)=15z^{2}+30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4z-4\varDelta z+1-3i$
ahora hacemos $f(z+\varDelta z)-f(z)$
$f(z+\varDelta z)-f(z)=(15z^{2}+30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4z-4\varDelta z+1-3i)-(15z^{2}-4z+1-3i)=15z^{2}+30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4z-4\varDelta z+1-3i-15z^{2}+4z-1+3i$
$f(z+\varDelta z)-f(z)=30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4\varDelta z$
realizamos el límite
$f´(z)=lim_{\varDelta z\longrightarrow0}\frac{30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4\varDelta z}{\varDelta z}$
factorizamos $\varDelta z$
$lim_{\varDelta z\longrightarrow0}\frac{\varDelta z(30z+15\varDelta z-4)}{\varDelta z}$
se hacen 1 y nos queda
$lim_{\varDelta z\longrightarrow0}30z+15\varDelta z-4=30z-4$
Solución
por lo tanto
$f´(z)=30z-4$
Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 18:02 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Obtén $f'(z)$ de la siguiente función, usando la definición de Derivada.
$f(z)=iz^3-7z^2$
Procedimiento
Definición de derivada:
$\left(f'(z_0)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\right)$
Entonces:
$ f(z+\Delta z)-f(z)= i(z+\Delta z)^3-7(z+\Delta z)^2-(iz^3-7z^2)= 3z^2\Delta zi+3z\Delta z^2i+\Delta z^3i-14z\Delta z-7\Delta z^2$
\[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{\Delta z\left(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z \right)}{\Delta z}\]
\[ f'(z)= \lim_{\,\Delta z \to 0}(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z) \]
Solución
Por lo tanto: Aplicando el limite y sus propiedades , obtenemos:
\[
f'(z)= 3iz^2-14z
\]
Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 11:57 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Obtén $f'(z)$ de la siguiente función, usando la definición de Derivada.
$f\left(z\prime\right)=\frac{1}{z}$
Procedimiento
Por definición se tiene:
$f\left(z\prime\right)=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{f\left(z+\triangle z\right)-f\left(z\right)}{\triangle z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\frac{1}{\left(z+\triangle z\right)}-\frac{1}{z}}{\triangle z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\frac{z-\left(z+\triangle z\right)}{\left(z+\triangle z\right)\left(z\right)}}{\triangle z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{z-\left(z+\triangle z\right)}{z.\triangle z.\left(z+\triangle z\right)}$
$=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{-\triangle z}{\triangle z.z^{2}+\triangle z^{2}.z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}-\frac{1}{z^{2}+\triangle z.z}=-\frac{1}{z^{2}}$
Solución
Por lo tanto:
$f\left(z\prime\right)=-\frac{1}{z^{2}}$
Realizado por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 20:12 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
encuentre $f'(z)$ para la función dada
$f(z)=z-\frac{1}{z}$
Procedimiento
primero, como, calcularemos la derivada de $f(z)$ en cualquier punto entonces:
$f(z+\Delta z)=(z+\Delta z)-\frac{1}{z+\Delta z}=\frac{(z+\Delta z)^{2}-1}{z+\Delta z}=\frac{z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1}{z+\Delta z}$
segundo
$f(z+\Delta z)-f(z)=\frac{z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1}{z+\Delta z}-z+\frac{1}{z}=\frac{z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1}{z+\Delta z}+\frac{1-z^{2}}{z}=\frac{z(z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1)+(1-z^{2})(z+\Delta z)}{(z+\Delta z)z}=\frac{z^{3}+2z^{2}\Delta z+z*\Delta z^{2}-z+z-z^{3}+\Delta z-z^{2}\Delta z}{z^{2}+z*\Delta z}=\frac{\Delta z(z^{2}+z*\Delta z+1)}{z^{2}+z*\Delta z}$
así
$f'(z)=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\frac{\Delta z(z^{2}+z*\Delta z+1)}{z^{2}+z*\Delta z}}{\Delta z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\Delta z(z^{2}+z*\Delta z+1)}{\triangle z(z^{2}+z*\Delta z)}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{z^{2}+z*\Delta z+1}{z^{2}+z*\Delta z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{z^{2}+z*\Delta z}{z^{2}+z*\Delta z}+\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{1}{z^{2}+z*\Delta z}=1+\frac{1}{z^{2}}$
Solución
así, el límite es
$f'(z)=1+\frac{1}{z^{2}}$
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 15:51 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Utilizar la función alternativa para encontrar $f'(z)$
con $f(z)=Z^3$
Procedimiento
para poder resolver este problema utilizaremos la definicion de funcion alternativa, esto es;
en este caso la definicion queda de la sigiente manera;
$f'(z)=\underset{z\rightarrow{z}}{lim}(\frac{(z^{3})-(z0^{3})}{z-z0})$= $\underset{z\rightarrow{z}}{lim}(\frac{(z-z0)(z^2+zz0+z0^{2})}{z-z0})$= $\underset{z\rightarrow{z}}{lim}(z^{2}+z^{2}+z^{2})=3z^{2})$
Conclusión
$f'(z)=3z^{2}$
Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 00:15 1 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Use las reglas de diferenciación para hallar $f'(z)$
$f(z) = 5(iz)^3 - 10z^2 + 3 - 4i$
Procedimiento
$f'(z) = 15(iz)^2(i) - 20z$
$f'(z) = 15i^2z^2i - 20z$
Solución
con $i^2 = -1$, entonces tenemos que
$f'(z) = -15iz^2 - 20z$
Realizado por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 23:27 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Usar las reglas de diferenciación, para encontrar $f'(z)$
$f\left\{ z\right\} =(z^{6}-1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)$
Procedimiento
$f\left\{ z\right\} =(z^{6}-1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)$
usando la derivación de un producto tenemos
$f\left(z\right)=g\left(a\right)h\left(z\right)$
$f^{!}\left(z\right)=g\left(a\right)^{!}h\left(z\right)+g\left(a\right)h^{!}\left(z\right)$
aplicándolo a el ejercicio pedido tenemos:
$f'(z)= =(z^{6}\text{-}1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)$
$f'(z)= =(z^{6}\text{-}1)^{!}(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)+(z^{6}\text{-}1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)^{!}$
$f'(z)=\left(6z^{5}\right)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)+(z^{6}\text{-}1)\left(2z-1\right)$
Solución
Haciendo los productos, se tiene que:
$f'(z)=8z^7-7z^6+6z^5(1-5i)-2z+1$
Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 14:27 30 mayo 2015 (CDT) Completado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 14
Usar las reglas de derivación para:
$f\left(z\right)=\left(z^{2}+2z-7i\right)^{2}\left(z^{4}-4iz\right)^{3}$
Procedimiento
Aplicando la regla del producto la cual es
$\frac{d}{dz}f\left(z\right)g\left(z\right)=f\left(z\right)\frac{d}{dz}g\left(z\right)+\frac{d}{dz}f\left(z\right)g\left(z\right)$
Y en la función tenemos
$\frac{d}{dz}f\left(z\right)=2\left(z^{2}+2z-7i\right)\left(2z+2\right)\left(z^{4}-4iz\right)^{3}+\left(z^{2}+2z-7i\right)^{2} 3(z^4-4iz)^2 (4z^3-4i)$
Si se quiere expandir y realizar los productos y potencias, se tiene que, usando mathematica.
$f'(z) = 4 z^{15} + 12 z^{14} + (8 - 28 i) z^{13} - 44 i z^{12} - 80 i z^{11} - (100 + 128 i) z^{10} - (288 + 64 i) z^9 - (304 + 180 i) z^8 - (448 + 432 i) z^7 - (1204 - 656 i) z^6 - (1184 - 1152 i) z^5 - (1536 - 1292 i) z^4 - (192 - 3792 i) z^3 + (1792 + 1856 i) z^2 + 4144 z$.
Aunque se usará el resultado anterior como solución.
Solución
$\frac{d}{dz}f\left(z\right)=2\left(z^{2}+2z-7i\right)\left(2z+2\right)\left(z^{4}-4iz\right)^{3}+\left(z^{2}+2z-7i\right)^{2} 3(z^4-4iz)^2 (4z^3-4i)$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 11:34 31 mayo 2015 (CDT) Corregido por Manuel Rodríguez
Ejercicio 15
Encontrar la derivada de la función $f(z)$ utilizando las reglas de la derivada
$f(z)=\frac{iz^{2} - 2z}{3z+1-i}$
Procedimiento
Para esta función se hace uso de la regla del cociente que dice:
$\frac{d}{dz} [\frac{g(z)}{h(z)}] = \frac{h(z)g´(z) - g(z)h´(z)}{[h(z)]^2}$
En la función tenemos que :
$g(z)=iz^2 - 2z$
$h(z)=3z+1-i$
Al aplicar la regla del cociente en la función tenemos
$f´(z) = \frac{(3z+1-i)(2iz-2) - (iz^{2}-2z)(3)}{(3z+1-i)^2}$
$f´(z)=\frac{3iz^{2}+2iz+2z+2i-2}{(3z+1-i)^2}$
Solución
$f´(z)=\frac{3iz^{2}+z(2i+2)+2i-2}{(3z+1-i)^2}$
Siendo este nuestro resultado final
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 01:51 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Utilice las reglas de derivacion para encontrar $f^{\prime}(z)$ para la funcion dada
16. $f(z)=-5iz^{2}+{\displaystyle \frac{2+i}{z^{2}}}$
Para el primer termino usamos la regla de las potencias y para el segundo termino la regla del producto, asi tenemos lo siguiente
\[ f^{\prime}(z)={\displaystyle \frac{d}{dz}[-5iz^{2}]+{\displaystyle \frac{d}{dz}[2+i]z+{\displaystyle \frac{d}{dz}[z^{-2}](2+i)}}} \]
\[
f^{\prime}(z)=-10iz-2(2+i)z^{-1}
\]
En la cual derive el cociente como un producto.
Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 23:07 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Utilice las reglas de derivación para encontrar la derivada para la función dada
$f(z)=(z^{4}-2iz+z)^{10}$
Procedimiento
Para derivar esta función usamos de la regla de la potencia
$\frac{d}{dz} [g(z)]^{n} = n[g(z)]^{n-1}g'(z)$
En al regla de las funciones de potencia se identifica $n=10$, $n-1=9$, $g(z)=z^{4}-2iz+z$ y $g'(z)=4z^{3}-2i+1$
Pr lo tanto $f'(z)$ es
Solución
$f'(z)=10(z^{4}-2iz+z)^{9}(4z^{3}-2i+1)$
Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 10:20 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 18
Utilice las reglas de derivación para encontrar la derivada para la función dada $f'(z)$.
$f(z)= (\frac{(4+2i)z}{(2-i)z² +9i})³$
Podemos tomar: $u=\frac{(4+2i)z}{(2-i)z² +9i}$
por lo cual tenemos que :
$f(u)=u³$ , derivando
$f'(u)=3u²$
Ahora bien $u$ esta conformada de un cociente de funciones por lo cual procedemos a utilizar la regla para derivación de cocientes:
$\frac{d}{dt}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{[g(z)]²}$
Ahora bien definimos de $u$:
$f(z)= (4+2i)z$
$f'(z)= 4+2i$
$g(z)= (2-i)z²+9i$
$g'(z)=2(2-i)z$
Ahora bien sustituyendo:
$u'= \frac{[(2-i)z²+9i)*(4+2i)]-[(4+2i)z*(2z(2-i))]}{(4z-2iz)²}$
desarrollando:
$u'= \frac{(2z²-iz²+9i)(4+2i)-(4z+2iz)(4z-2iz)}{12z²-16iz²}$
$u'= \frac{8z²-4iz+36i+4iz²+2z²-18-16z²+8iz-8iz²+4z²}{12z²-16iz²}$
$u'=\frac{-2z²-4iz²+4iz+36i-18}{12z²-16iz²}$
$u'= \frac{-(2+4i)z²+(4z+36)i-18}{(12-16i)z²}$
Por ultimo sabemos que :
Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos que:
$f'(z)= 3(\frac{(4+2i)z}{(2-i)z² +9i})²*(\frac{-(2+4i)z²+(4z+36)i-18}{(12-16i)z²})$
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 00:35 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
La función $f(z) = |z|^{2}$ es continua en el origen
(a) demuestre que $f$ es derivable en el origen.
(b) demuestre que $f$ no es derivable en ningún otro punto $z\neq 0$.
Procedimiento
(a) Podemos definir a $z=|z|^2= \overline{z}z$
Utilizando la definición de derivada
\[ f'(z)=
\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\]
\[ = \lim_{\Delta z\to 0} \frac{|z+\Delta z|^{2}-|z|^{2}}{\Delta z}\]
\[= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{(z+\Delta z )(\overline {z} + \overline{\Delta z)} -z\overline{z}}{\Delta z} \]
\[= lim_{\Delta z\to 0} \overline{z} + \overline{\Delta z} + z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\]
Solución
Para un $z= 0$
\[ f'(0) =lim_{\Delta z\to 0} \frac{|\Delta z |^{2} \overline{\Delta z}} {|\Delta z |^{2}}\]
\[ = lim_{\Delta z\to 0} \overline{\Delta z} = 0\]
Por lo tanto f(z) es diferenciable en el origen.
(b) Para $ z\neq 0$
Procedimiento
\[= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{(z+\Delta z )(\overline {z} + \overline{\Delta z)} -z\overline{z}}{\Delta z} \]
Solución
\[= lim_{\Delta z\to 0} \overline{z} + \overline{\Delta z} + z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \] el limite no existe
Dado que no existe el limite, f(z) no es diferenciable, en ningún punto $z\neq 0$
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 09:58 31 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 23
Utilice la regla de L' Hopital para calcular el siguiente límite complejo
.
Procedimiento
Identificamos ; , comprobamos primero que:
, ambas son funciones polinomiales analíticas en , usando la regla de L' Hopital se tiene
sustituyendo y simplificando en el límite se tiene
Solución
Por lo que el .
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:23 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 24
Utilice la regla de L'Hopital para calcular el limite dado.
$\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{2}i}[\frac{z^{4}+16}{z^{2}-2\sqrt{2}z+4}]$
Procedimiento
Como se puede ver tenemos que:
$f(z)=z^{4}+16=(z^{2})^{2}+16$
$g(z)=z^{2}-2\sqrt{2}z+4$
Ahora evaluamos $f(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$ y $g(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$
$f(x,y)=[x-y^{2}+i(2xy)]^{2}+16$
$f(\sqrt{2},\sqrt{2})=[\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{2}+i(2\sqrt{2}\sqrt{2})]^{2}+16=[i(4)]^{2}+16=-16+16=0$
$g(x,y)=[x^{2}-y^{2}+i(2xy)]^{2}-2\sqrt{2}(x+iy)+4$
$g(\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{2}+i(2\sqrt{2}\sqrt{2})-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+i\sqrt{2})+4=4i-4-4i+4=0$
Por lo tanto podemos usar L'Hopital
$\dot{f(z)}=4z^{3}\Longrightarrow\dot{f(\sqrt{2},\sqrt{2})}=4[\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{2}+i(2\sqrt{2}\sqrt{2})](\sqrt{2}+i\sqrt{2})=4(4i)(\sqrt{2}+i\sqrt{2})=16(i\sqrt{2}-\sqrt{2})=-16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}$
$\dot{g(z)}=2z-2\sqrt{2}\Longrightarrow\dot{g(\sqrt{2},\sqrt{2})}=2(\sqrt{2}+i\sqrt{2})-2\sqrt{2}=i2\sqrt{2}$
Solución
Finalmente
$\underset{z\rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{lim}=\frac{\dot{f(z_{0})}}{\dot{g(z_{0})}}=\frac{-16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}}{i2\sqrt{2}}=\frac{-16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}}{i2\sqrt{2}}[\frac{i}{i}]=\frac{-16i\sqrt{2}-16\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=8+8i$
Elaborado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 21:36 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Utilice la regla de L' Hopital para calcular el siguiente límite complejo .
Procedimiento
Tenemos que y . Comprobamos que
, ambas funciones son analíticas en ; usando la regla de L' Hopital se tiene
Sustituyendo y simplificando en el límite se tiene
Solución
Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:56 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 26
utilice la regla de L' Hopital para calcular el limite dado.
$\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}i\;}\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}$
Procedimiento
si hacemos
$f(z)=z^{3}+5z^{2}+2z+10$
y
$g(z)=z^{5}+2z^{3}$
entonces evaluando $\sqrt{2}i$ en $f(z)\;y\;g(z)$
$f(\sqrt{2}i)=(\sqrt{2}i)^{3}+5(\sqrt{2}i)^{2}+2(\sqrt{2}i)+10=-2\sqrt{2}i-10+2(\sqrt{2}i)+10=0$
$g(\sqrt{2}i)=(\sqrt{2}i)^{5}+2(\sqrt{2}i)^{3}=4\sqrt{2}i-4\sqrt{2}i=0$
así
$f'(z)=3z^{2}+10z+2$
$g'(z)=5z^{4}+6z^{2}$
de aquí, que utilizando la regla de L'Hospita tenemos
$\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}i\;}\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}=\frac{f'(z)}{g'(z)}=\frac{3(\sqrt{2}i)^{2}+10(\sqrt{2}i)+2}{5(\sqrt{2}i)^{4}+6(\sqrt{2}i)^{2}}=\frac{-6+2+10\sqrt{2}i}{20-12}=\frac{-4+10\sqrt{2}i}{8}=-\frac{1}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{4}i$
Solución
$\therefore\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}i\;}\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{4}i$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 01:05 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 27
Determine los puntos en donde la función dada no es analítica.
a)
Procedimiento
El criterio de analiticidad dice que la función tiene que ser derivable en un punto para que en ese punto exista la analiticidad.
Pero para que exista la derivada en un punto tiene que tener el límite y ser continua en el punto.
Analizando la función dada tenemos un punto en donde no es continua que es en el cociente de cero. Por lo tanto no es continua en
y esto pasa sí y sólo sí.
Solución
Por lo tanto la función no es analítica en .
Realizado por: Pablo (discusión) 11:04 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 29
Determine los puntos en donde la función dada no es analítica
$f(z)=(z^4-2iz^2+z)^{10} $
Procedimiento
Tomamos el limite de f(z)
$ {\lim_{z\rightarrow 0}} (z^4-2iz^2+z)^{10} $
$ f(0)= (0^4-2i0^2+0)^{10} = 0 $
$ {\lim_{z\rightarrow 0}} (z^4-2iz^2+z)^{10} = 0 $
Donde f(z) es una función porlinomial que es analítica en z=0, ahora utilizando L' Hopital
$ f'(z)=(4z^3-4iz+1)^{10} $ $ f'(0)= 1 $
Solución
Por tanto
$ {\lim_{z\rightarrow 0}} (z^4-2iz^2+z)^{10} =1 $
El limite existe entonces f(z) es derivable por lo tanto la función es analítica y es continua en el punto z=1
Entonces f(z) es analítica para todo z
Usuario:Samantha Martinez (discusión) 11:04 31 mayo 2015 (CDT)
===Ejercicio 31 ( PROBABLEMENTE DE OTRO LIBRO NO ZILL)===
Use la definición 2.6.2 y el teorema 2.6.2 para demostrar la regla de la constante
Usando la definición de derivada tenemos que
Factorizando la c y usando la definición
Tenemos que
Donde es la derivada de la función, por la propiedad
Por lo tanto por la definición de derivada tenemos que
Realizado por: Pablo (discusión) 11:28 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 32
PROBABLEMENTE OTRO LIBRO, NO ZILL
Usar la definición 2.6.2 y el teorema 2.6.2 para demostrar la regla de la suma $\dfrac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=f'(z)+g'(z)$.
Sol. Si $w(z)=f(z)+g(z)$:
$\dfrac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=\dfrac{d}{dz}w(z)=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z}$
Sustituyendo se tiene:
$\dfrac{d}{dz}w(z)=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{[f(z+\Delta z)+g(z+\Delta z)]-[f(z)+g(z)]}{\Delta z}=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{[f(z+\Delta z)-f(z)]+[g(z+\Delta z)-g(z)]}{\Delta z}=lím_{\Delta z\rightarrow 0}(\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z})$
Y del teorema 2.6.2 tenemos que:
$lím_{z\rightarrow z_0}(h(z)\pm k(z))=lím_{z\rightarrow z_0}h(z)\pm lím_{z\rightarrow z_0}k(z)$
Podemos decir:
$lím_{\Delta z\rightarrow 0}(\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z})=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+ lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}$
Y de la definición para la derivada: $w'(z)=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z}$
Podemos concluir que:
$\dfrac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+ lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}=f'(z)+g'(z)$
Oscar Javier Gutierrez Varela 19:39 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 34
En este problema se le guía a través del inicio de la prueba de la regla del producto. Demostración Partimos de la hipótesis de que f y g son derivables en un punto z; es decir, existen cada uno de los siguientes límites:
$ f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} ; g'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z} $
(a) Justifique la igualdad.
(b) Use la definición 2.9 para justificar
$\lim_{\Delta z \to 0}{g(z+\Delta z)=g(z)}$
(c)Use los Teoremas 2.2 $(ii)$ y 2.2$(iii)$ para finalizar la prueba.
Solución
(a)
\begin{align*} \frac{d}{dz}[f(z)g(z)]&=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z)}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)g(z+\Delta z)+(f(z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z+\Delta z))-f(z)g(z)}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{(f(z+\Delta z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z+\Delta z))+(f(z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z))}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z \to 0}[\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}g(z+\Delta z)+f(z)\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}] \end{align*}
Se agregó un cero en el segundo renglón, luego se asocio y por último se factorizó.
Solución
(b) La definición 2.9 establece: Una función $f$ es continua en $z_0$ si:
$ \lim_{z \to z_0} f(z)=f(z_0) $
Como $g$ es continua por hipótesis, (ya que si $g$ es diferenciable en $z$, entonces $g$ es continua en $z$ (teorema3.2) ) y aplicando la definición 2.9, se tiene: $\lim_{\Delta z \to 0} g(z+\Delta z)=g(z+0)=g(z)$
Solución
(c) Aplicando el teorema 2.2(ii) a la última igualdad del inciso (a)
$ \lim_{\Delta z \to 0}(\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}g(z+\Delta z))+(\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z} f(z)) $
Aplicando el teorema 2.2(iii) a lo anterior:
$(\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z})(\lim_{\Delta z \to 0}g(z+\Delta z))+(\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z})(\lim_{\Delta z \to 0} f(z)) $
De la hipótesis y por (b), se concluye que:
$\frac{d}{dz}[f(z)g(z)]=f'(z)g(z)+g'(z)f(z) $
Elaborado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 22:13 31 mayo 2015 (CDT)
