Compleja:Zill-Cap1.2

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Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 2 El Plano Complejo del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

Clasificación CL: QA331.7 .Z55 2003 [1].


Sección 1.2

Ejercicio 1

Interpreta $z_{1}$ y $z_{2}$ como vectores. Gráfica $z_{1}$, $z_{2}$ e indica cual es la suma y diferencia como vectores

$z_{1} = 4+2i, z_{2} = -2+5i; z_{1}+z_{2}, z_{1}-z_{2}$

a) Suma de vectores

Procedimiento

Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:

 Graphics[{
 Thick,
 Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}],
 Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}],
 Blue,
 Arrow[{{0, 0}, {2, 7}}],
 Gray, Dashed,
 Arrow[{{0 + 4, 0 + 2}, {2, 7}}],
 Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {2, 7}}]
 }, Frame -> True]
Solución

La suma es:

$z_{1}+z_{2} = (4+2i)+(-2+5i) = (4-2)+i(2+5) = 2+7i$

b) Diferencia de vectores

Procedimiento

Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:

 Graphics[{
 Thick,
 Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}],
 Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}],
 Blue,
 Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {4, 2}}]
 }, Frame -> True]
Solución

La diferencia es:

$z_{1}-z_{2} = (4+2i)-(-2+5i) = (4+2)+i(2-5) = 6-3i$


Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:11 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 2

Interpreta z1 y z2 como vectores. Gráfica z1, z2 e indica cual es la suma y diferencia como vectores

$z_{1} = 1-i$ , $z_{2} = 1+i$ ; $z_{1}+z_{2}$ , $z_{1}-z_{2}$

a) Suma de Vectores:

Procedimiento

$z_{1}+z_{2} = (1-i)+(1+i) = (1+1)+(-1+1)i = 2+0i$

Solución

1eje.png

b)Diferencia de vectores:

Procedimiento

$z_{1}-z_{2} = (1-i)-(1+i) = (1-1)+(-1-1)i = 0-2i$

Solución

2eje.png


Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:27 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 5

Dado que $z_{1}=5-2i$ y $z_{2}=-1-i$, encuentre el vector $z_{3}$ en la misma dirección que $z_{1}+z_{2}$ pero 4 veces más largo

Procedimiento

Primeramente debemos calcular la suma $z_{1}+z_{2}$

$z_{1}+z_{2}=(5-2i)+(-1-i)=4-3i$

A continuación multiplicamos por 4 para cuadriplicar el tamaño

$4(z_{1}+z_{2})=4(4-3i)=16-12i$
Solución
$4(z_3)= 16-12i$

Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:10 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 7

Determinar si los puntos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$ son los vértices de un triángulo rectángulo.

Tenemos que :

\[ z_{1} = -2-8i \] \[ z_{2} = 3i \] \[ z_{3} = -6-5i \]

Graficando $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$.

Procedimiento

FALTA IMAGEN

Se observa que se a construido un triángulo rectángulo, con segmentos de rectas A,B,C. Si utilizamos el teorema de Pitágoras encontraremos la hipotenusa C. donde

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Por tanto es igual al módulo del número complejo Z.

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = C \]

Por tanto tomamos que :

\[ \left|\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}\right| = \left |\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}\right| \]

\[ \frac {|Z_{2}-Z_{1}|} {|Z_{3}-Z_{1}|} = \frac {|Z_{1}-Z_{3}|} {|Z_{2}-Z_{3}|} \]

Entonces podemos construir los tres segmentos de rectas :

\[ A = |z_{1}-z_{2}|\]


\[ B = |z_{3}-z_{1}|= |z_{1}-z_{3}| \]

\[ C = |z_{2}-z_{3}| \]

Por lo que tenemos una interpretación geométrica de módulos de los complejos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$,que corresponden a las distancias entre los puntos.

Solución

Entonces A,B,C, forman los segmentos de los vértices $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, formando un triángulo rectángulo.


Realizado por: Samantha Martínez (Usuario discusión:Samantha Martínez) 23:13 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 9

Encuentra el módulo de: $(1-i)^{2}$

Procedimiento 

desarrollando el cuadrado se tiene :

$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i$

Entonces:

$|-2i|=\sqrt{4}=2$

Así:

$|(1-i)^{2}|=2$

Además:

$|(1-i)|^{2}=(\sqrt{1+1})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$

Solución

$|(1-i)|^{2}=2$

Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:01 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 10

Encuentra el módulo de: $i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right )$:

Procedimiento 

Para solucionar este problema debemos de realizar primeramente el producto para obtener:

\[i(2-i)-4(1+\frac{1}{4})=(2i+1)-(4+i)\]

Después se realizaran la sumas y la restas correspondientes obteniendo:

\[(2i+1)-(4+i)=-3+i\]

Así para sacar el valor absoluto de este numero bastara con sumar los cuadrados de la parte real y la parte que a acompaña ala unidad imaginaria y a esto sacarle la raíz cuadrada así tendremos:

\[|-3+i|=\sqrt{(-3)^2+(1)^2}=\sqrt{10}\]

finalmente:

$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $

Solución

$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $


Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:49 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 11

Encontrar el módulo de: $\frac{2i}{3-4i}$

Procedimiento 

Primero se expresa el número de la forma $a+bi$ luego entonces:

Se multiplica por el conjugado

\[ \frac{2i}{3-4i}=(\frac{2i}{3-4i})(\frac{3+4i}{3+4i})=\frac{-8+6i}{9+16}=\frac{-8+6i}{25}=-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i \]


Ahora, esto implica que:

\[ |-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i|=\sqrt{\frac{64}{625}+\frac{36}{625}}=\sqrt{\frac{100}{625}}=\frac{10}{25} \]


Por tanto: $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$

Solución

$|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$


Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:54 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 12

Encuentra el modulo de $\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$

Procedimiento

Sea $z=\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$ lo reescibo de manera $z=a+ib$, para ello multiplico por su conjugado en cada parte y resuelvo

$z=(\frac{1-2i}{1+i})(\frac{1-i}{1-i})+(\frac{2-i}{1-i})(\frac{1+i}{1+i})=\frac{3-3i}{2}+\frac{3+i}{2}=\frac{3-3i+3+i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$

Ahora solo falta obtener el modulo

$|z|=|3-i|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

Por lo tanto

$|z|=|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$

Solución

$|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$


Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 01:32 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 13

Dado z = x + iy. Expresar la cantidad en términos de x e y.

$|z-1-3i|^{2}$

Procedimiento

Sustituimos "z" por la expresión que se nos dio

$|(x+yi)-1-3i|^{2}$

agrupamos las partes reales y las partes imaginarias y factorizamos la unidad imaginaria "i"

$|(-1+x)+(-3i+yi)|^{2}$=$|(-1+x)+(-3+y)i|^{2}$

podemos hacer un cambio de variable para ilustrar de una forma óptima

$\alpha=-1+x$ ; $\beta=-3+y$

$|\alpha+\beta i|^{2}$

sabemos que $|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}$, donde $z=\alpha+\beta i$

sustituimos, desarrollamos y simplificamos

$|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}= (1-2x+x^{2})+ (9-6y+y^{2})= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $

Solución

$ z= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $


Realizado por: *Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 14:23 15 mayo 2015 (CDT)

Nota:

Corregido por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:35 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 14

Expresa $|z+5\bar{z}|$ en términos de $x$ e $y$ si $z=x+y i$

Procedimiento

Para poder obtener el modulo de la expresión es necesario determinar a $z$ y $\bar{z}$

\[z=x+y i\]

\[\bar{z}=x-y i\]

Se multiplica $\bar{z}$ por 5 y se realiza la suma de los numero complejos

\[(x+y i)+ 5(x-y i)=6x-4y i\]

Ahora tenemos un nuevo numero complejo $z_1$ y es a este al que se le sacara el modulo

$|z_{1}|=\sqrt{(z_{1})(z_{1}*)}=\sqrt{(6x-4iy)(6x+4iy)}=\sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)}$

Solución

$|z_{1}|= \sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)} $


Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 09:56 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 15

Determinar cual de los dos números complejos dados es mas cercano al origen. ¿Cuál es más cercano a \(1+i\)?:

\(10+8i\)
\(11-6i\)

a) ¿Cuál es el más cercano al origen?

Procedimiento

Primeramente definimos el origen como:

\(z_0 = 0+ 0i \)

Además.

\(z_1= 10+8i\)
\(z_2=11-6i\)
\(z'=1+i\)


Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos:

\(|z_1|= |10+8i|= \sqrt{10² + 8²}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx{12.8}\)
\(|z_2|= |11-6i|= \sqrt{11² + 6²}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}\approx{12.5}\)

Por lo anterior tenemos que:

$|z_2|<|z_1|$

Por lo que $z_1$ es mas cercano al origen.

Solución

$z_1$ es mas cercano al origen.

b) ¿Cuál es más cercano a \(1+i\)?

Procedimiento

Ahora bien para conocer cual de los dos números es mas cercano a \(z'\) procedemos a sacar la diferencia de \(z_1\) con \(z'\) y \(z_2\) con \(z'\).

Con lo cual tenemos:

\(|z_1 - z'|=\sqrt {(10-1)²+(8-1)²}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx{11.4}\)
\(|z_2 - z'|=\sqrt {(11-1)²+(-6-1)²}=\sqrt{100+49}=\sqrt{149}\approx{12.2}\)


Por lo anterior tenemos que\[|z_2 - z'|>|z_1 - z'| \] .

Por lo que $z_1$ es más cercano a $1+i$

Solución

$z_1$ es más cercano a $1+i$


Realizado por: Anahi Limas (discusión) 22:36 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 16

Determine cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen. ¿Cuál está más cerca de 1+i?

$z{_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i $

$z_2=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}i$

a) ¿Cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen?

Procedimiento

Analicemos cuál de los números es más cercano al origen.

La distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ cualesquiera es:

$ \left | z_2-z_1 \right |= \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $


La distancia al origen de $z_1$ es:

$ \left | z_1-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-0 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0.559$

La distancia al origen del $z_2$ es:

$ \left | z_2-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-0 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0.687$


Solución

$z_1$ Es el más cercano al origen.


b) ¿Cuál está más cerca de 1+i?

Procedimiento

La distancia de 1+i a $z_1$ es:

$ \left | z_1-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-1 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{4} \approx 1.346$

La distancia de 1+i a $z_2$ es:

$ \left | z_2-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{6} \approx 0.8975$

Solución

$ \left | z_2-(1+i) \right | $ < $ \left | z_1-(1+i) \right |$

Por lo que $z_2$ Está más cerca de $1+i$


Realizado por:


Ejercicio 17

NO CORRESPONDE

Encuentre $z$ de tal manera que satisfaga la siguiente igualdad $$Re((1+i)z)-1=0....(1)$$ donde $z$ se expresa de la forma $z=(a+bi)$, entonces la igualdad se puede expresar de la siguiente forma $$Re((a+bi)(1+i)=1$$ Desarrollando el producto anterior obtenemos $$a+i(a+b)-b=1$$ Podemos ahora encontrar los valores para $a$ y $b$ con el siguiente sistema de ecuaciones $$a-b=1$$...(2) $$a+b=0$$ Pero ya que solo nos interesa la parte real solo utilizamos la siguiente igualdad $$a-b=1$$ Sustituyendo en la ecuación (1) $$Re(((b+1)+bi)(i+1))=1$$ desarrollando obtenemos: $$Re(b+1+bi+bi+i-b=1)$$ $$Re(1+(2b+1)i)=1$$ Así obtenemos $b$ cuyo valor es $$b=1/2$$ y por lo tanto $$a=\frac{3}{2}$$ Sustituyendo en la igualdad original obtenemos que $$Re((\frac{3}{2} + i\frac{1}{2})(1+i)-1)=0$$


Ejercicio 18

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $

Procedimiento

Tenemos que $z = x+y i$ y $\bar{z} = x - y i$

Entonces podemos escribir,

$[Im (i (x - y i)]^2 = 2$

Multiplicando i por el binomio tenemos,

$[Im (x i - y i^2)]^2 = 2$

Recordando que $i^2 = -1$, podemos escribir de manera equivalente,

$[Im (xi + y)]^2 = 2$

Donde:

$Im (xi + y)= x $

Entonces:

$[Im (xi + y)]^2 = x^2$

Por lo que la expresión inicial:

$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $

Es:

$x^2=2$

Las dos raíces de esta ecuación son en $x_1=\sqrt{2}$ y $x_2=-\sqrt{2}$

Solución

$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=\pm \sqrt{2}\right \} $

Esto corresponde a dos rectas verticales en $ x= \pm \sqrt{2} $


Realizado por: ****Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 21:01 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 19

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

$\arrowvert z-i\arrowvert=\arrowvert z-1\arrowvert$

Procedimiento

Considerando $z=x+y i$ tenemos lo siguiente:

$\left | x+(y-1)i \right |=\left | (x-1)+y i \right |$

Haciendo el modulo del numero complejo: $\left | x+y i \right |= \sqrt{(x)^{2}+(y)^{2}} $

Esto es:

$ \sqrt{(x)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y)^{2}} $

Elevando ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios al cuadrado internos, se obtiene que:

$ x^{2}+y^{2}-2y+1=x^{2}-2x+1+y^{2} $

Simplificando:

$x=y $

Solución 

$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=Im(z) \right \} $

Esta ecuación es la de una recta que pasa por el origen y que forma un angulo de $\pi/4$ con el eje real, haciendo una analogía con una función en los reales seria $f(x)=x$.


Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 20:45 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 21

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

Procedimiento

$Im (z^{2})= 2$

Definimos a $z = x + y i$ y tenemos:

$(x+ y i )^{2}=x^{2}+2xyi-y^{2}$

Por lo que su parte imaginaria es: $2xy$

Con esto, la ecuación original quedaría:

$2xy= 2 $

$x=\frac{1}{y} $

Solución

$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)= \frac{1}{Im(z)} \right \} $

El conjunto de puntos se describe como una hipérbola


Realizado por: Esther Sarai (discusión) 22:29 14 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 23

Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.

$\left|z-1\right|=1$

Procedimiento 

El conjunto de puntos $\left|z-a\right|=b^{2}$ Se representan en el plano complejo, como una circunferencia de radio b y centro en a.

Esto es claro si hacemos: $z=x+y i$

$\left|x+yi-1\right|=1$

Ordenando las partes real e imaginaria:

$\left|(x-1)-y i\right|=1$

Realizando el modulo:

$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=1$

Y finalmente elevando al cuadrado ambos lados.


$(x-1)^{2}+y^{2}=1$

Por lo tanto el conjunto de puntos buscado se puede representar por medio de la función:

$(x-1)^{2}+y^{2}=1$

Solución

Estos puntos corresponden a una circunferencia centrada en $1+0i$, de radio 1



Corregido, aclarado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 21:10 14 mayo 2015 (CDT)


Ejercicios 29

Encuentra el límite superior para el módulo \( 3z^{2}+2z+1;\mid z\mid\leq1 \).

Procedimiento

Se tiene que \( 3z^{2}+2z+1\leq M \), entonces

\[ \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid\mid3z^{2}\mid+\mid2z+1\mid\mid \]

\[ \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid3z^{2}\mid+\mid2z+1\mid;\mid2z\mid+\mid1\mid\geq0 \]

\[ \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid3z^{2}\mid+(\mid2z\mid+\mid1\mid), \]

Sustituyendo y simplificando

\[ \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid3(1)+2(1)+1\mid \]

\[ \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid6\mid \]

Entonces \( M=6 \) y \( \mid z\mid\leq1 \)

\[ \therefore\mid3z^{2}+2z+1\mid\leq6 \]

Solución

\[ \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq6 \]


Realizado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 22:21 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 30

Encontrar el límite superior para el recíproco del módulo de \( z^{4}-5z+6;\mid z\mid=2 \).

Procedimiento

Se tiene \( z^{4}-5z+6=\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right), \)

Entonces

\[ \frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq M \]

Usando la propiedad \( \mid z_{1}z_{2}\mid=\mid z_{1}\mid\cdot\mid z_{2}\mid \) y \( \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leq\mid z_{1}-z_{2}\mid \)

\[ \mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid=\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid, \]

\[ \mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid\mid z^{2}\mid-3\mid\cdotp\mid\mid z^{2}\mid-2\mid, \]

sustituyendo y simplificando se tiene

\[ \mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid4-3\mid\cdotp\mid4-2\mid, \]

\[ \mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq2, \]

entonces si \( M=\frac{1}{2} \) y \( z=2 \)

\[ \therefore\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}. \]

Solución

\( \frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}. \)


Realizado por: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 20:36 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicios 31 y 32

31.- In Problem 31 and 32, find a number z than satisfies the given equatión.

31. $\bigl|z\bigr|-z=2+i$ $\qquad\qquad\qquad$32.$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$

Solución

Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como:

$\bigl|z\bigr|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Además sean $z_{1}=a+ib$ y $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$, tenemos que $z_{1}=z_{2}$sólo cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos:

31.

$\bigl|z\bigr|-z=2+i$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}-(a+ib)=2+i$

$\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\right)-ib=2+i$

Por lo que

$b=-1$

Ahora

$\sqrt{a^{2}+1}-a=2$

Resolviendo para $a$

$a^{2}+1=4+4a+a^{2}$

$4a+3=0$

$a=-\frac{3}{4}$

Por lo tanto la solución de la ecuación es:

$z=-\frac{3}{4}-i$

32.

$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$

$a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$

$\left(a^{2}+b^{2}+1\right)+12i=6(a+ib)$

Igualando parte real e imaginaria se llega a:

$b=2$

y

$a^{2}+2^{2}+1=6a$

$a^{2}-6a+5=0$

Se tienen las soluciónes

$a=5$

y

$a=1$

Por lo que hay dos soluciónes a la ecuación planteada, estas son:

$z_{1}=5+2i$

$z_{2}=1+2i$

Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 16:15 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 36

¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?

Procedimiento 

Definimos a \(z \epsilon C\) en donde \(z= a+ bi\) con \(a, b \epsilon R\), donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z.

\(|z|= \sqrt{a^2 + b^2}\)

Como buscamos un número cuya magnitud sea cero \(|z|=0\)

Por lo que, igualando las expresiones para en encontrar a y b.

\(\sqrt{a^2+b^2}=0\)

Desarrollando

\(a^2 +b^2= 0^2\)

Donde podemos ver que

\(a^2= -b^2\)

Donde el único número real que cumple esta condición última, es el cero.

\(a=b=0\)

comprobando

\(|z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0\)

Solución

$ |z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0 $

El único numero con modulo 0 es el numero 0+0i


Realizado por: Pablo (discusión) 01:14 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 37

Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.

Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son:

$|z_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$

$|z_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$

Su suma

$|z_1|+|z_2|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}$

Por otro lado, sumando los numeros:

$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$

$|z_1+z_2|=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}=\sqrt{a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+b_1^2+2b_1b_2+b_2^2}$

$|z_1+z_2|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$

Igualando expresiones;

$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$

Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones:

$a_1=a_2=b_1=b_2=0$

$a_1 \neq 0, a_2=b_1=b_2=0$

O cualquier combinación como la anterior.

Oscar Javier Gutierrez Varela 22:57 12 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 44

Supongamos $z_1\neq z_2$. Interpretar: $Re(z_1{\bar z}_2)=0 $ geométricamente en términos de los vectores $z_1$ y $z_2$\\ Solución:\\ Sean: $z_1=a_1+ib_1$ y $z_2=a_2+ib_2$ números complejos. Entonces $z_1{\bar z}_2=(a_1+ib_1)(a_2-ib_2)=(a_1a_2+b_1b_2)+i(a_2b_1-a_1b_2)$. Con $Re(z_1{\bar z}_2)=a_1a_2+b_1b_2$. En plano complejo $z_1$ tiene coordenadas $(a_1,b_1)$ y $z_2$ tiene coordenadas $(a_2,b_2)$. Entonces $a_1a_2+b_1b_2=(a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2)$ que lo anterior igualado a cero quiere decir que los vectores $z_1$ y $z_2$ son perpendiculares. Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 23:59 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 47

Demostrar:

a) |z|=|−z|

Soponer que  z=a+bi  y  -z=-(a+bi)

Y sabemos la definicion de modulo:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Entonces

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces:

$|-z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Por lo tanto:

|z|=|-z|


b)|z|=|z*|

Suponer que  z=a+bi  y  z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la definicion de modulo, tenemos:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Por la razon anterior, no es necesario poner el signo menos en la siguiente igualdad.
$|z*|=\sqrt{a^2+b^2}$

Por lo tanto:

|z|=|z*|

Nancy Martínez Durán (discusión) 19:38 15 mayo 2015 (CDT)