Compleja:Zill-Cap2.4

De luz-wiki


Ejercicios del capítulo 2, sección 4 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.


Sección 2.4

Ejercicio 1

Find the image of the given set under the mapping $ w = z^2 .$ Represent the mapping by drawing the set and its image.

1) the ray : $arg(z)= \frac{\pi}{3}$

Solución:

La transformación

$w=z^2=(re^{i\theta}) = r^2 e^{i2 \theta}$

Dobla el ángulo por lo que si

$anrg(z)= \frac{\pi}{3}$

Se tiene que:

$arg(w)=\frac{2\pi}{3}$

$ang(z)$ en rojo, $arg(w)$ en azul













Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 00:26 22 mayo 2015 (CDT)



Ejercicio 2

Encontrar la imagen del conjunto en el mapeo $w=z^{2}$

El rayo $arg\left(z\right)=-\frac{3\pi}{4}$

Solución:

La transformación es:

$w=z^{2}=(re^{i\theta})^{2}=r^{2}e^{2i\theta}=r^{2}e^{2\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}=r^{2}e^{-\frac{3\pi}{2}}=r^{2}e^{\frac{\pi}{2}}$

Lo cual nos dice que multiplica por el doble el $\arg\left(z\right)$ Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 19:06 28 mayo 2015 (CDT)



Ejercicio 3

Encontrar la imagen del conjunto en el mapeo $w=z^{2}$

Para \(x=3\)

Para poder encontrar la imagen S' bajo en mapeo sera nesesario realizar lo siguiente;

En este caso $z=x+iy=3+iy$ y tendremos que $z^{2}=(3+iy)^{2}=9+6iy-y^{2}$

por otro lado sabemos que;

\(w=z^{2}=u+iv\)

por lo cual si igualamos partes reales y partes imaginarias tendremos que;

$u=9-y^{2}$......................(1)

$v=6iy$..........................(2)

despejando "y" de (2) y sustituyendo en (1) tenemos que

\(u=9-\frac{v^{2}}{36}\)

lo cual representa una parabola que abre hacia la izquierda con vertice en en punto $(9,0)$ en el plano $u-v$ y con interseccion en el eje $v$ en los puntos $(0,±18)$

Conclusion; la imagen de la recta verticar $x=3$ es mapeada en una parabola con vertice en $(9,0)$ en el plano $u-v$ y dos intersecciones con el eje $v$ en $(0,±18)$ bajo el mapeo $w=z^{2}$

--Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:20 29 mayo 2015 (CDT)




Ejercicio 4

Find the image of the given set under the mapping $w=z^{2}$. Represent the mapping by drawing the set and its image.

4.- The line $y=-5$


Sabemos que

$w=(x^{2}-y^{2})+i2xy$


Entonces:

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$

$v(x,y)=2xy$


Pero la condicion $y=-5$

$u=x^{2}-25$....1

$v=-10x$......2


De 2 tenemos que:

$x=\frac{v}{-10}$

Y sustituimos en 1

$u=(\frac{v}{-10})^{2}-25$

$u=\frac{v^{2}}{100}-25$

Entonces se observa que en el plano $uv$ la recta $y=-5$ se mapea como una parabola con vertice en $(-25,0)$ e intersecciones con $v$ en los puntos $(0,\pm50)$

2.4.4.gif Nota: los ejes U y V estan cambiados para comodidad al graficar


--Fernando Vazquez V. (discusión) 21:19 29 mayo 2015 (CDT)




Ejercicio 5

Encontrar la imagen del conjunto en el mapeo $w=z^{2}$ para la recta $y=- \frac{1}{4}$

Tomamos que $$z=x+iy$$ sustituyendo en el mapeo w(f(z))

$$w=(x+iy)^2$$ $$w=x^2-y^2+2xiy$$

Donde

$$u= x^2-y^2$$ $$v= 2xy$$

Donde $$y=- \frac{1}{4}$$

Por tanto

$$u(y=- \frac{1}{4})= (x^2,-(-\frac{1}{4})^2) = x^2 -\frac{1}{16}$$

$$v(y=- \frac{1}{4})= 2x(-\frac{1}{16}) = -\frac{2}{16}x$$

Por tanto

$$x = -8v$$

Entonces

$$u= x^2-y^2 = (-8v)^2 - (-\frac{1}{4})^2 = 16v^2-\frac{1}{16}$$

Por lo tanto la recta y=- $\frac{1}{4}$ al mapearla en w se obtiene una parabola con vértice (-$\frac{1}{16}$,0) en el plano uv


--Samantha Martinez (discusión) 21:14:20 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 6

Encuentra la imagen del conjunto dado bajo el mapeo $w=z^2$ para la linea $x=\frac{3}{2}$

Como el mapeo se realizara para una recta es conveniente tomar a $z$ como $z=x+iy$

Sustituyendo $z$ en $w=z^2$

$w=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2ixy$

Pero $x=\frac{3}{2}$, entonces $w$ queda de la siguiente forma

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

$u(\frac{3}{2})=((\frac{3}{2})^2-0^2)=\frac{9}{4}$

$v(\frac{3}{2})=2i(\frac{3}{2})(0)=0$

Entonces tenemos en el plano $x-y$ una recta $x=\frac{3}{2}$ al mapear esta recta bajo la acción de $w=z^2$ obtenemos una recta desplazada ala derecha $u=\frac{9}{4}$

Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:08 28 mayo 2015 (CDT)

NOTA:

Respecto a este ejercicio , me parece que la solucion esta errada, ya que tomando tu resultado:

$w=z^{2}=(x^{2}-y^{2})+2ixy$


Tenemos que:

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$

$v(x,y)=2xy$


Pero con la condicion de que $x=\frac{3}{2}$

$u=\frac{9}{4}-y^{2}$......1

$v=3y$............2


Entonces de 2 sabemos que

$y=\frac{v}{3}$

Y lo sustituimos en 1

$u=\frac{9}{4}-(\frac{v}{3})^{2}=\frac{9}{4}-\frac{v^{2}}{9}$


Entonces finalmente podemos decir que al mapear la recta $x=\frac{3}{2}$, en el plano $uv$ obtenemos la parabola con vertice en $(\frac{9}{4},0)$ e intersecciones en el eje $v$ en los puntos$(0,\pm\frac{9}{2})$

--Fernando Vazquez V. (discusión) 20:33 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 7

En los problemas 1 a 14 determine la imagen del conjunto dado bajo e mapeo $w=z^{2}$

7) El eje maginario positivo

Tenemos que $f(z)=z^{2}$, dado un $z_{0}=0+ai$, donde $0<a<\infty$

\[ f(z_{0})=z_{0}^{2}=(0+ia)^{2}=(ia)^{2}=-a \]


Dado que a solo esta definido de cero a infinito, tenemos que siempre el resultado es negativo, para cualquier punto en el eje imaginario positivo.

Asi la imagen es el eje real negativo.

Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 19:47 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 8

8.- La línea $y=x$

Si $z=x+iy$ entonces:

$w=\left(x+iy\right)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$

$u\left(x,y\right)=x^{2}-y^{2}$; $v\left(x,y\right)=2xy$

Por lo que la imagen del conjunto dado bajo el mapeo anterior será:

$u\left(x,x\right)=x^{2}-x^{2}=0$; $v\left(x,x\right)=2.x.x=2x^{2}$

Por lo que:

$w=2x^{2}$Entonces la línea $y=x$ bajo el mapeo se convertirá en una parábola

ampliada en 2.


--Alejandro Juárez Toribio (discusión) 07:23 30 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 09

In Problems 1\textendash 14, find the image of the given set under the mapping w = z2. Represent the mapping by drawing the set and its image.

traduccion

En los problemas 1-14 , encontrar la imagen del conjunto dado bajo el mapeo w = z$^{2}$ . Representar al mapeo mediante la elaboración del conjunto y su imagen

ejercicio 9

el arco de circulo $\left[z\right]=\frac{1}{2}$ en arco esta entre los angulos $\theta=0,\theta=\pi$

nos piden encontrar el cuadrado de z y su representacion grafica

dado que w = z$^{2}$ tenemos que:

$\left[z^{2}\right]=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$

si utilisamos la forma exponencial tenemos que:

$z^{2}=R^{2}e^{i2\theta}$

si aplicamos esto para los valores inicial y final del arco dado por z tenemos que

para $\theta=0$

$z^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}e^{i20}=\left(\frac{1}{4}\right)$

para $\theta=\pi$

$z^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}e^{i2\pi}=\left(\frac{1}{4}\right)e^{i2\pi}$

por lo que en conclusion tenemos que:

el arco de circulo con radio $\frac{1}{2}$ dado por z , cuando es transformado por $z^{2}$ se convierte en un circulo completo pero de radio redicido a $\frac{1}{4}$

.

Martin Flores Molina (discusión) 22:15 21 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 10

Encuentre la imagen del arco circular $|z|=\frac{4}{3}, \; \frac{\pi}{2}\leq arg(z) \leq \frac{\pi}{6}$ bajo el mapeo $w=z^{2}$. Represente dicho mapeo dibujando el conjunto y su imagen.

En este caso es mucho as sencillo tratar al número complejo en su forma exponencial: \[ z={\frac{4}{3} e^{i \theta}, \; \frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{6}} \] El mapeo lleva a: \[ w=z^{2}={\left(\frac{4}{3}\right)^{2} e^{2 i \theta}, \; \frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{6}} \] dicho de otro modo: \[ w=\frac{16}{9} e^{i \theta}, \; \pi\leq \theta \leq \frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3} \] La siguiente imagen muestra este mapeo, en Azul el arco original, en dorado el arco mapeado. P2.4.10.png


--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:50 22 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 18

Determinar la imagen del conjunto dado bajo la composición dada de una función lineal con la función potencia cuadrada.

La recta $y=-3$;$f(z)=-z^{2}+i$

Es conveniente trabajar con las partes reales e imaginarias de $w=-z^{2}+i$ y puesto que $y=-3$ se tiene entonces que $f(z)=-(x^{2}-9+6xi)+i=-x^{2}+9-5xi$ y separand real de imaginaria tenemos:

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}$y $v(x,y)=2xy$

Y puesto que la recta horizontal $y=-3$la imagen de esta recta se compone de todos lo puntos $w=u+iv$

Entonces $u=x^{2}+9$ y $v=6x$ con $-\infty\leq x\leq\infty$

Rsolviendo y simplificando:

Primero eliminamos parámetro...

$x=\frac{v}{6}$$\Longrightarrow u=\frac{v^{2}}{36}+9$con $-\infty\leq v\leq\infty$

Así la imagen de la recta $y=-3$ bajo $w=-z^{2}+i$ es el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación anterior.


--A. Martín R. Rabelo (discusión) 00:10 26 mayo 2015 (CDT)



Ejercicio 21

Encuentra la imagen del rayo \(arg(z)= \frac{\pi}{6}\) bajo cada uno de los siguientes mapeos

a) \(f_{1}(z_{0})= z^3\)

Visualizando a z en polares tenemos que

\(z=re^{i \theta}\)

Donde el argumento es igual a el angulo incial, el rayo dado tiene la forma \(z_{0}= r e^ {i \frac{\pi}{6}} \), r desde cero al infinito, por lo que al aplicarle el mapeo tenemos que

\(f_{1}(z_{0})= (r e^ {i \frac{\pi}{6}})^2= r^2 e^ {i \frac{\pi}{3}} \)

Donde r va desde el cero al infinito, Por lo tanto la imagen de \(f_{1}(z_{0})= z^3\) es el rayo del \(arg(z_{1})= \frac{\pi}{2}\).


b) \(f_{2}(z_{0})=z^4\)

Realizando el mismo proceso anterior tenemos que

\(f_{2}(z_{0})= (r e^ {i \frac{\pi}{6}})^4= r^4 e^ {i \frac{4 \pi }{6}}\)

Como r puede tomar los valores de cero a infinito, decimos que: la imagen de \(f_{2}(z_{0})=z^4\) es el rayo con un \(arg(z_{2})=\frac{2 \pi}{3}\).

c) \(f_{3}(z_{0})= (r e^ {i \frac{\pi}{6}})^5 = r^5 e^ {i \frac{5 \pi}{6}}\)

Con los incisos (a) y (b), tenemos que la imagen del inciso (c) es el rayo con un \(arg(z_{3})= \frac{5 \pi}{6}\)


--Pablo (discusión) 20:05 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 25

\( z^{1/2} \), \( z=-i \)

Solución

Primero obtenemos las magnitud de "r", y el angulo (argumento) de la expresión de dicho ejercicio:

\[ r=\mid z\mid=\sqrt{\left(0\right)^{2}+\left(-1\right)^{2}}=1 \]

\[ \sin\theta=-\frac{1}{1}=1\Rightarrow\theta=\sin^{-1}\left(-1\right)=-90^{o}=-\frac{\pi}{2} \]

\[ \cos\theta=\frac{0}{1}=0\Rightarrow\theta=\cos^{-1}\left(0\right)=90^{o}=\frac{\pi}{2} \]

Si \( n=2 \), utilizando la función raíz-ésimal \( z^{1/n}=\sqrt[n]{\mid z\mid\exp\left[i\arg\left(z\right)/n\right]} \) , sustituyendo al informacion obtenida se tiene:

\[ z^{1/2}=i^{1/2}=\sqrt{1}\exp\left(i\frac{\pi}{2}/2\right)=\sqrt{1}\exp\left(i\frac{\pi}{4}\right) \]

\[ \exp\left(\frac{\pi}{4}i\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}i\right) \]

\[ \exp\left(\frac{\pi}{4}i\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i \]

Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:58 24 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 26

Encontrar el valor de la función raíz n-esima principal en el valor dado de $z$ Utilizando.

\(z^{1/n}=\sqrt[n]{\mid z\mid}e^{\left[i\arg\left(z\right)/n\right]} \)

\(z^\frac{1}{2}= , z= 2+i\)

lo primero que vamos a definir son los valores siguientes\[\mid z\mid=\sqrt{(2)²+ (1)²}= \sqrt{5}\]

\(Arg(z)= sgn(y)arccos(\frac{x}{\mid z\mid})= +arccos(\frac{2}{\sqrt{5}})= 0.4636\)

\(n=2\)


Ahora sustituyendo tenemos\[z^{1/2}=((5)^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}e^{{\frac{i(0.4636)}{2}}}\]

\((2+i)^{1/2}=(5)^\frac{1}{4}e^{{\frac{i(0.4636)}{2}}} \)

\((2+i)^{1/2}=(5)^\frac{1}{4}[cos(0.4636)+i sin(0.4636)] \)

Por lo cual tenemos\[(2+i)^{1/2}=1.3375+0.6686i \]

--Anahi Limas (discusión) 00:03 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 27

In Problems 25\textendash 30, use (14) to find the value of the given principal nth root function at the given value of z.

traduccion

En los problemas 25 a 30 , use ( 14 ) para encontrar el valor de la función raíz enésima director dada en el valor dado de z.

ejercico 27

$Z^{\frac{1}{3}},z=\text{\textminus}1$

utilisando la forma exponencial para la raiz tenemos

$z=R^{\frac{1}{n}}e^{i\text{\ensuremath{\left(\frac{\Theta+2kpi}{n}\right)}}}$donde k=0 hasta n-1

entonces para el ejercicio tenemos

$z^{\frac{1}{3}}=1^{\frac{1}{3}}e^{i\left(\frac{pi+2kpi}{3}\right)}$


Martin Flores Molina (Usuario discusión:Martin Flores Molina) 20:00 27 mayo 2015 (CDT)



Ejercicio 28

Encontrar el valor de la función raíz $n$-ésima principal en el valor z:

$z^{1/3}$, $z=-3+3i$

Sol.

Para el ánugulo $\theta = Arg(z)$ se tiene que para la raíz principal $n$-ésima ($n=3$):

$-\dfrac{\pi}{3}<\theta \leq \dfrac{\pi}{3}$

Así, $\theta =\tan^{-1}\frac{y}{x}=\tan^{-1}\frac{3}{-3}=\tan^{-1}(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$.


Por lo que cumple que $-\dfrac{\pi}{3}<-\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{3}$ y así $Arg(z) =-\dfrac{\pi}{4}$.


La magnitud de $z$, $|z|=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$


Aplicando la fórmula para la raíz principal:


$z^{1/3}=(3\sqrt{2})^{1/3}e^{-(i\pi/4)/3}=1.618e^{-(i\pi/12)}=1.618(\cos \frac{\pi}{12}-i\sin \frac{\pi}{12})$


$z^{1/3}=1.562-i0.418$


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:20 21 mayo 2015 (CDT)


metodo alternativo

Una forma alternativa de resolver este problema seria considerando que si $Arg(z)=\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}=\tan^{-1}\frac{3}{-3}=\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}$

Como $x<0$ entonces podemos considerar que $\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}+\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}$

Con $n=2$ y $r=3\sqrt{2}$

$z^{1/3}=(3\sqrt{2})^{1/3}exp(\frac{i3\pi}{4})(\frac{1}{3})=(3\sqrt{2})^{1/3}exp(\frac{i\pi}{4})$


$z^{1/3}=(3\sqrt{2})^{1/3}[\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}]$


$z^{1/3}=1.144+1.144i$

Miguel Medina Armendariz (discusión) 17:43 24 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 29

Encuentre el valor de la función raíz $n$-ésima principal en el valor dado de $z$


$z^{1/4}$, $z=-1+\sqrt{3}i$


Solucion


Para $z=-1+\sqrt{3}i$ tenemos que $r=2$ y $Arg(z)=\frac{-\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$


Sustituyendo en $z^\frac{1}{n}=r^\frac{1}{n} exp(\frac{i\theta}{n})$


donde $\theta=\frac{2\pi}{3}$ con $n=4$, tenemos


$(-1+\sqrt{3}i)^\frac{1}{4}=2^\frac{1}{4} exp(\frac{i2\pi}{3})(\frac{1}{4})=2^\frac{1}{4} exp(\frac{i\pi}{6})$


$(-1+\sqrt{3}i)^\frac{1}{4}=2^\frac{1}{4}[\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}]$


$(-1+\sqrt{3}i)^\frac{1}{4}=2^\frac{1}{4}[\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i]$


Finalmente obtendriamos que


$(-1+\sqrt{3}i)^\frac{1}{4}=1.029+0.594i$


Miguel Medina Armendariz (discusión) 02:39 22 mayo 2015 (CDT)



tu ejercicio esta adecuado exsepto por una cuestion, tu formula para determinar raices en el argumento no solo deves contemplar el denominador n; sino que tambien necesitas contemplar que en el numerador deves indicar un segundo termino de este modo

\[ z^{\frac{1}{n}}=R^{\frac{1}{n}}\left(cos\left(\frac{\theta+2kpi}{n}\right)+isen\left(\frac{\theta+2kpi}{n}\right)\right) \]


donde n es el numero de la raiz y k esta evaluado $k=n-1$

de este modo garantisas obtener todas lars raices que le corresponden la radicar

te piden la raiz cuarte por lo que tu deves dar 4 raices de ese numero de las cueles probablemente sean dos diferentes y dos de sus conjugadas

Martin Flores Molina (discusión) 10:20 23 mayo 2015 (CDT)


Estoy de acuerdo contigo Miguel, pues solo piden la raiz cuarta, y con la siguiente igualdad se determina:

$z^{1/n}=r^\dfrac{1}{n}e^{(i\theta/n)}$

No es necesario obtener las otras raices. Nancy Martínez Durán (discusión) 06:50 24 mayo 2015 (CDT)



Ejercicio 30

Encontrar el valor de la función raíz $n$-ésima principal en el valor z:

$z^{1/5}$, $z=-4\sqrt{3}+4i$

Solución:

Primero se obtiene el módulo de "z" y el argumento ($\theta = Arg(z)$)

$r=|z|=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8$


Así, $\theta =\tan^{-1}(\frac{y}{x})=\tan^{-1}\frac{1}-\sqrt{3}=-\dfrac{\pi}{6}$.


Aplicando la fórmula para la raíz principal:

$z^{1/n}=r^\dfrac{1}{n}e^{(i\theta/n)}$

Donde: $n=5$

$z^{1/5}=8^\dfrac{1}{5}e^{-(i\pi/30)}=1.515e^{-(i\pi/30)}=1.515(\cos \frac{\pi}{30}-i\sin \frac{\pi}{30})$

$z^{1/5}=1.506-i0.158$

Nancy Martínez Durán (discusión) 06:33 24 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 35

Determine la imagen del conjunto dado bajo el mapeo de la raíz cuadrada principal de $w= z\dfrac{1}{2}$ represente el mapeo dibujando el conjunto y su imagen

El arco $|z|= 9, \dfrac{-\pi}{2} \leq arg (z) \leq \pi$


Definiendo en terminos de w

\[ w= \sqrt{|z|}\]

\[ |w| = 3\]


Para el argumento de z en w

\[ Arg (w) = \dfrac{1}{2} arg (z)\]

\[ \dfrac{-\pi}{4} \leq arg \dfrac{\pi}{2}\] --Esther Sarai (discusión) 22:42 27 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 36

Determine la imagen del conjunto dado bajo el mapeo de la raíz cuadrada principal de $w= z^{1/2}$ represente el mapeo dibujando el conjunto y su imagen.


El arco $|z|= \frac{4}{7}, \dfrac{-\pi}{2} \leq arg (z) \leq \dfrac{\pi}{4}$

$Solución:$

Sea $S'$ la imagen de $S$ bajo $w=z^{1/2}$

Ya que $|z|= \frac{4}{7}$ para puntos en $S$ y puesto que $z^{1/2}$ toma la raíz: $|w|=\sqrt{\frac{4}{7}}$, para puntos $w$ en $S'$

Además, ya que $\dfrac{-\pi}{2} \leq arg (z) \leq \dfrac{\pi}{4}$ para puntos en $S$ y ya que $z^{1/2}$ divide en dos el argumento de un punto, se tiene que:

$\dfrac{-\pi}{4} \leq arg (w) \leq \dfrac{\pi}{8}$

Eje2.4.36.png


Eje2.4.36b.png



--Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:38 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 49

(a) De acuerdo al ejemplo 6, muestra que la función $f(z)=az+b,a\neq0$ es uno-uno en el plano complejo.

(b) Encuentra una fórmula para la función inversa de (a)

Solución:

(a) Sean: $f(z_1)=az_1+b$ y $f(z_2)=az_2+b$. Supongamos que $f(z_1)=f(z_2)$, entonces:

$az_1+b=az_2+b\Longleftrightarrow (az_1+b)-b=(az_2+b)-b\Longleftrightarrow (\frac{1}{a})az_1=(\frac{1}{a})az_2\Longleftrightarrow z_1=z_2$. Por lo tanto $f(z)=az+b,a\neq0$ es uno-uno .

(b) $w=az+b\Longleftrightarrow w-b=az \Longleftrightarrow \frac{w-b}{a}=z$. Por lo tanto $f^{-1}(z)=\frac{z-b}{a}$.

Comprobación: $f\circ f^{-1}(z)=f(f^{-1}(z))=a(\frac{z-b}{a})+b=(z-b)+b=z$

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 21:38 29 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 50

a) demuestre que la función lineal compleja $f(z)=\frac{a}{z}+b,\;a\neq0$ , es univoca en el conjunto $\Vert z\Vert>0$

b) determine una formula para la función inversa de la función en a)

una función es univoca (inyectiva) si cada punto $w$ en el rango de $f$ es la imagen de un único punto $z$ es decir $f$es univoca si $f(z_{1})=f(z_{2})\iff z_{1}=z_{2}$

si $f$ es una función compleja univoca con dominio A y rango B, entonces, la función inversa de $f$ es la función con dominio B y rango A definida por $f^{-1}(z)=w\:si\:f(w)=z$

$f$ es univoca si $f(z_{1})=f(z_{2})\iff z_{1}=z_{2}$

a) $f(z)=\frac{a}{z}+b,\;a\neq0$

si $f(z_{1})=\frac{a}{z_{1}}+b,\;a\neq0,\Vert z_{1}\Vert>0\:y\:f(z_{2})=\frac{a}{z_{2}}+b,\;a\neq0,\Vert z_{2}\Vert>0\;supongamos\;que\;f(z_{1})=f(z_{2})\iff z_{1}=z_{2}$

entonces $\frac{a}{z_{1}}+b=\frac{a}{z_{2}}+b\iff\Vert z_{1}\Vert=\Vert z_{2}\Vert>0\therefore f(z)=\frac{a}{z}+b,\;a\neq0\;es\;univoca$

b) si $z=f(w)$ tenemos

$z=\frac{a}{w}+b$, asi $\frac{a}{w}=z-b\iff w=\frac{a}{z-b},(z-b)\neq0,z\neq b$ de aquí $f^{-1}(z)=\frac{a}{z-b}\:entonces\:f(f^{-1}(z))=\frac{a}{\frac{a}{z-b}}+b=\frac{a(z-b)}{a}+b=z-b+b=z$

por lo tanto se concluye que los mapeos son uno a uno como se esperaba.

--Francisco Medina Albino (discusión) 00:39 30 mayo 2015 (CDT)