Compleja:Zill-Cap1.5

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Ejercicios del capítulo 1, sección 5 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.



Sección 1.5

Ejercicio 1

Sketch the graph of the given equation in the complex plane

$1.-\left|z-4+3i\right|=5$

$2.-$$\left|z+2+2i\right|=2$

$8.-Im(z-i)=Re(z+4-3i)$

$11.-Re(z^{2})=1$

Solución:

1.-

Tomando a $z=x+iy$

$\left|x+iy-4+3i\right|=5$

$\left|(x-4)+i(y+3)\right|=5$

De la definición de norma $\left|a+ib\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, se tiene:

$\sqrt{(x-4)^{2}+(y+3)^{2}}=5$

Es decir.

$(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=25$

Que describe una circunferencia de radio $r=5$ y centro $(4,-3)$.


2.-

$\left|z+2+2i\right|=2$

De forma analoga al ejercicio anterior se puede escribir:

$\left|x+iy+2+2i\right|=2$

$\left|(x+2)+i(y+2)\right|=2$

Empleando la definicion de norma:

$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=4$

Que describe una circunferencia de radio $r=2$ y centro en $(-2,-2)$


8.-

$Im(z-i)=Re(z+4-3i)$

$Im(x+(y-1)i)=Re((x+4)+(y-3)i)$

$y-1=x+4$

$x-y+4+1=0$

$x-y+5=0$

Recta


11.-

$Re(z^{2})=1$

Sea $z=x+iy$, se tiene que $z^{2}=x^{2}-2xyi-y^{2}$

Por lo que

$Re(z^{2})=Re((x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}$

Finalmente se tiene

$x^{2}-y^{2}=1$

Una hipérbola equilatera centrada en el origen.


Resuelto por:--Luis Santos (discusión) 12:41 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 3

In Problems 1\textendash 12, sketch the graph of the given equation in the complex plane.

traduccion

En los problemas 1-12 , trace la gráfica de la ecuación dada en el plano complejo .

ejercicio 3

\[ 3.|z+3i|=2 \]


solucion

\[ Tomandoz=x+iy \]


\[ |x+iy+3i|=2 \]


de la definicion de norma $|a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ tenemos

\[ \sqrt{\left(x\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}}=2 \]


elecando todo al cuadrado tenemos

\[ \left(x\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}=4 \]


Que describe una circunferencia de radio r=2 y centro (0,\textminus 3).

Resuelto por:--Martin Flores Molina (discusión) 16:15 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 4

circunferencia.

Bosquejar gráfico de la ecuación dada en el plano complejo.

4.$|2z-1|=4$

Definiendo a z como $z=a+bi$ por la definición tenemos que $|2(a+bi)-1|=4$

Entonces :

$|2a-1+2bi|=4$

Entonces sabiendo que $|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Tenemos que:

$\sqrt{(2a)^{2}+(2b)^{2}}=4\Longrightarrow(2a)^{2}+(2b)^{2}=16$

Que es la ecuación que representa un círculo fuera del origen. --A. Martín R. Rabelo (discusión) 17:50 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 7

7.-

$Im\left(\bar{z}+3i\right)=6$

Si $z=x+iy$ entonces:

$Im\left(\bar{z}+3i\right)=Im\left(x-iy+3i\right)=3-y=6$

Por lo que $y=-3$

A continuación se muestra una gráfica de la parte imaginaria de la primera ecuación mostrada:

Captura de pantalla 2015-05-19 a la(s) 18.41.46.png


Resuelto por:

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 18:57 19 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 33

On page 31 we stated that if $\rho_{1}>0$, then the set of points satisfying $\rho_{1}<|z-z_{0}|$ is the exterior to the circle of radius $\rho_{1}$ centered at $z_{0}$ . In gen- eral, describe the set if $\rho_{1}=0$. In particular, describe the set defined by $|z+2-5i|>0$.

$\rho_{1}=0$ $\Rightarrow$ $|z-z_{0}|>0$ si $z=z_{0}$ $\Rightarrow|0|>0$ lo cual carece sentido.

La condicion se cumple para cualquier par de numeros distintos complejos, el conjunto de puntos es todo el plano complejo salvo un punto, $z_{0}$, podemos acercarnos todo lo que queramos, pero no podemos llegar a tocar $z_{0}$, si asi fuera tendriamos incongruencias.

Ahora bien, bajo el caso particular \[ |z+2-5i|>0 \]


llevandolo a la forma $|z-z_{0}|>0$, tendriamos que $z_{0}=-2+5i$

De acuerdo a lo dicho anteriormente, el conjunto de puntos que cumplen con esa condicion es todo el plano complejo, salvo un punto en ese caso $z_{0}=-2+5i$, podemos acercarnos todo lo que queramos, pero no tocarlo.

Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 01:49 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 35

Usando notación compleja y desigualdades en las partes a) y b):

a) Hacer una lista de cinco conjuntos del plano complejo que sean conectados.

b) Hacer una lista de cinco conjuntos del plano complejo que sean no-conectados.


a) Para los conectados tenemos:

$0<|z|<\rho$; $\rho \epsilon R$


$|z-z_0|\leq \rho$ con $z_0=a+ib$


$|z-z_0|>\rho$


$\beta \leq |z-z_0|<\rho$; $\beta \epsilon R$


$4<Re(z)\leq 5$


b) Para los no-conectados:

Para todo número $z$ que satisfaga las siguientes condiciones;

$Re(z)\neq \rho$; $\rho \epsilon R$


$Im(z)\neq \rho$


$|z-(1-2i)|\leq 5 \cup |z-(7+23i)|<1$


$Re(z)\leq 2 \cup |z-(5+i)|<0.01$


$Im(z)>-1 \cup |z-(3-5i)|<0.1$

Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 14:35 15 mayo 2015 (CDT)


Ejercicio 40

Describa el conjunto ashuradado en la siguiente figura: P1.5.40.png

Se ve que la magnitud del número complejo esta entre r y R, es decir: \[ z:r \leq |z|\leq R \] Y que además el argumento va de 0 a $\pi$ \[ z:0\leq Arg\left(z\right)\leq\pi \] O bien la parte real es positiva \[ z:Re\left(z\right)\geq0 \] Es decir: \[ \left\{z:r\leq|z|\leq R \:\: AND \:\: Re\left(z\right)\geq0 \right\} \]

Ó

\[ \left\{z:r\leq|z|\leq R \:\: AND \:\: 0\leq Arg\left(z\right)\leq\pi \right\} \] --Tlacaelel Cruz (discusión) 20:31 19 mayo 2015 (CDT)