Compleja:Zill-Cap2.7

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Ejercicios del capítulo 2, sección 7 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.



Sección 2.7

Ejercicio 11

(a) Determine las lineas de corriente del flujo en el plano asociado con la función compleja dada $f$ y (b ) dibuje las lineas de corriente 11. $f(z) = iz$

Definimos la función \[ f(z) = i(x+iy) = ix-y\]

Las ecuaciones diferenciales son:

\[ \dfrac{dx}{dt}= -y\]

y \[ \dfrac{dy}{dt}= x\]


Por regla de la cadena obtenemos la diferencial $ \dfrac{dy}{dx}$

\[ \dfrac{dy}{dx}= \dfrac{x}{-y}\]

Acomodamos la ecuación diferencial en la forma $M (x,y) dx + N(x,y) dy= 0$

\[ xdx+ ydy=0\]

Para encontrar la función F $\dfrac{\partial F}{\partial x}= M$ Y $ \dfrac{\partial F}{\partial y} = N$

\[ \dfrac{\partial F}{\partial x}= 1\] \[ \dfrac{\partial F}{\partial y}= 1\]

Primero integramos parcialmente a $M (x,y) dx$

\[ F(x,y) = \int {x} dx=\dfrac{x^{2}}{2} + g(y) (a) \]

Ahora derivamos parcialmente $ \dfrac{\partial F}{\partial y} = N (x,y)$

\[ \dfrac{\partial F}{\partial y} = g´(y)\]

Igualando la ecuación (a) con $N(x,y)$

\[ \dfrac{x^{2}}{2} + g´(y)= y\] \[ x^{2} + g´(y)= 2y (b)\]

Integrando la ecuacion (b)

\[ g(y)= x^{2}+y^{2}\]

\[ c= x^{2}+y^{2}\]