Compleja:Zill-Cap2.6

Ejercicios del capítulo 2, sección 6 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 2.6

Ejercicio 1

Calcular el limite con las propiedades y teorema 2.6.1

$\underset{z\rightarrow2i}{lim}\left(z^{2}-\bar{z}\right)$

Procedimiento

Sean $z=x+iy$ donde $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ y $\bar{z}=x-iy$ e $i^{2}=-1$

Entonces tenemos

$f\left(z\right)=x^{2}-x-y^{2}+2ixy+iy$

Solución

Calculando el limite tenemos

$\underset{x,y\rightarrow0,2}{lim}x^{2}-x-y^{2}+i(2xy+y)=-\left(2\right)^{2}+i\left(2\right)=-4+2i$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 20:01 28 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Calcular el limite con las propiedades y teorema 2.6.1.

$\lim_{z\rightarrow1+i}(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}})$

Procedimiento

Utilizando los teoremas lo podemos reescribir como:

$(\frac{\lim_{z\rightarrow1+i}z-\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}}{\lim_{z\rightarrow1+i}z+\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}})$

Solución

Y finalmente resolviendo:

$(\frac{\lim_{z\rightarrow1+i}z-\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}}{\lim_{z\rightarrow1+i}z+\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}})=\frac{1+i-1-i}{1+i+1-i}=\frac{2i}{2}=i$

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Fernando Vazquez V. (discusión) 20:08 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

Utilizar el teorema 2.6.1 y las propiedades de los limites reales de la página 104 para calcular el límite complejo dado.

$lim_{z\longrightarrow1-i}(|z|^{2}-i\bar{z})$

Procedimiento

primero tomamos en cuenta que $z=x+iy$ , entonces hacemos:

$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$

$i\bar{z}=i(x-iy)=xi-i^{2}y=y+xi$

por lo tanto tenemos que

$|z|^{2}-i\bar{z}=(x^{2}+y^{2})-(y+xi)=(x^{2}+y^{2}-y)-i(x)$

$u(x,y)=x^{2}+y^{2}-y$

$v(x,y)=x$

por propiedades de los límites podemos hacer esto

$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}u(x,y)=(x^{2}+y^{2}-y)-lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}v(x,y)=(x)$

$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}(x^{2}+y^{2}-y)=1+1-(-1)=1+1+1=3$

$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}(x)=1$

por lo tanto

$[lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}u(x,y)=(x^{2}+y^{2}-y)-lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}v(x,y)=(x)]=3-i$

Solución

entonces

$lim_{z\longrightarrow1-i}(|z|^{2}-i\bar{z})=3-i$

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Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:01 29 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Utilizar el teorema 2.6.1 y las propiedades de los límites reales para calcular el límite complejo dado.

$\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{Im(z^{2})}{z+Re(z)}$

Procedimiento

Primero hacemos $z=x+yi$ y resolvemos para que quede de la forma. $a+bi$

$\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{Im(z^{2})}{z+Re(z)}=\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{2xyi}{2x+yi}=\underset{z\rightarrow3i}{lim}(\frac{2xyi}{2x+yi})(\frac{2x-yi}{2x-yi})=\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{4x^{2}yi+2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}$

Ahora identificamos $u(x,y)=\frac{2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}$ y $v(x,y)=\frac{4x^{2}y}{4x^{2}+y^{2}}$ y hacemos límite por separado, como sigue:

$u_{0=}\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{2(0)(3)^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=0$

$v_{0}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{4x^{2}y}{4x^{2}+y^{2}}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{4(0)^{2}(3)}{4(0)^{2}+(3)^{2}}=0$

Solución

Por lo tanto, de la definición tenemos que $L=u_{0}+iv_{0}$ . Entonces:

$L=0+i0=0$

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A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:28 29 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Use el teorema 2.1 y las propiedades de los límites reales de la página 115 a calcular el límite complejo dado.

$lim_{z\longrightarrow i\pi}\left (e^z \right )$

Procedimiento

Usando la expansión de la exponencial compleja, tenemos:

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\left [ \cos y+i \sin y \right ]$

Solución

Aplicando esto a el limite requerido tenemos:

$\lim_{(x,y)\longrightarrow (0,\pi)}e^{x}\left [ \cos y +i \sin y \right ]=e^{0}\left [ \cos(\pi)+i\sin(\pi) \right ]=e^{0}(-1+i0)=-1$

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Martin Flores Molina (discusión) 13:10 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 9

Calcule el limite complejo dado

$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)$

Procedimiento

$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$

Ademas para $z_{0}=2-i$

Solución

$f(z_{0})=f(2-i)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$

$\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=1-3i$

Ya que $\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=f(z_{0})$

Concluimos que $f(z)=z^{2}-z$ es continua el punto $2-i$

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Miguel Medina Armendariz (discusión) 03:07 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Calcule el limite complejo $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2}+z)$

Procedimiento

Para calcular este limite es necesario saber que $\underset{z\rightarrow{z0}}{lim}z=z0)$

Así utilizando las propiedades de limites, tenemos que;

${\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z^{5}-z^{2+}+z)={\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z){\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z){\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z){\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z){\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z)-{\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z){\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z)+{\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z)$

Así calculando el limite $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}z=i$ obtendremos que;

${\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z^{5}-z^{2+}+z)=(i)(i)(i)(i)(i)-(i)(i)+(i)$

Solución

Así resolviendo tendremos finalmente que;

${\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}(z^{5}-z^{2+}+z)=i+1+i=1+2i$

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Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 22:25 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

${\underset {z\rightarrow z_{0}}{lim}}({\frac {(az+b)-(az_{0}+b)}{z-z_{0}}})$

Procedimiento

Evaluando el límite

${\underset {z\rightarrow z_{0}}{lim}}({\frac {(az+b)-(az_{0}+b)}{z-z_{0}}})={\frac {(a(z_{0})+b)-(az_{0}+b)}{(z_{0})-z_{0}}}={\frac {0}{0}}$

Lo cual no es una indeterminación pero podría existir algún límite, por lo tanto descompondremos la ecuación para encontrar el límite

${\underset {z\rightarrow z_{0}}{lim}}({\frac {(az+b)-(az_{0}+b)}{z-z_{0}}})={\frac {(az+b)-(az_{0}+b)}{z-z_{0}}}={\frac {az-az_{0}+b-b}{z-z_{0}}}={\frac {a(z-z_{0})}{z-z_{0}}}=a$

Solución

Por lo tanto el límite de esta función está dado por

${\underset {z\rightarrow z_{0}}{lim}}({\frac {(az+b)-(az_{0}+b)}{z-z_{0}}})=a$

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Pablo (discusión) 09:50 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 19

Considere el limite $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2},$

donde $z^{c}$es $z$ conjugado

a)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo del eje real?

b)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo del eje imaginario?

c)¿Las respuestas a) y b) implican que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe? Explique.

d)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo de la recta $y=x$ ?

e) ¿Que puede decir acerca de $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}?$

Inciso a

suponga que $z=x+iy=(x,y)$ (en el plano complejo) entonces $z^{c}=x-iy=(x,-y)$

así

a) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0))}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$

Inciso b

b) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$

Inciso c

c) esto no quiere decir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe ya que solo hemos comprobado que existe aproximándose por 2 trayectorias.

Inciso d

d) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\frac{2}{-2}=-1$

Inciso e

e) así podemos concluir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}=no\;existe$

ya que si $f$ tiende a dos números complejos $l_{1}=l_{2}$a lo largo de 2 diferentes curvas o trayectorias que pasan por $z_{0}$, entonces$\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z_{0})$ no existe.

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Francisco Medina Albino (discusión) 00:03 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Calcule el siguiente límite complejo ${\underset {z\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {z^{2}+iz-2}{(1+2i)z^{2}}}$.

Procedimiento

Por medio de ${\underset {z\rightarrow \infty }{\lim }}f(z)=w_{0}\Longleftrightarrow {\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}f\left({\frac {1}{z}}\right)=L$, entonces

${\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\left({\frac {1}{z}}\right)^{2}+i\left({\frac {1}{z}}\right)-2}{(1+2i)\left({\frac {1}{z}}\right)^{2}}},$

factorizando y reduciendo términos se tiene

${\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\left({\frac {1}{z}}\right)^{2}\left(1+iz-2z^{2}\right)}{(1+2i)\left({\frac {1}{z}}\right)^{2}}},$

${\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {1+iz-2z^{2}}{1+2i}},$

evaluando el valor del límite $z\rightarrow 0$ se tiene

${\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {1+iz-2z^{2}}{1+2i}}={\frac {1+i(0)-2(0)^{2}}{1+2i}}={\frac {1}{1+2i}}*{\frac {1-2i}{1-2i}}={\frac {1-2i}{\left(1\right)^{2}-\left(4i\right)^{2}}}={\frac {1-2i}{5}}.$

Solución

Por lo tanto, el ${\underset {z\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {z^{2}+iz-2}{(1+2i)z^{2}}}={\frac {1}{5}}-{\frac {2i}{5}}$.

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 12:53 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 22

Encontrar el limite al infinito dado haciendo uso del teorema 2.2

$\lim_{z \to \infty}\frac{iz+1}{2z-i}$

Procedimiento

Para resolver el limite es necesario hacer uso de la definición:

$\lim_{z \to \infty} f(z) = L$ $\leftrightarrow$ $\lim_{z \to 0} f(\frac{1}{z}) = L$

Entonces al aplicar la definición al limite tenemos

$\lim_{z \to 0} \frac{\frac{i}{z} + 1}{\frac{2}{z}-i}$

multiplicamos el segundo miembro de cada parte de la función por un uno, así tenemos la siguiente expresión

$=\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i}{z} + \frac{z}{z}}{\frac{2}{z} - \frac{iz}{z}} =\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i+z}{z}}{\frac{2-iz}{z}}$

Solución

Desarrollando

$=\lim_{z \to 0}\frac{z(i+z)}{z(2-iz)}=\lim_{z \to 0}\frac{i+z}{2-iz}=\frac{\lim_{z \to 0}(i+z)}{\lim_{z \to 0}(2-iz)} = \frac{i}{2}$

Al evaluar el limite nos da un valor complejo final.

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Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 00:38 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 25

Calcule el siguiente límite complejo ${\underset {z\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {z^{2}-\left(2+3i\right)z+1}{iz-3}}$.

Procedimiento

Por medio de ${\underset {z\rightarrow \infty }{\lim }}f(z)=w_{0}\Longleftrightarrow {\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}f\left({\frac {1}{z}}\right)=L$, entonces

${\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {\left({\frac {1}{z}}\right)^{2}-\left(2+3i\right)\left({\frac {1}{z}}\right)+1}{i\left({\frac {1}{z}}\right)-3}},$

reduciendo se tiene

${\underset {z\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {{\frac {1}{z^{2}}}-\left(2+3i\right){\frac {1}{z}}+1}{i-3}}={\frac {{\frac {1}{0}}-(2+3i){\frac {1}{0}}+1}{0-3}}=\infty .$

Solución

Por lo que ${\underset {z\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {z^{2}-\left(2+3i\right)z+1}{iz-3}}=\infty .$

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 12:56 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 26

Calcule el límite de la función, usando los teoremas adecuados.

$\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}$

Procedimiento

$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)(z-i)}{(z-i)(z+i)+(z-i)} \right )$

Simplificando:

$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)(z-i)}{(z-i)\left [(z+i)+1 \right ]} \right )$

$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)}{\left [(z+i)+1 \right ]} \right )$

$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)}{\left [(z+i)+1 \right ]} \right )=\frac{i+i}{i+i+1}=\frac{2i}{2i+1}\frac{2i-1}{2i-1}=\frac{4}{5}+i\frac{2}{5}$

Solución

Por lo tanto:

$\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}=\frac{4}{5}+i\frac{2}{5}$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 27

Demuestre que la función $f$ es continua en el punto dado.

$f(z)= z²-iz+3-2i$

$z_0 = 2-i$

Procedimiento

Para saber si es continua debemos encontrar los valores para $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ y $ f(z_0)$, y comprobar que ambos valores son iguales.

por lo cual tenemos:

$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow 2-i} (z²-iz+3-2i)$= $(2-i)² - i (2-i)+3-2i$ =$(4-4i-1)-2i+i^{2}+3-2i=3-4i-1-2i+3-2i=5-8i$

Conclusión

Ademas, para $z_0=2-i$ tenemos:

$f(z_0)=f(2-i)$=$(2-i)² - i (2-i)+3-2i$=$5-8i$

Al comparar ambos resultados vemos que son iguales, por lo cual concluimos que la función en el punto $z_0=2-i$ es continua.

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 29

Demostrar que la funcion $ f $ es continua en el punto dado.

$ f(z)=\frac{z^3}{z^3+3z^2+z} $

Y $ z_{0}=i $

Procedimiento

Para que una función sea continua en un punto ($ z_{o} $), tiene que cumplir con el siguiente criterio:

(i) = $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ Exista

(ii) = $f(z_0)$ Este definida

(iii) = $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)=f(z_0)$

Entonces:

$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{z^3}{z^3+3z^2+z}$

=$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{-i}{-i-3+i}$ =$\frac{i}{3}$

Ademas la función evaluada:

$f(z_0)=f(i)$=$\frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\frac{i}{3}$

Conclusión

Como:

$\lim\limits_{z\rightarrow i} f(z)=f(i)=\frac{i}{3}$

Por lo tanto la función es continua en el punto $ z_{0}=i $

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Nancy Martínez Durán (discusión) 08:40 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 33

Demuestre que la función $“f(z)”$ es continua en el punto dado.

Procedimiento

$f(z)={\bar {z}}-3\mathbb {R} (z)+i$

$z_{0}=3-2i$

Solución

${\underset {z\rightarrow z_{0}}{\lim }}f(z)={\underset {z\rightarrow 3-2i}{\lim }}{\bar {z}}-3\mathbb {R} (z)+i=(3+2i)-3(3)+i=-6+3i$

Conclusión

ya que ${\underset {z\rightarrow z_{0}}{\lim }}f(z)=f(z_{0})$, concluímos que $f(z)={\bar {z}}-3\mathbb {R} (z)+i$ es continua en el punto $z_{0}=3-2i$.

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:59 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 45

Utilice el teorema 2.6.1 para demostrar que:

a) $lím_{z\rightarrow z_0} c=c$ donde $c$ es una constante.

b) $lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$

Procedimiento

a) Definimos la función de variable compleja $f(z)=c$ con $c=a+ib$ como una constante compleja, entonces su parte real e imaginaria evaluada en $z_0=x_0+iy_0$ es:

$u(x_0,y_0)=a$, $v(x_0,y_0)=b$

Por otro lado, tenemos que $f(z)=c=a+ib$ con $u(x,y)=a$ y $v(x,y)=b$ como su parte real e imaginaria respectivamente, entonces al aplicar límite a $z_0=x_0+iy_0$:

$lím_{z\rightarrow z_0}f(z)=lím_{z\rightarrow z_0}c=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}[u(x,y)+iv(x,y)]$

Evaluando límites en su parte real e imaginaria:

$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}a=a$

$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}b=b$

Conclusión

Dado que $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=a$ y $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=b$, por el teorema 2.6.1 podemos concluir que:

$lím_{z\rightarrow z_0}c=c$

Procedimiento

b) Si escogemos la variable compleja $z=x+iy$ y definimos la función de variable compleja $f(z)=z$ con $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=y$, su parte real e imaginaria evaluadas en $z_0=x_0+iy_0$ son:

$u(x_0,y_0)=x_0$, $v(x_0,y_0)=y_0$

Si $f(z)=z$, al aplicar límite a $z_0=x_0+iy_0$:

$lím_{z\rightarrow z_0}f(z)=lím_{z\rightarrow z_0}z=lím_{z\rightarrow z_0}(x+iy)$

Evaluando límites en las partes real e imaginaria:

$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}x=x_0$

$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}y=y_0$

por lo que de igual manera, al igualar:

$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=x_0$

$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=y_0$

Conclusión

por el teorema 2.6.1 podemos concluir que:

$lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$

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Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 01:25 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 46

Utilice el Teorema 2.6.1 para demostrar que $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}} $

Teorema 2.6.1 

Suponga que $f(z) = u(x,y) + i v(x,y),z_{0} = x_{0} + iy_{0} y L = u_{0} + i v_{0}. Entonces \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z) = L$ Si y solo si \[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y{0})} u(x.y) = u_{0} y \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} v(x,y) = v_{0}\]

Procedimiento

Sabemos que $\overline {z} = ( x -iy)$ tomando un punto $\overline {z_{0}}$ = $(x_{0} + iy{0})$

De acuerdo con la función \[ f(z) = u(x,y) + i v(x,y)\]

separamos a \[ \overline {z}\]

\[ u(x,y)= x \]

\[ v(x,y) = y\]

Calculando sus limites

\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} x= x{0}\]

\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} -y= -iy_{0}\]

Conclusión

Entonces \[ \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}}\]

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Esther Sarai (discusión) 21:25 28 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai

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Ejercicio 47

Utilice el Teorema 2.6.1 y el problema 46 para demostrar que

(a)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)=Re(z_{0})}$

(b)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)}=Im(z_{0})$

(c)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|=|z_{0}|}$

Inciso a

Considerando a $z=x+iy$ tenemos que el${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}x=}}{\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}x}$

Como el limite solo depende de la variable x tenemos lo siguiente

\[ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}}=x_{0}=Re(z_{0}) \]

Inciso b

b) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}y={\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}y}}}$

Como el limite solo depende de y, tenemos que

\[ {\displaystyle \lim_{y\rightarrow y_{0}}y=y_{0}}=Im(z_{0}) \]

Inciso c

c) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}={\displaystyle \lim_{(x,z)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$

Así, tenemos que

${\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=|z_{0}|}$

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Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:55 31 mayo 2015 (CDT)

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