Compleja:Zill-Cap4.1
Ejercicios del capítulo 4, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Y algunos ejercicios adicionales sobre la exponencial compleja
Sección 4.1
Ejercicio 1
Encuentre la derivada $f'(z)$ de la función $f(z)$. \[ f(z)=z^2 \, e^{z+i} \]
Procedimiento
\[ f'(z)=\frac{d\,(z^2 \, e^{z+i})}{d\, z}=z^2 \,\frac{d\,(e^{z+i})}{d\, z}+e^{z+i}\,\frac{d\,(z^2)}{d\, z}=z^2 \,e^{z+i}\,\frac{d\,(z+i)}{d\, z}+e^{z+i}\,2z\,\frac{d\,(z)}{d\, z}=z^2 \,e^{z+i}+2z\,e^{z+i} \]
\[ f'(z)=e^{z+i}\,(z^2+2z) \]
Este es el método más directo pero es equivalente a calcular cualquiera de las parciales respecto a la parte real (x) o la imaginaria (y).
\[ f'(z)=f'(x+iy)=\frac{\partial\,(z^2 \, e^{z+i})}{\partial\, x}=z^2 \,\frac{\partial\,(e^{z+i})}{\partial\, x}+e^{z+i}\,\frac{\partial\,(z^2)}{\partial\, x}=z^2 \,e^{z+i}\,\frac{\partial\,(z+i)}{\partial\, x}+e^{z+i}\,2z\,\frac{\partial\,(z)}{\partial\, x}=(z^2 \,e^{z+i}+2z\,e^{z+i})\,\frac{\partial\,(z)}{\partial\,x} \] Recordemos que: \[ \frac{\partial\,z}{\partial\,x}=\frac{\partial\,(x+iy)}{\partial\,x}=1 \] Luego entonces: \[ f'(z)=e^{z+i}\,(z^2+2z) \]
El procedimiento es análogo cuando lo hacemos con iy.
\[ f'(z)=f'(x+iy)=\frac{\partial\,(z^2 \, e^{z+i})}{\partial\, (iy)}=z^2 \,\frac{\partial\,(e^{z+i})}{\partial\, (iy)}+e^{z+i}\,\frac{\partial\,(z^2)}{\partial\, (iy)}=z^2 \,e^{z+i}\,\frac{\partial\,(z+i)}{\partial\, (iy)}+e^{z+i}\,2z\,\frac{\partial\,(z)}{\partial\, (iy)} \] Recordemos que: \[ \frac{\partial\,(z)}{\partial\,(iy)}=\frac{\partial\,(x+iy)}{\partial\,(iy)}=1 \]
Solución
Luego entonces: \[ f'(z)=e^{z+i}\,(z^2+2z) \]
Elaborado por Tlacaelel Cruz (discusión) 21:46 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Encuentra la derivada de la función $f$ dada
$f(z) = \frac{3e^{2z} - ie^{-z}}{z^3 - 1 + i}$
Procedimiento
Podemos ver a nuestra función como: $f(z) = \frac{g(z)}{h(z)}$
Para encontrar $f'(z)$ sabeos que:
$f'(z) = \frac{g'(z)h(z) - g(z)h'(z)}{[h(z)]^2}$
Solución
Entonces podemos decir:
$f'(z) = \frac{(z^3 - 1 + i)(6e^{2z} + ie^{-z}) - (3e^{2z} - ie^{-z})(3z^2)}{(z^3 - 1 + i)^2}$
Elaborado por Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 16:16 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Encuentre la derivada $f'(z)$ de la función $f(z)$.
$f(z)=e^{iz}-e^{-iz}$
Procedimiento
la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas, esto es:
$f'(z)=g'(z)+h'(z)$
Donde
$g'(z)=\frac{d}{dz}e^{iz}=ie^{iz}$
$h'(z)=\frac{d}{dz}-e^{-iz}=+ie^{-iz}$
por lo tanto la derivada de la función inicial es
Solución
$f '(z)=i\left (e^{iz}+e^{-iz} \right )$
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:25 3 jun 2015 (CDT)
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 4
Encuentre la derivada $f'(z)$ de la función $f(z)$.
$f\left(z\right)=ie^{\frac{1}{z}}$
Procedimiento
dada la siguiente forma de derivar:
$f\left(s\right)=e^{s}$
$\frac{df\left(s\right)}{ds}=e^{s}*\frac{ds}{ds}$
tenemos lo siguiente
$\frac{df\left(z\right)}{dz}=ie^{\frac{1}{z}}*\frac{d\left(\frac{s}{z}\right)}{dz}$
$\frac{df\left(z\right)}{dz}=ie^{\frac{1}{z}}*\left(-\frac{1}{z^{2}}\right)$
Solución
Por lo que la derivada es:
$\frac{df\left(z\right)}{dz}=\left(-\frac{1}{z^{2}}\right)ie^{\frac{1}{z}}$
Martin Flores Molina (discusión) 12:55 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Escribir la expresión dada en términos de $x$ y $y$
$|e^{z^2-z}|$
Procedimiento
Sabemos que:
$z=x+iy$
Entonces:
$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xyi$
$z^2-z=(x^2-y^2+2xyi)-(x+iy)=(x^2-x-y^2-x)+i(2xy-y)$
Sustituyendo $z^2-z$ en la expresión
$|e^{z^2-z}|$
Solución
Solo tomando la parte real, da como resultado
$|e^{z^2-z}|=e^{x^2-y^2-x}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 03:59 5 jun 2015 (CDT) Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 6
Escribir la expresión dada en términos de "x" y "y"
\[ arg(e^{z-\frac{i}{z}}) \]
Procedimiento
Primero reescribimos $z-\frac{i}{z}$ en términos de "x" y "y"
$z-\frac{i}{z}=(x+iy)-\frac{i}{x+iy}(\frac{x-iy}{x-iy})=(x+iy)-(\frac{ix+y}{x^{2}+y^{2}})=\frac{(x+iy)(x^{2}+y^{2})-(y+ix)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x^{3}+xy^{2}-y)+i(x^{2}y+y^{3}-x)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x^{3}+xy^{2}-y)}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{(x^{2}y+y^{3}-x)}{x^{2}+y^{2}}$
Solución
Y finalmente reescribimos
\[ arg(e^{z-\frac{i}{z}})=arg(e^{\frac{(x^{3}+xy^{2}-y)}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{(x^{2}y+y^{3}-x)}{x^{2}+y^{2}}}) \]
Fernando Vazquez V. (discusión) 22:20 6 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Escribir la expresión dada en términos de "x" y "y"
$\arg\left(e^{i\left(z+\overline{z}\right)}\right)$
Procedimiento
Si $z=x+iy$ , entonces : $\overline{z}=x-iy$
por lo que: $i\left(z+\overline{z}\right)=i\left(2x\right)=i2x$
finalmente tenemos:
$\arg\left(e^{i\left(z+\overline{z}\right)}\right)=\arg\left(e^{i2x}\right)$
Solución
Por lo que el argumento también puede ser reescrito como:
$arg \left [e^{i(2x)} \right ]=2x\pm2k\pi; k=0,1,2...$
Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:10 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Escribir la expresión dada en términos de $x$ y $y$.
$\overline{ie^{z}+1}$
Procedimiento
Primero se identifica la forma trigonométrica de la exponencial como sigue:
$\overline{ie^{z}+1}=\overline{ie^{x+iy}+1}=ie^{x}(cosy+iseny)+1$
Ahora vemos que tenemos la función conjugada y la escribimos de la forma normal.
$=-ie^{x}(cosy-iseny)+1$
Resolviendo y reordenando queda de la forma:
Solución
$=1-ie^{x}(cosy-iseny)=1-ie^{x}cosy-e^{x}seny=1-e^{x}seny-ie^{x}cosy$
A. Martín R. Rabelo (discusión) 11:47 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Expresar la función dada "f" en la forma $f(z)=u(x,y)+iv(xy)$
$f(z)=e^{iz}$
Procedimiento
Si $z=x+iy$
Entonces:
$-iz= -i(x+iy)= -xi-yi^2= -xi+y$
Ahora "x" es la parte imaginaria y "y" la parte real.
Consideramos la siguiente definición:
$e^{z}=e^{x}cosy + ie^{x}seny$
Sustituimos los cálculos anteriores en la igualdad de arriba; tomando en cuenta que "x" y "y" son las partes imaginarias y reales respectivamente.
Solución
$e^{-iz}=e^{y} = e^{y}\left [\cos(x)-i\sin(x) \right ]$
Nancy Martínez Durán (discusión) 04:26 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 10
exprese la función dada $f$ en la forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
Procedimiento
Para poder resolver este problema diremos que si $z=x+iy$ el conjugado de $z$ sera $z=x-iy$
así podemos reescribir la función de la siguiente manera.
\[f(z)=e^{2\overline{z}+i}=e^{2(x-iy)+i}=e^{2x+i(1-2y)}\]
Donde la parte real de esta exponencial es $2x$ y la imaginaria es $(1-2y)$
ahora pasando ala forma trigonométrica tendremos que;
\[f(z)=e^{2x-i(2y+1)}=e^{2x}(cos(1-2y)+isen(1-2y))\]
Solución
Por lo que:
Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 22:17 7 jun 2015 (CDT)
Corregido por Manuel Rodríguez
Ejercicio 11
Exprese la función dada $f$ en la forma $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
$f(z)=e^{z^2}$
Procedimiento
Si $z=x+iy$
Entonces: $z^2=x^2+2xyi-y^2$
Por lo tanto: $Re(z)=x^2-y^2$ y $Im(z)=2xy$
Y usando la función $e^z$ definida por
\begin{equation*}
e^z=e^xCosy + ie^x Sen y
\end{equation*}
que se llama la función exponencial compleja.
Solución
Entonces mi resultado es:
$e^{z^2}=e^{(x^2-y^2)}Cos(2xy)+ie^{(x^2-y^2)}Sen(2xy)$
Emmanuell Castro Flores (discusión) 18:22 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Exprese la función dada $f$ en la forma $f\left(z\right)=u\left(x.y\right)+iv\left(x,y\right)$
Donde $f\left(z\right)=e^{\frac{1}{z}}$
Procedimiento
Trabajamos primero con $\frac{1}{z}$de la siguiente manera:
$\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}\left(\frac{x-iy}{x-iy}\right)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$
Separando la parte real e imaginaria, de la anterior fracción, se tiene que:
$\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{iy}{x^{2}+y^{2}}$
Poniendo esto en la exponencial, se tiene que:
$e^{\frac{1}{z}}=e^{\left (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \right )}\left [e^{-\frac{iy}{x^{2}+y^{2}}} \right ]$
Expandiendo el numero entre corchetes, en su forma trigonométrica, se tiene que:
$\left [e^{-\frac{iy}{x^{2}+y^{2}}} \right ]=Cos\left ( \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right )-i Sen \left ( \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right )$
Donde se uso la propiedad de $cos(-u)=cos(u)$ y $sen(-u)=-sen(u)$
Entonces tenemos como resultado:
$e^{\frac{1}{z}}=\left [e^{\left (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \right )} \right ]\left [Cos\left ( \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right )-i Sen \left ( \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right ) \right ]$
Donde sabemos que
Solución
$u\left(x,y\right)=\left [e^{\left (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \right )} \right ]Cos\left ( \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right)$
es la parte real
$v\left(x,y\right)=-\left [e^{\left (\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \right )} \right ]Sen \left ( \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right ) $
es la parte imaginaria
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 13
Use las condiciones de suficiencia para la derivabilidad para determinar donde es derivable la función $f(z)=e^{(2\bar{z}+i)}$
Solución
$f(z)=exp(2(x-yi)+i) = exp(2x+i(1-2y))$
$f(z)=exp(2x)[cos(1-2y)+isin(1-2y)]$
donde
$u(x,y)=exp(2x)[cos(1-2y)]$
$v(x,y)=exp(2x)[sin(1-2y)]$
Las cuatro primeras derivadas de primer orden son
$\frac{\partial u}{\partial x}=2exp(2x)[cos(1-2y)]$, $\frac{\partial v}{\partial y}=-2exp(2x)[cos(1-2y)]$
$\frac{\partial u}{\partial y}=2exp(2x)[sin(1-2y)]$, $\frac{\partial v}{\partial x}=2exp(2x)[sin(1-2y)]$
Por ultimo vemos de
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ y $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
que las ecuaciones Cauchy-Riemann no se satisfacen.
Llegamos a la conclusión de que $f$ no es derivable en ningún punto
Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:33 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 23
En los problemas 21-26 , encontrar todos los valores complejos del logaritmo dado.
$ln\left(-2+2i\right)$
Procedimiento
Un logaritmo en variable compleja se expresa de la siguiente manera
$\ln(z)=\log_e\left | z \right |+ i \arg(z)$
Sea $z=-2+2i$
La norma de z esta dada por:
$\left | z \right |=\sqrt{-2^{2}+2^{2}}=2\sqrt2$
Dado que $z=-2+2i$
el
$\arg(z)=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$
Donde
$-\pi< arg(z)\leq \pi$ y $k=0\pm1+....$
Por lo que la función logaritmo compleja queda de la siguiente forma:
$\ln(-2+2i)=\log_e\left | -2+2i \right |+ i \arg(2+2i)$
$\ln(-2+2i)=\log_e (2\sqrt2)+ i \left (\frac{3\pi}{4}+2k\pi \right )$
Haciendo un poco de Álgebra se tiene que:
$\ln(-2+2i)=\ln (2^{\frac{3}{2}})+ i \frac{\pi}{4} (3+8k)$
Usando propiedades de logaritmo, se tiene que:
Solución
$\ln(-2+2i)=\frac{3}{2}\ln (2^{})+ i \frac{\pi}{4} (3+8k)$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 29
Escriba el valor principal del logaritmo en la forma .
Procedimiento
Para poder encontrar el valor principal aplicaremos la formula siguiente:
... (*)
Por lo anterior de nuestro logaritmo identificaremos tanto al argumento de como a su modulo, así:
$|z|=\sqrt{(-12)²+(5)²} = \sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$
$Arg(-12+5i)=2.7468$
Sustituyendo en (*) tenemos:
Solución
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 31
Escriba el valor principal del logaritmo en la forma a+ib
$Ln[(1+\sqrt{3}i)^5]$
Procedimiento
Tomando en cuenta la siguiente propiedad del logaritmo: $ln z^n=nlnz$
reescribimos como:
$ 5 ln[(1+\sqrt{3}i)] = 5 ln z $
Por lo que debemos encontrar el valor de ln z, dado como:
$ ln z=log_{e}|z|+i Arg(z), ----(1) $
Calculando |z| & Arg(z)
$ |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt {1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2 $
$ Arg(z)=\theta= Arg(1+\sqrt{3}i)=cos^{-1}(\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{3} $
Por lo tanto sustituyendo en (1) se tiene el valor principal del ln
Solución
$ln z= 5log_{e} 2- \frac{\pi}{3}i$
Usuario:Samantha Martinez (discusión) 20:27 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 33
Encuentre todos los valores complejos de $z$ que satisfagan la ecuación.
$e^z=4i$
Procedimiento
$e^z=4i$
$ln e^z= ln 4i$
$z=ln 4 + ln i$
Y sé que : $ ln z= log_{e} |z| + i Arg(z)$
Entonces aplicando a $ln 4$ y a $ln i$, tengo :
$ln 4$ , $|z|=4$, $Arg(4)=0$
$ln4 = log _{e} 4 + 0 i$ = $log_{e} 2^{2}= 2log_{e} 2$
$ln i$, $|z|=1$, $Arg(z)=\frac{\pi}{2}+2 \pi n$
$ln i= log_{e} 1 + i\left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right) = \frac{1}{2} (4n+1) \pi i$
Solución
Por lo tanto:
$z = ln 4 + ln i= 2 log_{e} 2 + \frac{1}{2} (4n+1) \pi i$
Emmanuell Castro Flores (discusión) 19:39 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 35
Encuentre todos los valores complejos de z que satisfaga la ecuación dada
Procedimiento
Aplicamos la propiedad del producto de exponentes :
- , despejamos y simplificamos obteniendo
- multiplicamos en ambos miembros de la ecuación por logaritmo natural, obteniendo “z”
- aplicamos la propiedad de un producto de un logarítmo que equivale a la suma de los logaritmos
donde la definción de un logarítmo complejo es
Sabiendo que el modulo : se tiene:
- ,
- ,
Solución
Sustituyendo en (1) se tiene:
para :
Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 02:07 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 36
Encuentra los valores de $z$ que satisfacen: $e^{2z}+e^z+1=0$
Solución
utilizando el teorema 4.2 (iv), obtenemos: $ e^{2z}+e^z+1=0\Longleftrightarrow (e^z)^2+(e^z)^1+1=0 $.
Sea $u=e^z$, entonces: $u^2+u+1=0$. Utilizando la fórmula general de segundo grado, se obtiene: $u_1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \vee u_2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$, con $|u_1|=|u_2|=1$ y $\theta_1=\frac{2\pi}{3},\theta_2=\frac{4\pi}{3} $
Ahora, $u_1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=e^{z_1}\Longleftrightarrow \ln u_1=z_1$.Entonces $z_1=\ln |u_1| +i(\theta_1+2k\pi);(k\in \mathbb{Z})$. Por lo tanto $z_1=i(\frac{2\pi}{3}+2k\pi);(k\in \mathbb{Z})$.
Análogamente: $u_2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=e^{z_2}\Longleftrightarrow \ln u_2=z_2$.Entonces $z_2=\ln |u_2| +i(\theta_2+2l\pi);(l\in \mathbb{Z})$. Por lo tanto $z_2=i(\frac{4\pi}{3}+2l\pi);(l\in \mathbb{Z})$.
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 20:25 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 37
determine un dominio en el que la función dada $f$sea derivable, después encuentre la derivada $f'$
Solución
$f(z)=3z^{2}-e^{2iz}+iLn\,z$
Podemos ver la función, como la suma de 3 funciones, las dos primeras
$g(z)+h(z)=3z^{2}-e^{2iz}$
Están bien definidas en el plano complejo, sin embargo, la función logaritmo presenta algunos inconvenientes.
como se sabe el $0$ no esta definido en $Ln$ entonces el dominio de la función $f(z)$ esta definido en:
Encuentre la derivada de la función.
Procedimiento
$\mid z\mid>0$ y como es logico $-\pi<Arg(z)<\pi$
utilizando la regla de la suma para derivadas tenemos.
$f'(z)=\frac{d(3z^{2})}{dz}+\frac{d(-e^{2iz})}{dz}+\frac{d(iLn\,z)}{dz}$
$\frac{d(3z^{2})}{dz}=6z$
$\frac{d(-e^{2iz})}{dz}=-2ie^{2iz}$
$\frac{d(iLn\,z)}{dz}=\frac{i}{z}$
así,
Solución
$f'(z)=6z-2ie^{2iz}+\frac{i}{z}$
Francisco Medina Albino (discusión) 01:17 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 47
Utilice $e^z=e^x\cos y+ie^x\sin y$, para probar que: $\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=e^{z_1-z_2}$
Procedimiento
Sean $e^{z_1}=e^{x_1}\cos y_1+ie^{x_1}\sin y_1$,$e^{z_2}=e^{x_2}\cos y_2+ie^{x_2}\sin y_2$ números complejos.
Entonces:
\begin{align*} \frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}&=\frac{e^{x_1}\cos y_1+ie^{x_1}\sin y_1}{e^{x_2}\cos y_2+ie^{x_2}\sin y_2}&\textrm{(por definición)}\\ &=(\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}})(\cos (y_1-y_2)+i\sin(y_1-y_2))&\textrm{(distributividad, asociatividad y división de números complejos)}\\ &=(e^{x_1-x_2})(\cos (y_1-y_2)+i\sin(y_1-y_2))&\textrm{(propiedad de los la función exponencial en los reales)}\\ &=e^{z_1-z_2}&\textrm{(por definición)}\\ \end{align*}
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:27 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 49
Determine dónde la función $e^{\overline{z}}$ es analítica
Procedimiento
Para comprobar en que puntos es analítica, debemos calcular los puntos donde es continua la función $\lim\limits_{z\rightarrow z_0}e^{x_{0}}\cos y_{0} + i e^{x_{0}} \sin {-y_{0}}$
y esto comprueba que:
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)= f(z_{0})$
Entonces $e^{\overline{z}}$ es analítica en cualquier $z_{0}$
Esther Sarai (discusión) 19:45 7 jun 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 53
Demuestre que para todos los números complejos y .
Procedimiento
Para demostrar tomamos la propiedad de logaritmo complejo
Donde es el logaritmo real y el argumento principal de Z también es un valor real, por lo que
Teniendo el logaritmo real y argumento principal ambas cumple
Por lo que tenemos que
Al agrupar términos tenemos que
Queda demostrado que
Pablo (discusión) 10:51 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 54
Demuestre que $lnz^n_1=nlnz_1$ para todos los números complejos $z_1$ distintos de cero y todos los enteros $n$.
Procedimiento
De capítulos anteriores sabemos que un número complejo elevado a una potencia entera puede ser representado:
$z_1^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta)$; y $z_1$ en su forma polar $z_1=r(\cos \theta +i\sin \theta)$
Sustituyendo en $lnz_1^n$
$lnz_1^n=ln[r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)]$ con $|z_1^n|=r^n$ y $arg(z_1)=n\theta$ las partes real e imaginaria de la función logaritmo son:
$lnz_1^n=log_e|z^n|+iarg(z_1)=log_er^n+in\theta$
Como $log_er^n$ es el logaritmo real, podemos usar las propiedad $log_ex^n=nlog_ex$
$lnz_1^n=log_er^n+in\theta=nlog_er+in\theta=n(log_er+i\theta)$
Por la definición de la función logarítmica tenemos $lnz_1=log_e|z_1|+iarg(z_1)$ y de la forma polar para $z_1$ tenemos $|z_1|=r$ y $arg(z_1)=\theta$.
$lnz_1^n=n(log_er+i\theta)=nlnz_1$
Por lo que demostramos que $lnz_1^n=nlnz_1$.
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 18:51 3 jun 2015 (CDT)
Forma Alternativa:
Demuestre que $lnz_{1}^{n}=nlnz_{1}$ para todos los números complejos $z_{1}$ distintos de cero y toso los enteros n.
Procedimiento
Tenemos que
\[ nz^{n}=ln({\displaystyle e^{n(log_{e}z+iarg(z)})}=n(log_{e}z+iarg(z)) \]
Pero como sabemos $Lnz=log_{e}z+iargz$ y $Lnz\hspace{1em}y\hspace{1em}e^{z}$
son funciones complejas inversas
Por lo tanto
\[ lnz^{n}=nLnz \]
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:10 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicios adicionales Empleo de exponente complejo
Ejercicio 1
Si $z=Ae^{i\theta}$, deducir que $dz=izd\theta$.
Procedimiento
$z=Ae^{i\theta}$
$\frac{dz}{d\theta}=Aie^{i\theta}$
$\frac{dz}{d\theta}=iz$
Solución
$dz=izd\theta$
Ejercicio 2
Para tomar las derivadas sucesivas de $e^{i\theta}$ respecto a $\theta$, basta multiplicar por $i$:
$\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})=iAe^{i\theta}$
Demostrar que esta propiedad sigue siendo válida si se utiliza la representación sinusoidal $e^{i\theta}=cos\theta+isen\theta$.
Procedimiento
Tratemos por separado $\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})$ y $iAe^{i\theta}$.
Primero tratemos $\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})$ , con la representación sinusoidal previa otenemos:
$\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})=\frac{d}{d\theta}(A(cos\theta+isen\theta))$
Derivamos con respecto a $\theta$:
$\frac{d}{d\theta}(A(cos\theta+isen\theta))=A(-sen\theta+icos\theta)$
Con $i^{2}=-1$
$A(i^{2}sen\theta+icos\theta)=Aicos\theta+Ai^{2}sen\theta$
Ahora trabajemos con $iAe^{i\theta}$:
$iAe^{i\theta}=iA(cos\theta+isen\theta)$
$iA(cos\theta+isen\theta)=Aicos\theta+Ai^{2}sen\theta$
Solución
Por lo tanto $\frac{d}{d\theta}(A(cos\theta+isen\theta))=iA(cos\theta+isen\theta)$ y por ende $\frac{d}{d\theta}(Ae^{i\theta})=iAe^{i\theta}$ .