Compleja:z-ej-cap1.1

De luz-wiki

La topología del plano complejo

1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica\[u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.\]

Demostración

Sea \(u\in\mathbb{C}\), se observa que\[1-u^n=(u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1)(1-u)\] entonces\[u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=\frac{1-u^n}{1-u}\] por lo que las raices de la ecuación ciclotómica son las mismas que las de la ecuación \(\displaystyle\frac{1-u^n}{1-u}=0\)

De la última ecuación se obseva que \(1-u\neq0\), luego \(1-u^n=0\), es decir, \(u=\displaystyle{\sqrt[n]{1}}\), con \(u\neq1\)

Por lo tanto, las n-ésimas raices de \(z=1\), diferentes de 1, satisfacen la ecuación ciclotómica.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 12:43 4 dic 2012 (CST)



1.16.- Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto.

Demostración.

Tenemos \( P \in B(P_{0}) \) del cual \(P_{0}=(x_{0},y_{0})\). Decimos que \( P_{0} \in B , y_{0}>0 \). Elegimos un \( r = y_{0} \)

\(Sea B_{P} \in B_{y_{0}}(P_{0}\) \(|P_{0}-P |<y_{0}\) \(\Rightarrow\) \(|(x_{0},y_{0})-(x,y)|<y_{0}\) \(\Rightarrow\)\(| (x_{0}-x) + (y_{0}-y) |< y_{0}\) \(\Rightarrow\)\( | x_{0}-x| +|y_{0}-y| < y_{0}\) \( Si y = 0 \) \(\Rightarrow\) \( |x_{0}-x + y_{0} |< y_{0}\) \(\Rightarrow\)\( |x_{o}-x| < 0 \) (contradicción) \( Si y < 0 \) \(\Rightarrow\)\( | y| < 0\) \(\Rightarrow\)\( |x_{0} - x| + |y_{0}|-(-y) < y_{0}\) \(\Rightarrow\)\( |x_{0}-x| + y < 0\) \(\Rightarrow\)\( y <| x_{0}-x|\) (contradicción) \( \therefore \) \( y > 0\).

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 08:20 29 nov 2012 (CST)


1.19 Sea \( \Omega \subseteq \mathbb{C} \). Demuestre que:

(a) \( \Omega \) es abierto si y sólo si \( \Omega^{0} = \Omega \).

(b) \( \Omega \) es cerrado si y sólo si \( \Omega^{-} = \Omega \).


(a) Si \( \Omega \) es abierto, entonces para cada z ∈ \( \Omega \) existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( B (x,\epsilon) \subset \Omega \). Vemos que la unión de todas las bolas \( B (x,\epsilon) \) es \( \Omega \). Además, esta unión es igual al interior de \( \Omega \) a saber, \( \Omega^{0} \), puesto que para cualquier subconjunto abierto \(A\) de \( \Omega \) se tiene que \( A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. \) Luego \( \Omega^{0} = \Omega \).

Por otro lado, si \( \Omega^{0} = \Omega \), entonces \( \Omega \) es abierto por que \( \Omega ^{0}\) es abierto.


(b) Si \( \Omega \) es cerrado, entonces \( \bigcap \left \{ A : A \mbox{ es cerrado y } A \supset \Omega \right \} = \Omega^{-} = \Omega \), por que \( \Omega \) es el superconjunto cerrado más pequeño de \( \Omega \).

Por otra parte, si \( \Omega^{-} = \Omega \) entonces \( \Omega \) es cerrado debido a que \( \Omega^{-} \) es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)


1.20 Sea \( \Omega \subseteq \mathbb{C} \). Demuestre que:

(a) \( \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).

(b) \( \Omega ^{-} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} \).

(c) \( ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} \).

(d) \( ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).


(a)

  • P.D. \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} \)

Sabemos que \( \mathbb{C} - \Omega \subseteq ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \)

Entonces \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega \) y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} \), pues el interior de un conjunto (\( \Omega ^{0}\)) es el mayor abierto contenido en ese conjunto (\( \Omega \))

  • P.D. \( \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \)

Sea \( x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \), entonces \( x ∈ \mathbb{C} - \Omega \) por que \( \mathbb{C} - \Omega \subseteq ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).

Como \( x ∈ \mathbb{C} - \Omega \), se tiene que \( x ∉ \Omega \) y también que \( x ∉ \Omega ^{0}\) ya que \( \Omega ^{0} \subseteq \Omega \).

Puesto que \( x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}\), es decir, al complemento del interior de \(\Omega\).

Tenemos entonces que \( ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \mathbb{C} - \Omega ^{0}\), de donde \( \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}\).

  • Ya que \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} \) y \( \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}\), podemos decir que \( \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).

(b)

Sabemos que \( \Omega^{-} = [\mathbb{C} - ( \mathbb {C} - \Omega ) ] ^{-} \).

Ahora, del inciso anterior, \( ( \mathbb{C} - \Chi ) ^{-} = \mathbb{C} - \Chi ^{0} \), si \( \Chi \subseteq \mathbb{C} \). Sea \( \Chi = \mathbb {C} - \Omega \),

entonces\[[\mathbb{C} - ( \mathbb {C} - \Omega ) ] ^{-} = \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{0}\].

Y así \( \Omega^{-} = \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{0}\).

(c)

Tenemos que \( x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] \).

\( \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] \) (puesto que \( \Omega \subseteq \Omega ^{-} \))

\( \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} \) y \( x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} \)

\( \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} \) y \( x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0}\) (por el inciso anterior)

\( \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) \).

(d)

Veamos a la frontera \( ∂ \Omega \) como el conjunto de puntos que NO están en el interior \( \Omega ^{0} \) ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con \( \Omega \), es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en \( \mathbb{C} - \Omega \)). El exterior de \(\Omega\) es el interior de \( \mathbb{C} - \Omega \), o sea el conjunto \( ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} \).

Así, \( ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\)

Sabemos del inciso (a) que \( \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \) y del inciso (b) que \( \Omega^{-} = \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{0}\).

De tal forma que \( \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0} = ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \cap \Omega^{-} \).

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)


1.21 Sea \( \Omega \subseteq \mathbb{C} \). Demuestre que:

(a) \(z ∈ \Omega ^{0}\) si y sólo si existe \( \epsilon > 0 \) tal que \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega \).

Si \(z ∈ \Omega ^{0}\) entonces existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega ^{0}\), por que \(\Omega ^{0}\) es abierto. Como \(\Omega ^{0} \subseteq \Omega\), resulta que \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega \). En la otra dirección, si \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega \) para algún \( \epsilon > 0 \), entonces por ser \( B(z; \epsilon) \) un conjunto abierto, se tiene que \(z ∈ \Omega ^{0}\), por que \( \Omega ^{0}\) es la unión de todos los subconjuntos abiertos de \( \Omega \)

(b) \(z ∈ \Omega ^{-}\) si y sólo si para todo \( \epsilon > 0 \) se tiene que \( B(z; \epsilon) \cap \Omega \ne \emptyset \)

Supóngase que \(z ∈ \Omega ^{-}\), por 1.20 (b) \(z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0})\) y de este modo \(z \notin ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\). Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada \( \epsilon > 0 \), \( B(z; \epsilon) \nsubseteq (\mathbb{C} - \Omega) \). De esta forma, para cada \( \epsilon > 0 \) hay un punto \( w \in B(z; \epsilon) \) que no pertenece a \( (\mathbb{C} - \Omega) \), con lo cual \( w \in \Omega \), y así \( w \in ( B(z; \epsilon) \cap \Omega ) \). Ahora supóngase que \(z \notin \Omega ^{-} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\), entonces \(z \in ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\), y por el inciso anterior existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( B(z; \epsilon) \subseteq (\mathbb{C} - \Omega) \). De esto se obtiene que \( B(z; \epsilon) \cap \Omega \ne \emptyset \).

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)



1.22 Sea \(\Omega\subseteq\mathbb{C}\) cualquier conjunto muestre que:

\(\left(1\right)\)

\(\left(a\right)\) \(\Omega\) es abierto relativo en \(\Omega\).


Puesto que dice que \(\Omega\) puede ser cualquier conjunto, lo escogemos abierto, entonces \(\Omega\) será abierto relativo tal que exista un \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\subseteq\mathbb{C}\), tal que \(\mathcal{A}_1 \cap\Omega =\Omega.\)

Dado que \(\Omega\) contiene a \(\mathcal{A}_1\), entonces cumple con la primera parte del parrafo 1 del texto en la pagina 17.


\(\left(b\right)\)Si \(\mathcal{A}_1\),.....,\(\mathcal{A}_n\subseteq\Omega\) son abiertos relativos, \(\mathcal{A}_1\cap.....\cap \mathcal{A}_n\) es abierto relativo.


Veamos, por el inciso\(\left(a\right)\), hemos dicho que \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\), tal que \(\mathcal{A}_1\cap\Omega =\Omega\), esto quiere decir que podemos tomar \(\mathcal{A}_1,.....,\mathcal{A}_n\subseteq\Omega\), tal que \(\left(\mathcal{A}_1\cap,.....,\cap\mathcal{A}_n\right)\cap\Omega = \Omega\), por lo cual se sigue cumpliendo que esa intersección de conjuntos abiertos generan a un abierto relativo.


\(\left(c\right)\)Si \(\lbrace{A_k\rbrace}\) es cualquier familia de subconjuntos de \(\Omega\) que son abiertos relativos, entonces \(\bigcup_k A_k\) también es abierto relativo.


Hemos mostrado en \(\left(b\right)\) que \(\{\cap\mathcal{A}_k\}\subseteq\Omega =\Omega\), y es abierto relativo por \(\left(a\right)\), ahora tenemos \(\{\cup\mathcal{A}_k\}\), tal que por ser abiertos y su unión es \(\{\cup\mathcal{A}_k\}\cap\Omega =\Omega\), lo cual sigue generando a nuestro abierto relativo.



\(\left(2\right)\)

\(\left(a\right)\) \(\Omega\) es cerrados relativo en \(\Omega\).


Puesto que dice que \(\Omega\) puede ser cualquier conjunto, lo escogemos cerrado, entonces \(\Omega\) será cerrado relativo tal que exista un \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\subseteq\mathbb{C}\), tal que \(\mathcal{A}_1 \cap\Omega =\Omega.\)


\(\left(b\right)\)Si \(A_1\),.....,\(A_n\subseteq\Omega\) son cerrados relativos, \(A_1\cup.....\cup A_n\) es cerrado relativo.


Entonces, por el inciso\(\left(a\right)\), hemos dicho que \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\), tal que \(\mathcal{A}_1\cap\Omega =\Omega\), esto quiere decir que podemos tomar \(\mathcal{A}_1,.....,\mathcal{A}_n\subseteq\Omega\), tal que \(\left(\mathcal{A}_1\cup,.....,\cup\mathcal{A}_n\right)\cap\Omega = \Omega\), por lo cual se sigue cumpliendo que esa unión de conjuntos cerrados generan a un cerrado relativo.


\(\left(c\right)\)Si \(\lbrace{A_k\rbrace}\) es cualquier familia de subconjuntos de \(\Omega\) que son cerrados relativos, entonces \(\bigcap_k A_k\) también es cerrado relativo.


Hemos mostrado en \(\left(b\right)\) que \(\{\cup\mathcal{A}_k\}\subseteq\Omega =\Omega\), y es cerrado relativo por \(\left(a\right)\), ahora tenemos \(\{\cap\mathcal{A}_k\}\), tal que por ser cerrados y su unión es \(\{\cap\mathcal{A}_k\}\cap\Omega =\Omega\), lo cual sigue generando a nuestro cerrado relativo.


--Luis Antonio (discusión) 16:39 5 dic 2012 (CST)


1.23 Si \(A\subseteq\Omega\) es abierto relativo, demuestre que \(\Omega-A\subseteq\Omega\) es cerrado relativo. Demuestre también que si \(F\subseteq\Omega\) es cerrado relativo, entonces \(\Omega-F\subseteq\Omega \) es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\) es abierto relativo en \(\Omega\) si existe un conjunto abierto \(\mathcal{A}_1\subseteq\mathbb{C}\) tal que \(\Omega=\mathcal{A}_1\cap\Omega\).

* Se dice que un subconjunto cerrado \(\mathcal{F}_1\subseteq\Omega\) es cerrado relativo en \(\Omega\) si existe un conjunto cerrado \(\mathcal{F}_1\subseteq\mathbb{C}\) tal que \(\Omega=\mathcal{F}_1\cap\Omega\).


Lo anterior es por el ejercicio 1.22

hola

Podemos imaginar el analisis como el conjunto \(\Omega\) es abierto relativo, su \(\Omega^c = \mathcal{A}_1 -\Omega\) será cerrado relativo, esto por que \(\mathcal{A}_1 \) podrá tocar sus puntos frontera. De manera similar si \(\Omega\) es cerrado relativo, por entonces sus complemento \(\Omega^c = \mathcal{F}_1 -\Omega\), será abierto relativo por que \(\mathcal{F}_1\) no podrá tocar su frontera.


Entonces se concluye lo que nos pide demostrar el enunciado enuciado.

--Luis Antonio (discusión) 18:08 5 dic 2012 (CST)


1.24 Demuestre que \( I \subseteq \mathbb{R}\) es conexo si y sólo si \(I\) es un intervalo.

Sea \( I = [a,b], a,b \in \mathbb{R}, a < b \), y sea \( A \) un subconjunto abierto de \(I\) tal que \( a \in A\) y \( A \ne I \) (como \( a \in A \), \(A\) no es abierto en \( \mathbb{R} \), pero si en \(I\), es decir, \(A\) es abierto relativo a \(I\)). Si se prueba que \(A\) no es también cerrado, entonces se habrá probado que \(I\) es conexo.

Puesto que \(A\) es abierto, existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( [a, a + \epsilon ) \subset A \). Sea \(r\) el mayor \(\epsilon\) para el cual \( [a, a + \epsilon ) \subset A \), es decir \( r = sup \left \{ \epsilon : [a, a + \epsilon ) \subset A \right \}\). De este modo se tiene que \( [a, a + r ) \subset A \), pero \( a + r \notin A \), por que de lo contrario, puesto que \(A\) es abierto, habría un \( \delta > 0 \) tal que \( [a, a + r + \delta ) \subset A \), contradiciendo la definición de \(r\). Luego \( a + r \notin A \), y por tanto \( a + r \in I - A \). Si \(A\) es también cerrado, entonces \(I - A\) es abierto, y por tanto se puede encontrar un \( \delta > 0 \) tal que \( [a + r - \delta, a + r + \delta ) \subset I - A \), lo cual contradice el hecho de que \( [a, a + r ) \subset A \). Por lo tanto, \(A\) no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que \(I\) no es un intervalo, entonces existen dos puntos \(a,b \in I, a < b \), tal que \( (a,b) \nsubseteq I \) (un teorema afirma que \(I\) es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos \(a,b \in I\), con \(a < b \) se tiene que \((a,b) \subset I \)). Entonces, existe un punto \( c \notin I \) tal que \( a < c < b \). Como \( a \in (- \infty , c ) \) y \( b \in ( c, \infty ) \) se tiene que \( I = ( I \cap (-\infty , c) ) \cup ( I \cap ( c, \infty ) ) \), donde \( (I \cap ( - \infty, c ) ) \) y \( (I \cap (c, \infty)) \) son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, \(I\) no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)


1.25 Un subconjunto \(A\subseteq\mathbb{C}\) se dice que es convexo si para cualquiera dos puntos \(z,w\in\)\(A\) se tiene que el segmento \([z,w]\subseteq\)\(A\).

(1) Demuestre que cualquier disco abierto o cerrado es convexo.
(2) Demuestre que cualquier semiplano abierto o cerrado es convexo.
(3) Demuestre que la intersección de cualquier familia de subconjuntos convexos es convexa.
Demostración

(1) Por definición \([z,w]:=\){\(tw+(1-t)z : 0\leq t\leq1\)}

Sean \(z,w\in B(x,r)\subseteq\mathbb{C}\), entonces \(|x-z|< r\);\(|x-w|< r\).......................(*)

Sea \(v_t\in\mathbb{C}\) arbitrario, pero fijo definido por \(v_t=tw+(1-t)z\), así todo punto del segmento [z,w] esta representado por \(v_t\).

Por otra parte

\(|x-v_t|=|x-tw-(1-t)z|=|x-tw-z+tz|\) al sumar y restar \(tx\) se tiene que \(|x-v_t|=|x-tw-z+tz+tx-tx|\) agrupando y factorizando

\(|x-v_t|=|(x-z)(1-t)+(tx-tw)|\) aplicando la desigualdad del triángiulo

\(|x-v_t|\leq |(x-z)(1-t)|+|tx-tw|\) n Como \(0\leq t\leq1\), entonces \(0\leq {1-t}\leq1\) y de las propiedades del valor absoluto tenemos que \(|x-v_t|\leq (1-t)|x-z|+t|x-w|\) aplicando (*)

\(|x-v_t|<(1-t)r+tr=r-tr+t=r\) por lo que \(v_t\in B(x,r)\) Como \(v_t\) fue arbitrario, entonces \([z,w]\subseteq B(x,r)\)

Así, hemos dado dos elementos \(z,w\in B(x,r)\) cuyo segmento \([z,w]\in B(x,r)\)

Por lo tanto, un disco abierto es convexo

Para un disco cerrado solo se reemplazan la desigualdad estricta de (*) por una desigualdad.

Sean \(x,y\in H_u\) con \(H_u\) un semiplano abierto generado por \(u,v\in\mathbb{C}, v\not=0\), luego \(Im (\displaystyle \frac{x-w}{v})>0\) & \(Im (\displaystyle \frac{y-w}{v})>0\) (**)

Sea \(z_t\in[x,y]\) arbitrario, entonces

\(Im(\displaystyle \frac{z_t-w}{v})=Im(\displaystyle \frac{ty+(1-t)x-w}{v})\)

\(=Im(\displaystyle \frac{ty+x-tx-w}{v})=Im(\displaystyle \frac{ty+x-tx-w+tw-tw}{v})\) \(=Im(\displaystyle \frac{ty-tw+(1-t)(x-w)}{v})=Im(\displaystyle \frac{ty-tw}{v})+Im(\displaystyle \frac{(1-t)(x-w)}{v})\)

\(=tIm(\displaystyle \frac{y-w}{v})+(1-t)Im(\displaystyle \frac{x-w}{v})\)

Como \(t\geq 0, 1-t\geq 0\) y de (**) se tiene que \(Im(\displaystyle \frac{z_t-w}{v})>0\), como \(z_t\) fue arbitrario, entonces \(z_t\in H_u\)

Por lo tanto un semiplano abierto es convexo.

Para el caso del semiplano cerrado basta con cambiar la condición (**).

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 19:17 22 nov 2012 (CST)


1.27 Si \(\Omega\subseteq\mathbb{C} \) es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.

Tomemos una componente \(\Omega\text{´}\subseteq\mathbb{\Omega} \) y un punto \(z_{0}\epsilon\Omega\text{´} \), como \(z_{0}\epsilon\Omega \) y \(\Omega\) es abierto, existe un disco \(B(z_{0};r)\subseteq\Omega \). Recordando que un subconjunto \(\Omega\subseteq\mathbb{C} \) no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos (proposición 1.8),tenemos que la unión \(B(z_{0};r)\cup\Omega\text{´} \) es conexa; y por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a \(\Omega\text{´} \). Con esto se entiende que \(B(z_{0};r)\subseteq\Omega\text{´} \) y por tanto \(\Omega\text{´}\) es abierto.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)



FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN



Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4

Compleja:z-ej-cap2.1

Compleja:z-ej-cap2.2