Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez

De luz-wiki

Bienvenido a Luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki 01:02 10 feb 2012 (UTC)

1.61. Un punto \(z_{0}\epsilon\Omega \) se dice que es aislado si existe un disco \(B(z_{0};\varepsilon) \) con \(\varepsilon>0 \), tal que \(\Omega\cap B(z_{0};\varepsilon)=\left\{ z_{0}\right\} \). Demuestre que si \(z_{0}\epsilon\Omega \), entonces \(z_{0}\) es un punto aislado o un punto de acumulación de \(\Omega\).

En primer lugar supongamos que \(z_{0}\) un punto aislado de \(\Omega\), por lo que cumple que \(\Omega\cap B(z_{0};\varepsilon)=\left\{ z_{0}\right\} \), veremos si es un punto de acumulación, entonces \((B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\) nos da una bola de radio \(\varepsilon\) pero sin su centro (\(z_{0}\)) y la intersección de \(\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\) nos da necesariamente el vacio pues eliminamos al único elemento de \(\Omega\), \(z_{0}\). Por lo que nos es punto de acumulación.

Ahora supongamos que \(z_{0}\) s un punto de acumulación por lo tanto cumple que \(\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\neq\textrm{Ø} \) veremos si es un punto aislado. Al ver este caso nos percatamos que el caso más extremo es aquel en el que el punto de acumulación está afuera y la bola toca solo un punto frontera de \(Omega \) (los demás casos serían más simples de resolver), aquí vemos que \(z_{0}\) no se encuentra en \(\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} ) \) solo el punto al que nos referimos anteriormente. Por lo tanto no cumple con ser un punto aislado.




1.62. Si \(z_{0}\epsilon\Omega \) es un punto aislado, demuestre que cualquier función \(f:\Omega\rightarrow\mathbb{C} \) es continua en \(z_{0}\).

Como es punto aislado cumple con la definición dada en el ejercicio anterior, aplicando la definición de continuidad a los conjuntos vemos para que sea continua la función para el disco abierto \(B(f(z_{0});\varepsilon) \) en un plano uv, existe un disco abierto \(B(f(z_{0});\delta) \) en el plano de xy, tal que para todo \(z\epsilon B(f(z_{0});\delta)\cap\Omega \) se tiene tiene \(f(z)\epsilon B(f(z_{0});\varepsilon) \). Lo cual es cierto para un punto aislado ya que bola en el plano xy con radio \(\delta \) se interseca con \(\Omega\) solamente en \(z_{0}\) por definición, para que cumpliera la continuidad ese elemento tiene que dar forzosamente a un punto en \( B(f(z_{0});\varepsilon) \) , en este caso es el centro; lo que era de esperarse pues era una condición impuesta al principio. Por lo tanto cualquier función es continua en un punto aislado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:45 29 nov 2012 (CST)


3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica. Sea \(u(x,y)=Log\sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

buscamos una función v tal que


\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\partial v}{\partial y} \)

por lo que para encontrar la v integramos respecto a y\[\int\frac{\partial v}{\partial y}dy=\int\frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy=\arctan\frac{y}{x} \]

pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann

\(\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{\partial v}{\partial x} \)

De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x

\(\int\frac{\partial v}{\partial x}dx=\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}dy=\arctan\frac{x}{y} \)


como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST) 2.34. Muestre que la imagen bajo la exponencial de la recta \(z=(1+i)t \), para \(t\epsilon\mathbb{R} \) es una espiral logarítmica y bosqueje su imagen. Sea \(w=re^{i\theta} \) entonces

\(w=\mid r\mid(cos\theta+isen\theta) \)

hacemos a \(w=e^{z} \) entonces

\(e^{t}(cost+isent)=\mid r\mid(cos\theta+isen\theta)\) con lo que comparamos y nos queda la solución

\(z=log\mid r\mid+\theta i \)

nota: la parte imaginaria de z en realidad se le suma \(2\pi k\) donde k es cualquier entero.


Para el bosquejo simplemente se sustituye el valor de z en la exponencial compleja, y al pasarlas al plano uv, se puede graficar la espiral al darle valores a las siguientes componentes.

\(u=e^{t}cost \)

\(v=e^{t}sint \)

Espi log.png

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)

_____________________________________________________________________________________________________________________

Problema 1.4 vibraciones

La solución es incorrecta. La ecuación que debes resolver es

\(\ddot{\psi}+\frac{k}{m}\psi=\frac{p_1}{m}\delta(t).\)

--Ernesto (discusión) 14:10 29 may 2013 (CDT)


Problema 2.9 vibraciones

La solución es correcta.

--Ernesto (discusión) 20:59 18 jun 2013 (CDT)--Ernesto (discusión) 20:59 18 jun 2013 (CDT)


Problema 3.9 vibraciones

La solución es correcta.

--Ernesto (discusión) 10:50 3 jul 2013 (CDT)


Problema 4.5 vibraciones

El inciso b es incorrecto. En la última oscilación la amplitud está entre los valores $50 mm$ a la derecha y $35 mm$ a la izquierda del punto de equilibrio. Por lo que la fuerza máxima es

\(F_{pmax}=15.79\times 50\times10^{-3} \),

y la fuerza mínima es

\(F_{pmin}=15.79\times 30\times10^{-3}.\)

--Ernesto (discusión) 10:41 3 jul 2013 (CDT)


Problema 5.8 vibraciones

La solución es correcta.

--Ernesto (discusión) 21:09 4 jul 2013 (CDT)


Problema 2.17 ondas

La solución es correcta

--Ernesto (discusión) 19:51 6 jul 2013 (CDT)


Problema 3.38 ondas

la solución es correcta

--Ernesto (discusión) 20:06 6 jul 2013 (CDT)

Punto de vista

La soluciòn al problema 1.4 es correcta Israel López (discusión) 04:27 26 ene 2014 (UTC)