Discusión:Compleja:z-ej-cap1.1

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1.11) Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario uno de cuyos vértices es 1

Demostración


\(Sea z\in\zeta\) y \(n\geq2\) Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

\(z^n=1\)

Si escribimos en la forma polar

\( z^n=re^{in\theta} \)

Entonces,

\( z^n=r^ne^{in\theta}\)

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

\(r^n=1\) y \((\exists k\in Z)n\theta=2k\pi\)

Como \(r\geq 0\) es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre \(\theta\) es\[(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}\] Obtenemos que todos los complejos de la forma \(z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\) son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos \(r\in\) {0,1,...,n-1),\(k=r+nl\) con \(l\in Z\). Entonces

\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\)=\(e^{{i\frac{2k\pi}{n}+{2l'"`UNIQ--math-00000000-QINU`"'=\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1\)=\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\)

Así, todos los posibles valores de \(\theta\) dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

\(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\qquad\) (\(r=0,1,...,{}\nonumber\\\))

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de z en la forma \(z_{k}=z_{0}w^k\) Como multiplicar por w es un giro de amplitud \(\frac{2\pi}{n}\), deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, \(z_{0}\), con giros sucesivos de amplitud \(\frac{2\pi}{n}\) \(\therefore\) si representamos todas las raíces n-ésimas de z obtenemos n puntos sobre una circunferencia de centro (0,0) y radio \(|z|^{\frac{1}{n}}\) que forman un polígono regular de n lados.

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea \(\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad\)\(\therefore\qquad y_{0}>0\) Debemos mostrar que hay una bola abierta \(B_{1}(\overline{v_{0}},v)\) contenida en el plano superior.

Sea \(\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V\) se tiene entonces que \(y_{0}>0\). Elegimos \(r=y_{0}\) consideremos la bola abierta B\(_{1}({v_{0}},y_{0})\), sea \(\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})\)se tiene entonces que \(||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0}\). Es decir \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}\) y queremos ver que y>0, procederemos por contradicción.

Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\)=\(|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}\)

Esto es una contradicción.

Supongamos que y<0, entonces \(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\)=\(|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}\)

Esto es una contradicción

\(\therefore\qquad\) y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado