Usuario discusión:Luis Antonio

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--Luis Antonio (discusión) 23:03 10 dic 2012 (CST)

1.5 Sean \(Z\) y \(W\)\(\in\mathbb{C}\). Demostrar que:

(a)

\(\overline{\overline{z}}=z\)


Veamos, sabemos que \(z=(a+bi)\), el conjugado de un número complejo es \(\overline{z}=(a-bi)\), por ende nuestro número complejo conjugado tiene a su conjugado \(\overline{\overline{z}}=(a+bi)\) esto es z.

Por lo tanto nuestra igualdad se cumple se cumple.


(b)

\(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\).

Sean \(z=(a+bi)\); \(w=(c+di)\), entonces; \(\overline{z}=(a-bi),\overline{w}=(c-di) \)

Veamos

\([\overline{(a+bi)+(c+di)}]=[\overline{a+bi+c+di}]=[\overline{a+c+bi+di)}]=[\overline{(a+c)+(b+d)i}]=(a+c)-(b+d)i=(a+c)+(-b-d)i=a+c-bi-di=\overline{z}+\overline{w}\)



(c)

\([\overline{(a+bi)(c+di)}]=(a-bi)(c-di)\)


\([\overline{(a+bi)(c+di)}]=[\overline{ac+adi+bci-bd}]=[\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}]={(ac-bd)-(ad+bc)i}=(a-bi)(c-di)\)


(d)


Si z≠0 entonces, \(\overline{(z^-1)}=(\overline{z})^\left(-1\right)\);


\(\overline{(a+bi)^-1}=[1/(\overline{a+bi})]=1/(a-bi)=(a-bi)^\left(-1\right)\)



Si z≠0, entonces \(\overline{(w/z)}=\overline{w}/\overline{z}\)


\(\overline{(c+di)/(a+bi)}=\overline{(c+di)(a+bi)^-1}=\overline{(c+di)}.\overline{(a+bi)^-1}=\overline{(c+di)}/\overline{(a+bi)}=\overline{w}/\overline{z}.\)



1.7 Si z= a+bi, demostrar que


\(R(z)=(1/2)[(z+\overline{z})\) e \(Im(z)=(1/2i)(z-\overline{z})\)


\(R(z)=(1/2)[(z+\overline{z})=(1/2)[(a+bi]+(a-bi)]\,\!=(1/2)(a+bi+a-bi)\,\!=(1/2)(a+bi+a-bi)\,\!=(1/2)(2a)\,\!\)


\(R(z)=(a)\,\!\)


\(\therefore R(z)=(1/2)[(z+\overline{z})]\)


\(Im(z)=(1/2i)[(a+bi]-(a-bi)]\,\!\)


\(Im(z)=(1/2i)(a+bi-a+bi)\,\!=(1/2i)(2bi)\,\!\)


\(Im(z)=b\,\!\)


\(\therefore Im(z)=(1/2)(z-\overline{z})\)



1.12. Calcule las raíces indicadas:

Raíces cuadradas de w=i

\(\sqrt[n]{w}=[r_0 \exp{i(\theta\!+2k\pi\!)} ]^{1/n}= \sqrt[n]{r_0}\exp\left[\frac{i(\theta_0\! +2k\pi\!)}{n}\right] \)

1. Raíces cuadradas de w=\(i\)


\(i=1\left[cos\left(\frac{3\pi\!}{2}\right)-isin\left(\frac{3\pi\!}{2}\right)\right]\)


Observamos que \(\theta\!_0=\left(\frac{3\pi\!}{2}\right)\) y \(n=2\).


Entoces con nuestra definición


\(\sqrt[2]{w}= \sqrt[2]{1}\exp\left[\frac{i(\left(\frac{3\pi\!}{2}\right) +2k\pi\!)}{2}\right]\)


para \(k=0\)


\(w_0=\sqrt[2]{1}\exp\left[i\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)\right]=1\left[cos\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)\right]=1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).\)


Para \(k=1\); tenemos que \(1\exp{i}\left(\frac{7\pi\!}{4}\right)\)


\(w_1=1\left[cos\left(\frac{7\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{7\pi\!}{4}\right)\right]=1\left(\frac{\sqrt{2}}{2} +i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).\)


Estas son las 2 raíces cuadradas para \(w=i.\) Si le diéramos más valores a K lo único que estaríamos haciendo es darle vueltas a nuestro circulo de radio 1, donde se encuentran contenidas nuestras raíces.


2. Raíces cuartas de \(w=-1+\sqrt{3}\)


\(w=-1+\sqrt{3}= 2\left[cos\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)\right]\)


Observamos \(\theta\!_0=\frac{4\pi\!}{3}\) y \(n=4\)


Nuestra formula de obtención de raíces queda;


\(\sqrt[4]{2}\exp{i}\left(\frac{\pi\!}{3}+\frac{k\pi\!}{2}\right)\)


Como ya sabemos K es lo que varía para obtener nuestras raíces


\(k=0\)


\(w_0=\sqrt[4]{2}\exp{i}\left(\frac{\pi\!}{3}\right)=\sqrt[4]{2}\left[cos\left(\frac{\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{\pi\!}{3}\right)\right]=\sqrt[4]{2}\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).\)


\(k=1\)


\(w_1=\sqrt[4]{2}\exp{i}\left(\frac{5\pi\!}{6}\right)=\sqrt[4]{2}\left[cos\left(\frac{5\pi\!}{6}\right)-isin\left(\frac{5\pi\!}{6}\right)\right]=\sqrt[4]{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right).\)


\(k=2\)


\(w_2=\sqrt[4]{2}\exp{i}\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)=\sqrt[4]{2}\left[cos\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)\right]=\sqrt[4]{2}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right).\)


\(k=3\)


\(w_3=\sqrt[4]{2}\exp{i}\left(\frac{11\pi\!}{6}\right)=\sqrt[4]{2}\left[cos\left(\frac{11\pi\!}{6}\right)-isin\left(\frac{11\pi\!}{6}\right)\right]=\sqrt[4]{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right).\)


3. Raíces sextas de \(w=1\)


\(w=1= 1\left[cos\left(0\right)-isin\left(0\right)\right]\)


Vemos que


\(\theta\!_0=0n=6\)


Entonces nuestra ecuaciòn de raíces queda;


\(\sqrt[6]{1}\exp{i}\left(\frac{0}{6}+\frac{k\pi\!}{3}\right)\)


\(k=0\)


\(w_0=\sqrt[6]{1}\left[cos\left(0\right)-isin\left(0\right)\right]=\sqrt[6]{1}\left(1-i\left(0\right)\right)\)


\(k=1\)


\(w_1=\sqrt[6]{1}\left[cos\left(\frac{\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{\pi\!}{3}\right)\right]=\sqrt[6]{1}\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)


\(k=2\)


\(w_2=\sqrt[6]{1}\left[cos\left(\frac{2\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{2\pi\!}{3}\right)\right]=\sqrt[6]{1}\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)


\(k=3\)


\(w_3=\sqrt[6]{1}\left[cos\left(\pi\!\right)-isin\left(\pi\!\right)\right]=\sqrt[6]{1}\left(-1-i\left(0\right)\right)\)


\(k=4\)


\(w_4=\sqrt[6]{1}\left[cos\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{4\pi\!}{3}\right)\right]=\sqrt[6]{1}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)


\(k=5\)


\(w_5=\sqrt[6]{1}\left[cos\left(\frac{5\pi\!}{3}\right)-isin\left(\frac{5\pi\!}{3}\right)\right]=\sqrt[6]{1}\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)


4.Raíces cúbicas de \(w=1-i\)


\(w=1-i= \sqrt{2}\left[cos\left(\frac{\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{\pi\!}{4}\right)\right]\)


Vemos que


\(\theta\!_0=\frac{\pi\!}{4},n=3\)


Nuestra ecuación queda;


\(\sqrt[6]{2}\exp{i}\left(\frac{\pi\!}{12}+\frac{2k\pi\!}{3}\right)\)


\(k=0\)


\(w_0=\sqrt[6]{2}\exp{i}\left(\frac{\pi\!}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left[cos\left(\frac{\pi\!}{12}\right)-isin\left(\frac{\pi\!}{12}\right)\right]=\sqrt[6]{2}\left(0.9659-i\left(0.2588\right)\right)\)


\(k=1\)


\(w_1=\sqrt[6]{2}\exp{i}\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)=\sqrt[6]{2}\left[cos\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)\right]=\sqrt[6]{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)


\(k=2\)


\(w_2=\sqrt[6]{2}\exp{i}\left(\frac{17\pi\!}{12}\right)=\sqrt[6]{2}\left[cos\left(\frac{17\pi\!}{12}\right)-isin\left(\frac{17\pi\!}{12}\right)\right]=\sqrt[6]{2}\left(-0.2588-i\left(0.9656)\right)\right)\)



5. Raíces cuartas de \(w=-16\)


\(w=-16= 16\left[cos\left(\pi\!\right)-isin\left(\pi\!\right)\right]\)


\(\theta\!_0=\pi\!, n=4,r_0=16.\)


Nuestra ecuación queda


\(\sqrt[4]{16}\exp{i}\left(\frac{\pi\!}{4}+\frac{k\pi\!}{2}\right)\)


\(k=0\)


\(w_0=\sqrt[4]{16}\exp{i}\left(\frac{\pi\!}{4}\right)=\sqrt[4]{16}\left[cos\left(\frac{\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{\pi\!}{4}\right)\right]=\sqrt[4]{16}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)


\(k=1\)


\(w_1=\sqrt[4]{16}\exp{i}\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)=\sqrt[4]{16}\left[cos\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{3\pi\!}{4}\right)\right]=\sqrt[4]{16}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)


\(k=2\)


\(w_2=\sqrt[4]{16}\exp{i}\left(\frac{5\pi\!}{4}\right)=\sqrt[4]{16}\left[cos\left(\frac{5\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{5\pi\!}{4}\right)\right]=\sqrt[4]{16}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)


\(k=3\)


\(w_3=\sqrt[4]{16}\exp{i}\left(\frac{7\pi\!}{4}\right)=\sqrt[4]{16}\left[cos\left(\frac{7\pi\!}{4}\right)-isin\left(\frac{7\pi\!}{4}\right)\right]=\sqrt[4]{16}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)


6. Raíces quintas de \(w=32i\)


\(w=32i= 32\left[cos\left(-\frac{\pi\!}{2}\right)-isin\left(-\frac{\pi\!}{2}\right)\right]\)


\(\theta\!_0=-\frac{\pi\!}{2}, n=5,r_0=32.\)


Nuestra ecuación queda


\(\sqrt[5]{32}\exp{i}\left(-\frac{\pi\!}{10}+\frac{2k\pi\!}{5}\right)\)


\(k=0\)


\(w_0=\sqrt[5]{32}\exp{i}\left(-\frac{\pi\!}{10}\right)=\sqrt[5]{32}\left[cos\left(-\frac{\pi\!}{10}\right)-isin\left(-\frac{\pi\!}{10}\right)\right]=\sqrt[5]{32}\left(\left(0.9510\right)+i\left(0.3090\right)\right)\)


\(k=1\)


\(w_1=\sqrt[5]{32}\exp{i}\left(\frac{3\pi\!}{10}\right)=\sqrt[5]{32}\left[cos\left(\frac{3\pi\!}{10}\right)-isin\left(\frac{3\pi\!}{10}\right)\right]=\sqrt[5]{32}\left(\left(0.5877\right)-i\left(0.8090\right)\right)\)


\(\mathcal{k}=2\)


\(w_2=\sqrt[5]{32}\exp{i}\left(\frac{7\pi\!}{10}\right)=\sqrt[5]{32}\left[cos\left(\frac{7\pi\!}{10}\right)-isin\left(\frac{7\pi\!}{10}\right)\right]=\sqrt[5]{32}\left(\left(-0.5877)\right)-i\left(0.8090\right)\right)\)


\(\mathcal{k}=3\)


\(w_3=\sqrt[5]{32}\exp{i}\left(\frac{11\pi\!}{10}\right)=\sqrt[5]{32}\left[cos\left(\frac{11\pi\!}{10}\right)-isin\left(\frac{11\pi\!}{10}\right)\right]=\sqrt[5]{32}\left(\left(0\right)+i\left(0.3090\right)\right)\)



\(\mathcal{k}=4\)


\(w_4=\sqrt[5]{32}\exp{i}\left(\frac{3\pi\!}{2}\right)=\sqrt[5]{32}\left[cos\left(\frac{3\pi\!}{2}\right)-isin\left(\frac{3\pi\!}{2}\right)\right]=\sqrt[5]{32}\left(\left(0\right)+i\left(1\right)\right)\)



1.22 Sea \(\Omega\subseteq\mathbb{C}\) cualquier conjunto muestre que:

\(\left(1\right)\)

\(\left(a\right)\) \(\Omega\) es abierto relativo en \(\Omega\).


Puesto que dice que \(\Omega\) puede ser cualquier conjunto, lo escogemos abierto, entonces \(\Omega\) será abierto relativo tal que exista un \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\subseteq\mathbb{C}\), tal que \(\mathcal{A}_1 \cap\Omega =\Omega.\)

Dado que \(\Omega\) contiene a \(\mathcal{A}_1\), entonces cumple con la primera parte del parrafo 1 del texto en la pagina 17.


\(\left(b\right)\)Si \(\mathcal{A}_1\),.....,\(\mathcal{A}_n\subseteq\Omega\) son abiertos relativos, \(\mathcal{A}_1\cap.....\cap \mathcal{A}_n\) es abierto relativo.


Veamos, por el inciso\(\left(a\right)\), hemos dicho que \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\), tal que \(\mathcal{A}_1\cap\Omega =\Omega\), esto quiere decir que podemos tomar \(\mathcal{A}_1,.....,\mathcal{A}_n\subseteq\Omega\), tal que \(\left(\mathcal{A}_1\cap,.....,\cap\mathcal{A}_n\right)\cap\Omega = \Omega\), por lo cual se sigue cumpliendo que esa intersección de conjuntos abiertos generan a un abierto relativo.


\(\left(c\right)\)Si \(\lbrace{A_k\rbrace}\) es cualquier familia de subconjuntos de \(\Omega\) que son abiertos relativos, entonces \(\bigcup_k A_k\) también es abierto relativo.


Hemos mostrado en \(\left(b\right)\) que \(\{\cap\mathcal{A}_k\}\subseteq\Omega =\Omega\), y es abierto relativo por \(\left(a\right)\), ahora tenemos \(\{\cup\mathcal{A}_k\}\), tal que por ser abiertos y su unión es \(\{\cup\mathcal{A}_k\}\cap\Omega =\Omega\), lo cual sigue generando a nuestro abierto relativo.



\(\left(2\right)\)

\(\left(a\right)\) \(\Omega\) es cerrados relativo en \(\Omega\).


Puesto que dice que \(\Omega\) puede ser cualquier conjunto, lo escogemos cerrado, entonces \(\Omega\) será cerrado relativo tal que exista un \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\subseteq\mathbb{C}\), tal que \(\mathcal{A}_1 \cap\Omega =\Omega.\)


\(\left(b\right)\)Si \(A_1\),.....,\(A_n\subseteq\Omega\) son cerrados relativos, \(A_1\cup.....\cup A_n\) es cerrado relativo.


Entonces, por el inciso\(\left(a\right)\), hemos dicho que \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\), tal que \(\mathcal{A}_1\cap\Omega =\Omega\), esto quiere decir que podemos tomar \(\mathcal{A}_1,.....,\mathcal{A}_n\subseteq\Omega\), tal que \(\left(\mathcal{A}_1\cup,.....,\cup\mathcal{A}_n\right)\cap\Omega = \Omega\), por lo cual se sigue cumpliendo que esa unión de conjuntos cerrados generan a un cerrado relativo.


\(\left(c\right)\)Si \(\lbrace{A_k\rbrace}\) es cualquier familia de subconjuntos de \(\Omega\) que son cerrados relativos, entonces \(\bigcap_k A_k\) también es cerrado relativo.


Hemos mostrado en \(\left(b\right)\) que \(\{\cup\mathcal{A}_k\}\subseteq\Omega =\Omega\), y es cerrado relativo por \(\left(a\right)\), ahora tenemos \(\{\cap\mathcal{A}_k\}\), tal que por ser cerrados y su unión es \(\{\cap\mathcal{A}_k\}\cap\Omega =\Omega\), lo cual sigue generando a nuestro cerrado relativo.


--Luis Antonio (discusión) 16:39 5 dic 2012 (CST)


1.23 Si \(A\subseteq\Omega\) es abierto relativo, demuestre que \(\Omega-A\subseteq\Omega\) es cerrado relativo. Demuestre también que si \(F\subseteq\Omega\) es cerrado relativo, entonces \(\Omega-F\subseteq\Omega \) es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto \(\mathcal{A}_1\subseteq\Omega\) es abierto relativo en \(\Omega\) si existe un conjunto abierto \(\mathcal{A}_1\subseteq\mathbb{C}\) tal que \(\Omega=\mathcal{A}_1\cap\Omega\).

* Se dice que un subconjunto cerrado \(\mathcal{F}_1\subseteq\Omega\) es cerrado relativo en \(\Omega\) si existe un conjunto cerrado \(\mathcal{F}_1\subseteq\mathbb{C}\) tal que \(\Omega=\mathcal{F}_1\cap\Omega\).


Lo anterior es por el ejercicio 1.22

hola

Podemos imaginar el analisis como el conjunto \(\Omega\) es abierto relativo, su \(\Omega^c = \mathcal{A}_1 -\Omega\) será cerrado relativo, esto por que \(\mathcal{A}_1 \) podrá tocar sus puntos frontera. De manera similar si \(\Omega\) es cerrado relativo, por entonces sus complemento \(\Omega^c = \mathcal{F}_1 -\Omega\), será abierto relativo por que \(\mathcal{F}_1\) no podrá tocar su frontera.


Entonces se concluye lo que nos pide demostrar el enunciado enuciado.



1.32 Si \(\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathbb{C}\) demuestre que\(\boldsymbol{\Omega}^- =\{Z \in \mathfrak{C}: Z \}\)es un punto de acumulación de \(\boldsymbol{\Omega}\).


Un punto \(\mathcal{Z}_0\) se dice que es un punto de acumulación \(\boldsymbol{\Omega}\), si al menos alrededor de \(\mathcal{Z}_0\) contiene un punto \(\mathcal{Z}\). Entonces si \(\boldsymbol{\Omega}^-\), este contiene todos sus puntos de acumulación


Ayudandonos del lema 1.12


si \(\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathfrak{C}\), un punto de acumulción de \(\boldsymbol{\Omega}\) si y sólo sí existe una sucesión\(\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\), tal que


\(\mathcal{z}_0 = \lim\{\mathcal{Z}_n\}\).


Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite


\(\boldsymbol{\Omega}^-\) si \(\mathcal{Z}\) es un punto de acumulación de \(\boldsymbol{\Omega}\), y \(\mathcal{Z}\in \boldsymbol{\Omega}\), por lo tanto \(\mathcal{Z}\notin \left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{\Omega}\right).\)


Hay una bola \(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)\) centrado en \(\mathcal{Z}\), y pasa que \(\boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq Ø\).


Por el ejercicio 1.21, tenemos que \(\mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^-\) , entonces si hay una sucesión \(\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\), tal que sea convergente, osea \(\mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\}\).



1.56 Dé un ejemplo de una función continua que no es uniformemente continua.


Para mi \(\mathcal{F}\left(\mathcal{Z}\right)=\frac{1}{\mathcal{Z}}\), no es uniformemente continua en el intervalo \(\left|\mathcal{Z}\right|<1.\), o sea \(\left(0,1\right)\).


Del último párrafo de la pagina 30 del libro de Teoría de funciones de una variable compleja de Zaldivar Felipe. Podemos entender lo siguiente;


Si pensamos que \(\mathcal{F}\left(\mathcal{Z}\right)\) es uniformemente continua en el intervalo. Entonces para cualquier \(\epsilon >0\), debería ser posible encontrar \(\delta\), entre 0 y 1, tal que \(\left|\mathcal{F}\left(\mathcal{Z}\right)-\mathcal{F}\left(\mathcal{Z}_0\right)\right|<\epsilon\) cuando \(\left|\mathcal{Z} -\mathcal{Z}_0\right|<\delta\) para todo \(\mathcal{Z}\) y \(\mathcal{Z}_0\) en el intervalo.


Para \(\mathcal{Z}=\mathcal{\delta}\) y \(\mathcal{Z}_0=\frac{\delta}{1+\epsilon}\).


\(\left|\mathcal{Z}-\mathcal{Z}_0\right|=\left|\delta - \frac{\delta}{1+\epsilon}\right|=\frac{\epsilon}{1+\epsilon} \delta<\delta.\).


Por otro lado,


\(\left|\frac{1}{\mathcal{Z}} -\frac{1}{\mathcal{Z}_0}\right|=\left|\frac{1}{\delta} -\frac{1+\epsilon}{\delta}\right|=\frac{\epsilon}{\delta}>\epsilon ;\)ya que\(\left( \delta\in \left(0,1\right)\right).\)


De este modo tenemos una contradicción, y tenemos que \(\mathcal{F}\left(\mathcal{Z}\right)=\frac{1}{\mathcal{Z}}\) no es uniformemente continua en el intervalo.



1.71.Si \(\mathcal{Z_1}\),\(\mathcal{Z_2}\), demuestre que


\(d_c=\frac{2\left|\mathcal{Z_2}-\mathcal{Z_1}\right|}{\sqrt{1+\left|\mathcal{Z_1}\right|^2}\sqrt{1+\left|\mathcal{Z_2}\right|^2}}\).


cle


Sea \(\mathcal{Z_1}\),\(\mathcal{Z_2}\in \mathfrak{C}\)

Por triángulos semejantes \(NO\mathcal{z}\)y\(NA\mathcal{Z}\) \(\left(figura 2\right)\), implica \(\frac{\left|N-\mathcal{z}\right|}{1}=\frac{\left|N-\mathcal{Z}\right|}{1-\boldsymbol{\zeta}}\).


Pero\(\left|N-\mathcal{z}\right|=\sqrt{\left|\mathcal{z}\right|^2 +1}\) y \(1-\boldsymbol{\zeta}=\frac{2}{\left|\mathcal{z}\right|^2 +1}\) , entonces


\(\left|N-\mathcal{Z}\right|=\frac{2}{\sqrt{1+\left|\mathcal{z}\right|^2}}\) y \(\left|N-\mathcal{z}\right|\left|N-\mathcal{Z}\right|=2\)

El plano N_z1z2, intersecta a S en un circulo,\(\left(figura 3\right)\).


Vemos que\(\left|N-\mathcal{z}_1\right|\left|N-\mathcal{Z}_1\right|=\left|N-\mathcal{z}_2\right|\left|N-\mathcal{Z}_2\right|\),


los triangulos N_z1z2 y N_Z1Z2, son semejantes, entonces;


\(\frac{\left|\mathcal{Z}_1 -\mathcal{Z}_2\right|}{\left|\mathcal{z}_1 -\mathcal{z}_2\right|}=\frac{\left|N-\mathcal{Z}_2\right|}{\left|N -\mathcal{z}_1\right|}\)

Hacemos\(d_c\left(\mathcal{Z}_1 ,\mathcal{Z}_2\right)= \left|\mathcal{Z}_1 -\mathcal{Z}_2\right|=\frac{2\left|\mathcal{z}_1 -\mathcal{z}_2 \right|}{\sqrt{1+\left|\mathcal{z}_1\right|^2}\sqrt{1+\left|\mathcal{z}_2\right|^2}}\)



2.5 (Teorema del valor medio) Si \(a,b \in \mathbb{R}\) con \(a<b \mathcal{F} :\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}\), es continua y además es derivable en \(\left(a,b\right)\), demuestre que existe un \(\epsilon \in \left(a,b\right)\), tal que:


\(\mathcal{F}^´\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.\)


Suponemos una función \(\mathcal{g}\left(x\right)=\mathcal{F}\left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)\), como \(\mathcal{F}\left(x\right)\) es continua en \(\left[a,b\right]\), aparte la otra función \(-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)\), es continua en el intervalo entonces \(\mathcal{g}\left(x\right)\) también lo es.


Obtengamos su derivada;


\(\mathcal{g}^´ \left(x\right) = \mathcal{F}^´ \left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right).\)


Es diferenciable en \(\left(a,b\right)\) al igual que \(\mathcal{F}\left(x\right).\)


Ahora, notemos;


\(\mathcal{g}\left(a\right)= b\mathcal{F}\left(a\right)-a\mathcal{F}\left(a\right)-\mathcal{F}\left(b\right)+a\mathcal{F}\left(a\right)=b\mathcal{F}\left(a\right)-a\mathcal{F}\left(b\right)\)


\(=b\mathcal{F}\left(b\right)-a\mathcal{F}\left(b\right)-b\mathcal{F}\left(b\right)+b\mathcal{F}\left(a\right)\)


\(=\mathcal{F}\left(b\right)\left(b-a\right)-b\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)\)


\(=\mathcal{g}\left(b\right).\)


El Teorema de Rolle, nos dice que exite \(\epsilon\) en \(\left(a,b\right)\) tal que;


\(0=\mathcal{g}^´ \left(\epsilon\right)=\mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right)-\left(\mathcal{F} \left(b\right)-\mathcal{F} \left(a\right)\right)\Rightarrow \mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)= \mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right).\)


mean value


2.29 Se definen las otras funciones trigonométricas complejas, en términos del seno y coseno complejos, como es usual:


\(tan\left(\mathcal{z}\right)=\frac{sen\left(z\right)}{cos\left(z\right)}\) ; \(sec\left(z\right)=\frac{1}{cos\left(z\right)},\)


\(cot\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos\left(z\right)}{sen\left(z\right)}\) ; \(sec\left(z\right)=\frac{1}{sen\left(z\right)}.\)


Encuentre sus dominios y muestre que son holomorfas en su dominio y sus derivadas son las esperadas.


El dominio del primer par de funciones es todo \(\mathcal{z}\notin\{\frac{\pi}{2} + k\pi\},\)


El dominio del segundo par de funciones es todo \(\mathcal{z}\notin\{ k\pi\}.\)


Donde \(K\in \mathbb{N}.\)


Para mostrar que son holomorfas en su dominio, basta demostrar las ecuaciones de Cauchy-Riemann. osea, que son diferenciables en su dominio, lo cual nos genera un intervalo abierto en el cual es diferenciable.


\(\mathcal{U}_x=\mathcal{V}_y\) y \(\mathcal{U}_y=-\mathcal{V}_x.\)


sabemos \(Tan\left(\mathcal{Z}\right)=Tan\left(\mathcal{x} + i\mathcal{y}\right)=\frac{Sin\left(2\mathcal{x}\right)}{Cos\left(2\mathcal{x}\right)+ Cosh\left(2\mathcal{y})\right)} + \frac{iSinh\left(2\mathcal{y}\right)}{Cos\left(2\mathcal{x}\right)+ Cosh\left(2\mathcal{y})\right)}.\)


Entonces tenemos que la parte real;


\(\mathcal{U}\left(x,y\right)=\frac{Sen\left(2\mathcal{x}\right)}{Cos\left(2\mathcal{x}\right)+ Cosh\left(2\mathcal{y})\right)}, \)


y la parte imaginaria es ;


\(\mathcal{V}\left(x,y\right)=\frac{iSenh\left(2\mathcal{y}\right)}{Cos\left(2\mathcal{x}\right)+ Cosh\left(2\mathcal{y})\right)}.\)


Comprobemos las ecucuaciones de Cauchy-Riemann.


\(\mathcal{U}_x=\frac{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]2cos\left(2\mathcal{x}\right)- sen\left(2\mathcal{x}\right)\left(-2sen\left(2\mathcal{x}\right)\right)}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2}=\frac{2+2cos\left(2\mathcal{x}\right) \left( cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right)}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2}.\)


\(\mathcal{V}_y =\frac{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]2cosh\left(2\mathcal{y}\right)- senh\left(2\mathcal{y}\right)\left(-2senh\left(2\mathcal{y}\right)\right)}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2}=\frac{2+2cos\left(2\mathcal{x}\right) \left( cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right)}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2}.\)


De manera similar obtenemos;


\(\mathcal{U}_y = \frac{-sin\left(2\mathcal{x}\right)\left[2senh\left(2\mathcal{y}\right)\right]}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2} =-\frac{2sen\left(2\mathcal{x}\right)senh\left(2\mathcal{y}\right)}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2}.\)


\(\mathcal{V}_x = \frac{-sinh\left(2\mathcal{y}\right)\left[-2sen\left(2\mathcal{x}\right)\right]}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2} =\frac{2sen\left(2\mathcal{x}\right)senh\left(2\mathcal{y}\right)}{\left[cos\left(2\mathcal{x}\right)+ cosh\left(2\mathcal{y}\right)\right]^2}.\)


Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en un intervalo diferenciable, por lo cual es Holomorfa(Analítica).


Ahora comprobemos sus derivadas respecto a z, y veamos que son las esperadas;


\(Tan\left(\mathcal{z}\right)=\frac{sen\left(\mathcal{z}\right)}{cos(\left(\mathcal{z}\right)}\) y entonces \(Tan^´\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos(\left(\mathcal{z}\right)cos(\left(\mathcal{z}\right)-sen\left(\mathcal{z}\right)\left(-sen\left(\mathcal{z}\right)\right)}{\left[cos(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{cos^2\left(\mathcal{z}\right)+ sin^2\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{1}{cos^2\left(\mathcal{z}\right)}= sec^2\left(\mathcal{z}\right). \)



\(Sec\left(\mathcal{z}\right)=\frac{1}{cos(\left(\mathcal{z}\right)}\) y entonces \(Sec^´\left(\mathcal{z}\right)=-\frac{-sen(\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{sen\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{tan\left(\mathcal{z}\right)}{cos\left(\mathcal{z}\right)}= tan\left(\mathcal{z}\right)sec\left(\mathcal{z}\right). \)



\(Cot\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos\left(\mathcal{z}\right)}{sen(\left(\mathcal{z}\right)}\) y entonces \(Cot^´\left(\mathcal{z}\right)=\frac{-sen\left(\mathcal{z}\right)sen\left(\mathcal{z}\right)-cos\left(\mathcal{z}\right)\left(cos\left(\mathcal{z}\right)\right)}{\left[sen(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{-sen^2\left(\mathcal{z}\right)- cos^2\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{-1}{sen^2\left(\mathcal{z}\right)}= -csc^2\left(\mathcal{z}\right). \)



\(Csc\left(\mathcal{z}\right)=\frac{1}{sen(\left(\mathcal{z}\right)}\) y entonces \(Csc^´\left(\mathcal{z}\right)=-\frac{-cos(\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=-\frac{cos\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= -cot\left(\mathcal{z}\right)csc\left(\mathcal{z}\right). \)


Vemos que sus derivadas son las correspondientes.


--Luis Antonio (discusión) 23:03 10 dic 2012 (CST)