Compleja:Zill-Cap5.4

De luz-wiki


Ejercicios del capítulo 5, sección 4 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.


Sección 5.4

Ejercicio 1

Evalúe la integral de ccontorno C dada en la figura usando una trayectoria alternativa de integración y el teorema fundametal del cálculo para integrales de contorno.

P5.4.1.png

\[ \int_{C} \!(4z-1)\, dz \]

La ruta alternativa es la dibujada en azul que se parametriza del siguiente modo: \[ z(t)=it \;\;\;\;\; -1 \leq t \leq 1 \] \[ dz=i\,dt \]


Que transforma la integral en: \[ \int_{C} \!(4z-1)\, dz = \int_{-1}^{1} \!\left[4(it)-1\right]\, (i)\,dt= \int_{-1}^{1} \!-4t-i\,dt=-4(1-1)/2-i(1--1)=-2i \]

Por el teorema \[ \int_{C} \!(4z-1)\, dz = \frac {4 z^2}{2}-z= 2z^2-z=[2(i)^2-i]-[2(-i)^2--i]=-2-i-(-2+i)=-2-i+2-i=-2i \]

donde se ve que son equivalentes --Tlacaelel Cruz (discusión) 23:39 18 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 2

In Problems 1 and 2, evaluate the given integral, where the contour C is given in the figure, (a) by using an alternative path of integration and (b) by using Theorem 5.7.

traduccion:

En los problemas 1 y 2 , evaluar la integral dada, donde se da el contorno C en la figura, ( a) mediante el uso de un camino alternativo de integración y ( b ) utilizando el teorema 5.7 .

$\int_{c}e^{z}dz$ donde c esta dada entre los puntos $z0=0$ y $z1=3+i$

insiso a:

para el insiso a necesitamos crear una paremetrisacion de esa curva c

la parametricacion queda:

$z\left(t\right)=3t+i\left(t\right)$ $0\leq t\geq1$

haora con al paremetrisacion podemos calcular al integral de la manera siguiente:

$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$

entonces tenemos

$f\left(z\left(t\right)\right)=e^{3t+it}$

$z\left(t\right)=3t+it$

$z^{\prime}\left(t\right)=3+i$

usando estos resultados podemos escribir la integral de este modo:

$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{1}\left(e^{3t+it}\right)\left(3+i\right)dt$ como el exponente es z y lo que multiplica a la exponencial es z$^{\prime}$ la integral queda $\int e^{z}dz=e^{z}$y regresamos a z en funcion de t y evaluamos

$\int_{c}e^{z}dz=\left[e^{3t+it}\right]_{0}^{1}=\left[e^{3t}e^{it}\right]_{0}^{1}=\left(e^{3}\left(cos\left(1\right)+isen\left(1\right)\right)\right)-\left(1\right)$

insiso b:

para el insiso b necesitamos tener en cuenta el teorema 5.7

el teorema dice lo siguiente:

Supongamos que una función f es continua en un dominio D y F es una primitiva de f en D. Entonces, para cualquier contorno C en D con el punto inicial z0 y punto z1 termina tenemos:

$\int_{c}f\left(z\right)dz=F\left(z_{1}\right)-F\left(z_{0}\right)$

esto funciona para una funcion $f\left(z\right)$que sea analitica

entonces resolvamos la integral de ejercicio mediante este teorema:

$\int_{c}e^{z}dz$ donde $z0=0$ y $z1=3+i$ tenemos una exponencial compleja la cual es entera y analitica en todo el plano complejo por tanto podemos aplicar el teorema 5.7

$f\left(z\right)=e^{z}$ entonces $F\left(z\right)=e^{z}$

entonces usando el teorema tenemos

$\int_{c}e^{z}dz=e^{3+i}-e^{0}=\left(e^{3}\left(cos\left(1\right)+isen\left(1\right)\right)\right)-\left(1\right)$

hemos terminado la integral mediante ytrayectoria y mediante el teorema y llegamos al mismo resultado por lo cual comprovamos que el teorema es sierto si una funcion es analitica y la evaluamos en un segmento podemos calcular solo los puntos final e inicial del segmento si importar la trayectoria

--Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----




Ejercicio 3

Evalúa la integral en en el contorno indicado.

$\int_C 2zdz$

$z(t)=2t^3+i(t^4-4t^3+2$

$ -1\leq t\leq1 $

Derivo $z$

$dz=6t^2+i(4t^3-12t^2)$

Sustituyo


$2z= 4t^3+i(2t^4-8t^3+4)$

$2zdz= [4t^3+i(2t^4-8t^3+4)][6t^2+i(4t^3-12t^2] = (-8t^7+56t^6-72t^5-16t^3+48t^2)+i(28t^6-96t^5+24t^2)$


$\int_C 2zdz=\int_{-1}^{1}[(-8t^7+56t^6-72t^5-16t^3+48t^2)+i(28t^6-96t^5+24t^2)]dt = 48+24i$

Nancy Martínez Durán (discusión) 10:56 18 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 4

Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado C

4.- $\intop_{c}2zdz$ , donde C es $z(t)=2cos^{3}\pi t-isen^{2}\frac{\pi}{4}t$ con $0\leqslant t\leqslant2$

Como ya tenemos parametrizada la funcion C en t, solo sustituimos y resolvemos:

$\intop_{0}^{2}2[2cos^{3}\pi t-isen^{2}\frac{\pi}{4}t]dt=4\intop_{0}^{2}cos^{3}\pi tdt-2i\intop_{0}^{2}sen^{2}\frac{\pi}{4}tdt$


Por un lado tenemos

$4\intop_{0}^{2}cos^{3}\pi tdt=4\frac{9sen(\pi t)+sen(3\pi t)}{12\pi}|_{0}^{2}=\frac{9sen(\pi t)+sen(3\pi t)}{3\pi}|_{0}^{2}=\frac{9sen(\pi2)+sen(6\pi)}{3\pi}-\frac{9sen(\pi0)+sen(3\pi0)}{3\pi}=0$


Y que:

$2\intop_{0}^{2}sen^{2}\frac{\pi}{4}tdt=2[\frac{t}{2}-\frac{sen[\pi t/2]}{\pi}]_{0}^{2}=2[\frac{2}{2}-\frac{sen[\pi]}{\pi}]=2$


Finalmente

\[ \intop_{0}^{2}2[2cos^{3}\pi t-isen^{2}\frac{\pi}{4}t]dt=-2i \]


--Fernando Vazquez V. (discusión) 00:12 21 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 5

Evalue la integral dada


$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz$


Aplicaremos el teorema


$\int_{C} f(z)dz = F(z_{1})-F(z_{0})$


Donde


$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz=\frac{z^{3}}{3}\mid_{0}^{3+i}$


$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz=\frac{(3+i)^{3}}{3}=\frac{18+26i}{3}$


$\int_{0}^{3+i} z^{2}dz=\frac{(3+i)^{3}}{3}=6+\frac{26i}{3}$


Miguel Medina Armendariz (discusión) 17:51 19 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 6

Evalúa la integral dada $\int_{-2i}^{1} (3z^2 - 4z + 5i)dz$


Separando la integral tenemos:


$= \int_{-2i}^{1} 3z^2 dz - \int_{-2i}^{1} 4z dz + \int_{-2i}^{1} 5i dz$


$= [z^3]_{-2i}^{1} - 2[z^2]_{-2i}^{1} + 5i[z]_{-2i}^{1}$


$= 1 - (-2i)^3 - 2(1 + 4) + 5i (1 + 2i)$


$= 1 - 8i - 10 + 5i - 10$


$= 1 - 20 - 3i = -19 - 3i$


Siendo este nuestro resultado de la forma $a + ib$


Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 14:46 20 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 7

Ejercicio 7

$\int_{\frac{i}{2}}^{i}=e^{\pi z}dz$

Por cambio de variable $u=\pi z$ , $du=\pi dz$

Por lo que:

$\int_{\frac{i}{2}}^{i}e^{\pi z}dz=\frac{1}{\pi}\int_{\frac{i}{2}}^{i}e^{u}du=\frac{1}{\pi}e^{\pi z}\mid_{\frac{i}{2}}^{i}=\frac{1}{\pi}\left(e^{\pi i}-e^{\frac{\pi i}{2}}\right)$

$=\frac{1}{\pi}\left(\cos\pi+i\sin\pi-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

$=\frac{1}{\pi}\left(-1+i0-0-i\right)=-\frac{1}{\pi}-\frac{i}{\pi}$

Entonces:

$\int_{\frac{i}{2}}^{i}e^{\pi z}dz=-\frac{1}{\pi}-\frac{i}{\pi}$


Resuelto por:

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:57 18 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 8

Utilizar el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada y ponerla de la forma a+bi

$\int_{-3}^{2i}\left(z^{3}-z\right)dz$

Solución:

Separamos la integral y evaluamos por el Teorema fundamental del calculo para integrales de contorno y así tenemos lo siguiente:

$\int_{-3i}^{2i}z^{3}dz-\int_{-3i}^{2i}zdz$ ... (1)

Primero hacemos la integral de la izquierda, luego la de la derecha de (1) y al final sumaremos para dejarlo de la forma deseada

Recordando que $i^{4}=1$ y que $i^{2}=-1$ lo cual no servirá para cada integral.

$\int_{-3i}^{2i}z^{3}dz=\frac{z^{4}}{4}\mid_{-3i}^{2i}=\frac{1}{4}\left[\left(2i\right)^{4}-\left(-3i\right)^{4}\right]=\frac{1}{4}\left[\left(16\right)-\left(81\right)\right]=\frac{1}{4}\left[16-81\right]=\frac{1}{4}\left[-65\right]=-\frac{65}{4}$ ... (2)

Ahora la segunda integral

$\int_{-3i}^{2i}zdz=\frac{z^{2}}{2}\mid_{-3i}^{2i}=\frac{1}{2}\left[\left(2i\right)^{2}-\left(-3i\right)^{2}\right]=\frac{1}{2}\left[\left(-4\right)-\left(-9\right)\right]=\frac{1}{2}\left[-4+9\right]=\frac{1}{2}\left[5\right]=\frac{5}{2}=\frac{10}{4}$ ...(3)

Recordando que para resolver la segunda integral lo debemos multiplicar por un signo menos por (1)

Ahora solamente sumamos (2) y (3) para dejar lo de la forma a+bi y así obtener el resultado deseado

$-\frac{65}{4}-\frac{10}{4}=\frac{-65-10}{4}=-\frac{75}{4}$

Por lo tanto:

$\int_{-3i}^{2i}\left(z^{3}-z\right)dz=-\frac{75}{4}+0i$


Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 09:52 21 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 9

Utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral $\int_{-i/2}^{1-i} \! (2z+1)^2 \,dz$. Escriba la respuesta en la forma $a+ib$.


Teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno.

Suponga que una función $f$ es continua en un dominio $D$ y $F$ es una antiderivada de $f$ en $D$.

Entonces, para cualquier contorno $C$ en $D$ con punto inicial $z_{0}$ y punto final $z_{1}$,

\[ \int_{C} \! f(z) \,dz = F(z_{1})-F(z_{0}) \]


$Solución : $


\[ \int_{-i/2}^{1-i} \! (2z+1)^2 \,dz= \int_{-i/2}^{1-i} \! \left( 4z^{2}+4z+1 \right) \,dz = 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z^{2} \,dz + 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z \,dz + \int_{-i/2}^{1-i} \! 1 \,dz \]


Tengo que:

$F(z)= \frac{z^{3}}{3}$ es una antiderivada de $f(z)= z^2$ ya que $F'(z)= z^2$

$F(z)= \frac{z^{2}}{2}$ es una antiderivada de $f(z)= z$ ya que $F'(z)= z$

$F(z)= z $ es una antiderivada de $f(z)= 1$ ya que $F'(z)= 1$


Por tanto; del terorema 5.4.2 tenemos:

\[ 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z^{2} \,dz + 4 \int_{-i/2}^{1-i} \! z \,dz + \int_{-i/2}^{1-i} \! 1 \,dz= 4 \frac{z^{3}}{3} \Big ]_{-i/2}^{1-i} + 4 \frac{z^{2}}{2} \Big ]_{-i/2}^{1-i} + z \Big ]_{-i/2}^{1-i} = \]

\[ \frac{4}{3} \left(-2 -\frac{17}{8} i\right) + 2 \left(-2i +\frac{1}{4} \right) +1 - \frac{i}{2}= \]

\[ - \left( \frac{8}{3} - \frac{17}{6} i \right) - 4i + \frac{1}{2} +1 - \frac{i}{2}= \left( - \frac{8}{3} + \frac{3}{2} \right) + i \left(- \frac{17}{6} - \frac{9}{2} \right) = - \frac{7}{6} - i \frac{22}{3} \]

Finalmente la respuesta en la forma $a+ib$ es:

\[ - \frac{7}{6} - i \frac{22}{3} \]


--Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:55 19 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 13

Utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada.

\[ {\displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz} \]


Integrando la funcion tenemos que

\[ {\displaystyle \int\sin(\frac{z}{2})dz=2cos(\frac{z}{2})}+c \]


Pero por el teorema 5.4.2

\[ {\displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz=2\cos(\frac{\pi+2i}{2})-2\cos(\frac{\pi}{2})} \]


Sabemos que $i$ tambien representa una rotacion de $\frac{\pi}{2}$, por lo tanto podemos escribir lo anterior de la siguiente manera

\[ {\displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz=2\cos(\frac{2\pi}{2})-2\cos(\frac{\pi}{2})=-2} \]


\[ \therefore{\displaystyle \int_{\pi}^{\pi+2i}\sin(\frac{z}{2})dz=-2+i0} \]

Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:08 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 14

utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada . escriba cada respuesta de la forma a+ib

$\intop_{1-2i}^{\pi i}cos(z)dz$

$\intop_{1-2i}^{\pi i}cos(z)dz=sin(z)|_{1-2i}^{\pi i}=sin(\pi i)-sin(1-2i)$

pero lo queremos de la foma a+ib, por lo tanto haremos lo siguiente

$sin(\pi i)=\frac{e^{i(\pi i)}-e^{-i(\pi i)}}{2i}=\frac{e^{-\pi}-e^{\pi}}{2i}=\frac{\frac{1}{e^{\pi}}-e\pi}{2i}=\frac{1-e^{2\pi}}{2ie^{\pi}}=\frac{-(1-e^{2\pi})i}{2e^{\pi}}$

$sin(1-2i)=\frac{e^{i(1-2i)}-e^{-i(1-2i)}}{2i}=\frac{e^{2+i}-e^{-2-i}}{2i}=\frac{e^{2}\left(cos(1)+isin(1)-e^{-2}(cos(-1)-isin(-1)\right)}{2i}=\frac{-e^{2}cos(1)i}{2}+\frac{e^{-2}cos(-1)i}{2}+\frac{e^{2}sin(1)}{2}+\frac{e^{-2}sin(-1)}{2}$

por lo tanto tenemos que el resultado de nuestra integral es

$\intop_{1-2i}^{\pi i}cos(z)dz=sin(z)|_{1-2i}^{\pi i}=sin(\pi i)-sin(1-2i)=\left[\frac{-(1-e^{2\pi})i}{2e^{\pi}}\right]-\left[\frac{-e^{2}cos(1)i}{2}+\frac{e^{-2}cos(-1)i}{2}+\frac{e^{2}sin(1)}{2}+\frac{e^{-2}sin(-1)}{2}\right]=\left[-\frac{e^{2}sin(1)}{2}-\frac{e^{-2}sin(-1)}{2}\right]+i\left[\frac{e^{2}cos(1)}{2}-\frac{e^{-2}cos(-1)}{2}-\frac{(1-e^{2\pi})}{2e^{\pi}}\right]$



--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 20:52 21 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 15

Utilize el teorema para evaluar la integral dada.Escriba la respuesta en la forma \(a+ib\).

Teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno. Suponga que una función \(f\) es continua en un dominio \(D\) y \(F\) es una antiderivada de \(f\) en \(D\).Entonces , para cualquier contorno \(C\) en \(D\) con un punto inicial \(z_0\) y un punto final \(z_1\).

\(\int_C f(z) dz= F(z_1)-F(z_0)\).

Evaluar\[\int_{i\pi}^{2i\pi} cos h (z) dz\]

Por definicion tenemos que\[\frac{d}{dz}senh (z)= cosh(z)\]

por lo cual tenemos que\[\int_{i\pi}^{2i\pi} cos h (z) dz= sen h(z)|_{i\pi}^{2i\pi}\]

Ahora bien sabemos que\[sen h (z)=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2i}\]

sustituyendo \[sen h(z)= \frac{e^{2i\pi}-e^{-2i\pi}}{2i}-\frac{e^{i\pi}-e^{-i\pi}}{2i}\]

y tomando en cuenta que \(cos(-\alpha)=cos(\alpha)\)

Evaluando\[e^{2i\pi}=cos(2\pi)+i sen(2\pi)=1\]

\(e^{i\pi}=cos(2\pi)+i sen(2\pi)=-1\)

Sustituyendo\[sen h(z)= \frac{1-1}{2i}-\frac{-1-(-1)}{2i}\]

\( \frac{0}{2i}-\frac{0}{2i}=0\)


Por lo cual nuestra integral evaluada en esos puntos es igual a \(0+0i\).

--Anahi Limas (discusión) 22:29 20 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 19

Utilice el teorema 5.4.2 para evaluar la integral dada.

\[ \int_{-4i}^{+4i}\frac{dz}{z^{2}} \] , C es cualquier contorno que no pase por el origen

Escriba la respuesta en la forma a +ib

Solución

El teorema nos dice que para cualquier contorno C en D(dominio) con punto inicial \( z_{0} \) y punto final \( z_{1} \)

\[ \int f(z)dz=F(z_{1})-f(z_{0}) \]

donde \[ F(z)=-\frac{1}{z} \] es una antiderivada de \( f(z)=\frac{1}{z^{2}} \) ya que \( F'(z)=\frac{1}{z^{2}}=f(z) \)

Entonces

\[ \int_{-4i}^{+4i}\frac{1}{z^{2}}dz=-\frac{1}{z}\mid_{-4i}^{+4i}=-\left[\frac{1}{4i}-\left\{ \frac{1}{-4i}\right\} \right]=-\frac{1}{4i}-\frac{1}{4i}=-\frac{2}{4i}=-\frac{1}{2i} \]

simplificando se tiene:

\[ \int_{-4i}^{+4i}\frac{1}{z^{2}}dz=-\frac{1}{2i}=-\frac{1}{2i}\left(\frac{i}{i}\right)=-\frac{i}{2i^{2}}=-\frac{i}{-2}=\frac{i}{2} \]

por lo tanto

\[ \int_{-4i}^{+4i}\frac{1}{z^{2}}dz=0+\frac{i}{2} \]

Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:30 20 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 22

Utilizar integración por partes para evaluar la integral. Escribir cada respuesta en la forma $a+bi$

$\intop_{0}^{i}zsenzdz$

Por tanto, utilizando el teorema: $\int_{z_{0}}^{z_{1}}f(z)g'(z)dz=f(z)g'(z)|_{z_{0}}^{z_{1}}-\int_{z_{0}}^{z_{1}}f'(z)g(z)dz$ se puede evaluar la integral de la siguiente forma:

Primero escojemos nuestras funciones $g(z)$ y $f(z)$ de la mejor manera. En este caso conviene usar:

$f(z)=z$ ; $f'(z)=1dz$

$g(z)=-cosz$ ; $g'(z)=senz$

Ahora podemos escribir entonces:

$\intop_{0}^{i}zsenzdz=-zcosz+\intop_{0}^{i}coszdz=[-zcosz+senz]_{0}^{i}$

$=(-icosi+seni)-(-(0)cos0+sen0)=(-icosi+seni)$

Usamos las identidades exponenciades del sen y coseno y sustituimos

$=i(\frac{e^{ii}+e^{-ii}}{2})+(\frac{e^{ii}-e^{-ii}}{2i})$

$=i(\frac{e^{-1}+e^{1}}{2})+(\frac{e^{-1}-e^{1}}{2i})(\frac{-2i}{-2i})=i(\frac{e^{-1}+e^{1}}{2})+(\frac{-2ie^{-1}+2ie^{1}}{4})$

$=\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}-\frac{2ie^{-1}}{4}+\frac{2ie^{1}}{4}$

$=\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}-\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}=\frac{ie^{-1}}{2}+\frac{ie^{1}}{2}-\frac{2ie^{-1}}{4}+\frac{2ie^{1}}{4}=-\frac{i}{e^{1}}+ie^{1}=i(-\frac{1}{e^{1}}+e^{1})=i2.350402$

Lo cual es un resultado de la forma $a+bi$ donde $a=0$

--A. Martín R. Rabelo (discusión) 20:14 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 23

Utilice la integración por partes para evaluar la integral.

\[ \int_{i}^{1+i}ze^{z}dz \]

Escriba la respuesta en la forma a +ib

Solución

\[ \int_{i}^{1+i}ze^{z}dz=ze^{z}\mid_{i}^{1+i}-\int_{i}^{1+i}e^{z}dz \]

\[ \int_{i}^{1+i}ze^{z}dz=[\left[1+i\right]e^{1+i}-ie^{i}]-\int_{i}^{1+i}e^{z}dz \]

\[ \int_{i}^{1+i}ze^{z}dz=[\left[1+i\right]e^{1+i}-ie^{i}]-\left[e^{1+i}-e^{i}\right] \]

Simplificando se tiene:

\[ \int_{i}^{1+i}ze^{z}dz=[ie^{1+i}-ie^{i}+e^{i}]=-0.905582+1.76986i \]

Este último resultado numerico irracional se obtuvo con el comando de programa de Mathematica \[ N[ie^{1+i}-ie^{i}+e^{i}] \] entonces:

\[ \int_{i}^{1+i}ze^{z}dz=-0.905582+1.76986i \] Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:52 20 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 25

Utilizar el teorema 5.4.2 para evaluar la integral $\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}}dz$ es la rama principal de la función raíz cuadrada, donde $C$ es el arco de la circunferencia \(z= 4e^{i \phi}\) con \(\phi \epsilon [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Escribir en forma $a+ib$.

Usando la parametrización dada por la circunferencia tenemos que \(z= 4e^{i \phi}\) y \(dz= 4i e^{i \phi} d \phi\)


Por lo que si sustituimos este resultado en la integral tenemos que


\(\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}} dz= \int_C \frac{4 i e^{i \phi}}{4(4 i e^{i \phi})^{\frac{1}{2}}} d \phi = \int_C i \frac{e^{\frac{i \phi}{2}}}{2} d \phi \)

Por lo que cuando resolvemos la integral, sabiendo que es continua en el dominio aseguramos que por el teorema fundamental del cálculo para integrales de contorno que


\(\int f(z)dz= F(z_1)-F(z_2)\)

por lo que tenemos que tenemos que


\( \frac{i}{2} \int_C e^{\frac{i \phi}{2}} d \phi =(\frac{i}{2})(\frac{1}{\frac{i}{2}}) e^{\frac{i \phi}{2}} |_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= e^{\frac{i \pi}{4}}- e^{\frac{-i \pi}{4}}\)


Escribiendo el resultado de la forma a+bi observamos que la solución anterior tiene la forma de un seno en función de exponentes multiplicado por un 2i, es decir que


\(e^{\frac{i \pi}{4}}- e^{\frac{-i \pi}{4}}=2isen(\frac{\pi}{4})= 2i \frac{\sqrt{2}}{2}= \sqrt{2} i\)


Por lo que $\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}}dz$ para el arco de la circunferencia \(z= 4e^{i \phi}\) con \(\phi \epsilon [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).


$\int_C \frac{1}{4 z^{1/2}}dz=\sqrt{2}i$

--Pablo (discusión) 11:18 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 26

Utilizar el teorema 5.4.2 para evaluar la integral $\int_C3z^{1/2}dz$, donde $C$ es el segmento de recta entre $z_0=1$ y $z_1=9i$. $z^{1/2}$ es la rama principal de la función raíz cuadrada. Escribir en forma $a+ib$.


Sol. Buscamos una antiderivada $F(z)$ de la función $f(z)$ tal que $F'(z)=f(z)$. Proponemos $F(z)=2z^{3/2}$ y comprobamos derivando

$\dfrac{d}{dz}F(z)=\dfrac{d}{dz}2z^{3/2}=2\frac{3}{2}z^{3/2-1}=3z^{1/2}$


Así, procedemos hacer uso del Teorema fundamental de cálculo para integrales de contorno:


$\int_C3z^{1/2}dz=F(z)|_{z_0}^{z_1}=F(z_1)-F(z_0)=2z_1^{3/2}-2z_0^{3/2}=2(9i)^{3/2}-2(1)^{3/2}=2(9i)^{3/2}-2$


Para $(9i)^{3/2}$ utilizamos la fórmula multivaluada para las potencias y elegimos a $k=0$ para escoger la rama principal.

$w_k=^n\sqrt{r}[\cos (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})]$


Con $n=3/2$, $r=9$, $\theta =\dfrac{\pi}{2}$ y $k=0$


$w_0=9^{3/4}[\cos (\dfrac{\pi /2}{3/2})+i\sin (\dfrac{\pi /2}{3/2})]\approx 5.2(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3})\approx 5.2(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})\approx 2.6+i4.5$


Sustituyendo


$\int_C3z^{1/2}dz\approx 2(2.6+i4.5)-2=5.2+i9-2=3.2+i9$


$\int_C3z^{1/2}dz\approx 3.2+i9$


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 22:11 18 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 29

teorema:

suponga que una función $f$es continua en un dominio $D$ y $F$ es anti-derivada de $f$ en $D$.Entonces, para cualquier contorno$C$en $D$ con punto inicial $z_{0}$y un punto final $z_{1}$

$\int_{C}f(z)dz=F(z_{1})-F(z_{0}).$

sea $\alpha=a+ib$ una constante compleja.


a) aplique el teorema para evaluar $\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz$ donde $x_{0}$ y $x$ son los valores reales.


b)Explique como el inciso a) y el teorema con la parametrizacion $z(t)=t,\;x_{0}\leq t\leq x$ se puede usar para deducir la formula integral (real)


$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx}{a^{2}+b^{^{2}}}+C$

sea $f(z)=e^{\alpha z}$ entonces su anti derivada es$F(z)=\frac{1}{\alpha}e^{\alpha z}$ ya que $F'(z)=e^{\alpha z}=f(z)$


así por el teorema tenemos:


$\int_{C}f(z)dz=\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz=F(x)-F(x_{0})=\frac{1}{\alpha}[e^{\alpha x}-e^{\alpha x_{0}}]=\frac{1}{a+ib}[e^{x(a+ib)}-e^{x_{0}(a+ib)}]=\frac{1}{a+ib}[e^{ax}e^{ibx}-e^{ax_{0}}e^{ibx_{0}}]$


multiplicando por el conjugado de $\alpha$ tenemos $(\alpha^{c}=a-ib)$

$\frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)}[e^{ax}e^{ibx}-e^{ax_{0}}e^{ibx_{0}}]=\frac{a-ib}{a^{^{2}}+b^{2}}[e^{ax}e^{ibx}-e^{ax_{0}}e^{ibx_{0}}]=\frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[\cos bx+i\sin bx]-e^{ax_{0}}[\cos bx_{0}+i\sin bx_{0}]\}$


desarrollando la multiplicación de los denominadores tenemos:


$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[a\cos bx+ia\sin bx]-e^{ax_{0}}[a\cos bx_{0}+ia\sin bx_{0}+e^{ax}[-ib\cos bx-i^{2}b\sin bx]+e^{ax_{0}}[ib\cos bx_{0}+i^{2}b\sin bx_{0}]\}$


distinguiendo términos reales e imaginarios, y desarrollando:


$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[a\cos bx+b\sin bx]+e^{ax}[-ib\cos bx+ia\sin bx]-e^{ax_{0}}[a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0}]+e^{ax_{0}}[-ia\sin bx_{0}+ib\cos bx_{0}]\}$

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[(a\cos bx+b\sin bx)+(ia\sin bx-ib\cos bx)]-e^{ax_{0}}[(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})+(ia\sin bx_{0}-ib\cos bx_{0})]\}$


así:


$\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}[(a\cos bx+b\sin bx)+(ia\sin bx-ib\cos bx)]-e^{ax_{0}}[(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})+(ia\sin bx_{0}-ib\cos bx_{0})]\}$


podemos ver que:


la parte Real de $\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz$ es:


$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)-e^{ax_{0}}(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})\}$


la parte imaginaria de $\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha z}dz$ es:


$\frac{i}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx-e^{ax_{0}}(a\sin bx_{0}-b\cos bx_{0})\}$


si tomamos la parametrizacion $z(t)=t,\;x_{0}\leq t\leq x$ entonces

$z'(t)=1dt$

$\Longrightarrow\int e^{\alpha z}dz=\int_{x_{0}}^{x}e^{\alpha t}dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{(a+ib)t}dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{at}e^{ibt}dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt+i\sin bt)dt$

pero:

$\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt+i\sin bt)dt=\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt)dt+\int_{x_{0}}^{x}e^{at}i(\sin bt)dt$


y tomando solo la integral real:


$\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt)dt$ y por el resultado anterior:

$\int_{x_{0}}^{x}e^{at}(\cos bt)dt=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)-e^{ax_{0}}(a\cos bx_{0}+b\sin bx_{0})\}$

de aqui que:


$\int e^{ax}(\cos bx)dx=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)\}+C$


--Francisco Medina Albino (discusión) 23:30 18 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 30

Encuentre a $\int e^{ax}\sin bx dx$

\[ \int e^{(a + bi)x} dx =\dfrac{e^{(a + bi)x}}{a+bi}\]

o bien


\[ \int e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) dx = \dfrac {e^{ax}(cos bx + i \sin bx)}{a + ib}= \dfrac {e^{ax}(cos bx + i \sin bx)(a - i b)}{a^{2} + b^{2}}\]

Entonces

\[ \int e^{ax}\sin bx dx= \dfrac {e^{ax}(cos bx + i \sin bx)(a - i b)}{a^{2} + b^{2}}\]


--Esther Sarai (discusión) 23:20 20 jun 2015 (CDT)Esther Sarai