Compleja:Zill-Cap5.2

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Ejercicios del capítulo 5, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.



Sección 5.2

Ejercicio 1

Evalue la integral a lo largo del contorno indicado


$\int_{c}\left(z+3\right)dz$ donde $C$ esta dada por $x=2t:y=4t-1;1\leq t\leq3$


para evaluar la integral de contorno sabemos que


$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$


Si $z(t)=x+yi=2t+(4t-1)i$


$z(t)^{\prime}=2+4i$


y


$f(z(t))=(2t+3)+(4t-1)i$


por lo tanto


$\intop_{1}^{3} [(2t+3)+(4t-1)i](2+4i)dt$


$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt$


$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt = -6t^{2}+10t+i8t^{2}+i10t \mid_{1}^{3}$


$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt = (-24+102i)-(4+18i)$


y para finalizar simplificamos


$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt= -28+84i$


Miguel Medina Armendariz (discusión) 17:28 13 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 2

In Problems 1-16, evaluate the given integral along the indicated contour.

traduccion

En los problemas 1-16 , evaluar la integral dada a lo largo del contorno indicado.

$\int_{c}\left(2z^{\neg}-z\right)dz:donde$ c esta dada por $x=-t:y=t^{2}+2;0\leq t\geq2$

utilisamos la siguiente relacion para curvas parametrisadas:

$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$

que cumple con la forma de calcular trabajo en funciones vectoriales sobre curvas parametricas

entonces si utilisamos esta relacion podremos resolver la integral compleja como sigue:

$f\left(z\right)=2z^{\neg}-z=2\left(x-iy\right)-\left(x+iy\right)=2x-2iy-x-iy=x-3iy$

$f\left(z\left(t\right)\right)=-t-3i\left(t^{2}+2\right)$

$z=x+iy$ entonces $z\left(t\right)=-t+i\left(t^{2}+2\right)$

$z^{\prime}\left(t\right)=-1+2it$

usando estos resultados podemos escribir la integral de este modo:

$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(-t-3i\left(t^{2}+2\right)\right)\left(-1+2it\right)dt=\int_{0}^{2}\left(6t^{3}+13t\right)dt+i\int_{0}^{2}\left(t^{2}+6\right)dt=\left[\frac{6}{4}t^{4}+\frac{13}{2}t^{2}\right]_{0}^{2}+i\left[\frac{1}{3}t^{3}+6t\right]_{0}^{2}=50+i14.666$

--Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----


Ejercicio 3

Evalué la integral $\int_{c}(z^{2})dz$ a lo largo del contorno C dado $z(t) = 3t+2it$ con $-2\leq t\leq2$


Para resolver esta integral es necesario hacer uso de la expresión


$\int_{c}f\left(z\right)dz = \int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$


donde:


$z(t) = 3t+2it$


$z^{\prime} (t) = 3 + 2i$


Sustituyendo estos valores en nuestra expresión para resolver la integral


$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{-2}^{2} (3t + 2it)^2 (3 + 2i)dt $


$= \int_{-2}^{2} (9t^2 + 2(6it^2) - 4t^2) (3 +2i)dt$


$= \int_{-2}^{2} (27t^2 + 36it^2 - 12t^2 + 18it^2 - 24t^2 - 8it^2)dt$


$= \int_{-2}^{2} (-9t^2 + 46it^2)dt$


$= -\int_{-2}^{2} 9t^2 dt + i\int_{-2}^{2} 46t^2 dt$


Evaluando la integral


$= -\frac{9}{3} [t^3]_{-2}^{2} + i\frac{46}{3} [t^3]_{-2}^{2}$


$= -3 (2^3 - (-2)^3) + i \frac{46}{3} (2^3 - (-2)^3)$


$= -48 + i \frac{736}{3}$


Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 00:24 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 4

Evaluar la integral a lo largo del contorno dado'

$\int_{c}(3z^{2}-2z)dz$ donde C es $z(t)=t+it^{2}$ con $0\leq t\leq1$

Como ya nos dan la parametrización sólo debemos derivar respecto a t y substituir en la integral.

$dz=1+2it$

$\Longrightarrow\int_{c}(3z^{2}-2z)dz=\int_{0}^{1}[3(t+it^{2})^{2}-2(t+it^{2})][1+2it]dt$

$=\int_{0}^{1}[3(t^{2}+2it^{3}-t^{4})-2t-2it^{2})][1+2it]dt$

$=\int_{0}^{1}[3t^{2}+6it^{3}-3t^{4}-2t-2it^{2}][1+2it]dt$

$=\int_{0}^{1}[3t^{2}+6it^{3}-3t^{4}-2t-2it^{2}+6it^{3}-12t^{4}-6it^{5}-4it^{2}+4t^{3}]dt$

$=\int_{0}^{1}[6it^{5}+12it^{3}-6it^{2}-15t^{4}+4t^{3}+3t^{2}-2t]dt$

Y haciendo la integral queda de la forma:

$=(it^{6}+3it^{4}-2it^{3}-3t^{5}+t^{4}+t^{3}-2)|_{0}^{1}$$=(i+3i-2i-3+1+1-2)=-3+2i$

--A. Martín R. Rabelo (discusión) 20:36 12 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 5

Ejercicio 5.-

$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz$ , donde $C$ es la mitad derecha de la circunferencia $\left|z\right|=1$ de

$z=-i$ a $z=i$

Como

$\left|z\right|=1$... $\left(1\right)$

Si $z=x+iy$...$\left(2\right)$ entonces

$x^{2}+y^{2}=1$... $\left(3\right)$

La ecuación $\left(2\right)$se puede parametrizar como :

$x=\cos\left(t\right)$ , $y=\sin\left(t\right)$, $-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}$

entonces:

$z\left(t\right)=\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)$

De modo que por el Teorema 5.2.1 :

$f\left(z\right)=\frac{z+1}{z}=\frac{\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)}$

y además $z\prime\left(t\right)=-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)$

Entonces:

$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)}\right]\left[-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)\right]dt$

multiplicando la integral por:

$\frac{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}$

se obtiene:

$\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)}\right]\left[-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)\right]\left[\frac{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}\right]dt$

$=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{1}\right]\left[i\right]dt$

$=i\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\cos\left(t\right)+1\right]dt-\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(t\right)dt$

$=i\left[\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\pi\right]-\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]$

$=i\left[2+\pi\right]-\left[0-0\right]$

Por lo tanto:

$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\left[2+\pi\right]i$ --Alejandro Juárez Toribio (discusión) 01:50 14 jun 2015 (CDT)




Ejercicio 6

Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado

6.- $\int_{c}|z|^{2}dz$ donde C es $x=t^{2}$, $y=\frac{1}{t}$, $1\leq t\leq2$


Por las condiciones tenemos que:

$z(t)=t^{2}+i\frac{1}{t}$

$z'(t)=2t-i\frac{1}{t^{2}}$


Por otra parte, se observa que $|z|>0$, entonces

$\int_{c}|z|^{2}dz=\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(t^{4}+it-\frac{1}{t^{2}})(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-it^{2}-\frac{2}{t}+i\frac{1}{t^{4}}+2it^{2}+\frac{1}{t})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-\frac{1}{t})dt+i\intop_{1}^{2}(\frac{1}{t^{4}}+t^{2})dt=(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}$


Evaluando

$(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}=\frac{32}{3}-ln2-(\frac{1}{3}-ln1)+i[\frac{-1}{24}+4-(-\frac{1}{3}+2)]=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$


Entonces

$\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$


--Fernando Vazquez V. (discusión) 16:06 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 7

Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado.

\(\oint_{c} Re(z) dz\), donde C es la circunferencia \(|z|=1\).

Para nuestro caso la curva esta dada por \(|z|=1\), pero sabemos que \(z=x+iy\), por lo cual \(x²+y²=1\). por lo cual podemos parametrizar de la siguiente manera.

\(x(t)= cos(t)\)

\(y(t)= sen(t)\)

\(0\leq t\leq2\pi\)

Ahora sustituimos a \(z\) poniéndolo en terminos de la parametrizacion propuesta.

\(z(t)= cos(t)+i sen(t)\)

\(z'(t)= -sen(t) + i cos(t)\)

como la integral solo nos la pide en la parte real de \(z\) tenemos\[\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt\]

\(\intop_{0}^{2\pi}-cos(t)sen(t) dt+i\intop_{0}^{2\pi}cos²(t)dt\)

Integrando tenemos que

\(\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt= \frac{sen²(t)}{2}+\frac{t + sen(t)cos(t)}{2}|_{0}^{2\pi}\)

evaluando tenemos\[\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt=\frac{sen²(2\pi)}{2}+\frac{2\pi + sen(2\pi)cos(2\pi)}{2}-\frac{sen²(0)}{2}+\frac{0 + sen(t)cos(0)}{2}\]

por lo cual para \(c\) definida por \( |z|=1\)

\(\oint_{c} Re(z) dz= i\pi\)


--Anahi Limas (discusión) 20:10 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 9

Evalua la siguiente integral definida


$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz$


donde $C$ es la línea recta  $1<t<i$ 


$z=(1+i)t$  y $dz=(1+i)$


Sustituyendo los valores anteriores en la integral, tenemos:


$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz=\intop_{C}(t^2-i(it)^3)(1+i)dt= \intop_{C}(t^2+t^3(1+i)dt=$


$ \intop_{1}^{i}(t^2+t^3+it^2+it^3dt= \frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$


Por lo tanto:

$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz=\frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$


Nancy Martínez Durán (discusión) 16:07 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 14

14. Encuentra el valor de la integral, sobre el contorno dado. $\int_{C} dz$, donde C es la mitad izquierda de la elipse: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$, desde:$z=2i$, hasta $z=-2i$.

Solución:

Usando el hecho de que: $\int_{C}f(z)dz=\int_{C}(udx-vdy)+i\int_{C}(vdx+udy)$; donde $f(z)=u(x,y)+iv(x,y); x,y\in\mathbb{R}$, se tiene:

$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy$...(1)

Por otra parte: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1 \Longleftrightarrow x^2+9y^2=36\Longleftrightarrow x^2=36-9y^2\Longleftrightarrow |x|=\sqrt{36-9y^2} \Longrightarrow x=-\sqrt{36-9y^2}$. Como es la mitad izquierda de la elipse se toman las x's negativas.

de lo anterior: $x=-\sqrt{36-9y^2} \Longrightarrow dx=\frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}$.

Regresando a (1):

$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy=\int_{2}^{-2} \frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}+i\int_{2}^{-2}dy=0+i(-2-2)=-4i$.

Por lo tanto: $\int_{C} dz=-4i$

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 19:55 19 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 19

Evale la integral a lo largo del contorno C dado en la figura

\(\oint_{c} z^2 dz\)


Ejercicio19zill.png


Como C es suave por tramos, integraremos sobre los tres tramos suaves

\(\oint_{c} z^2 dz= \int_{c_1} z^2 dz+ \int_{c_2} z^2 dz+ \int_{c_3} z^2 dz\)


Primero tomaremos a \(C_1\) la parte del contorno que va del punto z= 0+ i0 al punto z= 1+ 0i, Por lo que \(z_{1}= x_{1}(t)+y_{1}(t)\) su parametrización es, con \(t \epsilon [0,1]\)

\(x_1(t)= t \) además \(x'_1(t)= dt\)

\(y_1 (t)= 0\) además \(y'_1(t)= 0\)


Por lo que para la primera curva suave tenemos que

\(\int_{C_1} z_1^2 dz= \int_{C_1} (x_1(t)+y_1(t))^2 (x'_1 (t)+y'_1(t))= \int_{0}^{1} (t+0i)^2 (1)dt= [\frac{t^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \)

Ahora para \(c_2 \) que va desde el punto z=1+0i al punto z= 1+i, tenemos que \(z_{2}= x_{2}(t)+y_{2}(t)\) su parametrización es, con \(t \epsilon [0,1]\)

\(x_2(t)= 1 \) además \(x'_2(t)= 0\)

\(y_2 (t)= t\) además \(y'_2(t)= dt\)


Por lo que para la segunda curva tenemos que la integral cumple

\(\int_{C_2} z_2^2 dz= \int_{C_2} (x_2(t)+y_2(t))^2 (x'_2(t)+y'_2(t))= \int_{0}^{1} (1+ti)^2 (i) dt=i \int_{0}^{1} (1-t^2)+ 2it dt= \int_{0}^{1} i(1-t^2)-2t dt = (-t^2+ i(t-\frac{t^3}{3}))|_{0}^{1}= -1+ \frac{i2}{3} \)

Para \(c_3 \) que va desde el punto z=1+i al punto z= 0+0i, tenemos que \(z_{3}= x_{3}(t)+y_{3}(t)\) su parametrización es, con \(t \epsilon [1,0]\)

\(x_3(t)= t \) además \(x'_3(t)= dt\)

\(y_3 (t)= t\) además \(y'_3(t)= dt\)

Por lo que para la tercera integración

\(\int_{C_3} z_3^2 dz= \int_{C_3} (x_3(t)+y_3(t))^2 (x'_3(t)+y'_3(t))= \int_{0}^{1} (t+ti)^2 (1+i) dt= \int_{0}^{1} t^2 (1+i)^2 (1+i) dt= \int_{0}^{1} t^2(1+i)^3 dt= (1+i)^3 \int_{0}^{1} t^2 dt= (1+i)^3 \frac{t^3}{3}|_1^0 = \frac{(1+i)^3}{3}\)

Por lo que resolviendo, tenemos que

\(\frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(1+i)(1+i)}{3} (1+i)=\frac{2i}{3} (1+i)\)

Al sumar todas las partes tenemos que

\(\oint_{c} z^2 dz= \int_{c_1} z^2 dz+ \int_{c_2} z^2 dz+ \int_{c_3} z^2 dz = \frac{1}{3}-1+\frac{2i}{3} +\frac{2}{3}-\frac{2i}{3}=0\)


--Pablo (discusión) 18:05 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 21

Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:

P5.2.21.png

Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que: \[ z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i \] Entonces: \[ z^2=(i+(1-i)t)^2=i^2+2i(1-i)t+(1-i)^2 t^2=-1+2(1+i)t-2it^2 \] \[ z(t)=i+(1-i)t \] \[ z^2-z+2=(-2i)t^2+(2+2i+i)t+(-1-1-i)=-(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \] Se puede escribir la integral como: \[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right]=(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right] \] \[ =(1-i) \left[ -2i\frac{1}{3} +(1+3i)\frac{1}{2}+(1-i)\right]=(1-i) \left[\frac{1}{2}+1+i\left(-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-1\right)\right]=(1-i)\left( \frac{3}{2}-i\frac{1}{6} \right)=\frac{4-5i}{3} \]

--Tlacaelel Cruz (discusión) 15:30 12 jun 2015 (CDT)



ejercicio 22

evalúe $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz$ de i a 1 a lo largo del contorno C dado en la figura

GraficaEjercicio22.jpg

primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones

$z=x+yi$

$z^{2}=x^{2}+2xiy-y^{2}$

$-z=-x-yi$

sustituimos y simplificamos la expresión

$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$

por propiedades de la intengral sabemos que

$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$

parametrizamos de la siguiente forma

$y=i$ , $0\leq x\leq1$

obtenemos que

$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi^{2}-i^{2}-x-i^{2}+2)dz$

$z(x)=x+ii=x-1$

$z'(x)=dx$

entonces nuestra primera integral nos queda

$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi^{2}-i^{2}-x-i^{2}+2)dx$

$\intop_{0}^{1}\left(x^{2}-3x+4\right)dx=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+4x|_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+4=\frac{2-9+24}{6}=\frac{17}{6}$

ahora haremos la segunda integral

$\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$

parametrizamos de la siguiente forma

$x=1$ , $1\leq y\leq0$

$z(y)=1+yi$

$z'(y)=idy$

por los tanto nuestra integral nos queda

$\intop_{1}^{0}\left(1^{2}+2iy-y^{2}-1-iy+2\right)idy=\intop_{1}^{0}\left(-y^{2}+iy+2\right)idy=-\intop_{0}^{1}\left(-y^{2}i-y+2i\right)dy$

lo cual nos da como resultado al calcularla

$-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i\right]=-\left[\frac{-2i-3+12i}{6}\right]=\frac{1}{3}-\frac{10i}{6}$

por lo tanto nos queda

$\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\frac{17}{6}+\frac{1}{3}-\frac{10i}{6}=\frac{19}{6}-\frac{10i}{6}$

--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:01 14 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 23

Evalúe $\int_C (z^2-z+2)dz$ de $i$ a $1$ a lo largo del contorno $C$ dado en la figura.


Figura 5.2.10 figura para el problema 23


$Solución: $

Para parametrizar $y=-x^2+1$

Digo que: $x=t$ , $y=1-t^2$

Entonces : $\vec{z}(t)=<t,(1-t^2)>$ , $t\in[0,1]$

Si $z=x+iy$

$C:$ queda parametrizado por

$z(t)=t+i(1-t^2)$, $t[0,1]$

y $dz= (1-2it)dt$

Ahora: $z^{2}=\left(t+i(1-t)^{2}\right)^{2}$

y sustituyendo en mi función:

$z^2-z+2=(t+i(1-t^2))^{2}-\left(t+i(1-t^2)\right)+2=\left(1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right)$

La integral queda: \[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3} -t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= \frac{4}{3}-\frac{5}{3}i \]


Por que:

\[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= (1-i) \int_{0}^{1} \! 1 \, dt - 3\int_{0}^{1} \! t \, dt + (7+3i) \int_{0}^{1} \! t^{2} \, dt + (2-8i) \int_{0}^{1} \! t^{3} \,dt - 5 \int_{0}^{1} \! t^{4} \,dt +2i \int_{0}^{1} \! t^{5} \,dt \]

\[ =1-i-\frac{3}{2}+\frac{7}{3}+i+\frac{1}{2}-2i-1+\frac{i}{3}=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i \]



--Emmanuell Castro Flores (discusión) 20:13 14 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 24

Evalue ${\displaystyle \int_{c}(z^{2}-z+2)dz}$ donde $c$ es el cuarto de circulo en el primer cuadrante con orientacion negativa

Proponemos la parametrizacion de $c=e^{it}$ con $\frac{\pi}{2}\leq t\leq0$

Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$

Asi, tendriamos que calcular

\[ {\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+2e^{it})ie^{it}dt}} \]


\[ \Rightarrow-{\displaystyle i\int_{0}^{\pi/2}(e^{3it}-e^{2it}+2e^{it})dt=-i\left({\displaystyle \frac{e^{3it}}{3i}-{\displaystyle \frac{e^{2it}}{2i}+{\displaystyle \frac{2e^{it}}{i}}}}\right)|_{0}^{\pi/2}=\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}} \]


\[ \Rightarrow\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}=\left({\displaystyle \frac{-\cos3t}{3}}+{\displaystyle \frac{\cos2t}{2}-2\cos t}\right)|_{0}^{\pi/2}+i\left({\displaystyle \frac{-\sin3t}{3}+{\displaystyle \frac{\sin2t}{2}-2\sin t}}\right)|_{0}^{\pi/2} \]


\[ \Rightarrow\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}={\displaystyle \frac{4}{3}+i{\displaystyle \frac{5}{2}}} \]

Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 18:47 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 25

Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral a lo largo del contorno indicado

\[\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz \] donde C es la circuferencia \[ \mid z\mid=5 \]

Solución

El teorema de acotamiento nos dice \( \mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML \), donde L es la longitud de la circuferencia(perimetro),

entonces:

\[ L=2\pi r=2\pi(5)=10\pi \] y \( x=Re\mid z\mid=5 \)

Ahora:

\[ \mid\frac{e^{z}}{z^{2}+1}\mid=\frac{\mid e^{z}\mid}{\mid z^{2}+1\mid} \]

analizamos el denominador:

La desiguealdad del triangulo nos dice que:

\[ \mid z_{1}+z_{2}\mid\geq\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid \] , entonces

\[ \mid z^{2}+1\mid\geq\mid z^{2}\mid-\mid1\mid \]

\[ \mid z^{2}\mid-\mid1\mid\leq\mid z^{2}+1\mid \]

\[ \frac{1}{\mid z^{2}+1\mid}\leq\frac{1}{\mid z^{2}\mid-\mid1\mid} \]

\[ \frac{1}{\mid z^{2}+1\mid}\leq\frac{1}{\mid5^{2}\mid-\mid1\mid} \]

\[ \frac{1}{\mid z^{2}+1\mid}\leq\frac{1}{\mid25\mid-\mid1\mid} \]

\[ \frac{1}{\mid z^{2}+1\mid}\leq\frac{1}{24} \]

Por otro lado, la definición de una función exponencial compleja es:

\[ e^{z}=e^{x}cosy+ie^{x}seny \]

sacando la magnitud(módulo)de ambos miembros de la ecuación, factorizando se tiene:

\[ \mid e^{z}\mid=\mid e^{x}cosy+ie^{x}seny\mid \]

\[ \mid e^{z}\mid=\mid e^{x}(cosy+ie^{x}seny)\mid \]

\[ \mid e^{z}\mid=\mid e^{x}\mid\mid cosy+iseny\mid \]

\[ \mid e^{z}\mid=\mid e^{5}\mid\sqrt{(cos^{2}y+sen^{2}y)} \]

\[ \mid e^{z}\mid=\mid e^{5}\mid(1)=e^{5} \]

juntando los resultados obtenidos se tiene finalmente:

\[\mid\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz\mid\leq\frac{10\pi e^{5}}{24} \]

\[\mid\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz\mid\leq\frac{5\pi e^{5}}{12} \]

Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:02 14 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 27

determine una cota superior para el valor absoluto de la integral a lo largo del contorno indicado.

25.-$\int_{c}(z^{2}+4)dz$, donde$C$ es el segmento de recta $z=0\:a\:z=1+i$

por el teorema de acotamiento

si $f$ es continua sobre una curva suave $C$y si $\mid f(z)\mid\leq M\;\forall,z\epsilon C$, entonces $\mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML$, donde $L$ es la longitud de $C$

la longitud $L$ de $z=0\:a\:z=1+i$ utilizando el teorema de pitagoras

$L=\sqrt{2}$

podemos ver que el valor maximo que puede alcanzar $z$ es:

$\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

ademas:

$\mid z^{2}+4\mid\leq\mid z^{2}\mid+\mid4\mid=\mid z^{2}\mid+4=\mid z\mid^{2}+4=\sqrt{2}^{2}+4=2+4=6$

por el teorema de acotamiento tenemos:

$\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$

por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de $\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid$


--Francisco Medina Albino (discusión) 18:02 14 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 28

Determinar una cota superior para el valor absoluto de la integral $\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$

Solución:

Para resolver el problema necesitaremos usar

$\left|\int_{c}f\left(z\right)dz\right|\leq ML$ ...(1)

Donde L es la longitud de arco dado por

$L=\int_{c}\sqrt{\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\psi}{dt}\right)^{2}}dt$ ...(2)

y M es una constante real

Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3)

Lo primero que se resolvera va a ser L pero antes de eso sabemos que la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de 4i a 4. Ahora resolvemos usando (2)

Antes definiremos las variables y sus derivadas

$x=\phi\left(t\right)=4cost\implies\frac{dx}{dt}=-4sent$ , $y=\psi\left(t\right)=4sent\Longrightarrow\frac{dy}{dt}=4cost$

Ya tenemos todo lo necesario para usar (2)

$L=\int\sqrt{\left(-4sent\right)^{2}+\left(4cost\right)^{2}}dt=\int\sqrt{16sen^{t}+16cos^{2}t}dt=\int\sqrt{\left(16\right)\left(sen^{2}t+cos^{2}t\right)}dt=\int\sqrt{16}=\int4dt$

Poniendo los limites de integracion adecuados tenemos que:

$L=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}dt=4t\mid_{\frac{\pi}{2}}^{0}=4t\left(o-\frac{\pi}{2}\right)=-2\pi$ Recordando que el signo negativo nos da por la dirección.

Ahora sacaremos M y para hacerlo necesitamos tomar la norma de $\frac{1}{z^{3}}$ pero nos enfocaremos en $z^{3}$

$\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}=4x16=64$ esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3)

por lo tanto tenemos que

$\left|\frac{1}{z^{3}}\right|=\frac{1}{64}$

Multiplicamos Lpor M

$LM=-2\pi\left(\frac{1}{64}\right)=-\frac{\pi}{32}$

Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema

$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$


Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:56 14 jun 2015 (CDT)




Ejercicio 29

(A) utilice la definición 5.2.1 para demostrar que para cualquier curva suave C entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_{c} dz = z_{n} - z_{n} $


Si $f$ es continua en una curca suave C dada por la parametrización $z(t) = x(t) iy(t), a \leq t \leq b$ , entonces


\[ \int_{c} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z' (t) dt\]


Tenemos \[ \int_{z_{0}}^{z_{n}} dz = \int_{a}^{b} z' (t) dt\]


Entonces \[ \int_{a}^{b}[x'(t) + i y'(t)] dt = z\]


Deacuerdo con el problema


$b= z_{n} a= z_{0}$

\[ z_{n} - z_{0}\]




--Esther Sarai (discusión) 11:45 13 jun 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 30

Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.

Sol. La definción de la integral compleja es $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt$, para nuestro problema $f(z)=z$ con $z=z(t)=x(t)+iy(t)$ donde $x$ e $y$ están parametrizadas en $t:[a,b]$ y definamos $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ con $t_0=a$ y $t_n=b$.

Sustituimos en la definción:

$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$


Si $z(t)=x(t)+iy(t)$ entonces $z'(t)=x'(t)+iy'(t)$. Por comodidad se omitirá la notación $x(t)$ y demás considerándose que todas las variables son funciones implícitas de $t$.


Sustituyendo:


$\int_Cf(z)dz=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}(x+iy)(x'+iy')dt=\int_{t_0}^{t_n}[xx'+ixy'+iyx'-yy']dt$


$\int_Czdz=\int_{t_0}^{t_n}[(xx'-yy')+i(xy'+x'y)]dt=\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt+i\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$


e identificamos las partes de la integral


$\int_{a}^{b}f_1(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt$ y $\int_{a}^{b}f_2(t)=\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$


las cuales son integrales reales. Del teorema fundamental del cálculo se tiene que si $F(t)$ es una anti-derivada de una función continua (las cuales deben de ser para este problema dado que las funciones $x(t)$ e $y(t)$ son continuas en la curva $C$), es decir, $F$ es una función para la que $F'(t)=f(t)$, entonces la integral definida de $f$ en el intervalo $[a,b]$ es el número


$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$


por lo que se procede a encontrar las funciones $F_1(t)$ y $F_2(t)$.


Para la parte real se tiene $\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt$, por lo que una opción es $F_1(t)=\frac{1}{2}(x^2-y^2)$, lo cual puede comprobarse al derivar implícitamente respecto a $t$ con la regla de la cadena. Así, para la parte real de la integral $\int_Czdz$ se tiene


$\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt=\frac{1}{2}(x^2-y^2)|_{t_0}^{t_n}=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)-(x(t_0)^2-y(t_0)^2)]$


La parte imaginaria es $\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$ y notamos que lo de entre paréntesis es la derivada de un producto por lo que $F_2(t)=xy$, así


$\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt=xy|_{t_0}^{t_n}=x(t_n)y(t_n)-x(t_0)y(t_0)$


Sustituyendo


$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)-(x(t_0)^2-y(t_0)^2)]+i[x(t_n)y(t_n)-x(t_0)y(t_0)]$


$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)+i(2x(t_n)y(t_n))]-\frac{1}{2}[(x(t_0)^2-y(t_0)^2)+i(2x(t_0)y(t_0))]$


Dado que $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ y $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, entonces por las reglas de multiplicación


$z_0^2=[x(t_0)+iy(t_0)]^2=[x(t_0)^2-y(t_0)^2]+i[2x(t_0)y(t_0)]$ y,


$z_n^2=[x(t_n)+iy(t_n)]^2=[x(t_n)^2-y(t_n)^2]+i[2x(t_n)y(t_n)]$


Sustituyendo


$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)+i(2x(t_n)y(t_n))]-\frac{1}{2}[(x(t_0)^2-y(t_0)^2)+i(2x(t_0)y(t_0))]=\frac{1}{2}z_n^2-\frac{1}{2}z_0^2$


Por lo que hemos demostrado que:


$\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$


para toda curva $C$ suave entre los puntos $z_0$ y $z_n$.


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:20 13 jun 2015 (CDT)