Compleja:Zill-Cap5.5

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Ejercicios del capítulo 5, sección 5 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.


Sección 5.5

Ejercicio 1

Evalue la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado


$ \oint_{c} \frac{4}{z-3i}dz $; $ |z|=5 $


Aqui observamos que $f(z)=4$ y $z_0=-i$ como un punto dentro de la circunferencia $C$.


Después observamos que la función $f$ es analítica en el contorno $C$


Y al aplicar la formula de Cauchy, obtenemos


$ \oint_{c} \frac{4}{z-3i}dz = 2\pi i f(-i) =2\pi i(4) $, asi tenemos


$ \oint_{c} \frac{4}{z-3i}dz = 8\pi i$


Miguel Medina Armendariz (discusión) 18:11 19 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 2

'Utilizar los teoremas 5.5.1 y 5.5.2 (libro de Zill-Análisis complejo, pag:246;248) , cuando sea apropiado, para evaluar la integral dada a lo largo de o de los contornos cerrados.

$\oint\frac{z^{2}}{(z-3i)^{2}}dz$ con $|z|=5$

Al Examinar el integrando se ve que no es analítica en $z=3i$ por tanto acomodamos la función de forma que pueda usarse la forma integral de Cauchy.

$\oint\frac{z^{2}}{(z-3i)^{2}}dz=\oint\frac{z^{3}}{z(z-3i)^{2}}dz=\oint\frac{z^{3}}{\frac{(z-3i)^{2}}{z}}dz$

Identificamos $z_{0}$ y $f(z)=\frac{z^{3}}{(z-3i)^{2}}$

De donde se deduce que :

$\oint\frac{z^{2}}{(z-3i)^{2}}dz=\oint\frac{z^{3}}{z(z-3i)^{2}}dz=\oint\frac{z^{3}}{\frac{(z-3i)^{2}}{z}}dz=\frac{2\pi i}{1\text{!}}f'(i)=2\pi i(z-3i)=2\pi iz+6\pi$


--A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:57 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 3

Use el teoremas 5.5.1 o 5.5.2, en su caso para evaluar la integral $\oint_{c} \! \frac{e^z}{z-i\pi}\,dz$ a lo largo de $|z|=4$.

La integral tiene una singularidad en $z=i\pi$, que se encuentra en el dominio de integración, por lo que no es analítica en ese punto y es preciso extraer ese punto, se muestra en la figura.

P5.5.3.png

El teorema 5.5.1 indica que: \[ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \! \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz \]

Para una $f(z)=e^z$ y una $z_0=i\pi$ tenemos: \[ f(i\pi)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \! \frac{e^z}{z-i\pi}\,dz \] Que claramente cohincide con nuestra integral, despejando nos queda: \[ \oint_{C} \! \frac{e^z}{z-i\pi}\,dz=f(i\pi)\,(2\pi i)=2i\pi e^{i\pi}=2i\pi\,[cis (\pi)]=2i\pi\,(-1)=-2i\pi \]


--Tlacaelel Cruz (discusión) 23:40 19 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 4

Evalúe la integral dada a lo lardo del contorno cerrado indicado.

4.- $\oint_{c}\frac{1+e^{z}}{z}dz$, con $|z|=1$


Primero se ve que el unico punto donde el integrando no es analitico es en $z=0$ y que, en este caso, se encuentra dentro del contorno C, y teniendo en cuenta el teorema 5.5.1 tenemos que:

$f(z)=1+e^{z}$

Y

$z-z_{0}=z-0$


Entonces:

$\oint_{c}\frac{1+e^{z}}{z}dz,=\oint_{c}\frac{f(z)}{z-z_{o}}dz=2\pi if(z_{0})=2\pi if(0)=2\pi i(1+1)$


Finalmente

\[ \oint_{c}\frac{1+e^{z}}{z}dz,=4\pi i \]


--Fernando Vazquez V. (discusión) 01:13 21 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 5

Use el teoremas 5.5.1 o 5.5.2, en su caso para evaluar la integral a lo largo del contorno cerrado indicado.


$ \oint_{c} \frac{z^2-3z+4i}{z+2i}dz $; $ |z|=3 $

Solución:

Primero, identificamos $f(z)=z^2-3z+4i$ y $z_0=-2i$ como un punto dentro del círculo C. Se observa que $f$ es analítica en todos los puntos dentro y en el contorno C. Así, por Cauchy (Teorema 5.5.1):

$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0} dz $

Obtenemos:

$ 2\pi i f(-2i)= 2\pi i(-4+10i)= -8\pi i -20\pi = -\pi(20+8i) $

$ \oint_{c} \frac{z^2-3z+4i}{z+2i}dz = 2\pi i f(-2i)= -\pi(20+8i)$


Nancy Martínez Durán (discusión) 21:56 18 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 7

Evalúe la integral dada a lo largo de los contornos

\(\oint \frac{z^2}{z^2+4} dz\)

a) \(|z-i|=2\)

Analizando la función dada, la función tiene puntos donde no es analítica en los puntos \(z= 2i\) y en el punto \(z= -2i\)

reescribiendo la función

\(\oint \frac{z^2}{z^2+4} dz= \oint \frac{z^2}{(z+2i)(z-2i)}\)

En donde para este contorno el término \(z+2i\) no está definido en el dominio, por lo que haremos que

\(\oint \frac{z^2}{(z+2i)(z-2i)}= \oint \frac{\frac{z^2}{(z+2i)}}{(z-2i)}= \oint \frac{f(z)}{(z-2i)}= 2i \pi f(z)\)

Por lo que evaluando f(z) en \(z= 2 i \), tenemos que

\(f(2 i)= \frac{z^2}{(z+2i)}= \frac{-4}{4 i }= \frac{-1}{i}\)

por lo que el resultado es

\(\oint \frac{z^2}{(z+2i)(z-2i)}= -2 \pi \)


b) \(|z+2i|=1\)

Del inciso a) analizamos que f(z) no es analítica en \(z\) en los puntos \(z= 2i\) y en el punto \(z= -2i\)

reescribiendo la función. Y lo escribimos de la forma


\(\oint \frac{z^2}{z^2+4} dz= \oint \frac{z^2}{(z+2i)(z-2i)}\)

Por lo que hacemos el mismo proceso anterior, pero ahora solo para el punto \(z=-2i \) dado que en esta región no es analítica en dicho punto. Por lo que tenemos que


\(\oint \frac{z^2}{(z+2i)(z-2i)}= \oint \frac{\frac{z^2}{(z-2i)}}{(z+2i)}= \oint \frac{f(z)}{(z+2i)}= 2i \pi g(z)\)

Evaluando g(z) en \(z=-2i \) tenemos que

\(g(- 2i )= \frac{(-2i )^2}{(-2i-2i)}= \frac{1}{i}\)

Por lo que


\(\oint \frac{z^2}{(z+2i)(z-2i)}= 2 \pi \)


--Pablo (discusión) 14:31 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 11

Evalúe la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado.

\(\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz ; |z-i|=1\)

Nuestro contorno esta definido por una circunferencia con centro en \(i\) y radio \(1\).Ahora bien podemos notar de nuestra función que existe una singularidad cuando \(z=i\) la cual se encuentra dentro de nuestro dominio , por lo cual no es analítica en ese punto.

Para la resolucion de este problema emplearemos lo siguiente\[f^{n}(z_0)=\frac{n!}{2i\pi}\oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz..... (*)\]

por lo cual de nuestra integral a resolver identificamos\[n=2\]

\(n!=2\)

\(f(z)=e^{z²}\)

\(f'(z)=2z e^{z²}\)

\(f''(z)=2e^{z²}(2z²+1)\)

\(z_0=i\)

utilizando \((*)\)

\(2 e^{z_0²}(2z_0²+1)=\frac{2}{2i\pi}\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz\)

sustituyendo \[2 e^{(i)²}(2(i)²+1)=\frac{2}{2i\pi}\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz\]


\(2 e^{-1}(-1)=\frac{2}{2i\pi}\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz\)

Despejando \(-2 e^{-1}i\pi=\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz\)

Por lo cual nuestra solucion es \(-2ie^{-1}\pi\)

--Anahi Limas (discusión) 18:55 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 15

evalúe la integral a lo largo de los contornos cerrados indicados

1.- $\oint_{C}\frac{2z+5}{z^{2}-2z}dz$; a) $\mid z\mid=\frac{1}{2}$ b) $\mid z+1\mid=2$ c) $\mid z-3\mid=2$, d) $\mid z+2i\mid=1$

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z^{2}-2z}dz=\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz$

y por fracciones parciales:

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=\oint_{C}[\frac{A}{z}+\frac{B}{z-2}]dz=\oint_{C}\frac{A(z-2)+B(z)}{z(z-2)}\Longleftrightarrow2z+5=A(z-2)+B(z)$

resolviendo la ecuación para $A\;y\;B$ tenemos:

si

$z=0$

entonces:

$5=-2A\Longleftrightarrow A=-\frac{5}{2}$

si

$z=2$

entonces:

$9=2B\Longleftrightarrow B=\frac{9}{2}$

de esto:

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=\oint_{C}[\frac{A}{z}+\frac{B}{z-2}]dz=\oint_{C}[-\frac{5}{2z}+\frac{9}{2z-4}]dz=-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz+\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz$

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz+\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz$

evaluando la integral a lo largo de a) $\mid z\mid=\frac{1}{2}$

como se puede ver $\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz$ no es una función analítica en $z=0\;y\;en\;z=2$

y como $\mid z\mid=\frac{1}{2}$ es una circunferencia de radio $\frac{1}{2}$ centrada en $0+0i$ entonces

por el teorema de Cauchy-Coursat

$\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=0$

ademas como $-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz$ no es analítica en $\mid z\mid=\frac{1}{2}$ entonces por la formula de la integral de Cauchy

$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz$

$\oint_{C}\frac{1}{z}dz=2\pi i\Longleftrightarrow-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=-\frac{5}{2}2\pi i=-5\pi i$

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=0-5\pi i=-5\pi i$

Ahora evaluando a lo largo de b) $\mid z+1\mid=2$, (circunferencia de radio $2$ centrada en $-1$) por el razonamiento anterior:

como $z=2$ no esta dentro del contorno $\mid z+1\mid=2$ entonces por el teorema de Cauchy-Coursat

$\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=0$

como $z=0$ se encuentra dentro del contorno $\mid z+1\mid=2$

$\oint_{C}\frac{1}{z}dz=2\pi i\Longleftrightarrow-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=-\frac{5}{2}2\pi i=-5\pi i$

ademas

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=0-5\pi i=-5\pi i$

ahora evaluando a lo largo de c) $\mid z-3\mid=2$,(circunferencia de radio $2$ centrada en $3$)

como $z=2$ esta sobre el contorno $\mid z-3\mid=2$ entonces

$\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=2\pi i\Longleftrightarrow\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=\frac{9}{2}2\pi i=9\pi i$

como $z=0$ no se encuentra dentro del contorno $\mid z+1\mid=2$ por el teorema de Cauchy-Coursat

$-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=0$

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=9\pi i+0=9\pi i$

ahora evaluando a lo largo de d) $\mid z+2i\mid=1$(circunferencia de radio$1$ centrada en $-2i$ )

como $z=0\;y\;z=2$ no se encuentran dentro del contorno $\mid z+2i\mid=1$ entonces por el teorema de Cauchy-Coursat

$\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=0$

$-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=0$

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=0+0=0$

--Francisco Medina Albino (discusión) 23:19 19 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 17

Utilice los teoremas 5.5.1 y 5.5.2, cuando sea apropiado, evalúe la integral $ \oint_{C} \! \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i)} \,dz $ a lo largo de los contornos cerrados indicados.

$(a)$ $|z|=1$

$(b)$ $|z-1-i|= 1$


Solución del inciso $(a) : $


Al examinar el integrando se ve que no es analítica en $z=0$ y en $z=1+i$ pero sólo $z=0$ está dentro del contorno cerrado. Al escribir el integrando como

\[ \frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)}=\frac{\frac{z+2}{z-1-i}}{z^{2}} \]


podemos identificar, $ z_{0}=0 $ y $ n=1 $ y $ f(z)=\frac{z+2}{z-1-i} $. La regla del cociente da $f'(z)= -\frac{3+i}{(z-(1+i))^2}$ y así $f'(0)=-\frac{1}{2}+\frac{3 i}{2} $. Por tanto, del teorema 5.5.2 se encuentra


\[ \oint_{C} \! \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i)} \,dz = \frac{2 \pi i }{1!} f'(0) = \left( \frac{2 \pi i }{1!} \right) \left( -\frac{1}{2}+\frac{3 i}{2} \right) = (-3-i) \pi \]


Solución del inciso $(b) : $


Al examinar vemos que $1+i$ es el único punto en el contorno cerrado $C$ en que el integrando no es analítico. Entonces reescribiendo el integrando como


\[ \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i) }= \frac{ \frac{z+2}{z^{2}} }{z-1-i} \]

podemos identificar $f(z)= (z+2)/z^{2}$. La función $f$ es analítica en todos los puntos dentro y sobre el contorno $C$. Por tanto, de la fórmula integral de Cauchy del teorema 5.5.1 tenemos:


\[ \oint_{C} \! \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i)} \,dz = \int_{C} \! \frac{ \frac{z+2}{z^{2}} }{z-1-i} \,dz = 2 \pi i f(1+i)= ( 2 \pi i)\left( \frac{1}{2}-\frac{3 i}{2} \right)= (3+i) \pi \]


--Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:05 20 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 18 Sección 5.5.1

Usa el teorema 5.9 o 5.10 que sea apropiado para evaluar la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado


$\oint_{C} \frac{1}{z^{3} (z - 4)} dz ; (a) |z| = 1 , (b) |z - 2| = 1$


(a) $|z| = 1$


Para este primer caso donde tenemos una circunferencia centrada en el origen como contorno es necesario re escribir la integral de la forma


$\oint_{C} \frac{\frac{1}{z^3}}{z - 4} dz$


La integral se re escribe de esta forma para poder hacer uno del Teorema 5.9 : $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i } \oint_{C} \frac{f (z)}{z - z_0} dz$


Donde$f (z) = \frac{1}{z^3}$ y $z_0 = 4$


Aplicando el teorema a la integral tenemos:


$\oint_{C} \frac{\frac{1}{z^3}}{z - 4} dz = 2\pi i f(z_0)$


Donde $f(z_0) = \frac{1}{(4)^3} = \frac{1}{64}$


$\Rightarrow$

$\oint_{C} \frac{1}{z^{3} (z - 4)} dz = \oint_{C} \frac{\frac{1}{z^3}}{z - 4} dz= \frac{\pi i}{32}$


(b) $|z - 2| = 1$


Ahora tenemos una circunferencia con centro en 2 y de radio 1 es por ello que re escribiremos la integral de la siguiente forma:


$\oint_{C} \frac{\frac{1}{z - 4}}{z^3} dz$


Ahora en este cao ahremos uso del teorema 5.10 : $f (z_0) = \frac{2}{2\pi i } \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_0)^3} dz$


Donde:

$f = \frac{1}{z - 4}$


$z_0 = 0$


$f ' = \frac{d}{dz} (z - 4)^{-1} = \frac{-1}{(z - 4)^2}$


$f = \frac{d}{dz} (\frac{-1}{(z - 4)^2}) = \frac{2}{(z - 4)^3}$


Aplicando el teorema a la integral tenemos:


$\oint_{C} \frac{\frac{1}{z - 4}}{z^3} dz = \frac{2\pi i}{2} f (z_0)$


Con $f (z_0) = \frac{2}{(0 - 4)^3} = \frac{-2}{64} = frac{-1}{32}$


$\Rightarrow$


$\oint_{C} \frac{1}{z^{3} (z - 4)} dz = \oint_{C} \frac{\frac{1}{z - 4}}{z^3} dz = \frac{-\pi i}{32}$

Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:20 21 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 19

Ejercicio 19

Evaluar la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado:

$\oint_{c}\left(\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}\right)dz$ ; $\left|z\right|=6$

$\oint_{c}\left(\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}\right)dz$

$=\oint_{c}\frac{e^{2iz}}{z^{4}}dz-\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$

$=\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz-\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$ ...$\left(1\right)$

por lo que podemos definir convenientemente:

$f\left(z_{1}\right)=e^{2iz}$ ...$\left(2\right)$ y

$f\left(z_{2}\right)=z^{4}$ ...$\left(3\right)$

También es claro que hay dos singularidades en:

1.- $z_{0,1}=0$ y

2.- $z_{0,2}=i$

{*} Para poder utilizar la fórmula integral de Cauchy las funciones

evaluadas en la integral deben ser analíticas en un dominio simplemente

conexo $D$ y $C$ debe ser cualquier contorno cerrado simple situado

totalmente en $D$. En nuestro ejemplo estas condiciones sí se cumplen. {*}

.

Cálculo de $\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz$ :

Por la fórmula integral de Cauchy se tiene:

$\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz$

$=\frac{2\pi i.f\prime\prime\prime\left(z_{0,1}\right)_{1}}{3!}$

donde $f\prime\prime\prime\left(z_{1}\right)=-8ie^{2iz}$ es la derivada

de tercer orden de la ecuación $\left(2\right)$

Y por lo tanto

$f\prime\prime\prime\left(z_{0,1}\right)_{1}=-8i$

entonces:$\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz=\frac{2\pi i\left(-8i\right)}{6}=\frac{8}{3}\pi$ ...$\left(4\right)$

Cálculo de $\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$

Por la fórmula integral de Cauchy se tiene:

$\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$

$=\frac{2\pi i\left(f\prime\prime\left(z_{0,2}\right)_{2}\right)}{2!}$

donde $f\prime\prime\left(z_{2}\right)=12z^{2}$es la segunda derivada de la ec $\left(3\right)$

Y por lo tanto :

$f\prime\prime\left(z_{0,2}\right)_{2}=12i^{2}$

Entonces:

$\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz=\frac{2\pi i\left(12i^{2}\right)}{2}=-12\pi i$ ... $\left(5\right)$

Finalmente sustituyendo los valores de las ecs. $\left(4\right)$y $\left(5\right)$en

la euación $\left(1\right)$ se obtiene:

$\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz-\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz=\frac{8}{3}\pi+12\pi i$

$\therefore\oint_{c}=\left(\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}\right)dz=\pi\left(\frac{8}{3}+12i\right)$


Resuelto por:

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 17:38 18 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 21

Evalue la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado

\[ \oint_{c}\frac{dz}{z^{3}(z-1)^{2}} \] ; \( \mid z-2\mid=5 \)

Solución

Observamos que el centro de la curva es z=2 y tiene radio 5, entonces analizando la integral se ve que no es analítico en z=0 y z=1, pero ambos están dentro del contorno entonces es analítica la curva, procedemos a decir:

\[ \oint_{c}\frac{dz}{z^{3}(z-1)^{2}}=\oint_{c}\frac{\frac{1}{z^{3}}}{(z-1)^{2}}dz+\oint_{c}\frac{\frac{1}{(z-1)^{2}}}{z^{3}}dz \], donde :

\[ f_{1}(z)=\frac{1}{z^{3}} \] , \( f_{2}(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}} \) y entonces nos queda:

\[ \oint_{c}\frac{dz}{z^{3}(z-1)^{2}}=\oint_{c}\frac{f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}dz+\oint_{c}\frac{f_{2}(z)}{z^{3}}dz \]

La formula integral de Cauchy para derivadas, para cualquier punto \( z_{0} \) dentro de C es:

\[ \oint_{c}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n\text{!}}f^{(n)}(z_{0}) \], comparando con las integrales que tenemos, obtenemos:

Para la primera función

\[ \oint_{c}\frac{f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}dz=\frac{2\pi i}{1!}f_{1}^{'}(1) \] , donde \( n+1=2\Rightarrow n=1 \) y \( z_{0}=1 \)

lo que nos dice n=1 ,es obtener la primera derivada de la funcion f1, y despues valuar en el punto 1,entonces:.

\[ f_{1}(z)=\frac{1}{z^{3}} \]

\[ f_{1}'(z)=-\frac{3}{z^{4}} \]

\[ f_{1}'(1)=-\frac{3}{(1)^{4}}=-3 \]

\[ \oint_{c}\frac{f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}dz=\frac{2\pi i}{1!}f_{1}^{'}(1)=\frac{2\pi i}{1!}(-3)=-6\pi i \]

Para la segunda función

\[ \oint_{c}\frac{f_{1}(z)}{(z-0)^{3}}dz=\frac{2\pi i}{1!}f_{2}^{''}(0) \] , donde \( n+1=3\Rightarrow n=2 \) y \( z_{0}=0 \)

lo que nos dice n=2 ,es obtener la segunda derivada de la funcion f2 y despues valuar en el punto 0 ,entonces:.

\[ f_{2}(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}} \]

\[ f_{2}'(z)=-\frac{2}{(z-1)^{3}} \]

\[ f_{2}''(z)=\frac{6}{(z-1)^{4}} \]

\[ f_{2}''(0)=\frac{6}{(0-1)^{4}}=6 \]

\[ \oint_{c}\frac{f_{2}(z)}{(z-0)^{3}}dz=\frac{2\pi i}{2!}f_{2}^{'}(0)=\pi i(6)=6\pi i \]

Por lo tanto

\[ \oint_{c}\frac{dz}{z^{3}(z-1)^{2}}=\oint_{c}\frac{f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}dz+\oint_{c}\frac{f_{2}(z)}{z^{3}}dz=-6\pi i+6\pi i=0 \]

\[ \oint_{c}\frac{dz}{z^{3}(z-1)^{2}}=0 \]

Elaborado por Ricado García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 15:23 20 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 22

22.Utilice los teoremas 5.9 y 5.10, cuando sean apropiados, para evaluar la integral a lo largo de los contornos cerrados: $\oint_C \frac{1}{z^2(z^2+1)}dz; |z-i|=\frac{3}{2} $.

Solución:

Notemos que: $f(z)=\frac{1}{z+i}$ es analítica dentro del contorno dado, por otra parte: $z^2+1=(z+i)(z-i)$ y que $\frac{1}{z^2(z^2+1)}=\frac{\frac{1}{z+i}}{z^2(z-i)}$.

Entonces:

$\oint_C \frac{1}{z^2(z^2+1)}dz=\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z^2(z-i)}dz$. Al descomponer $\frac{1}{z^2(z-i)}$ en fracciones parciales obtenemos que: $\frac{1}{z^2(z-i)}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z}$. Por lo anterior $\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z^2(z-i)}dz=\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z^2}dz-\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{(z-i)}dz+\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z}dz=\frac{2\pi if'(0)}{1!}-2\pi i f(i)+2\pi if(0)=2\pi i(\frac{-1}{(0+i)^2}-\frac{1}{2i}+\frac{1}{i})=2\pi i(1-\frac{1}{2i}+\frac{2}{2i})=2\pi i (1+\frac{1}{2i})=2\pi (\frac{1}{2}+i)=\pi(1+2i)$.

Por lo tanto: $\oint_C \frac{1}{z^2(z^2+1)}dz ;(|z-i|=\frac{3}{2})=\pi(1+2i) $

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:07 28 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 23

Evaluar la integral, donde C es la figura en forma de ocho

$\oint_{c}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz$

Solución:

Sabemos que C no es un contorno simple pero lo pensamos como si fueran dos solo que uno va en horario $-c_{1}$ y el otro antihorario $c_{2}$ por cual las integrales las escribiremos de la siguiente manera:

$\oint_{c}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz+\oint_{c_{2}}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz=-\oint_{-c_{1}}\frac{\frac{3Z+1}{\left(Z-2\right)^{2}}}{Z}dz+\oint_{c_{2}}\frac{\frac{3Z+1}{Z}}{\left(Z-2\right)^{2}}dz=-I_{1}+I_{2}$

Para resolver $I_{1}$usaremos

$f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}dz$

Sacamos a $z_{0}$y a $f\left(z\right)$

$z_{0}=0$ $f\left(z\right)=\frac{3z+1}{\left(z-2\right)^{2}}$

entonces tenemos que:

$I_{1}=\oint_{-c_{1}}\frac{\frac{3Z+1}{\left(Z-2\right)^{2}}}{Z}dz=2\pi if\left(0\right)=2\pi i\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{2}i$

Pero nosotros queremos $-I$ entonces al resultado anterior lo multiplicamos por un signo menos y así tenemos que:

$-I=-\frac{\pi}{2}i$

Ahora para resolver $I_{2}$ utilizaremos

$f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

tenemos que

$z_{0}=2$ y $f\left(z\right)=3+\frac{1}{z}\Longrightarrow f^{,}\left(z\right)=-\frac{1}{Z^{2}}$y también $f\left(2\right)=-\frac{1}{4}$

Ahora resolvemos $I_{2}$

$I_{2}=\oint_{c_{2}}\frac{\frac{3Z+1}{Z}}{\left(Z-2\right)^{2}}dz=\frac{2\pi i}{1!}f^{\text{,}}\left(2\right)=2\pi i\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi}{2}i$

Finalmente sumamos las integrales y obtenemos el resultado requerido que es:

$\oint_{c}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz=-\pi i$

Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:31 21 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 24

In Problems 23 and 24, evaluate the given integral, where C is the figure-eight contour in the figure.

traduccion:

En los problemas 23 y 24 , evalúe la integral dada , donde C es la forma de ocho vertical contorno en la figura 5.47,

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ donde ces ese 8 vertical

para poder atacar este ejercicio tenemos los siguientes teoremas:

1.-Fórmula Integral Teorema 5.9 de Cauchy:

Supongamos que f es analítica en un dominio simplemente conexo D y C es cualquier contorno cerrado sencilla situada totalmente en D. Entonces, para cualquier punto z0 singular dentro de C ,

$f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2ipi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)}dz$

2.-Fórmula Integral Teorema 5.10 de Cauchy para Derivados:

Supongamos que f es analítica en un dominio simplemente conexo D y C es cualquier contorno cerrado sencilla situada totalmente en D. Entonces, para cualquier punto z0 singular dentro de C

$f^{n\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2ipi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

por lo cual devemos llevar la integral propuesta a alguna de las dos fromas anteriores para poder usar algun teorema:

pero antes devemos concidarar el contorno C y la integral $\ointclockwise_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ es obvio que el denominador tiene 2 singularidades las cuales son $z=i$ y tambien $z=-i$ y tambien es obvio que este corntorno no es simple ya que tiene un cruce con si mismo por lo cual procedemos a cortar este contorno en dos contornos de la siguiente manera:

$C=c_{1}+c_{2}$donde cada sumando es una porcion del contorno total pormlo que la interal original podemos partirla en dos integrales de la siguiente manera:

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$

haora si resolvemos cada integral por separado y aplicando los teoremas y despues las sumamos

3.- integral sobre c$_{1}$donde la singularidad es $z=i$:

$\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ arregrandola para poder usar algun teorema queda:

$\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)^{2}}dz=\oint c_{1}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)}dz$ dejamos las singularidades en el denominador y subimos al numerador el resto de la siguiente manera:

$\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)\left(z+i\right)}}{\left(\left(z-i\right)\right)\left(\left(z-i\right)\right)}dz$ desarrollando en el denominador tenemos:

$\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz$ haora si podemos utilizar el teorema Fórmula Integral Teorema 5.10 de Cauchy para Derivados

$f^{n\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2ipi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

$f^{1\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{1!}{2ipi}\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz$ donde $f\left(z\right)=\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}$la cual es analitica para c$_{1}$ y $z_{0}=i$

$f^{1\prime}\left(i\right)=\frac{\left(z+i\right)^{2}ie^{iz}-e^{iz}\left(2\left(z+i\right)\right)}{\left(\left(z+i\right)^{2}\right)^{2}}=\frac{-4e^{-1}}{\left(2i\right)^{3}}$ entonces la integral para c$_{1}$queda:

$\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz=2ipi\left(\frac{-4e^{-1}}{\left(2i\right)^{3}}\right)$

4.. 3.- integral sobre c$_{2}$donde la singularidad es $z=-i$:

$-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ arregrandola para poder usar algun teorema queda:

$-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=-\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)^{2}}dz=-\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)}dz$ dejamos las singularidades en el denominador y subimos al numerador el resto de la siguiente manera:

$-\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)\left(z-i\right)}}{\left(\left(z+i\right)\right)\left(\left(z+i\right)\right)}dz$ desarrollando en el denominador tenemos

$-\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)^{2}}}{\left(z+i\right)^{2}}dz$ haora si podemos utilizar el teorema Fórmula Integral Teorema 5.10 de Cauchy para Derivados

$f^{n\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2ipi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

$-f^{1\prime}\left(z_{0}\right)=-\frac{1!}{2ipi}\oint_{c_{2}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)^{2}}}{\left(z+i\right)^{2}}dz$ donde $f\left(z\right)=\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)^{2}}$ la cual es analitica en c$_{2}$y $z_{0}=-i$

$-f^{1\prime}\left(-i\right)=\frac{\left(z-i\right)^{2}ie^{iz}-e^{iz}\left(2\left(z-1\right)\right)}{\left(\left(z-i\right)^{2}\right)^{2}}=-\frac{\left\{ 0\right\} e^{-1}}{\left(-2i\right)^{3}}=-0$ entonces la integral para c$_{1}$queda:

$-\oint_{c_{2}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz=-2ipi\left(0\right)=0$

por lo tanto la integral total es igual a la suma de integrales para c1 y c2

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=2ipi\left(\frac{-4e^{-1}}{\left(2i\right)^{3}}\right)-0$

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=2ipi\left(\frac{-4e^{-1}}{-8i}\right)=\frac{-8pie^{-1}}{-8}=pie^{-1}$


--Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----


Ejercicio 25

Proceder como el ejemplo 5 para encontrar el módulo máximo de la función dada en la región circular $|z|\leq 5$ para $f(z)=-iz+i$.


Sol. Factorizando en la función se tiene $f(z)=i(1-z)$ y del capítulo 1 se tuvo que $|z|^2=z\overline{z}$. Sustituyendo $z$ por $i(1-z)$


$|f(z)|^2=|i(1-z)|^2=i(1-z)\overline{i(1-z)}=i(1-z)[-i(1-\overline{z})]=(1-z)(1-\overline{z})=1-\overline{z}-z+z\overline{z}=1-\overline{z}-z+|z|^2$


$|f(z)|^2=1+|z|^2-(z+\overline{z})$


En el capítulo 1 se dedujo que

$Re(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}$ y $Im(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}$


Por lo que despejando y sustituyendo en $|f(z)|^2$; $2Re(z)=z+\overline{z}$


$|f(z)|^2=1+|z|^2-2Re(z)$


Dado que $f(z)$ es un polinomio, es analítica en la región $|z|\leq 5$, por lo que del Teorema del módulo máximo, el máximo se alcanza cuando $|i(1-z)|$ está en la frontera, es decir $|z|=5$. Sustituyendo


$|f(z)|^2=1+|z|^2-2Re(z)=1+25-2Re(z)=26-2Re(z)$


$|f(z)|=\sqrt{26-2Re(z)}$


Y de igual manera, la expresión anterior obtiene su máximo en $|z|=5$ que es cuando $Re(z)=5$. Sustituimos


$|f(z)|=\sqrt{26-2Re(z)}=\sqrt{26-2(5)}=\sqrt{26-10}=\sqrt{16}=4$


Por lo tanto, el módulo máximo es:

$|f(z)|=4$


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 23:11 19 jun 2015 (CDT)


Ejercicio 26

proceda como en el ejemplo 5 para encontrar el módulo máximo de la función dada en la región circular cerrada indicada

$f(z)=z^{2}+4z$ ; $|z|\leq1$

sabemos que

$|z|^{2}=z\overline{z}$

entonces

$|z^{2}+4z|^{2}=\left(z^{2}+4z\right)\left(\overline{z^{2}+4z}\right)=\left(z^{2}+4z\right)\left(\overline{z^{2}}+4\overline{z}\right)=z^{2}\overline{z^{2}}+4z\overline{z^{2}}+4\overline{z}z^{2}+16z\overline{z}$

usando las propiedades de los números complejos siguientes

$\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}*\overline{z_{2}}$

$|z|^{2}=z\overline{z}$

obtenemos

$z^{2}\overline{z^{2}}+4z\overline{z^{2}}+4\overline{z}z^{2}+16z\overline{z}=zz\overline{z}\overline{z}+4z\overline{z}\overline{z}+4\overline{z}zz+16z\overline{z}=|z|^{2}|z|^{2}+4|z|^{2}\overline{z}+4|z|^{2}z+16|z|^{2}$

nosotros sabemos que $m\acute{a}x_{|z|\leq1}|z^{2}+4z|$ ocurre cuando $|z|=1$

entonces sustituimos y simplificamos

$|z|^{2}|z|^{2}+4|z|^{2}\overline{z}+4|z|^{2}z+16|z|^{2}=(1^{2})(1^{2})+4(1)\overline{z}+4(1)z+16(1)^{2}=1+4\overline{z}+4z+16=17+4(z+\overline{z})$

ahora usamos otra propiedad

$*Re(z)=\frac{\overline{z}+z}{2}$

$2Re(z)=\overline{z}+z$

por lo tanto obtenemos

$17+4(z+\overline{z})=17+4\left(2Re(z)\right)=17+8Re(z)$

y la parte real vale 1 cuando alcanza su máximo en este caso, por lo tanto nos sale que

$17+8Re(z)=17+8=25$

entonces obtenemos que

$|z^{2}+4z|^{2}=25$

$|z^{2}+4z|=\sqrt{25}=5$

por lo tanto

$m\acute{a}x_{|z|\leq1}|z^{2}+4z|=5$



--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:40 21 jun 2015 (CDT)



Ejercicio 28

Supongamos que $f$ es analítica dentro y sobre de la circunferencia C de radio r con el centro en $z_{0}$. Use (1) para obtener

\[ f(z_{0}) \dfrac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0} f(z_{0}+re^{i \theta})d\theta\]


Usando (1)


\[ f(z_{0}) = \dfrac{1}{2\pi} \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}} dz \]


Como el radio de C es r entonces $|z-z_{0}|= r $ o $z= z_{0} +re^{i\theta}$. Así (1) se convierte en

\[ f(z_{0}) = \dfrac{1}{2\pi} \oint_{C} \dfrac{f(z_{0}+re_{i\theta} ) ire^{i\theta}}{re^{i\theta}} d\theta \]


Así llegamos al teorema del velor medio

\[ f(z_{0}) \dfrac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0} f(z_{0}+re^{i \theta})d\theta\] --Esther Sarai (discusión) 21:23 21 jun 2015 (CDT)Esther Sarai


Ejercicio 28, Solución alternativa

Se tiene la formula integral de Cauchy:

\[ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz \]

donde el problema nos dice que f es analítica , \( z_{0} \) es el centro , y r el redio de la circuferencia C.

Recordemos que la forma exponencial de un numero complejo esta dada de la forma:

\[ z=re^{i\theta} \]

lo que nos permite expresar la forma polar de un número complejo distinto de cero.

Para nuestro caso y centro en z subíndice cero, se tiene que:

\[ z-z_{0}=re^{i\theta}...(1) \]

Entonces despejando “z” se tiene:

\[ z=z_{0}+re^{i\theta}...(2) \]

Ahora derivamos ambos miembros , uno con respecto a “z” y otrocon respecto a theta en el segundo miembro, y se tiene:

\[ z=z_{0}+re^{i\theta} \]

\[ dz=rie^{i\theta}d\theta...(3) \]

Sustituyendo en la formula integral de Cauchy (1),(2) y (3) se tiene:

\[ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz \]

\[ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f(z_{0}+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}(rie^{i\theta}d\theta) \]

Eliminado terminos se tiene:

\[ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\oint_{c}f(z_{0}+re^{i\theta})d\theta \]

en este contorno cerrado de la circuferenia nuestro ángulo theta va de 0 a 2 pi, entonces:

\[ f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})d\theta \]

Lo cuál esta demostrado y ha este resultado se le conoce como el teorema del valor medio de Gauss,

y muestra que el valor de f en el centro z subíndice cero de la circuferencia es el promedio de todos

los valores de f en la circuferencia de C.

Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:28 22 jun 2015 (CDT)