Categoría:Optica

Introducción

Óptica y otras Disciplinas.

La óptica es la rama de la física que estudia el comportamiento de la luz, sus características y sus manifestaciones. Abarca el estudio de la reflexión, la refracción, las interferencias, la difracción, la formación de imágenes y la interacción de la luz con la materia. A continuación haremos una breve revisión histórica de cómo se ha desarrollado esta ciencia, desde los comienzos más tempranos de que se tienen registros o evidencias. Mucho antes de que se iniciaran los estudios metódicos y formales de los fenómenos ópticos, se construyeron espejos y lentes para mejorar la visión.

Por ejemplo, los espejos ya fueron usados por las mujeres del antiguo Egipto para verse en ellos (1900 aEC), como pudo comprobarse al encontrar uno cerca de la pirámide de Sesostris II. Naturalmente, estos espejos eran solamente unos trozos de metal con un pulido muy imperfecto. La primera mención al fenómeno de la refracción de la luz la encontramos en el libro de Platón, La República. Euclides estableció por primera vez (300 aEC) la ley de la reflexión y algunas propiedades de los espejos esféricos en su libro Catóptrica. Herón de Alejandría (250 d.C.) casi descubrió el Principio de Fermat al decir que la luz al reflejarse sigue la mínima trayectoria posible. Claudio Tolomeo (130 EC), sin duda uno de los más grandes científicos de la antigüedad, escribió el libro Óptica, donde establece que el rayo incidente, la normal a la superficie y el rayo reflejado están en un plano común. Tolomeo también encontró una forma aproximada de la ley de refracción, válida únicamente para ángulos de incidencia pequeños.

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Fenómenos electromagnéticos.

La óptica electromagnética se basa en la teoría electromagnética de la luz, que establece que la luz es una forma de radiación electromagnética. Esta teoría, desarrollada a partir de las ecuaciones de Maxwell, unifica los conceptos de electricidad y magnetismo, permitiendo explicar una amplia gama de fenómenos ópticos.

En el contexto de la óptica, los fenómenos electromagnéticos son responsables de varios efectos notables. Uno de los fenómenos más fundamentales es la reflexión, donde la luz se devuelve cuando encuentra una superficie. La refracción es otro fenómeno crucial, donde la luz cambia de dirección al pasar de un medio a otro debido a la variación en su velocidad.

Ecuaciones de Maxwell.

Se sabe que un campo electromagnético se propaga en el vacío con una velocidad igual a la de la luz en el vacío, es decir a una velocidad

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}\approx3*10^{8}\text{ms}^{-1}. \]

La existencia de dichas ondas había sido predicha por James Clerk Maxwell y confirmada por Heinrich Hertz. El trabajo de Maxwell lo llevó a sintetizar en 4 ecuaciones los fenómenos electromagnéticos clásicos; dichas ecuaciones, conocidas comúnmente con el nombre de 'Ecuaciones de Maxwell', son las siguientes, donde $E$ es el campo eléctrico y $B$ es el campo de inducción magnética (campo magnético variable en el tiempo)^[1]:

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Ondas electromagnéticas

Espectro electromagnético, frecuencias y longitudes de onda.

Desde el punto de vista clásico la radiación electromagnética son las ondas electromagnéticas generadas por las fuentes del campo electromagnético y que se propagan a la velocidad de la luz. La generación y la propagación de estas ondas son compatibles con el modelo de ecuaciones matemáticas definido en las ecuaciones de Maxwell.

Es importante tener en cuenta el espectro electromagnético, ya que nos da una idea general sobre las características de las ondas electromagnéticas; como se muestra en la siguiente figura, las ondas electromagnéticas abarcan una amplia gama de tipos de radiación, con los cuales estamos en contacto de manera cotidiana.

Notación compleja de ondas electromagnéticas

Una onda armónica puede escribirse de forma compleja como:

${\displaystyle \psi ({\textbf {r}},t)=Ae^{i({\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}\pm \omega {t})}}$

Cualquier parte de esta ecuación, podría ser utilizada para describir una onda electromagnética, sin embargo se acostumbra a tomar la parte Real.

${\displaystyle \Psi (x,t)=Re\left[Ae^{i(\omega t-kx+\varepsilon )}\right]}$

Por lo que una onda es comúnmente escrita como:

${\displaystyle \Psi (x,t)=A\cos e^{i(\omega t-kx+\varepsilon )}}$

Onda plana

Se dice que una onda plana electromagnética es uniforme si en ella, las intensidades de campo eléctrico y magnético presentan amplitudes constantes en las superficies equi fase. Ondas de este tipo sólo pueden encontrarse en el espacio libre a una distancia infinita de la fuente.

En las ondas planas la velocidad tiene una sola componente paralela al eje x

Ondas esféricas: La ecuación de onda en coordenadas esféricas será

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial {r^{2}}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t^{2}}}}(r\psi )}$

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Ejercicios resueltos del Hecht-Cap 2.5

En esta wiki hay resueltos algunos ejercicios sobre el Movimiento Ondulatorio, incluyendo la notación compleja de las ondas electromagnéticas, estos ejercicios pueden verse en:

Ejercicios Movimiento Ondulatorio

Onda esférica (límite a onda plana)

Un caso especial de la solución general

${\displaystyle \psi (r,t)=C_{1}{\frac {f(r-vt)}{r}}+C_{2}{\frac {f(r+vt)}{r}}}$

es la onda esférica armónica

${\displaystyle \psi (r,t)=({\frac {A}{r}})\cos {k}(r\pm {vt})}$

o

${\displaystyle \psi (r,t)=({\frac {A}{r}})e^{ik(r\pm {vt})}}$

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Ejercicios resueltos Hecht-Cap 2.7

En esta wiki hay resueltos algunos ejercicios sobre el Movimiento Ondulatorio, incluyendo ondas electromagnéticas esfericas, estos ejercicios pueden verse en:

Ejercicios Movimiento Ondulatorio

Aproximación Paraxial y ondas Gaussianas

Ver mas en: Aproximación paraxial y ondas Gaussianas

Ejercicios propuestos: Siegman - Cap16,pp.626-641, Cap17,pp.663-682

Polarización

El estudio acerca del comportamiento y la naturaleza de la luz incluye nombres de grandes maestros a través de la historia, además de ser un tema bastante amplio.

Una de las propiedades físicas de la luz es que puede ser polarizada. Siendo la luz un tipo de radiación electromagnética, posee tanto campo eléctrico como campo magnético; es precisamente su campo eléctrico el que produce el fenómeno de la polarización.

Fig. 1 Onda Electromagnética.^[2] El campo eléctrico (en rojo), del cuál depende el fenómeno de la polarización, se mueve linealmente a lo largo del eje ${\displaystyle Z}$, y el campo magnético (azul) oscila a lo largo del eje ${\displaystyle X}$, ambos perpendiculares a la dirección de propagación (eje ${\displaystyle Y}$)

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Polarización lineal

Se dice que la luz es linealmente polarizada (o polarizada plana) cuando la componente-x y la componente-y del vector del campo eléctrico se encuentran en fase, conservando constante su dirección y cambiando únicamente (de forma senoidal con el tiempo y el espacio) su magnitud y sentido.

Polarización Lineal. La onda viaja a través de Z, mientras el campo eléctrico oscila linealmente con una inclinación de 45° en el plano ${\displaystyle ''XY''}$^[3]

Ver mas en: Polarización Lineal

Polarización circular

Cuando la luz es linealmente polarizada, las ondas en el eje-x y el eje-y del campo eléctrico deben estar en fase (es decir, ${\displaystyle \varepsilon =0}$). Es cuando se encuentran desfasadas por 90°, y cuando la amplitud de ambas es exactamente la misma, que hablamos de polarización circular. En este caso, si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería circular.

Polarización circular derecha, cuyo eje de propagación es Z, siendo Y el eje vertical.

Ver mas en: Polarización Circular

Polarización elíptica

La polarización elíptica se presenta cuando las componentes ${\displaystyle \textstyle {E_{x}}}$ y ${\displaystyle \textstyle {E_{y}}}$ se encuentran desfasadas un valor ${\displaystyle \varepsilon }$ arbitrario, y a su vez presentan una amplitud arbitraria.

Si podemos considerar "arbitrario" como cualquier valor, entonces se pueden presentar los casos donde ${\displaystyle \varepsilon =0}$, ${\displaystyle \varepsilon =\pi /2}$ (o múltiplos enteros de éste), así como cuando la amplitud de las componentes sea la misma, que es cuando se manifiesta la polarización lineal y polarización circular. Es por esto que a la polarización lineal y polarización circular se les considera casos especiales de polarización elíptica, a pesar de que éstos no manifiesten estrictamente un movimiento elíptico.

Ver mas en: Polarización Elíptica.

Medición: parámetros de stokes

Los parámetros de Stokes son una herramienta matemática esencial en el estudio de la polarización de la luz.

Los parámetros de Stokes son cuatro valores numéricos que describen completamente el estado de polarización de una onda electromagnética. Estos parámetros, denominados $S_0​, S_1​, S_2​, y S_3​,$ proporcionan información detallada sobre la intensidad, la forma de polarización y la orientación de la polarización de la luz.

Ver mas en: Parámetros de Stokes

Propagación de ondas electromagnéticas

Las ondas electromagnéticas se componen de campos eléctricos y magnéticos que oscilan perpendicularmente entre sí mientras se propagan en el espacio. Las ondas electromagnéticas tienen una amplia gama de frecuencias, lo que da lugar al espectro electromagnético. Desde las ondas de radio de baja frecuencia hasta las radiaciones gamma de alta energía, este espectro incluye luz visible, microondas, rayos X y otros tipos de radiación.

En el contexto de la propagación de ondas electromagnéticas, se destacan varios conceptos clave. La velocidad de propagación de estas ondas en el vacío es una constante universal, aproximadamente igual a $3x10^8 \frac{m}{s}$ , y se denota por la letra $c$, que representa la velocidad de la luz en el vacío.

Para un medio distinto, cuyo índice de refracción sea $n$, la luz se propagara a una velocidad.

Leyes de reflexión y refracción

La reflexión y refracción de la luz son dos fenómenos ópticos fundamentales que ocurren cuando la luz interactúa con superficies o medios diferentes.

Reflexión de la Luz

La reflexión de la luz ocurre cuando un rayo de luz incide sobre una superficie y rebota en la dirección opuesta. Según la ley de reflexión, el ángulo de incidencia, medido desde la normal (una línea perpendicular a la superficie), es igual al ángulo de reflexión. Este fenómeno es la base de los espejos y otras tecnologías reflectantes, permitiendo la formación de imágenes y siendo esencial en dispositivos ópticos como los microscopios y telescopios.

Reflexión de la luz

Considérese un rayo de luz que se propaga a través de un medio homogéneo incide sobre la superficie de un segundo medio homogéneo, como resultado tenemos que parte de la luz es reflejada y la otra parte entra como un rayo refractado en el segundo medio, donde puede o no puede ser absorbido. La cantidad de luz reflejada depende de la relación entre los índices de refracción de ambos medios. El plano de incidencia se define como el plano formado por el rayo incidente y la normal (es decir, la línea perpendicular a la superficie del medio) en el punto de incidencia, El ángulo de incidencia es el ángulo entre el rayo incidente y la normal.

De acuerdo a las leyes de reflexión:

Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda reflejada forman un plano perpendicular al plano de separación de los medios.

El ángulo que forma el rayo incidente con la recta normal a la frontera (ángulo de incidencia) es igual al ángulo de esta normal con el rayo reflejado (ángulo de reflexión)

Refracción de la Luz

La refracción de la luz sucede cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro con diferente densidad óptica, como del aire al agua. En este proceso, el rayo de luz cambia su dirección y velocidad, lo que provoca que se curve.

Cuando el rayo de luz incidente encuentra otra frontera que conduce a otro medio, parte del rayo se transmite también al segundo medio. Este rayo se desvía en la barrera y se dice que se refracta. En el caso del prisma como el índice de refracción de una sustancia varía según la longitud de onda, un prisma puede separar las diferentes longitudes de onda contenidas en un haz incidente y formar un espectro.

Podemos ilustrar a la refracción con un prisma en donde incidimos rayos de luz roja, verde y azul. Suponemos que la rapidez promedio de la luz roja en el vidrio es menor que en el aire, por lo que se refracta el rayo rojo. Al salir al aire vuelve a tener su rapidez original y viaja en la dirección indicada. La luz verde tarda más en atravesar el vidrio. Como su rapidez es menor se refracta como se indica. La luz azul atraviesa todavía con más lentitud; entonces podemos ver el cambio que presentan los rayos de luz con diferente rapidez.

Prisma de vidrio en donde incidimos rayos de luz

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Ley de Snell, Ecuaciones de Fresnel

la Ley de Snell y las ecuaciones de Fresnel son esenciales para entender diversos fenómenos como la reflexión total interna en la luz, donde toda la luz es reflejada cuando incide en un medio con un índice de refracción menor desde un medio con un índice de refracción mayor. La ley de Snell y las ecuaciones de Fresnel, dan herramientas matemáticas, para comprender diversos fenómenos ópticos.

Ley de Snell

Dice que el producto del índice de refracción por el seno del ángulo de incidencia es constante para cualquier rayo de luz incidiendo sobre la superficie separatriz de dos medios \[ m\sin a=n\sin b \]

Dónde: Ángulos con respecto a la normal de la cara del prisma: incidente=a refractado=b

Ecuaciones de Fresnel

Las ecuaciones de Fresnel, son un conjunto de relaciones matemáticas que relacionan las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas en función de la amplitud de la onda incidente. Su nombre hace honor al físico francés Augustin-Jean Fresnel, quien estudió el comportamiento de la luz al desplazarse entre medios que tienen índices de refracción distintos.

Ver mas en: Ecuaciones de Fresnel

Ángulo de Brewster y reflexión total interna

El ángulo de Brewster, también conocido como ángulo de polarización, es un concepto fundamental en la óptica que describe un fenómeno crucial relacionado con la reflexión y refracción de la luz en interfaces entre dos medios con diferentes índices de refracción, cuando una luz no polarizada incide sobre una superficie en un ángulo de Brewster, la luz reflejada es completamente polarizada perpendicularmente al plano de incidencia.

Ver mas en: Angulo de Brewster, Polarización.

Índice de refracción complejo

El índice de refracción en forma compleja se expresa como $n=n_r+i⋅n_i$​, donde $n_r​$ es la parte real que representa el índice de refracción convencional y $n_i​$ es la parte imaginaria que describe la absorción del material. La parte real $n_r$ es el índice de refracción e indica la velocidad de fase, mientras que la parte imaginaria $n_i$ se llama coeficiente de extinción óptica o coeficiente de absorción.

Ecuación de la Eikonal

Matrices ABCD

Velocidades de una onda

Velocidad de Fase

1. velocidad de fase Hecht-Cap 2.3

Velocidad de Grupo

1. velocidad de grupo Hecht-Cap 7.6

Dispersión Brillouin Cap I, velocidad de energía Brillouin- IV-5

Velocidad de ondas contrapropagantes

Otras velocidades, propagación superlumínica y causalidad

Energía de ondas electromagnéticas

Vector de Poynting

Jackson Cap.6.8, 4.7, 6.2

Propagación en medios inhomogéneos

1. ecuación de Ermakov
2. invariantes y su interpretación física
3. medios estratificados

Interferencia

1. de dos fuentes
2. tipos de interferómetros
3. de haces múltiples

Teoría escalar de la difracción

1. Integral de Kirchhoff Fresnel B&W 8.2, 8.3
2. Construcción de zonas de Fresnel B&W 8.1
3. Difracción de Fraunhofer Hecht 10.2
4. Difracción de círculo - cuadrado

Transformadas de Fourier

1. lentes y difracción de Fresnel Goodman Cap. 5
2. óptica de Fourier Goodman Cap. 2
3. resolución de instrumentos ópticos Goodman Cap. 6

coherencia

1. coherencia parcial Hecht Cap -12
2. teorema de Van Cittert Zernike

pulsos ultra-rápidos