Optica: ecuaciones de Fresnel
Introducción
Las ecuaciones de Fresnel, son un conjunto de relaciones matemáticas que relacionan las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas en función de la amplitud de la onda incidente. Su nombre hace honor al físico francés Augustin-Jean Fresnel, quien estudió el comportamiento de la luz al desplazarse entre medios que tienen índices de refracción distintos.
Ondas en una interfaz
Primero recordamos cual es la ecuación de onda para el campo eléctrico,
\begin{equation}{ \nabla }^{ 2 }\vec { E } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }\vec { E } }{ { \partial t }^{ 2 } } =0.\end{equation}
La solución a esta ecuación es de la forma:\begin{equation}\vec { E } =\vec { { E }_{ 0 } } \cos { (\vec { k } \cdot \vec { r } -\omega t) }, \end{equation}
Entonces para la onda incidente, la solución a la ecuación de onda se ve de la siguiente manera:\begin{equation}\vec { { E }_{ i } } =\vec { { E }_{ 0i } } \cos { (\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ i }t) },\end{equation} como se puede apreciar en la imagen, la onda incidente forma un ángulo con el eje normal a la interfase y por hipótesis esperamos que una parte sea transmitida y otra reflejada. El vector de onda reflejada también forma un ángulo con ese eje, de la misma manera se forma un ángulo entre el eje normal a la interfase y el vector de onda transmitida, (en un análisis posterior se observará la relación entre esos ángulos). Entonces las ondas electromagnéticas reflejada y transmitida tendrán una forma matemática similar,\begin{equation}\vec { { E }_{ r } } =\vec { { E }_{ 0r } } \cos { (\vec { { k }_{ r } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ r }t+{ \epsilon }_{ r }) }, \end{equation}\begin{equation}\vec { { E }_{ t } } =\vec { { E }_{ 0t } } \cos { (\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ t }t+{ \epsilon }_{ t }) }, \end{equation} donde ${ \E }_{ r }$ y ${ \E }_{ t }$ son constantes de fase. Ya que se analiza el comportamiento de esas ondas en la interfase, entonces podemos recurrir a la condición de continuidad para las componentes tangenciales del campo eléctrico, ${ \vec { E_{ \theta ni } } | }_{ (y=b) }={ \vec { E_{ \theta nt } } | }_{ (y=b) }$. Para calcular las componentes tangenciales necesitamos calcular el producto cruz del vector unitario (normal a la interfase) con el campo eléctrico respectivo a cada onda, \begin{equation}\vec { E_{ \theta ni } } ={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ i }={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ 0i }\cos { (\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ i }t) }, \end{equation} \begin{equation}\vec { E_{ \theta nr } } ={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ r }={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ 0r }\cos { (\vec { { k }_{ r } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ r }t+{ \epsilon }_{ r }) }, \end{equation} \begin{equation}\vec { E_{ \theta nt } } ={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ t }={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ 0t }\cos { (\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ t }t+{ \epsilon }_{ t }) } .\end{equation} Pero tanto las ondas incidentes como las reflejadas están en el mismo medio, es decir ${ n }_{ i }={ n }_{ r }$ entonces la suma de las componentes tangenciales del campo eléctrico incidente y reflejado, debe ser igual a la componente del campo transmitido, evaluados en $y=b$, es decir la interfase, \begin{equation}{ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ 0i }\cos { (\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ i }t) } { | }_{ y=b }+{ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ 0r }\cos { (\vec { { k }_{ r } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ r }t+{ \epsilon }_{ r }) } { | }_{ y=b }={ \hat { u } }_{ n }\times { \vec { E } }_{ 0t }\cos { (\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ t }t+{ \epsilon}_{ t }) } { | }_{ y=b }.\end{equation} Para establecer una relación entre las fases de los cosenos, tenemos que tomar en cuenta que eso solo puede ser posible para cualquier punto en la interfase, y para todo tiempo, entonces de esa manera podemos establecer una igualdad entre fases:\begin{equation}(\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ i }t){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ r } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ r }t+{ \epsilon }_{ r }){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } -{ \omega }_{ t }t+{ \epsilon }_{ t }){ | }_{ y=b },\end{equation} de la anterior relación, las frecuencias de la fases reflejada y transmitida se verán forzadas a obtener el mismo valor que la frecuencia de incidencia, esto se debe a que la onda incidente hace vibrar los electrones de los medios dieléctricos de manera forzada, por lo tanto ${ \omega }_{ i }={ \omega }_{ r }={ \omega }_{ t }$ por consiguiente llegamos a:\begin{equation}(\ast)(\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } ){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ r } } \cdot \vec { r } +{ \epsilon}_{ r }){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } +{ \epsilon }_{ t }){ | }_{ y=b }.\end{equation} Apartir de la relación anterior ($\ast$)se verá que sucede con las constantes de fase. Tomemos la primera igualdad y despejemos la constante de fase, \begin{equation}{ \epsilon }_{ r }=(\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } -\vec { { k }_{ r } } \cdot \vec { r } ){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ i } } -\vec { { k }_{ r } } )\cdot \vec { r } { | }_{ y=b },\end{equation} pero recordemos que el plano en el que habitan los vectores de onda (plano de incidencia) es ortogonal al plano del vector de posición (plano de interfase), entonces el producto punto entre ellos será cero, por lo tanto ${ \epsilon }_{ r }=0$, una vez establecido esto, podemos escribir, \begin{equation}(\vec { { k }_{ i } } -\vec { { k }_{ r } } )=0,\end{equation} calculando el producto cruz del vector unitario con esa resta vectorial, \begin{equation}{ \hat { u } }_{ n }\times (\vec { { k }_{ i } } -\vec { { k }_{ r } } )=0,\end{equation} recordemos que la magnitud del producto cruz de dos vectores es igual al producto de sus magnitudes veces el seno del ángulo entre ellos, entonces la ecuación anterior queda de la siguiente manera:
\begin{equation}{ k }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } -{ k }_{ r }\sin { { \theta }_{ r } } =0,\end{equation} reacomodando términos,\begin{equation}{ k }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } ={ k }_{ r }\sin { { \theta }_{ r } },\end{equation} pero recordemos como se define $k$, $k=\frac { \omega { n } }{ c } $, como las frecuencias son iguales, y la velocidad de la luz es constante, la relación queda en función de los ángulos y de los índices de refracción de los medios: \begin{equation}{ n }_{ i }\sin { { \theta }_{ i }={ n }_{ r }\sin { { \theta }_{ r } } }, \end{equation} ahora se puede observar que ${ n }_{ r }={ n }_{ i }$ por lo tanto factorizando el término común llegamos a lo siguiente: \begin{equation}{\theta }_{ i }={\theta }_{ r }, \end{equation} que es la relación de reflexión, dicha relación será de utilidad en análisis posteriores.
De la relación $\ast$ se tomará ahora la segunda igualdad, es decir se realizará el análisis para la parte incidida y transmitida, \begin{equation}(\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } ){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } +{ \epsilon }_{ t }){ | }_{ y=b },\end{equation} ahora despejemos ${\epsilon }_{ t }$ \begin{equation}{ \epsilon }_{ t }=(\vec { { k }_{ i } } \cdot \vec { r } -\vec { { k }_{ t } } \cdot \vec { r } ){ | }_{ y=b }=(\vec { { k }_{ i } } -\vec { { k }_{ t } } )\cdot \vec { r } { | }_{ y=b }, \end{equation} tal como en el caso anterior, el producto punto entre estos vectores será cero, lo que implica que ${ \epsilon }_{ t }=0$, entonces se puede escribir \begin{equation}(\vec { { k }_{ i } } -\vec { { k }_{ t } } )=0,\end{equation} y calculando el productor cruz de ${ \hat { u } }_{ n }$ con la resta de vectores anterior \begin{equation}{ \hat { u } }_{ n }\times (\vec { { k }_{ i } } -\vec { { k }_{ t } } )=0,\end{equation} de esta operación obtenemos \begin{equation}{ k }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } -{ k }_{ t }\sin { { \theta }_{ t } } =0,\end{equation} como en el caso anterior, se dejará la ecuación en términos de los índices de refracción y los ángulos \begin{equation}{ n }_{ i }\sin { { \theta }_{ i } } ={ n }_{ t }\sin { { \theta }_{ t } },\end{equation} la anterior ecuación encontrada recibe el nombre de relación de Snell, tanto ella como la relación de reflexión nos ayudarán a hacer los análisis siguientes, en los cuales se mostrarán los índices de reflexión y transmisión para campo eléctrico ortogonal y paralelo al plano de incidencia.
Primer caso: campo eléctrico ortogonal al plano de incidencia.
De acuerdo al siguiente diagrama,
los campos magnéticos y los vectores de onda son coplanares con el plano de incidencia, pero los vectores de campo eléctrico son normales ese plano, entonces necesitamos recurrir a la continuidad de el campo magnético, y para ello tomaremos las componetes tangeciales del vector $\vec { H } $, recordemos que ${ \vec { H } }_{ \theta }^{ ni }{ | }_{ y=b }={ \vec { H } }_{ \theta }^{ nt }{ | }_{ y=b }$, entonces usando esta relación de continuidad llegamos a: \begin{equation}{ { \vec { H } }_{ i } }{ | }_{ y=b }+{ { \vec { H } }_{ r } }{ | }_{ y=b }={ \vec { H } }_{ t }{ | }_{ y=b },\end{equation} pero $\vec { H } =\frac { \vec { B } }{ \mu } $, entonces sustituyendo en la relación de continuidad obtenemos:\begin{equation}{ { \frac { { \vec { B } }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } } }+{ { \frac { { \vec { B } }_{ r } }{ { \mu }_{ r } } } }={ { \frac { { \vec { B } }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } } },\end{equation} ahora calculando el producto punto de ${ \hat { u } }_{ n }$ con la relación anterior obtenemos, \begin{equation}-\frac { { B }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { \mu }_{ i } } +\frac { { B }_{ 0r }\cos { { \theta }_{ r } } }{ { \mu }_{ r } } =-\frac { { B }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { \mu }_{ t } },\end{equation} después usando la relación $B=\frac { E }{ \nu } $ en cada no de los términos llegamos a:\begin{equation}-\frac { { E }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { \nu }_{ I }{ \mu }_{ i } } +\frac { E_{ 0r }\cos { { \theta }_{ r } } }{ { { \nu }_{ R }\mu }_{ r } } =-\frac { { E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { { \nu }_{ T }\mu }_{ t } }, \end{equation} donde $\nu $ es la velocidad de las partículas de los medios. Para hacer las cosas más sencillas recurriremos a la relación de reflexión ${ \theta }_{ i }={ \theta }_{ r }$, también tenemos que recordar que ${ \mu }_{ i }={ \mu }_{ r }$ y ${ \nu }_{ i }={ \nu }_{ r }$, entonces obtenemos lo siguiente, \begin{equation}\frac { { E }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { { \nu }_{ i }\mu }_{ i } } -\frac { E_{ 0r }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { { \nu }_{ i }\mu }_{ i } } =\frac { { E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { { \nu }_{ t }\mu }_{ t } },\end{equation} además recordemos la dependencia del índice de refración en función de la velocidad $n=\frac { c }{ \nu } $, por lo tanto al despejar la velocidad y sustituirla en la ecuación anterior y al factorizar términos comunes se llega a, \begin{equation} (1)\frac { { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { \mu }_{ i } } \left( { E }_{ 0i }-E_{ 0r } \right) +=\frac { { { n }_{ t }E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { \mu }_{ t } },\end{equation} sustituyendo la relación: ${ E }_{ 0r }={ E }_{ 0t }-{ E }_{ 0i }$, se obtiene \begin{equation}\frac { { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { \mu }_{ i } } \left( { E }_{ 0i }-\left( { E }_{ 0t }-{ E }_{ 0i } \right) \right) +=\frac { { { n }_{ t }E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { \mu }_{ t } }, \end{equation} reacomodando \begin{equation}2{ E }_{ 0i }\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i }={ E }_{ 0t }\left[ \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t }+\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } } \right] },\end{equation} despejando obtenemos \begin{equation}\left( \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { 2\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t }+\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } } },\end{equation} pero para medios no magnéticos se pueden aproximar las permeabilidades magnéticas de la forma siguiente: ${ \mu }_{ i }\approx { \mu }_{ t }\approx { \mu }_{ 0 }$, entonces factorizando se obtiene una de las relaciones de Fresnel para campo eléctrico ortogonal al plano de incidencia, esta relación se conoce como coeficiente de transmisión:\begin{equation}{ t }_{ \bot }=\left( \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { 2{ n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t }+{ n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } } }. \end{equation} Ahora, para calcular el coeficiente de reflexión, de la ecuación $(1)$ sustituiremos los siguiente:${ E }_{ 0t }={ E }_{ 0r }+{ E }_{ 0i }$ obteniendo, \begin{equation}\frac { { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i } } }{ { \mu }_{ i } } \left( { E }_{ 0i }-E_{ 0r } \right) =\frac { { { n }_{ t } }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { \mu }_{ t } } \left( { E }_{ 0i }+E_{ 0r } \right), \end{equation} agrupando términos \begin{equation}{ E }_{ 0r }\left( \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } +\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } \right) ={ E }_{ 0i }\left( \frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } -\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } \right), \end{equation} ahora despejemos $\frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } $, \begin{equation}\left( \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { \frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i }- } \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } }{ \frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i }+\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ t } } } }, \end{equation} haciendo la misma aproximación que para la relación de Fresnel anterior llegamos al coeficiente de reflexión para campo eléctrico ortogonal al plano de incidencia \begin{equation}{ r }_{ \bot }=\left( \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i }- } { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ i }+{ n }_{ t }\cos { { \theta }_{ t } } } }. \end{equation}
Segundo caso: campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.
En esta situación el diagrama que se usará será el siguiente,
Se puede ver que ahora los vectores de campo eléctrico son paralelos al plano de incidencia, mientras que los vectores de campo magnético son ortogonales a él. Se usará la continuidad para las componentes tangenciales del campo eléctrico ${ \vec { E } }_{ \theta }^{ ni }{ | }_{ y=b }={ \vec { E } }_{ \theta }^{ nt }{ | }_{ y=b }$, calculando el producto punto del vector ${ \hat { u } }_{ n }$ con las relación de continuidad anterior de la manera siguiente, \begin{equation}{ \hat { u } }_{ n }\cdot { \vec { E } }_{ \theta }^{ ni }{ | }_{ y=b }={ \hat { u } }_{ n }\cdot { \vec { E } }_{ \theta }^{ nt }{ | }_{ y=b },\end{equation} obtenemos \begin{equation}(2){ E }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } -{ E }_{ 0r }\cos { { \theta }_{ r } } ={ E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } }, \end{equation} la relación anterior nos relaciona las amplitudes de campo eléctrico y los ángulos, ahora usaremos la siguiente relación (que surge de un análisis similar al caso para campo eléctrico ortogonal al plano de incidencia) \begin{equation}\frac { { B }_{ 0i } }{ { \mu }_{ i } } +\frac { { B }_{ 0r } }{ { \mu }_{ r } } =\frac { { B }_{ 0t } }{ { \mu }_{ t } },\end{equation} ahora sustituyendo $B=\frac { E }{ \nu } $ obtenemos \begin{equation}\frac { E_{ 0i } }{ { \mu }_{ i }{ \nu }_{ i } } +\frac { E_{ 0r } }{ { \mu }_{ r }{ \nu }_{ r } } =\frac { E_{ 0t } }{ { \mu }_{ t }{ \nu }_{ t } },\end{equation} sustituyendo $\nu =\frac { c }{ n } $ y multiplicando por $c$ llegamos a \begin{equation}(3)\frac { { n }_{ i }E_{ 0i } }{ { \mu }_{ i } } +\frac { { n }_{ r }E_{ 0r } }{ { \mu }_{ r } } =\frac { { n }_{ t }E_{ 0t } }{ { \mu }_{ t } },\end{equation} recordemos que los índices de refración (de reflexión e incidencia) son los mismos, al igual que las permeabilidades magnéticas, entonces se pueden factorizar, quedando de la siguiente manera \begin{equation}\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } (E_{ 0i }+E_{ 0r })=\frac { { n }_{ t }E_{ 0t } }{ { \mu }_{ t } }, \end{equation} ahora de la relación entre amplitudes de campo eléctrico y ángulos despejemos para obtener lo siguiente \begin{equation}{ E }_{ 0t }=({ E }_{ 0i }-{ E }_{ 0r })\frac { \cos { { \theta }_{ i } } }{ \cos { { \theta }_{ t } } }, \end{equation} sustituyendo esta relación en la anterior y multiplicando por $\cos { { \theta }_{ t } } $ obtenemos \begin{equation}\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } (E_{ 0i }+E_{ 0r })\cos { { \theta }_{ t } } =\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } ({ E }_{ 0i }-{ E }_{ 0r })\cos { { \theta }_{ i } }, \end{equation} acomodando la parte correspondiente a la magnitud del campo eléctrico incidente de un lado de la igualdad y la parte correspondiente al reflejado del otro se llega a \begin{equation}{ E }_{ 0i }(\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } -\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } )={ E }_{ 0r }(\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } +\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } ),\end{equation} ahora dividiendo entre $E_{ 0i }$ se obtiene \begin{equation}\left( \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } -\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }{ \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } +\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }, \end{equation} si hacemos la aproximación de para medios no magnéticos tal que ${ \mu }_{ i }\approx { \mu }_{ t }\approx { \mu }_{ 0 }$ y factorizando el término común se obtiene el coeficiente de reflexión para campo paralelo al plano de incidencia \begin{equation}{ r }_{ \parallel }=\left( \frac { { E }_{ 0r } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ i }- } { n }_{ i }\cos { { \theta }_{ t } } }{ { n }_{ t }\cos { { \theta }_{ i }+{ n }_{ i }\cos { { \theta }_{ t } } } }. \end{equation} Ahora se calculara el coeficiente de transmisión, usando la relación $(3)$ se despejará ${ E }_{ 0r }$ entonces obtenemos \begin{equation}{ E }_{ 0r }=(\frac { { n }_{ t }E_{ 0t } }{ { \mu }_{ t } } -\frac { { n }_{ i }E_{ 0i } }{ { \mu }_{ i } } )\frac { { \mu }_{ t } }{ { n }_{ i } }, \end{equation} sustituyendo en $(2)$ llegamos a \begin{equation}({ E }_{ 0i }-(\frac { { n }_{ t }E_{ 0t } }{ { \mu }_{ t } } -\frac { { n }_{ i }E_{ 0i } }{ { \mu }_{ i } } )\frac { { \mu }_{ t } }{ { n }_{ i } } )\cos { { \theta }_{ i } } ={ E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } }, \end{equation} reacomodando términos \begin{equation}{ E }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } -\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \frac { { \mu }_{ i } }{ { n }_{ i } } { E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } +\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \frac { { \mu }_{ i } }{ { n }_{ i } } { E }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } ={ E }_{ 0t }\cos { { \theta }_{ t } } \end{equation}. multiplicando por $\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } $ y reacomodando \begin{equation}2\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } { E }_{ 0i }\cos { { \theta }_{ i } } ={ E }_{ 0t }(\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } +\frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } ),\end{equation} ahora dividiendo entre ${ E }_{ 0i }$ \begin{equation}\left( \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { 2\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } +\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }, \end{equation} haciendo la aproximación para las permeabilidades magnéticas y factorizando el término común obtenemos el coeficiente de transmisión para este caso \begin{equation}t_{ \parallel }=\quad \left( \frac { { E }_{ 0t } }{ { E }_{ 0i } } \right) =\frac { 2\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ i } } }{ \frac { { n }_{ t } }{ { \mu }_{ t } } \cos { { \theta }_{ i } } +\frac { { n }_{ i } }{ { \mu }_{ i } } \cos { { \theta }_{ t } } }. \end{equation} En la sección Optica: interfase dielectrica se interpretan las relaciones obtenidas en esta página, con la finalidad de mostrar la utilidad de las relaciones de Fresnel.
Aportacion de Usuario: Jesus Hernandez Marcial
