Optica: interfase dielectrica

Ecuaciones de Fresnel

Como ya se vió en Optica: ecuaciones de Fresnel, los coeficientes de reflexión y de transmisión para la amplitud en una interfase entre dos materiales dieléctricos, homogéneos, isótropos y lineales que tienen la misma permeabilidad magnética son:

Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia

Para el caso en que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia tenemos:

$r_{\perp }\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\perp }={n_{i}\cos {\theta _{i}}-n_{t}\cos {\left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right)} \over n_{i}\cos {\theta _{i}}+n_{t}\cos {\left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right)}}$

$t_{\perp }\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\perp }={2\ \ n_{i}\cos {\theta _{i}} \over n_{i}\cos {\theta _{i}}+n_{t}\cos {\left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right)}}$

donde:

$r_{\perp }$ es el coeficiente de reflexión

$t_{\perp }$ es el coeficiente de transmisión

Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia

Para el caso en que el campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia los coeficientes están determinados por las siguientes ecuaciones:

$r_{\|}\equiv \left({E_{0r} \over E_{0i}}\right)_{\|}={n_{t}\cos {\theta _{i}}-n_{i}\cos {\left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right)} \over n_{t}\cos {\theta _{i}}+n_{i}\cos {\left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right)}}$

$t_{\|}\equiv \left({E_{0t} \over E_{0i}}\right)_{\|}={2\ \ n_{i}\cos {\theta _{i}} \over n_{i}\cos {\left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right)}+n_{t}\cos {\theta _{i}}}$

donde:

$r_{\|}$ es el coeficiente de reflexión

$t_{\|}$ es el coeficiente de transmisión

Estas son las llamadas Ecuaciones de Fresnel.

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Los coeficientes de amplitud para reflexión interna y externa

Una vez que hemos obtenido estos coeficientes, lo que haremos es estudiar su comportamiento al ir variando el ángulo de incidencia ($\theta _{i}$) y para esto estudiaremos dos casos, el primero es cuando el índice de refracción del medio incidente es menor al índice de refración del medio transmisor ($n_{i}<n_{t}$) y el caso en que el índice de refracción del medio transmisor es menor al índice de refración del medio incidente ($n_{t}<n_{i}$). Usaremos el caso de una interfaz aire-vidrio, en donde sus indices de refracción son de 1 y1.5 respectivamente.

Propagación de medio menos a mas denso $n_i < n_t$

Para estudiar el comportamiento de los coeficientes de amplitud ($r_{\perp },t_{\perp },r_{\|},t_{\|}$ ), los graficaremos como funciones del ángulo de incidencia, al graficarlos y sobreponerlos obtenemos lo que se aprecia en la figura 1. El comportamiento de los coeficientes es decreciente y es característico de una reflexión externa, es decir cuando $n_{i}<n_{t}$.

Archivo:Coe-amp.png

En la figura 1 están graficados los coeficientes de amplitud de reflexión y transmisión como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

En la figura 1 se puede apreciar que los coeficientes de transmisión, tanto paralelo como el perpendicular, unicamente son cero para cuando el ángulo de incidencia es de $90^{o}$, tal como se esperaba. Pero para el coeficiente de reflexión paralelo hay un ángulo para el cual este toma el valor de cero, es el ángulo de Brewster o ángulo de polarización, en la figura 1 se denota por $\theta _{B}$, que en nuestro caso, ya que estamos en una interfaz aire-vidrio, el valor del ángulo de polarización es aproximadamente de $56.3^{o}$(ver en la pagina de discusión para mas detalles).

propagación de medio mas a menos denso $n_i > n_t$

Realizamos lo mismo que en la gráfica anterior, pero ahora consideramos el caso en que $n_{i}>n_{t}$, esto es una reflexión interna, en este caso observamos el siguiente comportamiento descrito en la figura 2.

En la figura 2 están graficados los coeficientes de amplitud de reflexión como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}>n_{t}$ .

Para la gráfica 2 solo consideramos los coeficientes de reflexión, ya que los coeficientes de transmisión tienen un comportamiento creciente que empieza en 1.2. Tal como se esperaba el comportamiento es inverso al de la reflexión externa, que era decreciente. En la figura 2 podemos observar nuevamente que existe un ángulo para el cual el coeficiente de reflexión paralela es cero y lo nombramos $\theta _{B}'$.

De las figuras 1 y 2 podemos hacer notar 2 puntos importantes:

I.- Se puede demostrar que $\theta _{B}+\theta _{B}'={\pi \over 2}$ .

II.- En la reflexión interna existe un valor que toma $\theta _{i}$ para el cual el coeficiente de reflexión (tanto paralelo como perpendicular) toma el valor de uno, a este valor de $\theta _{i}$ se le conoce como ángulo crítico ($\theta _{c}$) ya que en este valor de $\theta _{i}$ el valor de $\theta _{t}$ es de $90^{o}$;en una interfaz aire-vidrio este ángulo crítico tiene un valor de $41.8^{o}$ (ver pagina de discusión para mas detalle). Una sección posterior se dedica al estudio de este ángulo.

III. Se puede notar que en la figura 1, cuando $\theta _{i}=0$, los coeficientes $r_{\|}$ y $t_{\|}$ suman 1 y esto es fácil de ver pues, si $\theta _{i}=0$

$r_{\|}+t_{\|}={n_{t}-n_{i} \over n_{i}+n_{t}}+{2\ n_{i} \over n_{i}+n_{t}}=1$

sin embargo, no es así para los cuadrados de estos coeficientes de amplitud y esto es debido a que al elevar al cuadrado los coeficientes, estamos elevando al cuadrado los campo eléctricos, esto es, estamos considerando la irradiancia, que es el promedio de la energía por unidad de tiempo, por lo que al considerar la suma de los cuadrados de los coeficientes de amplitud lo que debemos tener en mente es la conservación de la energía. Como la irradiancia es proporcional a la velocidad con la que se propaga la luz, entonces debe de considerarse el cociente de los indices de refracción, de tal forma que si $\theta _{i}=0$

$r_{\|}^{2}+\left({n_{t} \over n_{i}}\right)t_{\|}^{2}=1$

Los coeficientes de amplitud y el desfasamiento entre $ E_i $ y $E_r$

Haremos una separación entre el caso de reflexión externa y reflexión interna, ya que en el caso de reflexión interna tenemos la presencia del ángulo crítico y esto genera una diferencia en el comportamiento del desfasamiento de las componentes con respecto al caso de reflexión externa.

Desfasamiento en el caso de reflexión externa

En la figura 3 se gráfica el desfasamiento entre el campo incidente y el reflejado para cuando el campo E es perpendicular al plano de incidencia.

En la figura 3 esta graficado el desfasamiento para el caso perpendicular como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

Esto se puede relacionar directamente de $r_{\perp }$, pues en la figura 1 podemos ver que $r_{\perp }vs.\theta _{i}$ su valor es negativo para cualquier valor de $\theta _{i}$, esto implica que haya un desfasamiento de $\pi$ rad entre E incidente y E reflejado.

En la figura 4 se gráfico el desfasamiento entre el campo incidente y el reflejado para cuando el campo E es paralelo al plano de incidencia.

En la figura 4 esta graficado el desfasamiento para el caso paralelo como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

Nuevamente, al ver el comportamiento del coeficiente de amplitud $r_{\|}$ en la figura 1, lo que se puede apreciar es que es positivo para todos los valores de $\theta _{i}<\theta _{B}$ y negativo para valores mayores al ángulo de Brewster, esto implica que están en fase y cuando es mayor al ángulo de Brewster, se desfasan por $\pi$ rad. Se podría pensar que al realizar el experimento se podria ver esta discontinuidad en la fase, pero lo que realmente sucede es que, si bien, hay una discontinuidad en la fase, conforme se acerca el ángulo incidente al ángulo de Brewster, la intensidad tiende a cero, de tal forma que cuando se vuelve a detectar la intensidad, ya hay un desfasamiento en el campo.

Desfasamiento en el caso de reflexión interna

Lo siguiente a hacer es repetir el estudio anterior pero para el caso en que $n_{i}>n_{t}$. Esto se hara pues en el caso de reflexión interna, el ángulo critico produce que el desfasamiento no sea discontinuo (como en el caso del ángulo de Brewster), si no que este desfasamiento sera gradual, tal como se aprecia en la figura 5.

En la figura 5 esta graficado el desfasamiento para el caso paralelo como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}>n_{t}$ .

Este comportamiento del desfasamiento se puede interpretar del coeficiente $r_{\|}$ en la figura 2, ya que comienza con un valor negativo, que implica un desfasamiento de $\pi$ rad y cuando sobrepasa el ángulo de Brewster el coeficiente es positivo, esto es, quedan en fase. Pero al llegar al ángulo crítico se comienzan a desfasar paulatinamente, ya que, en el momento en que ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de crítico, entonces el ángulo de incidencia es complejo .

Ahora estudiaremos el caso en que el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia en una interfaz vidrio-aire. El comportamiento del desfasamiento de las componentes del campo esta graficado en la figura 6.

En la figura 6 esta graficado el desfasamiento para el caso perpendicular como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}>n_{t}$ .

Lo que se puede apreciar es que en un principio estan en fase y esto se debe a que el coeficiente $r_{\perp }$ en la figura 2 es positivo. Igual que en el caso anterior, cuando el ángulo incidente es mayor al angulo crítico comienzan un desfasamiento que se debe a que el ángulo es complejo.

La figura 7 es para ver el comportamiento relativo del desplazamiento de fase de las componentes paralela y perpendicular del campo

En la figura 7 esta graficado el desfasamiento relativo entre las componentes paralela y perpendicular como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}>n_{t}$ .

Ya que la finalidad de esta sección es la interpretación de los coeficientes de amplitud, no hemos hecho mención del método y procedimientos utilizados para obtener la función especifica que aquí se gráfico para estas diferencias de fase, pero se ha utilizado la literatura pertinente

Reflectancia y Transmitancia para $n_i < n_t$

Igual que en el caso anterior, nuestra finalidad no es la de exponer la deducción de la ecuación para la reflectancia (R) o la ecuación para la transmitancia (T), sino la de interpretar el comportamiento de estas con relación al ángulo de incidencia. Por esto, solo les recordaremos las ecuaciones para la reflectancia y la transmitancia, las cuales son:

$R_{\perp }=r_{\perp }^{2}$

$T_{\perp }=\left({n_{t}\ \cos \left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right) \over n_{i}\cos \theta _{i}}\right)t_{\perp }^{2}$

$R_{\|}=r_{\|}^{2}$

$T_{\|}=\left({n_{t}\ \cos \left(\arcsin \left({n_{i}\sin {\theta _{i}} \over n_{t}}\right)\right) \over n_{i}\cos \theta _{i}}\right)t_{\|}^{2}$

La deducción de estas ecuaciones se pueden encontrar en la literatura pertinente

El comportamiento de la reflectancia y la transmitancia perpendicular como función del ángulo de incidencia, esta graficado en la figura 8 .

En la figura 8 esta graficada la Reflectancia y la Transmitancia perpendicular como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

Tal como esperabamos, la transmitancia es maxima en una incidencia normal y va decreciendo conforme el ángulo de incidencia aumenta. Ya que en este caso no tenemos el ángulo de Brewster, en ningun momento la reflectancia es cero.

Ahora repetiremos esto mismo para el caso de la reflectancia y transmitancia paralela, y el comportamiento es el graficado en la figura 9.

En la figura 9 esta graficada la Reflectancia y la Transmitancia paralela como función del ángulo de incidencia, en donde $n_{i}<n_{t}$ .

Para este caso vemos como la reflectancia paralela comienza en el mismo valor que el de la reflectancia perpendicular, pero al contrario de esta, la reflectancia paralela comienza a decrecer hasta llegar a cero, que es cuando el ángulo de incidencia es igual al ángulo de Brewster, con esto podemos corroborar que el desfasamiento discontinuo no lo podríamos apreciar, pues la reflectancia va a cero y cuando volvemos a tener reflectancia, el campo ya esta desfasado.

Nota: Todos las gráficas fueron realizadas con los datos especificados, para mas detalle consulte la pagina de discusión.