Ondas: polarizacion General

Polarización Elíptica

Polarización elíptica)

Supongamos dos ondas armónicas planas y cromáticas propagándose en el vació en dirección del eje z, de la forma:

\begin{equation} \psi_{(z,t)}=\hat e_x\psi_{(z,t)}+\hat e_y\psi_{(z,t)} \label{1} \end{equation}

Tales que solo tomaremos dos de las componentes que sean transversales entre si:

\begin{equation} a_{x}=a_{x0}cos(kz-\omega t+\phi_{1}) \label{2} \end{equation}

y

\begin{equation} b_{y}=a_{y0}cos(kz-\omega t+\phi_{2}) \label{3} \end{equation}

Siendo $\phi _{1}-\phi _{2}=\varepsilon$ el desfase entre ambas componentes.

Ya vimos que la expresión de la descripción formal de la polarización para la curva trazada por la punta del vector resultante de estas expresiones puede escribirse como:

\begin{equation} \left ( \frac{b_{y}}{b_{y0}} \right )^{2}+\left ( \frac{a_{x}}{a_{x0}} \right )^{2}-2\left ( \frac{a_{x}}{a_{x0}} \right )\left ( \frac{b_{y}}{b_{y0}} \right )cos\varepsilon=sen^2\varepsilon \label{4} \end{equation}

Que forma un ángulo $\alpha$ con el sistema coordenado$a_{x},b_{y}$ igual a

\begin{equation} tan2\alpha=\frac{2a_{x0} b_{y0}cos\varepsilon}{a_{x0}-b_{y0}} \label{5} \end{equation}

En particular sí:

$I.$

$\phi _{1}=\phi _{2}\quad o\quad \phi _{2}=\phi _{1}\pm \pi$

Tendremos polarización lineal o diremos que está en un estado ${\mathcal {P}}$.

$II.$

$\phi _{2}=\phi _{1}-{\frac {\pi }{2}}\quad y\quad a_{x0}=b_{y0}$

Tendremos polarización a la derecha o diremos que está en un estado ${\mathcal {R}}$.

$III.$

$\phi _{2}=\phi _{1}+{\frac {\pi }{2}}\quad y\quad a_{x0}=b_{y0}$

Tendremos polarización a la izquierda o diremos que esta en un estado ${\mathcal {L}}$.

$IV.$ Para el caso en que $a_{x0}\neq b_{y0}$ y $\phi _{1},\phi _{2}$ son arbitrarios la trayectoria de la perturbación $\psi$ describe un paso elíptico o diremos que está en un estado $\mathrm {E}$.

Caso Particular

Estudiemos un caso en particular tomaremos a $\psi =-{\frac {\pi }{2}}$ , partiendo de que podemos reescribir las ecuaciones (\ref{1}) y (\ref{2}) para ondas cromáticas e igual velocidad de fase como:

\begin{equation} a_{x}=a_{x0}cos(\phi) \label{6} \end{equation}

y

\begin{equation} b_{y}=b_{y0}cos(\phi+\psi) \label{7} \end{equation}

Entonces (\ref{7}) puede escribirse como:

\begin{equation} b_{y}=b_{y0}sin(\phi) \label{8} \end{equation}

Donde $a_{x0}\neq b_{yo}$

Cuando $\phi =0$ ent $a_{x}=a_{xo}$ y $b_{y}=0$.

Cuando $\phi ={\frac {\pi }{4}}$ entonces $a_{x}={\frac {a_{xo}}{\sqrt {2}}}\quad y$ $b_{y}={\frac {b_{yo}}{\sqrt {2}}}$

Cuando $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ entonces $a_{x}=0\quad y$ $b_{y}=b_{yo}$

con $\beta$ dado por: $tan\beta ={\frac {b_{yo}}{a_{xo}}}tan\phi$

Se observa que la trayectoria del vector resultante será la de una elipse en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Este es un estado $\mathrm {E}$ en levógiro o negativo.

Ahora si $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ obtenemos de la ecuación (\ref{7})

\begin{equation} b_{y}=-b_{yo}sin(\phi) \label{9} \end{equation}

Ahora la trayectoria del vector resultante seguirá siendo la de una elipse pero en sentido de las manecillas del reloj. Este es un estado $E$ en dextrógiro o positivo.

Parámetros de Stokes

Análisis de la luz Polarizada

En 1852 George Gabriel Stokes presentó cuatros cantidades que son funciones solamente de las observables en las ondas electromagnéticas en particular de la densidad de energía por unidad de área por unidad de tiempo (irradiancia)[1].

Los parámetros operacionales en los que están basadas estas cantidades son:

$S_{0}=2l_{0}$

$S_{1}=2l_{1}-2l_{0}$

$S_{2}=2l_{2}-2l_{0}$

$S_{3}=2l_{3}-2l_{0}$

Donde:

$S_{o}$ es la irradiancia total incidente y si:

$S_{1}>0$presenta una tendencia hacia un estado ${\mathcal {P}}$ horizontal

$S_{1}<0$ presenta una tendencia hacia un estado ${\mathcal {P}}$ vertical

$S_{1}=0$ puede ser elíptico circular o no polarizado

$S_{2}>0$presenta una tendencia hacia un estado ${\mathcal {P}}$ a $45^{\circ }$

$S_{2}<0$presenta una tendencia hacia un estado ${\mathcal {P}}$ a $-45^{\circ }$

$S_{3}>0$ presenta una tendencia a ${\mathcal {R}}$

$S_{3}<0$presenta una tendencia a ${\mathcal {L}}$

Relacionando estos parámetros con las ecuaciones (\ref{2}) y (\ref{3}), pero ahora para ondas cuasicromáticas o sea:

\begin{equation} E_{x}(t)=E_{xo}(t)cos(kz-\omega t+\phi_{1}(t)) \label{2'} \end{equation}

y

\begin{equation} E_{y}(t)=E_{yo}(t)cos(kz-\omega t+\phi_{2}(t)) \label{3'} \end{equation}

Los parámetros se pueden remodelar como:

$S_{0}=\left\langle E_{x0}^{2}\right\rangle _{T}+\left\langle E_{y0}^{2}\right\rangle _{T}$

$S_{1}=\left\langle E_{x0}^{2}\right\rangle _{T}-\left\langle E_{y0}^{2}\right\rangle _{T}$

$S_{2}=\left\langle 2E_{xo}E_{yo}cos\varepsilon \right\rangle _{T}$

$S_{3}=\left\langle 2E_{xo}E_{yo}sen\varepsilon \right\rangle _{T}$

Al normalizar estos parámetros (dividiendo entre $S_{0}$ a todos) podemos ver tomar valores unitarios de las diferentes polarizaciones.

Descritos algunos de ellos en la siguiente tabla.

$\color {Blue}\mathrm {Estados\quad de\quad Polarizacion}$	$\color {Blue}\mathrm {Vectores\quad de\quad Stokes}$
Estado ${\mathcal {P}}$ horizontal	${\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}$
Estado ${\mathcal {P}}$ vertical	${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}$
Estado ${\mathcal {P}}$ a $45^{\circ }$	${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$
Estado ${\mathcal {P}}$ a $-45^{\circ }$	${\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}$
Estado ${\mathcal {R}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$
Estado ${\mathcal {L}}$	${\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$

Luz no Polarizada

Con lo visto podemos decir que estrictamente la luz monocromática siempre es polarizada y que esta depende de las amplitudes $a_{x}$ y $a_{y}$ de la fase relativa entre ambas cuando analizamos a las fuentes de luz llegamos a la conclusión que entre excitaciones del electrón los estados de polarización no guardan relación ya que las amplitudes y fases relativas de excitaciones sucesivas no guardan correlación o sea no son coherentes. Ahora definamos el tiempo de coherencia como aquel en el que el estado de polarización puede considerarse como aproximadamente constante, esto es siempre que las fases relativas de $a_{x}$ y $a_{y}$ varíen en una cantidad pequeña comparada con 2$\pi$.