# Optica: Paraxial

aproximación paraxial: soluciones Gaussianas

## Ecuación diferencial de onda paraxial

(1.1)

${\displaystyle {\color {Sepia}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0},}$

para una onda monocromática ${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=\psi \left(\mathbf {r} \right)\exp \left(-i\omega t\right)}$ deviene en la ecuación de Helmholtz

(1.2)

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\kappa ^{2}\psi =0,}$

donde ${\displaystyle \omega ^{2}/v^{2}=k^{2}}$. Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,

(1.3)

${\displaystyle \psi ={\tilde {u}}\exp \left(ikz\right),}$

donde ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ es un campo complejo [1]. El gradiente es entonces

(1.4)

${\displaystyle \nabla \left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)\exp \left(ikz\right),}$

y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es

(1.5)

${\displaystyle \nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla \cdot \left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right)\right]\exp \left(ikz\right)+\nabla \left[\exp \left(ikz\right)\right]\cdot \left(\nabla {\tilde {u}}+ik{\tilde {u}}{\hat {e}}_{z}\right),}$

pero

(1.6)

${\displaystyle \nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla ^{2}{\tilde {u}}+ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}\right]\exp \left(ikz\right)+\left[ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}-k^{2}{\tilde {u}}\right]\exp \left(ikz\right),}$

de manera que

(1.7)

${\displaystyle \nabla ^{2}\left[{\tilde {u}}\exp \left(ikz\right)\right]=\left[\nabla ^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}-k^{2}{\tilde {u}}\right]\exp \left(ikz\right).}$

La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces

(1.8)

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}+{\tilde {u}}+(\kappa ^{2}-k^{2}){\tilde {u}}=0.}$

La aproximación paraxial requiere que ${\displaystyle \kappa ^{2}-k^{2}=0}$ y

(1.9)

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}\right|,\left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial x^{2}}}\right|,\left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {u}}}{\partial y^{2}}}\right|.}$

El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal ${\displaystyle \nabla _{T}}$ mas un operador longitudinal ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$. En coordenadas cartesianas ${\displaystyle \nabla _{T}={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {e}}_{y}}$ o en coordenadas cilíndricas ${\displaystyle \nabla _{T}=}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }}$. De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial

(1.10)

${\displaystyle {\color {Sepia}\nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}+2ik{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}=0},}$

que es una ecuación parabólica.

## Solución de onda esférica

Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas

(2.1)

${\displaystyle \psi _{esf}={\frac {A_{0}}{r}}e^{ikr}.}$

Demostración: El gradiente de la magnitud radial es ${\displaystyle \nabla r={\hat {\mathbf {r} }}}$. De manera que

(2.2)

${\displaystyle \nabla \psi _{esf}=\left(-{\frac {A_{0}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {A_{0}}{r}}ik{\hat {\mathbf {r} }}\right)e^{ikr}=\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right){\hat {\mathbf {r} }}\psi _{esf}.}$

El laplaciano es entonces

(2.3)

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{esf}=\nabla \cdot \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right){\hat {\mathbf {r} }}\psi _{esf}\right]=\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\nabla \cdot {\hat {\mathbf {r} }}+\nabla \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\right]\cdot {\hat {\mathbf {r} }},}$

pero ${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {r} }}=2/r}$ y

(2.4)

${\displaystyle \nabla \left[\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)\psi _{esf}\right]\cdot {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{r^{2}}}\psi _{esf}+\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)^{2}\psi _{esf},}$

de manera que el laplaciano deviene

(2.5)

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{esf}=\left[{\frac {2}{r}}\left(-{\frac {1}{r}}+ik\right)+{\frac {2}{r^{2}}}-2{\frac {ik}{r}}-k^{2}\right]\psi _{esf}=-k^{2}\psi _{esf},}$

y se satisface la ecuación de onda monocromática.${\displaystyle \square }$

## Solución aproximada de ecuación de onda

La expansión de la distancia radial ${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2}}}}$ en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z es

(3.1)

${\displaystyle r\approx \left(z-z_{1}\right)+{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}.}$

(3.2)

${\displaystyle \psi _{esf}^{aprox}={\frac {A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}}\exp \left(ik\left(z-z_{1}\right)\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}\right).}$

Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial ${\displaystyle {\color {OliveGreen}\psi ={\tilde {u}}\exp \left(ik(z-z_{1})\right)}}$, se obtiene

(3.3)

${\displaystyle {\tilde {u}}={\frac {A_{0}}{\left(z-z_{1}\right)}}\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}\right).}$

### Solución exacta de la ecuación paraxial

(3.1.1)

${\displaystyle \nabla _{T}{\tilde {u}}={\frac {ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}\left[\left(x-x_{1}\right){\hat {e}}_{x}+\left(y-y_{1}\right){\hat {e}}_{y}\right],}$

y el laplaciano transversal

(3.1.2)

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}={\frac {ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}\nabla _{T}\cdot \left[\left(x-x_{1}\right){\hat {e}}_{x}+\left(y-y_{1}\right){\hat {e}}_{y}\right]+\left[{\frac {ik}{\left(z-z_{1}\right)}}\nabla _{T}{\tilde {u}}\right].\left[\left(x-x_{1}\right){\hat {e}}_{x}+\left(y-y_{1}\right){\hat {e}}_{y}\right],}$

que puede escribirse como

(3.1.3)

${\displaystyle \nabla _{T}^{2}{\tilde {u}}={\frac {2ik}{\left(z-z_{1}\right)}}{\tilde {u}}+{\frac {-k^{2}}{\left(z-z_{1}\right)^{2}}}{\tilde {u}}\left[\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}\right].}$

Mientras que la primera derivada longitudinal es

(3.1.4)

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial z}}={\tilde {u}}\left(-{\frac {1}{\left(z-z_{1}\right)}}\right)+{\tilde {u}}\left(-ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)^{2}}}\right),}$

de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.${\displaystyle \square }$

## Ondas Gaussianas - solución acotada

Considere la solución para ${\displaystyle {\tilde {z}}_{1}=a+ib}$ compleja, ${\displaystyle x_{1},\;y_{1}=0}$. El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse como

(4.1)

${\displaystyle {\frac {1}{\left(z-{\tilde {z}}_{1}\right)}}={\frac {z+a}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}}+{\frac {ib}{\left(z-a\right)^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}.}$

El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura

(4.2)

${\displaystyle R=\left(z-a\right)+{\frac {b^{2}}{\left(z-a\right)}}.}$

El segundo término, puesto que en la fase está multiplicada por ${\displaystyle ik}$, es una amplitud decreciente en las direcciones transversales

(4.3)

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {k}{2}}{\frac {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b\left[{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1\right]}}\right).}$

De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales ${\displaystyle \exp \left(-x_{j}^{2}/w^{2}\right)}$ que decae a ${\displaystyle 1/e}$ a una distancia

(4.4)

${\displaystyle w^{2}=b{\frac {\lambda }{\pi }}\left[{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1\right],}$

donde hemos utilizado la relación ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$. Para definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades con mayor significado físico, considere el plano ${\displaystyle z=a=z_{0}}$, entonces

(4.5)

${\displaystyle w^{2}\left(z=z_{0}\right)=w_{0}^{2}=b{\frac {\lambda }{\pi }}\quad \Rightarrow \quad b={\frac {\pi }{\lambda }}w_{0}^{2},}$

donde ${\displaystyle w_{0}}$ es el valor mínimo de la función ${\displaystyle w\left(z\right)}$ y se conoce como la cintura del haz

(4.6)

${\displaystyle w=w_{0}{\sqrt {{\frac {\left(z-a\right)^{2}}{b^{2}}}+1}}.}$

Por otro lado, si se consideran dos planos el primero como ${\displaystyle z-a=0}$ entonces ${\displaystyle w\left(z-a=0\right)=w_{0}}$ y el área el haz es ${\displaystyle A\left(z-a=0\right)=\pi w^{2}=\pi w_{0}^{2}=A_{0}}$, el segundo plano como ${\displaystyle z-a=b\equiv z_{R}}$, entonces ${\displaystyle w\left(z_{R}\right)={\sqrt {2}}w_{0}}$, puesto que el área del haz es ${\displaystyle A\left(z-a=z_{R}\right)=\pi w^{2}=\pi \left({\sqrt {2}}w_{0}\right)^{2}=2A_{0}}$, i.e. la distancia ${\displaystyle z_{R}}$ es aquella en la cual el área crece el doble de ${\displaystyle A_{0}}$. Ésta distancia se conoce en física como distancia de Rayleigh.

(4.7)

${\displaystyle {z_{R}={\frac {k}{2}}w_{0}^{2}={\frac {\pi }{\lambda }}w_{0}^{2}}.}$

En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.

Figura. 4.1 Esquema del comportamiento del diámetro de un haz gaussiano y de los frentes de onda.

El radio del haz (donde decae a ${\displaystyle 1/e}$) es entonces

(4.8)

${\displaystyle {w\left(z\right)=w_{0}{\sqrt {{\frac {\left(z-z_{0}\right)^{2}}{z_{R}^{2}}}+1}}},}$

notar que si ${\displaystyle z=z_{0}}$ se obtiene que ${\displaystyle w=w_{0}}$ la cual es una representación más real de un haz, pues en los experimentos no vemos que el diámetro de un haz se reduzca a un punto en ${\displaystyle z=z_{0}}$, también en el límite cuando ${\displaystyle z>>z_{0}}$ obtenemos el caso asintótico (ver Figura. 4.1).

(4.9)

${\displaystyle {R\left(z\right)=\left(z-z_{0}\right)+{\frac {z_{R}^{2}}{\left(z-z_{0}\right)}}},}$

para el radio de curvatura también vemos los casos límite, cuando ${\displaystyle z\rightarrow z_{0}}$ y cuando ${\displaystyle z\rightarrow \infty }$ el radio de curvatura diverge i.e. tiene comportamiento como onda plana.

La representación polar de ${\displaystyle {\frac {1}{\left(z-{\tilde {z}}_{1}\right)}}={\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}}$ es

(4.10)

${\displaystyle {\frac {1}{R}}+{\frac {2i}{kw^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {2R}{kw^{2}}}\right)\right],}$

${\displaystyle {\frac {R}{w^{2}}}}$ puede reescribirse como

(4.11)

${\displaystyle {\frac {R}{w^{2}}}={\frac {k\;z_{R}}{2\left(z-z_{0}\right)}}}$

y

(4.12)

${\displaystyle {\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}={\frac {1}{\left(z-z_{0}\right)^{2}+z_{R}^{2}}}=\left({\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\right)^{2},}$

de manera que

(4.13)

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{R^{2}}}+{\frac {4}{k^{2}w^{4}}}}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {2R}{kw^{2}}}\right)\right]={\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}}{z-z_{0}}}\right)\right],}$

mientras que la fase es

(4.14)

${\displaystyle ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2\left(z-z_{1}\right)}}=ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}.}$

La amplitud compleja es entonces

(4.15)

${\displaystyle {\tilde {u}}=A_{0}{\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}}{z-z_{0}}}\right)\right]\exp \left(-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}\right).}$

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por

(4.16)

${\displaystyle \psi =A_{0}{\frac {w_{0}}{z_{R}w}}\exp \left[i\arctan \left({\frac {z_{R}}{z-z_{0}}}\right)\right]\exp \left(-{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{w^{2}}}\right)\exp \left(ik{\frac {\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}}{2R}}\right)\exp \left(ikz\right).}$

Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas: Gaussianas

1. Siegman A., Lasers, University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626]

--LPM 11:30 25 nov 2015 (CDT)

--Mfg 16:57 1 jul 2008 (CDT)

corrección

--CAZ 00:50 9 jul 2008 (CDT)

--Mfg 21:48 6 ago 2008 (CDT)