Usuario:Carlos A.Z.

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Hola esta es mi pagina soy alumno de optica


Alumno: Carlos Acosta Zepeda

Materia: Optica

Correo: aberk07@hotmail.com

--CAZ 20:50 3 jul 2008 (CDT)

Esta es la ultima hoja de soluciones Gaussianas corregida y con los calculos intermedios desarrollados.

Para la representación polar de \(\frac{1}{z-\tilde{z}}=\frac{1}{R}+\frac{2\imath}{kw^{2}}\) tenemos

\(|z|=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\) y el argumento \(\theta=\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})\) entonces.

\(\frac{1}{z-\tilde{z}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp[\imath \arctan(\frac{2R}{kw^{2}}) ]\)

Tomando definiciones vemos que

\(\frac{R}{w^{2}}=\frac{z-z_{0}+\frac{z^{2}}{z-z_{0}}}{w_{0}^{2}[\frac{(z-z_{0})^{2}}{z_{R}^{2}}+1]}=\frac{z_{R}^{2}}{w_{0}^{2} (z-z_{0})}=\frac{k}{2}\frac{z_{R}}{z-z_{0}}\)

y

\(\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{(z-z_{0})^{2}}{(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}}+\frac{4z_{R}^{4}}{k^{2}w_{0}^{4} [(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}]^{2}}\)

Definiendo \(B^{2}=(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}\) y mediante \(k^{2}=(\frac{2z_{R}}{w_{0}^{2}})^{2}\)

tenemos


\(\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{B^{2}}(z-z_{0})^{2}+z_{R}=\frac{1}{B^{2}}\)

o

\(\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=(\frac{w_{0}}{z_{R}w})^{2}\)

de manera que

\(\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp[\imath \arctan(\frac{2R}{kw^{2}}) ]= \frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})]= \frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{z_{R}}{z-z_{0}})]\)

mientras que la fase es.

\(\imath k\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2(z-z_{1})}=\frac{\imath k}{2}((x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2})(\frac {1}{R}+\frac{2\imath}{k w^{2}})=\imath k\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2R}-\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{w^{2}} \)

La amplitud compleja es entonces

\(\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})]\exp[\imath k \frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2R}]\exp[-\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{w^{2}}]\)

Tomando \(\psi=\tilde{u}\exp[\imath k z]\)

La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por


\(\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})]\exp[\imath k \frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2R}]\exp[-\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{w^{2}}]\exp[\imath k z]\)

--CAZ 00:48 4 jul 2008 (CDT)

La máxima curvatura en la onda Gaussiana

El radio de curvatura es

\(R(z)=(z-z_{0})+\frac{z_{R}^{2}}{(z-z_{0})}\)

Derivando e igualando a cero tenemos\[\frac{d R}{dz}=1-\frac{z_{R}^{2}}{(z-z_{0})^{2}}=0\]

despejando z obtenemos

\(z=z_{0}\pm z_{R}\)

--CAZ 01:17 4 jul 2008 (CDT)