Radiacion: Guias de onda

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Una guía de onda es un dispositivo que se usa para transportar energía electromagnética y/o información de un sitio a otro. Generalmente se usa el término línea de transmisión a la guía de ondas usada en el extremo de menor frecuencia del espectro.

Introducción

El nombre de guías de onda se utiliza para designar los tubos de un material conductor de sección rectangular (figura 1), circular o elíptica, en los cuales la dirección de la energía electromagnética debe ser principalmente conducida a lo largo de la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación. Algunos sistemas de comunicaciones utilizan la propagación de ondas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante la confinación de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas de transmisíon y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la transmisíon de la informacíon sea la adecuada, son imprácticos para aplicaciones en alta frecuencia (HF) o de bajo consumo de potencia, especialmente en el caso de señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, esto es, microondas.

figura 1. Guía de onda

En las guías los campos eléctrico y magnético están confinados en el espacio que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos. La guía está diseñada fundamentalmente para operar un solo modo de propagación con el ancho de banda requerido, atenuando los demás modos de orden superior. Esto quiere decir que transmite óptimamente la frecuencia portadora, para la cual se ha seleccionado la guía con su respectivo ancho de banda de transmisión.


--Tomás Salinas Sánchez 09:52 23 jul 2012 (UTC)

Guías de onda

Estamos interesados entonces en la solución de la ecuación homogénea de las ondas en presencia de fronteras conductoras. Es el caso, por ejemplo, de ondas electromagnéticas de longitudes de onda del orden de los centímetros, llamadas microondas, que tienen diversas aplicaciones tecnológicas. Para su propagación, se necesita precisamente disponer de tubos conductores de secciones apropiadas, de dimensiones similares a las longitudes de onda en cuestión. El análisis que sigue lo realizamos en el caso de superficies conductoras perfectas, de conductividad infinita. Las condiciones de contorno nos enseñan que en la región inmediata a la superficie de esos conductores ideales, sólo pueden existir la componente normal del campo eléctrico \(\mathbf E_{\bot} = 0\), y la componente tangencial de intensidad magnética \(\mathbf B_{\|} = 0\) .

A fin de analizar las posibles oscilaciones electromagnéticas que pueden propagarse por el interior de la guía de ondas, comenzamos por suponer, que los campos dependen armónicamente del tiempo. Además usamos la notación exponencial compleja, a fin de simplificar el tratamiento. Tomando al eje z como la dirección longitudinal de la guía, suponemos para los campos la forma


\(\mathbf{E}{(\mathbf{r},t) = \mathbf{E_0}({x,y}) }{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})}\quad\quad \quad (1)\)

\(\mathbf{B}{(\mathbf{r},t) =\mathbf{B_0}({x,y}) }{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})}\quad\quad \quad (2)\)


utilizando estas definiciones de los campos en las ecuaciones de Maxwell. Los campos eléctrico y magnético deben satisfacer las ecuaciones de Maxwell, en el interior de la guía de onda


\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\quad\quad \quad (3)\)

\(\nabla\cdot \mathbf{B}=0\quad\quad \quad (4)\)

\(\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathit{t}}\quad\quad \quad (5) \)

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\quad\quad \quad (6) \)


Debemos asumir que esta guía de onda es un conductor perfecto, esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor y por lo tanto las condiciones a la frontera en el interior del conductor serán \[\mathbf E_{\bot} = 0\quad\quad \quad (a)\]

\(\mathbf B_{\|} = 0\quad\quad \quad (b)\)


Suponiendo un conductor perfecto, \(\mathbf{E} = 0 \) , y por la ley de Faraday, la cual establece que la corriente inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez con que cambia el flujo magnético que lo atraviesa, implicará que \(\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathit{t}}= 0 \) .

El problema es encontrar las funciones \(\mathbf{E_0}\) y \(\mathbf{B_0}\) que los campos (1) y (2) obedecen a las ecuaciones diferenciales de Maxwell, sujetas a las condiciones de frontera


\(\mathbf{E_0} = E_x\hat{x} + E_y\hat{y} +E_z\hat{z} \quad\quad \quad (7 )\)

\(\mathbf{B_0} = B_x\hat{x} + B_y\hat{y} +B_z\hat{z} \quad\quad \quad (8)\)


Veamos que (7) y (8), cumplen con la ecuación de Maxwell \(\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathit{t}} \) .

Entonces recordemos que \(\mathbf{E} = ( \mathit{E_x}\hat{x} + \mathit{E_y}\hat{y} + \mathit{E_z}\hat{z} ) \ {e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})} \) , por lo que hacemos el rotacional para las 3 componentes , es decir ;

\((\nabla\times \mathbf{E})_\hat{x}\) , \((\nabla\times \mathbf{E})_\hat{y}\) y \((\nabla\times \mathbf{E})_\hat{z}\).

Comencemos entonces con la componente \( \hat{x} \)

\((\nabla\times \mathbf{E})_\hat{x} = (\frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{y}}-\frac{\partial\mathit{E_y}}{\partial\mathit{z}})\hat{x}=(\frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{y}}-ik\mathit{E_y})\mathit{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})} \)

de aqui vemos que

\((\frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{y}}-ik\mathit{E_y})\hat{x}=i\omega \mathbf{B_x} \) .

Ahora lo hacemos para la componente \( \hat{y} \) , y tenemos

\((\nabla\times \mathbf{E})_\hat{y}= (\frac{\partial\mathit{E_x}}{\partial\mathit{z}}-\frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{x}})\hat{y}=(ik\mathit{E_x} - \frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{x}})\mathit{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})}\)

de donde obtenemos\[(ik\mathit{E_x}-\frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{x}})\hat{y}=i\omega\mathbf{B_y} \].

Y por último para la componente en \( \hat{z} \), tenemos

\((\frac{\partial\mathit{E_y}}{\partial\mathit{x}}-\frac{\partial\mathit{E_x}}{\partial\mathit{y}})\hat{z}=i\omega\mathbf{B_z} \).

De manera que

\(\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathit{t}}= i\omega\mathbf{B_0}\mathit{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})} \)

Ahora este mismo procedimiento lo aplicamos a \[\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + {\frac{1}{c^2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial\mathit{t}} \]

para el caso cuando la \(\mathbf{j} = 0\) y \(\mu_0 \epsilon_0 = {\frac{1}{c^2}}\), recordemos que estamos analizando para el caso dentro del material.

Entonces para cumplir con ecuación de Maxwell necesitamos que \[(\frac{\partial\mathit{B_z}}{\partial\mathit{y}}-ik\mathit{B_y})\hat{x}=-{\frac{i\omega}{c^2}} \mathbf{E_x} \].

Lo cual se obtiene de manera similar al procedimiento anterior para \(\nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial\mathit{t}} \) , es decir ;

\((\nabla\times \mathbf{B})\hat{x}= (\frac{\partial\mathit{B_z}}{\partial\mathit{y}}-\frac{\partial\mathit{B_y}}{\partial\mathit{z}})\hat{x}=(\frac{\partial\mathit{B_z}}{\partial\mathit{y}}-ik\mathit{B_y})\mathit{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})}\)

Continuando con este mismo proceso, llegamos a que las ecuaciones vectoriales resueltas en componentes, que conducen a las relaciones:

i) \(({\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{y}} }-ik\mathit{E_y})\hat{x}= i\omega\mathbf{B_x}\) , ii) \(({\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{y}} }-ik\mathit{B_y})\hat{x}= -{\frac{i\omega}{c^2}} \mathbf{E_x}\)

iii) \((ik\mathit{E_x}-{\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{x}} })\hat{y}= i\omega\mathbf{B_y}\) , iv) \((ik\mathit{B_x}-{\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{x}} })\hat{y}= -{\frac{i\omega}{c^2}} \mathbf{E_y}\)

v) \(({\frac{\partial\mathbf{E_y}}{\partial\mathit{x}} }-{\frac{\partial\mathbf{E_x}}{\partial\mathit{y}} })\hat{z}= i\omega\mathbf{B_z}\) , vi) \(({\frac{\partial\mathbf{B_y}}{\partial\mathit{x}} }-{\frac{\partial\mathbf{B_x}}{\partial\mathit{y}} })\hat{z}= -{\frac{i\omega}{c^2}} \mathbf{E_z}\)


Con este sistema de ecuaciones, resolvemos para encontrar \(\mathbf{E_x}, \mathbf{E_y},\mathbf{B_x}, \mathbf{B_y}\), en términos de \(\mathbf{E_z}, \mathbf{B_z}\), untilizando las eciaciones de i-iv, tenemos:


i) \(\mathbf{E_x}=\frac{i}{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}({k\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{x}} }+{\omega\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{y}} })\)

ii) \(\mathbf{E_y}=\frac{i}{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}({k\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{y}} }-{\omega\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{x}} })\)

iii) \(\mathbf{B_x}=\frac{i}{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}({k\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{x}} }-{{\frac{\omega}{c^2}}\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{y}} })\)

iv) \(\mathbf{B_y}=\frac{i}{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}({k\frac{\partial\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{y}} }+{{\frac{\omega}{c^2}}\frac{\partial\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{x}} })\)


Ahora consideramos la ecuación de la divergencia del campo electrico y que este campo depende armonicamente del tiempo, tomando el eje z como propagación de la onda.

\(\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\partial\mathit{E_x}}{\partial\mathit{x}}+\frac{\partial\mathit{E_y}}{\partial\mathit{y}}+\frac{\partial\mathit{E_z}}{\partial\mathit{z}} = (\frac{\partial\mathit{E_x}}{\partial\mathit{x}}+\frac{\partial\mathit{E_y}}{\partial\mathit{y}}+ ik\mathbf{E_z})\mathbf{e}^{i(\mathit{k \cdot z- \omega t})}= 0\)

lo cual implica,

\((\frac{\partial\mathit{E_x}}{\partial\mathit{x}}+\frac{\partial\mathit{E_y}}{\partial\mathit{x}} + ik\mathbf{E_z}) = 0 \quad\quad \quad (9) \)

Utilizando las expresiones i) y ii), sustituyendo en \( (9) \) obtenemos\[\frac{i}{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}(k{\frac{\partial^2\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{x}^2}}+\omega{\frac{\partial^2\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{y}\partial\mathit{x}}} )+ \frac{i}{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}(k{\frac{\partial^2\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{y}^2}}-\omega{\frac{\partial^2\mathbf{B_z}}{\partial\mathit{y}\partial\mathit{x}}}+ik\mathbf{E_z} ) = 0 \]

simplificando nos queda,

\(\frac{\partial^2\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{x}^2}+\frac{\partial^2\mathbf{E_z}}{\partial\mathit{y}^2}+[{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}]\mathbf{E_z}=0\)

y factorizando \(\mathbf{E_z}\), tenemos\[{[{\frac{\partial^2}{\partial\mathit{x}^2}}+{\frac{\partial^2}{\partial\mathit{y}^2}}+{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}]}\mathbf{E_z}=0\quad\quad\quad (10)\]

de igual forma lo hacemos para

\(\nabla\cdot \mathbf{B}=0\)

obteniendo de manera similar\[{[{\frac{\partial^2}{\partial\mathit{x}^2}}+{\frac{\partial^2}{\partial\mathit{y}^2}}+{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\quad\quad\quad (11)\].


Las ondas electromagnéticas viajan a través de las guías por medio de diversas configuraciones a las que llamamos modos de propagación. Un modo es la manera en la que la energía se puede propagar a lo largo de la guía de onda, estos modos deben satisfacer ciertas condiciones de frontera para que se puedan dar. A medida que se va aumentando la frecuencia se irá incrementando el número de modos a partir de cada frecuencia de corte, de cada modo respectivamente. Específicamente una guía soporta tres modos de propagación los cuales son:

1. Modo transversal magnético (TM): también denominado modo \(\mathbf{E}\), en el cual las soluciones se derivan a través de la componente del campo eléctrico \(\mathbf{E_z}\), con la condición de que \(\mathbf{B_z}= 0\), esto es, la componente axial del campo magnético es cero, por lo cual se asegura la transmisión de la potencia en la dirección z que es la que se ha seleccionado como la dirección de propagación de la línea.

2. Modo transversal eléctrico (TE): también denominado modo \(\mathbf{B}\), en el cual las soluciones se derivan a través de la componente del campo eléctrico \(\mathbf{B_z}\), con la condición de que \(\mathbf{E_z}= 0\).

3. Modo transversal eléctromagnético (TEM): si eligiésemos simultaneamente \(\mathbf{E_z}= 0\) y \(\mathbf{B_z}= 0\). Esta última opción es posible en problemas similares; sin embargo, en guías huecas de paredes conductoras no resulta una solución adecuada. Para verlo se puede razonar del siguiente modo: si ambas componentes longitudinales fueran nulas, por las leyes de Gauss y de Faraday, resultaía que el campo eléctrico tendría divergencia y rotacional nulos, es decir, se podría expresar el campo en función de un potencial escalar que cumpliría la ecuación de Laplace. Entonces, ya que \(\mathbf{E_z}=\nabla\cdot \mathbf{\phi} \), y que las condiciones de contorno del campo sobre la superficie la fuerzan a ser equipotencial, resultando que \(\phi=cte\) en todos los puntos sería una solución posible(y única), y el campo se anularía forzosamente (no habría onda). Sería diferente si en el interior de la guía hubiesse otro conductor, aislado del conductor externo, porque entonces los potenciales en ambos podrían ser distintos, y sí serían posibles soluciones no triviales en ese contexto.

Los tres modos de propagación son validos para cualquier geometría de guía hueca de paredes conductoras. A continuación tratamos dos ejemplos de guías de onda huecas, la guía rectangular y la guía circular.


--Tomás Salinas Sánchez 09:52 23 jul 2012 (UTC)


Guía de onda rectangular

Si concideramos una guía de dimensiones \( a \times b \), como se muestra en la figura 2:

figuira 2. Guía de onda rectandular de dumención axb y se propaga en el eje z

Modo TE

Supongamos que nuestra onda que incide en la guía es del tipo TE, es decir, \(\mathbf{E_z}= 0\) , entonces resolvemos la ecuación (11)

\({[{\frac{\partial^2}{\partial\mathit{x}^2}}+{\frac{\partial^2}{\partial\mathit{y}^2}}+{\mathrm({\omega/c})^2-k^2}]}\mathbf{B_z}=0\).

cuya condicion de frontera es

\(\mathbf E_{\bot} = 0\)

Proponemos una solución para (11)

\(\mathbf{B_z}(x,y)=X(x)Y(y)\).

Sustituyendo en (11), tenemos que

\( \mathit{Y} \frac {\mathrm d^2X}{\mathrm dx^2} + \mathit{X} \frac {\mathrm d^2Y}{\mathrm dy^2} + [{\mathit({\omega/c})^2-k^2}]\mathit{X}\mathit{Y} = 0 \quad\quad(12) \)

Esta ecuación se cumple sí y solo sí

\( \frac{1}{X} \frac {\mathrm d^2X}{\mathrm dx^2} = {\mathit{-k_x^2}}\)

y

\( \frac{1}{Y} \frac {\mathrm d^2X}{\mathrm dy^2}= {\mathit{-k_y^2}}\)

con

\( {\mathit{-k_x^2}} {\mathit{-k_y^2}}+ [{\mathit({\omega/c})^2-k^2}]\mathit{X}\mathit{Y} = 0\quad\quad \quad (13) \)

entonces la solucion para \( \mathbf{X} \) sera \[{\mathbf{X(x)}} = A \sin(k_x\mathit{x})+ B \cos(k_x\mathit{x})\]


usando condiciones a la frontera, tenemos que \( {\mathit{A}} =0 \) y \( {\mathit{k_x}} = \frac{\mathit{n}\pi}{a} \), \(\forall (n) \in \N\).

Hacemos el mismo procedimiento para \( \mathbf{Y} \), y vemos que

\({\mathit{k_y}} = \frac{\mathit{n}\pi}{b} \), \(\forall (n) \in \N\)

juntando ambas soluciones tenemos la solución general para el modo transversal eléctrico\[ \mathbf{B_z}= B_0 \cos (\frac{\mathit{m}\pi}{a}) \cos (\frac{\mathit{n}\pi}{b}) \quad\quad \quad (14)\].


De esta ecuacuación notamos los modos normales, a esta solución se lo conoce como modo \(\ TE_{mn}\), donde al menos un indice debe ser distinto de 0.

Si sustituimos los valores de \({\mathit{k_x}}\) y \({\mathit{k_y}}\) en la ecuación \((13)\), obtendremos el numero de onda (k)

\( \mathit{K} = \sqrt{({\omega/c})^2- \pi^2[({m/a})^2 + ({n/b})^2]} \)

Notemos que si

\( \omega < c\pi \sqrt{({m/a})^2 + ({n/b})^2} \equiv \mathit{\omega_{mn}}\)

el numero de onda (k) es imaginario, y en vez de una onda se tiene campo exponencialmente atenuado. Por esta razon \(\omega_{mn}\) es llamamado frecuencia de corte para el modo TE. La frecuencia de corte mas baja para una guía de onda en dicho modo es \(\omega_{10}=c\pi/a\). Frecuencias mas vajas que esto no se propagarán en absoluto.

El numero de onda más simple que podemos encontrar con la frecuencia de corte más baja es

\(k=\frac{1}{c} \sqrt{\omega^2-\omega_{mn}^2}\).

Si la velocidad de onda es

\(v=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2}}\)

con velocidad mayor a c. Sin embargo la energia llevada por la onda viajera es la velocidad de grupo

\(v_g=\frac{1}{\mathrm dk/\mathrm d\omega}=c\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2}<c\) .

Consideremos que hay reflección total por la guía de onda de las ondas transmitidas, donde el vector de propagación de las ondas planas, que se puede obtener de la figura 3, es:

figura 3. Velocidad de grupo se propaga en el eje z

\(k'=(\frac{\pi m}{a}, \frac{\pi n}{b}, k)\) ,

y frecuencia

\(\omega=c| k' |=c\sqrt{k^2+\pi^2[(m/a)^2+(n/b)^2]}=\sqrt{(ck)^2+\omega_{mn}^2}\) .

Sólo ciertos ángulos darán lugar a uno de los patrones de ondas permitidos

\(\cos(\theta)=\frac{k}{| k' |}=\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2}\) .

La onda plana viaja a velocidad c, pero debido a que se va a un ángulo \(\theta\) con el eje z, esta velocidad neta hacia abajo de la guía de onda es

\(v_g=c \cos(\theta)=c\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2}\).

La velocidad de la onda, es la velocidad de los frentes de onda hacia abajo de la guía

\(v=\frac{c}{\cos(\theta)}=\frac{c}{\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2}}\) .


Modo TM

La obtención de los modos TM sigue los mismos pasos que en la sección anterior. Ahora la solución propuesta es

\(\mathbf{E_z}(x,y)=X(x)Y(y)\)

y, sustitullendo en la ecuacion \((10)\), llegamos a la solucion

\({\mathbf{Y(x)}} = C \sin(k_y\mathit{y})+ D \cos(k_y\mathit{y})\).

Con la condicion de frontera

\(\mathbf B_{\|} = 0\)

y aplicandolo inmediatamente, puesto que \(\mathbf{E_z}\) es una componente del campo eléctrico tangencial a las cuatro paredes de la guía, y debe cncelarce g¡junto a todas ellas. Teniendo la expresión final

\( \mathbf{E_z}= E_0 \sin (\frac{\mathit{m}\pi}{a}) \sin (\frac{\mathit{n}\pi}{b}) \quad\quad \quad (15)\).



--Tomás Salinas Sánchez 09:48 23 jul 2012 (UTC)

Guía de onda circular

Las leyes que rigen la propagación de las ondas en las guías son independientes da la forma de la seccíon transversal de la guía y sus dimensiones, debido a esto el concepto de campos eléctricos y magnéticos, así como la frecuencia de corte y en general todos los parámetros presentados en guías de onda rectangulares se cumplen también para guías de onda circulares exceptuando que el problema de los modos de transmisión para guías circulares se presentan en coordenadas cilíndricas.

La guía de onda rectangular se utiliza en distancias cortas y debido a su rigidez no se puede doblar, lográndose que la señal se refleje en otra dirección. La guía circular es un ducto flexible de unos cuantos centimetros de diámetro, el cual puede doblarse sin excesivas reflexiones. Para que la propagación tenga un lugar en la guía de onda circular, la configuración de campo eléctrico y magnéticode las ondas deben satisfacer ciertas condiciones. Hay muchas posibles configuraciones, llamadas modos. Los modos se designan según las direcciones que los campos eléctrico y magnéticode la onda electromagnética asumen respecto de la dirección de propagación.

Modo TM

Consideremos una guia de onda cilíndrica de radio a, formada por un conductor perfecto. Condiciones de frontera

\(\mathit{E_z}(r=a)=0\quad\quad \quad (1)\)


Vamos a considerar una onda monocrómatica, propagandose en la dirección z

\(\mathbf{E_z} = \mathbf{E_0}({x,y}) }{e}^{-i(\mathit{\omega t-k_z \cdot z})}\quad\quad \quad (2)\)

donde r y \(\phi\) son las componentes radial y azimutal en coordenadas cilíndricas. Sustituimos en la ecución de onda para \(\mathbf{E_z}\)

\(\nabla^2\mathbf{E_z}+ \omega^2 \mu \epsilon \mathbf{E_z}=0\quad\quad \quad (3) \)

Aplicando el operador \(\nabla^2\) en coordenadas cilíndricas\[\nabla^2 = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \frac{\partial}{\partial \rho})+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\quad\quad \quad (4)\]

Aplicamos el método de separación de variables con

\(\mathbf{E_z} = \mathbf{E_z}({\rho,\phi}) }{e}^{i(\mathit{\omega t- \beta z})}=R(\rho) \capitalphi(\phi){e}^{-i(\mathit{\omega t- k_z z})\quad\quad \quad (2)\)

Fibra Óptica

Consideraremos una fibra óptica que consiste en un núcleo y revestimiento, y que la diferencia entre sus indices de refraccion es mínima. Así el campo óptico está en gran parte confinado al nucleo de la fibra.

La fibra es circular, y tiene un nucleo de radio \(\ a\) con un índice de refracción uniforme \(\ \mathit{\eta_{1}} \) , lijeramente mayor que el índice de refracción del revestimiento \(\ \mathit{\eta_{2}} \), asi las permitividades relativas del núcleo y el revestimiento son respectivamente \( \mathit{\epsilon_{r1}}= \mathit{\eta_{r1}^2}\) y \( \mathit{\epsilon_{r2}}= \mathit{\eta_{r2}^2}\).

Ecuaciones de Máxwell

Supongamos ahora que existe un campo electromagnético \(\ A\) que oscila a una sola frecuencia \(\ \mathit{\omega}\), dicho vector se puede escribir.


\(\mathbf{A}{(\mathbf{r},t) = Re[\mathbf{\bar{A}}({\mathbf{r}}) }{e}^{-i\mathit{\omega t}}]\)

De esta misma manera.

\(\mathbf{E}{(\mathbf{r},t) = Re[\mathbf{\bar{E}}({\mathbf{r}}) }{e}^{-i\mathit{\omega t}}]\)

\(\mathbf{H}{(\mathbf{r},t) = Re[\mathbf{\bar{H}}({\mathbf{r}}) }{e}^{-i\mathit{\omega t}}]\)

\(\mathbf{D}{(\mathbf{r},t) = Re[\mathbf{\bar{D}}({\mathbf{r}}) }{e}^{-i\mathit{\omega t}}]\)

\(\mathbf{B}{(\mathbf{r},t) = Re[\mathbf{\bar{B}}({\mathbf{r}}) }{e}^{-i\mathit{\omega t}}]\)

En donde los vectores con barra son fasores de los vectores sin barra. es decir que cada vector con barra tiene la información de la propagación (el vector de onda k). Al aplicar las ecuaciones de Maxwell sin fuentes y con \(\ \mathit{\mu_{r}}=1 \) .


\(\nabla \cdot \epsilon \mathbf{E} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad(1)\)

\(\nabla\cdot \mathbf{H}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad (2)\)

\(\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mathbf{B}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad (3)\)

\(\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad (4) \)

recordando que

\( \mathbf{\epsilon=\epsilon_{0}\epsilon_{r}}\)

\(\mathbf{\mu=\mu_{0}\mu_{r}}\)

Sabemos de la fórmula vectorial para dos rotacionales seguidos.

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot \mathbf{A})- \nabla^2\mathbf{A}\)

En donde \(\nabla^2 \) es el Laplaciano

Al aplicar esta formula a la ecuación 3 y sustituyendo la ecuación 4

\(\nabla(\nabla\cdot \mathbf{E})- \nabla^2\mathbf{E} =-\mathbf{i}\omega \mu\nabla\times \mathbf{H}= (-\mathbf{i}\omega \mu)(\mathbf{i}\omega \epsilon)\mathbf{E} \)

\(\nabla(\nabla\cdot \mathbf{E})- \nabla^2\mathbf{E}= \omega^2 \mu\epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad (5) \)

Dado que la ecuación 1 está igualada a cero y\(\mathbf{\epsilon}_0\) es una constante se puede escribir de la siguiente forma.

\(\nabla \cdot \epsilon_r \mathbf{E} = 0\)

y después

\(\nabla \cdot \epsilon_r \mathbf{E} = \epsilon_r \nabla \cdot \mathbf{E} + \nabla \epsilon_r \cdot\mathbf{E} = 0\)

Al despejar se obtiene

\(\nabla \cdot \mathbf{E} = - \frac{\nabla \epsilon_r \cdot\mathbf{E}}{\epsilon_r }\)

Al sustituir este resultado en la ecuación 5

\(\nabla(- \frac{\nabla \epsilon_r \cdot\mathbf{E}}{\epsilon_r })- \nabla^2\mathbf{E}= \omega^2 \mu\epsilon\mathbf{E} \)

Sabemos tambien que \(k_0\), el níumero de onda en el vacío es\[k_0=\omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}=\frac{\omega}{c_0} \]

y dado que\(\mu_r=1\)

\(\nabla(\frac{\nabla \epsilon_r \cdot\mathbf{E}}{\epsilon_r })+\nabla^2\mathbf{E}+ k_{0}^2 \epsilon_r\mathbf{E}=0 \)

usando que el número de onda \(k\) en un medio se relaciona con número de onda en el vacío.

\(k= k_0 \eta = k_0 \sqrt{\epsilon_r} = \omega \sqrt{\epsilon_r \epsilon_0 \mu_0 }=\omega \sqrt{\epsilon\mu_0}\)

y tenemos

\(\nabla(\frac{\nabla \epsilon_r \cdot\mathbf{E}}{\epsilon_r })+\nabla^2\mathbf{E}+ k^2 \mathbf{E}=0 \)

En el caso que la permeabilidad relativa sea constante eso se reducirá a la ecuación de Helmholtz.

\(\nabla^2\mathbf{E}+ k^2 \mathbf{E}=0 \)

Usando pasos similares llegamos a que

\(\frac{\nabla \epsilon_r }{\epsilon_r }\times(\nabla \times \mathbf{H})+\nabla^2\mathbf{H}+ k^2 \mathbf{H}=0 \)

y de igual manera

\(\nabla^2\mathbf{H}+ k^2 \mathbf{H}=0 \)

Pongamos atención ahora en una guia óptica cuya estructura es uniforme en la dirección \(z\).La derivada de un campo electromagnético con respecto la coordenada \(z\) es constante asi que\[\frac{\partial}{\partial z}= -\mathbf{i}\beta\]

En donde \(\beta\) es la constante de propagación y es la componente en la dirección de \(z\) de el vector de onda \(k\).La razón entre la constante de propagación en un medio \(\beta\) y el número de onda \(k_0\) se le conoce como el índice de refracción efectiva

\(\eta_{eff} = \frac{\beta}{k_0}\)

y donde \(\lambda_0\) es la longitud de onda en el vacío,

\(\beta= \frac{2 \pi}{\lambda_0} \eta_{eff}=\frac{2 \pi}{\lambda_0 / \eta_{eff}} = \frac{2 \pi}{ \lambda_{eff}} \)

aqui \(\lambda_{eff}\) es la componente de la longitud de onda en la dirección \(z\) en el medio. El significado físico de la constante de propagación \(\beta\) es la fase de rotación por unidad de distancia de propagación. Asi el índice de refracción efectiva \(\eta_{eff}\) se puede interpretar como la razón entre la longitud de onda en un medio y la longitud de onda en el vacío o como la razón entre la rotación de fase en el medio y la rotación de fase en el vacío.

Entonces podemos escribir la ecuación de Helmholtz de la siguiente manera.

\(\nabla^2_{\perp} \mathbf{E}_{\perp}+(k^2-\beta^2)\mathbf{E}_{\perp}=0\)

o de otra manera

\(\nabla^2_{\perp} \mathbf{E}_{\perp}+k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)\mathbf{E}_{\perp}=0 \quad\quad\quad (6)\)

y para el campo magnético

\(\nabla^2_{\perp} \mathbf{H}_{\perp}+(k^2-\beta^2)\mathbf{H}_{\perp}=0\)

tambien

\(\nabla^2_{\perp} \mathbf{H}_{\perp}+k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)\mathbf{H}_{\perp}=0 \quad\quad\quad (7)\)

en donde\[\nabla^2_{\perp} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2 }\]

Para obtener una solución exacta se debe usar un análisis de modos híbridos, no obstante se puede hacer un analisis más simple si hablamos que la diferencia entre los índices de refracción en el núcleo y el revestimiento es muy pequeña (aprox. 1%), esta solución da lugar a modods linealmente polarizados.(LP Modes)

Simetía Cilíndrica

Podemos escribir al laplaciano en cordenadas cilindricas como\[\nabla^2 = \nabla^2_{\perp} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\]

Para poder resolver la ecuación de Helmholtz asumiremos que la funcion de campo electrico es el producto de dos funciones asi.

\( \ E_{j}(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)\)

Aqui \(\ j=x,y\)

Al sustituir en la ecuación 6 se tiene.

\(\nabla^2R(r)\Theta(\theta)+k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)R(r)\Theta(\theta)=0 \)


\(\frac{\partial^2 R(r)\Theta(\theta)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial R(r)\Theta(\theta)}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 R(r)\Theta(\theta)}{\partial \theta^2}+k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)R(r)\Theta(\theta)=0\)


\(\Theta(\theta)\frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{\Theta(\theta)}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r}+\frac{R(r)}{r^2}\frac{\partial^2 \Theta(\theta)}{\partial \theta^2}+k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)R(r)\Theta(\theta)=0\)


y al dividir entre \(R(r)\Theta(\theta)\) se obtiene

\(\frac{1}{R(r)}\left ( \frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r} \right )+ \frac{1}{r^2}\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{\partial^2 \Theta(\theta)}{\partial \theta^2}+k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)=0\)

Y quedamos con la ecuación


\(\frac{r^2}{R(r)}\left ( \frac{\partial^2 R(r)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial R(r)}{\partial r} \right )+ r^2 k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)=-\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{\partial^2 \Theta(\theta)}{\partial \theta^2} \)


Otenemos entonces las dos ecuaciones diferenciales

\(\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{d^2 \Theta(\theta)}{d \theta^2}=-l^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad (8)\)

\(\frac{r^2}{R(r)}\left ( \frac{d^2 R(r)}{d r^2}+\frac{1}{r}\frac{d R(r)}{d r} \right )+ r^2 k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2) = l^2 \quad\quad\quad(9)\)

que al igualarlas a cero quedan


\(\frac{d^2 \Theta(\theta)}{d \theta^2}+ l^2\Theta(\theta)=0 \)

\( \frac{d^2 R(r)}{d r^2}+\frac{1}{r}\frac{d R(r)}{d r} + R(r) \left(k^2_0(\epsilon_r-\eta_{eff}^2 )- \frac{l^2}{r^2}\right) = 0 \quad \quad\quad\quad (10)\)

La solución para la ecuacion de \(\Theta (\theta)\) es simple, pues corresponde a la solución del oscilador armónico

\(\Theta (\theta) = \operatorname{Sen}(l\theta +\phi)\)

Ecuación diferencial de Bessel

Definamos

\(\tilde u^2 = k_0^2(\epsilon_r-\eta_{eff}^2)\)

y el cambio de variable

\(\xi =\tilde u r\)

para la primera derivada

\(\frac{d R(\xi)}{dr}=\frac{d \xi}{dr}\frac{d R(\xi)}{d \xi}= \tilde u \frac{d R(\xi)}{d \xi}\)

asi

\(\frac{d}{dr}=\tilde u \frac{d}{d\xi}\)

y la segunda derivada

\(\frac{d^2 R(\xi)}{dr^2}= \frac{d}{dr}\left ( \tilde u \frac{dR(\xi)}{d\xi} \right )=\frac{d \tilde u }{dr} \frac{d R(\xi) }{d\xi} + \tilde u \frac{d}{dr} \left ( \frac{d R(\xi) }{d\xi}\right) =\tilde u^2\frac{d^2 R(\xi)}{d\xi^2}\)

entonces

\(\frac{d^2 }{dr^2}=\tilde u^2\frac{d^2 }{d\xi^2}\)

Usando esto la ecuación 10 se puede reescribir de la siguiente manera

\(\tilde u^2 \frac{d^2 R(\xi)}{d \xi^2}+ \frac{\tilde u^2}{\xi}\frac{d R(\xi)}{d \xi} +(\tilde u^2- \frac{l^2 \tilde u^2}{\xi^2}) R(\xi) = 0\)


\(\frac{d^2 R(\xi)}{d \xi^2}+ \frac{1}{\xi}\frac{d R(\xi)}{d \xi} +(1- \frac{l^2 }{\xi^2}) R(\xi) = 0\)


\(\xi^2 \frac{d^2 R(\xi)}{d \xi^2}+ \xi\frac{d R(\xi)}{d \xi} +(\xi^2- l^2 ) R(\xi) = 0\)

Las soluciones de esta ecuación son las funiones Bessel de orden \(\ l\).


\(\ R(\xi)= A J_l(\xi)+B N_l(\xi) \)


y sustituyendo el valor de \(\ \xi\)


\(R(\tilde u r)= A J_l(\tilde u r)+B N_l(\tilde u r) \)


\(R( k_0 r \sqrt{\epsilon_r-\eta_{eff}^2} )= A J_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_r-\eta_{eff}^2} )+B N_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_r-\eta_{eff}^2} ) \)

pero como las perimitividades relativas son distintas en el núcleo y el revestimiento.

\(R( k_0 r \sqrt{\epsilon_{r1}-\eta_{eff}^2} )= A J_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_{r1}-\eta_{eff}^2})+B N_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_{r1}-\eta_{eff}^2} ) \quad\quad\quad\quad r \le a \)

\(R( k_0 r \sqrt{\epsilon_{r2}-\eta_{eff}^2} )= A J_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_{r2}-\eta_{eff}^2} )+B N_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_{r2}-\eta_{eff}^2} ) \quad\quad\quad\quad r \ge a\)

como\[\eta_{1}^2\le \eta_{eff}^2 \le \eta_{2}^2\]

las fuciones de bessel para el revestimiento( \(\ r \ge a\)) resultan tener un argumento imaginario entonces podemos escribir

\( A J_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_{r2}-\eta_{eff}^2} )+B N_l(k_0 r \sqrt{\epsilon_{r2}-\eta_{eff}^2} )=A J_l( i k_0 r \sqrt{\eta_{eff}^2-\epsilon_{r2}} )+B N_l(i k_0 r \sqrt{\eta_{eff}^2-\epsilon_{r2}} ) \quad\quad\quad\quad r \ge a\)

A estas se les llama funciones bessel modificadas y se escriben

\(C K_l(k_0 r \sqrt{\eta_{eff}^2-\epsilon_{r2}} )+D I_l(k_0 r \sqrt{\eta_{eff}^2-\epsilon_{r2}} )\)

Definiendo los parametros

\(u^2=k_0^2 a^2(\epsilon_{r1}-\eta_{eff}^2)\)


\(w^2=k_0^2 a^2(\eta_{eff}^2 -\epsilon_{r2})\)

Soluciones de la ecuación diferencial de Bessel

Las funciones de bessel para el núcleo y el revestimiento quedan

\(R(r)= A J_l(\frac{ur}{a})+B N_l(\frac{ur}{a}) \quad\quad\quad\quad r \le a \)

\(R(r)= C K_l(\frac{wr}{a})+D I_l(\frac{wr}{a}) \quad\quad\quad\quad r \ge a \)

Aquí \(J_l(\frac{ur}{a})\) y \(N_l(\frac{ur}{a}) \) son las funciones besel de orden \(\ l\) de primer y segundo tipo, y \(K_l(\frac{wr}{a})\) y \(I_l(\frac{wr}{a})\) son las funciones Bessel modificadas de orden \(\ l\) de primer y segundo tipo.

Podemos obtener una importante relación para los parametros

\(\ v^2=u^2+w^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(11)\)

en donde

\(v=k_0 a\sqrt{\epsilon_{r1}-\epsilon_{r2}}\)

es la frecuencia normalizada. Los parametros \(u\) y \(w\) son considerados respectivamente como la constante de propagación lateral normalizada en el núcleo y la constante de decaimiento lateral normalizada en el revestimiento. El índice de refracción effectiva \(\eta_{eff}\) debe satisfacer la relación\[\eta_{1}\le \eta_{eff} \le \eta_{2}\]

Sabemos que las funciones de Bessel de segundo tipo,\(N_l(\frac{ur}{a})\) ,divergen para \(\ r=0\) y que las funciones de Bessel modificada tambien de segundo tipo, \(I_l(\frac{ur}{a})\), diverje para \(r=\infty\), entonces sus coeficientes B y D deben de ser cero quedandonos solo\[R(r)= A J_l(\frac{ur}{a}) \quad\quad\quad\quad r \le a \]

\(R(r)= C K_l(\frac{wr}{a})\quad\quad\quad\quad r \ge a \)

ahora aplicaremos las condiciones de frontera (interfaz dielectrico dielectrico, tambien quiere decir que las ondas en propagación son contínuas y son almenos clase \(\ C_1\))

\(\ R(a-0)=R(a+0)\)

y

\(\ R'(a+0)=R'(a-0)\)

En esta última condición las primas significan derivadas con respecto de r, siguiendo esto en la solución queda

\( \ A J_l(u)-C K_l(w)=0\)

\(\ A uJ'_l(u)-C wK'_l(w)=0\)

Para resolver el sistema escribamos la matriz correspondiente.

\(\begin{bmatrix} J_l(u) & K_l(w) \\ uJ'_l(u) & wK'_l(w) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A\\ C \end{bmatrix} = 0\)

Para que el sistema tenga soluciones no triviales el determinante de la matriz de coeficietes debe ser cero.

\(\ -wJ_l(u)K'_l(w)+uJ'_l(u)K_l(w)=0\)

Ecuación caraterística

Asi llegamos a la ecuación caracteristica

\(\frac{uJ'_l(u)}{J_l(u)}=\frac{w K'_l(w)}{K_l(w)} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(12)\)

El índice \(\ \eta_{eff}\) puede ser encontrado al resolver en combinación las ecuaciones (11) y (12), En otras palabras, ya que \(\ u\) y \(\ w\) son funciones del índice de refracción efectivo \(\ \eta_{eff}\) la ecuación caracretistica (12) es una función de \(\ \eta_{eff}\). Las soluciones de esta ecuación son los llamados modos linealmente polarizados (LP Modes).

Calculemos ahora las formas explícitas para la ecuación carateristica, en particular para el modo \(\ LP_{0m}\) \((l=0 , m \ge 1)\)


\(\frac{uJ'_0(u)}{J_0(u)}=\frac{w K'_0(w)}{K_0(w)}\)

y haciendo uso de la fórmula de recurrencia

\(\ J'_0(z)=-J_1(z)\)

\(\ K'_0(z)=-K_1(z)\)

lo que lleva a

\(\frac{uJ_1(u)}{J_0(u)}=\frac{w K_1(w)}{K_0(w)}\)

esto tambien se puede escribir

\(\frac{J_0(u)}{uJ_1(u)}=\frac{K_0(w)}{w K_1(w)}\)

haremos el mismo desarrollo pero para el modo \(\ LP_{lm}\)

haciendo uso de las fórmulas

\(\ J'_{\nu}(z)= J_{\nu-1}(z)-\nu z^{-1}J_{\nu}(z)\)

\(\ z K'_{\nu}(z)=-z K_{\nu -1}(z)-\nu K_{\nu}(z)\)

Podemos escribir laecuación (12) como\[\frac{u(J_{l-1}(u)-l u^{-1}J_{l}(u))}{J_l(u)}=\frac{-w K_{l-1}(w)-lK_{l}(w)}{K_{l}(w)}\]

Lo cuál lleva a

\(\frac{J_l(u)}{u J_{l-1}(u)}=-\frac{K_{l}(w)}{w K_{l-1}(w)} \quad \quad \quad \quad (13)\)

Rango de valores de \(\ u\)

La ecuación 13 es de suma importancia pues nos da información de cuando es que existen soluciones para la ecuación diferencial de bessel, en particular podemos usar a \(\ u\) y su relación con \(\ w\) y así determinar el rango de valores de \(\ u\) (y por tanto de \(\ w\)). El rango de valores se puede encontrar a través de los límites \(\ w \to 0\) y \(\ w \to \infty\).

Sabemos de la ecuación (11) que cuando \(\ w \to 0\), \(\ u \to v\)

aplicaremos este límite para\[\lim_{w \to 0} \frac{J_0(u)}{uJ_1(u)} =\lim_{w \to 0} \frac{K_0(w)}{w K_1(w)}\]


\(\lim_{u \to v} \frac{J_0(u)}{uJ_1(u)}= \lim_{w \to 0} \frac{K_0(w)}{w K_1(w)}\)


\(\frac{J_0(v)}{vJ_1(v)}= \lim_{w \to 0} \frac{K_0(w)}{w K_1(w)} \quad \quad \quad \quad (14)\)


Sabemos que las funciones bessel modificadas de primer tipo para valores de z cercanos a 0 son\[K_{0}(z) \simeq - \ln \frac{z}{2}\]

\(K_{n}(z) \simeq \frac{ \Gamma(n)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l}\)

al sustituir esto en la parte derecha de la ecuación (14)


\(\frac{J_0(v)}{vJ_1(v)}=\lim_{w \to 0} \frac{- \ln \frac{w}{2}}{\frac{ w \Gamma(1)}{2} \left (\frac{w}{2}\right )^{-1}}\)


\(\frac{J_0(v)}{vJ_1(v)}=\lim_{w \to 0} - \ln \frac{w}{2}\)

asi obtenemos

\(\frac{J_0(v)}{vJ_1(v)} \to \infty\)

podemos notar que mientras que la funcion bessel de orden cero \(J_{0}(0) \to 1\) la funcion bessel de orden 1 \(J_{1}(0) \to 0\), es decir que la solucion es \(\ v=0\). Esto implica que el valor de cierre \(\ v_c\) para la frecuencia normalizada \(\ v\) es cero, en otras palabras el modo \(\ LP_{0,1}\) no tiene condición de cierre.

No obstante \(\ v=0\) no es la úica solución, muchas otras soluciónes son las raíces de la función de bessel de primer tipo y de orden 1 \(\ J_{1}(j_{1,m-1})=0\) en donde \(\ j_{1,m-1}\) es la (m-1)ésima raíz de \(\ J_{1}\). Claro esto solo si \(\ J_{0}(v)\) y \(\ J_{1}(v)\) tiene el mismo signo para \(\ v \to j_{1,m-1} + 0\), esto significa que el valor de cierre \(\ v_c\) para el modo \(\ LP_{0,m}\) está dado por\[\ v_{c}=j_{1,m-1}\]

así, en resúmen las condiciones de corte para los modos \(\ LP_{0,m}\)\[\ modo \quad \quad \quad \quad \quad LP_{0,1} \quad\quad \quad \quad \quad \quad v_c=0 \]

\(\ modo \quad \quad \quad \quad \quad LP_{0,m} \quad\quad \quad \quad \quad \quad v_c=j_{1,m-1} \quad \quad para \quad \quad m \ge 2\)

Por otro lado, cuando \(\ w >> 1\), la expansión asintótica de orden \(l\) de la funcion modificada de bessel de primer tipo es

\(K_{l}(w) \simeq \sqrt{\frac{\pi}{2 w}} \ e^{-w} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(l,n)}{(2w)^n} \)

\(K_{0}(w) \simeq \sqrt{\frac{\pi}{2 w}} \ e^{-w} \frac{(l,0)}{(2w)^0} \)

\(K_{0}(w) \simeq \sqrt{\frac{\pi}{2 w}} \ e^{-w} \)

\(K_{1}(w) \simeq \sqrt{\frac{\pi}{2 w}} \ e^{-w} \)

entonces

\(\frac{K_{0}(w)}{w K_{1}(w)} \simeq \frac{\sqrt{\frac{\pi}{2 w}} \ e^{-w}}{w \sqrt{\frac{\pi}{2 w}} \ e^{-w}}=\frac{1}{w} \to 0 \)

Por otro lado recordemos

\(\frac{J_{0}(u)}{uJ_{1}(u)}=\frac{K_{0}(w)}{w K_{1}(w)}\)

entonces

\(\frac{J_{0}(u)}{uJ_{1}(u)} \to 0\)

esto implica que los valores de u deben ser las raíces de la función de bessel de primer tipo y de orden 0

\(u \simeq j_{0,m}\)

así, en resúmen los valores asintóticos de \(\ u\) para los modos \(\ LP_{0,m}\)\[\ modo \quad \quad \quad \quad \quad LP_{0,1} \quad\quad \quad \quad \quad \quad u \simeq j_{0,1} \]

\(\ modo \quad \quad \quad \quad \quad LP_{0,m} \quad\quad \quad \quad \quad \quad u \simeq j_{0,m} \quad \quad para \quad \quad m \ge 2 \)


Ahora repetiremos el proceso para encontrar las condiciones de cierre y la aproximación asintótica para los modos \(\ LP_{l,m}\)

La función modificada de bessel de \((l-1)\)ésimo orden para \(z \to 0\) se puede escribir como.


\(K_{l-1}(z) \simeq \frac{ \Gamma(l-1)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l+1}\)

Haciendo uso de esta aproximacíon

\(-\frac{K_{l}(w)}{w K_{l-1}(w)} \simeq - \frac{1}{w} \frac{\frac{ \Gamma(l)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l}}{\frac{ \Gamma(l-1)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l+1}}=- \frac{1}{w} \frac{\frac{ !(l-1)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l}}{\frac{ !(l-2)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l+1}}= - \frac{1}{w} \frac{\frac{ (l-1)!(l-2)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l}}{\frac{ !(l-2)}{2} \left (\frac{z}{2}\right )^{-l} \frac{z}{2}} =-\frac{2(l-1)}{w^2}\)

cuando \(\ w \to 0\) entonces

\(-\frac{K_{l}(w)}{w K_{l-1}(w)} \simeq -\frac{2(l-1)}{w^2} \to -\infty \)

mientras que del otro lado de (13)

\(\frac{J_{l}(v)}{v J_{l-1}(v)} \to -\infty\)

Las posibles soluciones de esta ecuación son aquellas en las que los signos de \(\ J_{l}(v)\) y \(\ J_{l-1}(v)\) sean opuestos y que además \(\ J_{l-1}(v) \to 0 \), esto en las raíces de la función besel de primer tipo y orden \(\ l-1\), es decir \(\ j_{l-1,m}\).

Entonces la condición de cierre para el modo \(\ LP_{l,m} es:\)

\(modo \quad \quad \quad \quad LP_{l,m} \quad \quad \quad v_{c}= j_{l-1,m}\).

Ahora hagamos la expansión asíntotica \(\ w>>1\), es claro que cuando \(\ w \to \infty\) la ecuación (13) queda\[\frac{J_{l}(u)}{u J_{l-1}(u)} \to 0\]

y entonces los valores asintóticos para \(\ u\) están dados por las raíces de \(\ J_{l}\), es decir

\(\ u \simeq j_{l,m}\)

Podemos resumir que el rango de valores posibles para el parametro u es

\(modo \quad \quad \quad \quad LP_{0,1} \quad \quad \quad 0 \le u < j_{0,1}\).

\(modo \quad \quad \quad \quad LP_{0,m} \quad \quad \quad j_{1,m-1} \le u <j_{0,m}\).

\(modo \quad \quad \quad \quad LP_{l,m} \quad \quad \quad j_{l-1,m} \le u < j_{l,m}\).

Soluciones

Los siguientes gráficos se hicieron tomando en cuenta medidas reales para una fibra óptica monomodo:

Núcleo de 9 micrómetros

Revestimiento de 125 micrómetros

Índice de refracción del núcleo 1.48

Índice de refracción del Revestimiento 1.46

Índice de refracción efectiva 1.47

El número de onda en el vacío se calculó con la relacion sencilla\[\ K_0 = \frac{2 \pi}{\lambda}\]

Las imágenes verdes corresponden a un laser de \(\ \lambda = 533 nm\), las azules a un laser azul de \(\ \lambda = 420 nm\) y las rojas corresponden a un laser rojo de \(\ \lambda = 700 nm\).

Referencias

K. Kawano, K. Tsutomu, Introduction to Optical Waveguide Analysis, John Wiley and Sons.

F. Bowman, Introduction to Bessel Functions, Dover Publications, New York.

Z.X Wang, D.R. Guo, Special Functions, World Scientific, London.