Optica: Difraccion de Fraunhofer circulo-cuadrado

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Difracción de apertura Círculo-Cuadrado.

La ecuación [1]

\(x^{2}+y^{2}-\frac{s^{2}}{a^{2}}x^{2}y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad (1) \)
  • Representa un círculo en el plano \(xy\) de radio \(a\) si \(s=0\)
\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \)
  • Representa un cuadrado de lado \(2a\) si \(s=1\)
    Figura1. Solución para el cuadrado con las restricciones mencionadas

\((1-\frac{x^{2}}{a^{2}})^{1/2}(1-\frac{y^{2}}{a^{2}})^{1/2}=0\)

Debido a que las variables están restringidas a valores mas pequeños o iguales a \(a\) tenemos

\(a^{2}\geq x^{2},y^{2}\)

Por lo tanto obtenemos la Fig6.

La ecuación (1) representa una figura intermedia con esquinas redondeadas que escribiéndola en coordenadas polares \((r,\varphi)\)

\([\frac{s^{2}}{4}\sin ^{2}2\varphi]r^{4}-a^{2}r^{2}+a^{2}=0 \)

Encontramos que tiene solución

\(r(a,\varphi)=\{[2a^{2}\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}\}^{1/2} \)

Puede demostrarse que el signo negativo en la expresión implica una y solo una posible solución que cumple la condición \(r^{2}\leq 2a^{2}\)

La transformada de Fourier para una apertura arbitraria es como dijimos antes

\(E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \int_{0}^{2\pi}\mathcal{A}(\rho,\varphi)e^{\imath (kq\rho/R) \cos(\varphi-\phi)}\rho d\rho d\varphi\)

La función de apertura para este caso particular es

\(\mathcal{A}(\rho,\varphi)=\{ ^{1\quad para \quad \rho < r(a,\varphi)}_{0 \quad para\quad \rho >r(a,\varphi)} \)

Si reescribimos esta función como el producto de una parte radial y una angular entonces

\(r(a,\varphi)=aM_{s}(\varphi)\)

con

\(M_{s}(\varphi)=[2\frac{1-[1-s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)]^{1/2}}{s^{2}\sin ^{2}(2\varphi)}]^{1/2} \)

Esta función tiene fronteras entre

\( \quad 1\leq M_{s}(\varphi)\leq \sqrt 2 \)

Y puede verse que en el limite cuando \(s\longrightarrow 0, \qquad M_{s}(\varphi)\longrightarrow 1\)

Si reescribimos la variable radial

\(\rho = \rho \prime M_{s}(\varphi)\quad d\rho =d\rho \prime M_{s}(\varphi) \)

Entonces la ecuación de la función de apertura puede ser escrita independiente del ángulo \(\varphi\)

\(U(\rho\prime)=\{ ^{1\quad para \quad \rho\prime < a}_{0 \quad para\quad \rho\prime >a} \)

Tal que

\(\mathcal{A}(a,\varphi)=\mathcal{A}(\rho\prime,\varphi)=U(\rho\prime)U(\phi)=U(\rho\prime)\) \(\varphi\)

Entonces la transformada de Fourier de un circulo-cuadrado es[2]

\(E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)\int_{0}^{2\pi}M_{s}^{2}(\varphi) e^{\imath (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}d\rho\prime d\varphi \)\

Círculo.

Si ponemos \(s=0\) entonces \(M_{s}(\varphi)=1\) y obtenemos

\(\begin{alignat}{4} E(k_{q},K_{\phi})&=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[\int_{0}^{2\pi}(\varphi) e^{\imath (kq\rho \prime /R) \cos(\varphi-\phi)} d\varphi]d\rho\prime \\ &=&\int_{0}^{\infty}\rho \prime U(\rho\prime)[J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\\ &=&\int_{0}^{a}\rho \prime [J_{0}(k q \rho\prime/R)]d\rho\prime\\ &=&(R/kqa)J_{1}(kqa/R)\\ \end{alignat} \)

Y recobramos el resultado ya presentado

Cuadrado.

Obtenemos un cuadrado para \(s=1\)

Por consideraciones de simetría y tomando la parte real de la transformada de Fourier para el circulo-cuadrado obtenemos

\(E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{3\pi /4}M_{s}^{2}(\varphi) \cos[ { (kq\rho \prime M_{s}(\varphi)/R) \cos(\varphi-\phi)}]d\rho\prime d\varphi \)

Tomando en cuenta que la función angular del cuadrado es

\(M_{s=1}(\varphi)=\{^{\frac{1}{|\cos \varphi|} \quad para \quad -\pi/4 \quad a\quad (\pi/4)+n\pi} _{\frac{1}{|\sin \varphi|}\quad para \quad \pi/4 \quad a\quad (3\pi/4)+n\pi} \)

Tenemos entonces que

\(E(k_{q},K_{\phi})=\int_{0}^{a}\rho \prime \int_{-\pi/4}^{\pi /4} \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\cos\phi+\sin\phi\tan\varphi]}{\cos^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime + \int_{0}^{a}\rho \prime \int_{\pi/4}^{3\pi /4} \frac{\cos [(kq\rho\prime/R) (\sin\phi+\cos\phi\cot\varphi)]}{\sin^{2}\varphi} d\varphi d\rho\prime \)

Nombramos la primera de la ecuación \(G_{1}\),y la segunda parte \(G_{2}\) quedando

\(E(k_{q},K_{\phi})=G_{1}+G_{2} \)

Haciendo las integrales angulares

\(G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi} \int_{0}^{a}\sin[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\cos[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] \) \(G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi} \int_{0}^{a}\cos[(kq\rho\prime/R)\sin\phi]\sin[(kq\rho\prime/R)\cos\phi] \)

Integrando nuevamente

\(G_{1}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\sin\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi-cos\phi)]}{\sin\phi-\cos\phi}) \) \(+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] \)

\(G_{2}=\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi}[(\frac{1-\cos[kqa/R(\cos\phi-\sin\phi)]}{\cos\phi-\sin\phi}) \) \(+(\frac{1-\cos[kqa/R(\sin\phi+\cos\phi)]}{\sin\phi+\cos\phi})] \)

Sumando \(G_{1}+G_{2}\) tenemos

\( \begin{array}{lcl} E(k_{q},K_{\phi})&=&G_{1}+G_{2}\\ &=&\frac{4}{(kq/R)^{2}\cos\phi\sin\phi}[\sin(kqa/R\sin\phi)\sin(kqa/R\cos\phi)]\\ &=&4a^{2}\mathrm{sinc}(kqa/R \sin\phi)\mathrm{sinc} (kqa/R\cos\phi)\\ \end{array} \)

como

\(z=\rho \cos \varphi, Z=q\cos \phi\)

\(y=\rho \sin \varphi, Y=q\sin \phi\)

Obtenemos finalmente

\(E(k_{q},k_{\phi})=4a^{2}\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Y]\mathrm{sinc}[(ka/R)\quad Z]\)

Que es la ecuación para el campo de un cuadrado.

Valores Intermedios de \(S\).

Figura2. Variación de s para la ecuación del círculo-cuadrado

Las soluciones para los valores intermedios de la ecuación (1) pueden observarse en la Fig7. en donde se realizo una simulación para valores de \(s\) entre \(0\) y \(1\). Podemos ver como poco a poco pasamos de un círculo a un cuadrado.

La distribución para la amplitud del campo se realizo calculando primeramente la integral angular para la transformada de Fourier y se hizo una animación variando el parametro \(S\) como se presenta en la Fig8.

Figura9. Variación de s para la distribucion de l campo

En las figuras subsecuentes se muestra la distribución del campo para varios valores de \(S\) asi como la curva de nivel del campo.













Variación con el parámetro de cuadradez \(S\).

Aqui se muestra una serie de imágenes con distintos párametros de cuadradez. El eje vertical representa intensidad, mientras que los otros dos ejes ortogonales representan posición bidimensional.

  1. Manuel Fernandez Guasti,Analytic geometry of some rectilinear figures,INT.J.MATH.EDUC.SCI.TECHNOL., 1992, VOL.23,No.6
  2. M. Fernandez Guasti y M. de la Cruz Heredia,Difracction pattern of a circle/square aperture, JOURNAL OF MODERN OPTICS, 1993, VOL.40,No.6

--Mfgwi (discusión) 13:43 6 dic 2019 (CST)

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