Compleja:z-ej-cap1.1

La topología del plano complejo

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1

$Seaz\in \mathbb {C}$ y $n\geq 2$ Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

z^{n}=1

i escribimos en la forma polar

z^{n}=r^{n}e^{in\theta }

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

r^{n}=1

y

(\exists k\in Z)n\theta =2k\pi

Como $r\geq 0$ es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre $\theta$ es:

(\exists k\in Z)\theta ={\frac {2k\pi }{n}}

Obtenemos que todos los complejos de la forma $z=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$ son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos $r\in$ {0,1,...,n-1), $k=r+nl$ con $l\in Z$ . Entonces

e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}+{2l\pi }}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}*1=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}

Así, todos los posibles valores de $\theta$ dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}\qquad

(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma $z=z_{0}e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$ = $cos{\frac {2k\pi }{n}}+isen{\frac {2k\pi }{n}}$ Como multiplicar por w es un giro de amplitud ${\frac {2\pi }{n}}$ , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, $z_{0}$ (con $z_{0}$ =1), con giros sucesivos de amplitud ${\frac {2\pi }{n}}$ $\therefore$ cuando $n\geq 3$ , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos $w_{n}=e^{i{\frac {2k\pi }{n}}}$ vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,

w_{n}

,

w_{n}^{2}

,...,

w_{n}^{n-1}

1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica: $u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.$

Demostración

Sea $u\in \mathbb {C}$ , se observa que: $1-u^{n}=(u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1)(1-u)$ entonces: $u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1={\frac {1-u^{n}}{1-u}}$ Si tomamos a u como la raíz n-ésimas de 1, excepto $u=1$ , se tiene que $1-u^{n}=0$ & $1-u\neq 0$ Por lo tanto: $u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.$ --Sabino (discusión) 20:58 13 nov 2012 (UTC)

1.16.- Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto. Demostrar

$P\in B(P_{0})$

$SeaP_{0}\in B,y_{0}>0.Elegimosr=y_{0}$

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Si $v_{0}=(x_{0},y_{0})\in V\qquad \therefore \qquad y_{0}\geq 0$ Entonces se debe mostrar que hay una bola abierta $B_{1}(v_{0},v)$ contenida en el plano superior.

Sea $v_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ se tiene entonces que $y_{0}\geq 0$ . Elegimos $r=y_{0}$ consideremos la bola abierta $B_{1}({v_{0}},y_{0})$ , sea ${\overline {v}}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})$ se tiene entonces que $||{\overline {v}}-{\overline {v_{0}}}||\geq y_{0}$ . Es decir $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\geq y_{0}$ y queremos ver que $y\geq 0$ , procederemos por contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}\geq y_{0}

Esto es una contradicción

\therefore \qquad y\geq 0

y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)

1.18 Describa los siguientes subconjuntos de $\mathbb {C}$

a) ${z\in \mathbb {C} :Im(z)>0}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. $\therefore$ la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b) ${z\in \mathbb {C} :Re(z)>{\frac {3}{2}}}$ Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ , z=a+ib. Si la parte ${Re(z)>{\frac {3}{2}}}$ , entonces $|a|>{\frac {3}{2}}$ $\therefore$ la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical $a>{\frac {3}{2}}$

c) ${z\in \mathbb {C} :|z-1|\leq 2}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1| $\leq 2$ $\Rightarrow$ | $a-1+b$ | $\leq 2$ $\Rightarrow$ $(a-1)^{2}+b^{2}$ $\leq 4$

$\therefore$ Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d) $z\in \mathbb {C} :|z+1|>2$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 $\Rightarrow$ | $a-1+b$ |>2 $\Rightarrow$ $(a-1)^{2}+b^{2}$ > 4 $\therefore$ Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e) $z\in \mathbb {C} :Im(z)>0,{\frac {-1}{2}}\leq Re(z)\leq {\frac {1}{2}}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, como b>0 y ${\frac {-1}{2}}\leq a\leq {\frac {1}{2}}$ $\therefore$ $z\in ({\frac {-1}{2}},{\frac {1}{2}})$

f) $z\in \mathbb {C} :Im(z)>0,{\frac {-1}{2}}\leq Re(z)\leq {\frac {1}{2}}$ , $|z|\geq 1$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, como b>0 y ${\frac {-1}{2}}\leq a\leq {\frac {1}{2}}$ , $|z|\geq 1$ , entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1 $\therefore$ $z\in$ $(-\infty ,-1)$ $\bigcup$ $(1,\infty )$

Cesar (discusión)

1.19 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ . Demuestre que:

(a) $\Omega$ es abierto si y sólo si $\Omega ^{0}=\Omega$ .

(b) $\Omega$ es cerrado si y sólo si $\Omega ^{-}=\Omega$ .

(a) Si $\Omega$ es abierto, entonces para cada z ∈ $\Omega$ existe un $\epsilon >0$ tal que $B(x,\epsilon )\subset \Omega$ . Vemos que la unión de todas las bolas $B(x,\epsilon )$ es $\Omega$ . Además, esta unión es igual al interior de $\Omega$ a saber, $\Omega ^{0}$ , puesto que para cualquier subconjunto abierto $A$ de $\Omega$ se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego $\Omega ^{0}=\Omega$ .

Por otro lado, si $\Omega ^{0}=\Omega$ , entonces $\Omega$ es abierto por que $\Omega ^{0}$ es abierto.

(b) Si $\Omega$ es cerrado, entonces $\bigcap \left\{A:A{\mbox{ es cerrado y }}A\supset \Omega \right\}=\Omega ^{-}=\Omega$ , por que $\Omega$ es el superconjunto cerrado más pequeño de $\Omega$ .

Por otra parte, si $\Omega ^{-}=\Omega$ entonces $\Omega$ es cerrado debido a que $\Omega ^{-}$ es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)

1.20 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ . Demuestre que:

(a) $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ .

(b) $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ .

(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .

(a)

P.D. $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$

Sabemos que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Entonces $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega$ y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$ , pues el interior de un conjunto ( $\Omega ^{0}$ ) es el mayor abierto contenido en ese conjunto ( $\Omega$ )

P.D. $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ .

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que $\Omega ^{0}\subseteq \Omega$ .

Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de $\Omega$ .

Tenemos entonces que $(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \mathbb {C} -\Omega ^{0}$ , de donde $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ .

Ya que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$ y $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ , podemos decir que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ .

(b)

Sabemos que $\Omega ^{-}=[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}$ .

Ahora, del inciso anterior, $(\mathbb {C} -\mathrm {X} )^{-}=\mathbb {C} -\mathrm {X} ^{0}$ , si $\mathrm {X} \subseteq \mathbb {C}$ . Sea $\mathrm {X} =\mathbb {C} -\Omega$ ,

entonces: $[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ .

Y así $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ .

(c)

Tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que $\Omega \subseteq \Omega ^{-}$ )

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior $\Omega ^{0}$ ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con $\Omega$ , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en $\mathbb {C} -\Omega$ ). El exterior de $\Omega$ es el interior de $\mathbb {C} -\Omega$ , o sea el conjunto $(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ .

Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ y del inciso (b) que $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ .

De tal forma que $\mathbb {C} -\Omega ^{0}\cap \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}=(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\cap \Omega ^{-}$ .

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)

1.21 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ . Demuestre que:

(a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{0} si y sólo si existe $\epsilon >0$ tal que $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega$ .

Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} entonces existe un $\epsilon >0$ tal que $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega ^{0}$ , por que $\Omega ^{0}$ es abierto. Como $\Omega ^{0}\subseteq \Omega$ , resulta que $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega$ . En la otra dirección, si $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega$ para algún $\epsilon >0$ , entonces por ser $B(z;\epsilon )$ un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} , por que $\Omega ^{0}$ es la unión de todos los subconjuntos abiertos de $\Omega$

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{-} si y sólo si para todo $\epsilon >0$ se tiene que $B(z;\epsilon )\cap \Omega \neq \emptyset$

Supóngase que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{-} , por 1.20 (b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}) y de este modo $z\notin (\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ . Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada $\epsilon >0$ , $B(z;\epsilon )\nsubseteq (\mathbb {C} -\Omega )$ . De esta forma, para cada $\epsilon >0$ hay un punto $w\in B(z;\epsilon )$ que no pertenece a $(\mathbb {C} -\Omega )$ , con lo cual $w\in \Omega$ , y así $w\in (B(z;\epsilon )\cap \Omega )$ . Ahora supóngase que $z\notin \Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ , entonces $z\in (\mathbb {C} -\Omega )^{0}$ , y por el inciso anterior existe un $\epsilon >0$ tal que $B(z;\epsilon )\subseteq (\mathbb {C} -\Omega )$ . De esto se obtiene que $B(z;\epsilon )\cap \Omega \neq \emptyset$ .

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)

1.23 Si $A\subseteq \Omega$ es abierto relativo, demuestre que $\Omega -A\subseteq \Omega$ es cerrado relativo. Demuestre también que si $F\subseteq \Omega$ es cerrado relativo, entonces $\Omega -F\subseteq \Omega$ es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto $A\subseteq \Omega$ es abierto relativo en $\Omega$ si existe un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Á\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=Á\cap\Omega} .

* Se dice que un subconjunto cerrado $A\subseteq \Omega$ es cerrado relativo en $\Omega$ si existe un conjunto cerrado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ã\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=Ã\cap\Omega} .

También sabemos que los conjuntos cerrados son complementarios de los abiertos, y reciprocamente; es decir para cualquiera que sea $A\subseteq \Omega$ , se verifica que (nótese que las dos relaciones siguientes son, en realidad una sola):

$A$ es abierto $\Leftrightarrow \Omega -A$ es cerrado

$A$ es cerrado $\Leftrightarrow \Omega -A$ es abierto

Por lo tanto de lo anterior si A es abierto relativo, entonces $\Omega -A\subseteq \Omega$ es cerrado relativo

Demuestre también que si Error al representar (función desconocida «\F»): {\displaystyle \F\subseteq\Omega} es cerrado relativo, entonces $\Omega -F\subseteq \Omega$ es abierto relativo.

Se demuestra de manera similar a lo anterior.

--Farfan altamirano Luis AntonioLuis Antonio (discusión) 22:26 11 nov 2012 (UTC)

1.24 Demuestre que $I\subseteq \mathbb {R}$ es conexo si y sólo si $I$ es un intervalo.

Sea $I=[a,b],a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , y sea $A$ un subconjunto abierto de $I$ tal que $a\in A$ y $A\neq I$ (como $a\in A$ , $A$ no es abierto en $\mathbb {R}$ , pero si en $I$ , es decir, $A$ es abierto relativo a $I$ ). Si se prueba que $A$ no es también cerrado, entonces se habrá probado que $I$ es conexo.

Puesto que $A$ es abierto, existe un $\epsilon >0$ tal que $[a,a+\epsilon )\subset A$ . Sea $r$ el mayor $\epsilon$ para el cual $[a,a+\epsilon )\subset A$ , es decir $r=sup\left\{\epsilon :[a,a+\epsilon )\subset A\right\}$ . De este modo se tiene que $[a,a+r)\subset A$ , pero $a+r\notin A$ , por que de lo contrario, puesto que $A$ es abierto, habría un $\delta >0$ tal que $[a,a+r+\delta )\subset A$ , contradiciendo la definición de $r$ . Luego $a+r\notin A$ , y por tanto $a+r\in I-A$ . Si $A$ es también cerrado, entonces $I-A$ es abierto, y por tanto se puede encontrar un $\delta >0$ tal que $[a+r-\delta ,a+r+\delta )\subset I-A$ , lo cual contradice el hecho de que $[a,a+r)\subset A$ . Por lo tanto, $A$ no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que $I$ no es un intervalo, entonces existen dos puntos $a,b\in I,a<b$ , tal que $(a,b)\nsubseteq I$ (un teorema afirma que $I$ es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos $a,b\in I$ , con $a<b$ se tiene que $(a,b)\subset I$ ). Entonces, existe un punto $c\notin I$ tal que $a<c<b$ . Como $a\in (-\infty ,c)$ y $b\in (c,\infty )$ se tiene que $I=(I\cap (-\infty ,c))\cup (I\cap (c,\infty ))$ , donde $(I\cap (-\infty ,c))$ y $(I\cap (c,\infty ))$ son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, $I$ no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)

1.25 Un subconjunto $A\subseteq \mathbb {C}$ se dice que es convexo si para cualquiera dos puntos $z,w\in$ $A$ se tiene que el segmento $[z,w]\subseteq$ $A$ .

(1) Demuestre que cualquier disco abierto o cerrado es convexo.

(2) Demuestre que cualquier semiplano abierto o cerrado es convexo.

(3) Demuestre que la intersección de cualquier familia de subconjuntos convexos es convexa.

Demostración

(1) Por definición $[z,w]:=$ { $tw+(1-t)z:0\leq t\leq 1$ }

Sean $z,w\in B(x,r)\subseteq \mathbb {C}$ , entonces $|x-z|<r$ ; $|x-w|<r$ .......................(*)

Sea $v_{t}\in \mathbb {C}$ arbitrario, pero fijo definido por $v_{t}=tw+(1-t)z$ , así todo punto del segmento [z,w] esta representado por $v_{t}$ .

Por otra parte

$|x-v_{t}|=|x-tw-(1-t)z|=|x-tw-z+tz|$ al sumar y restar $tx$ se tiene que $|x-v_{t}|=|x-tw-z+tz+tx-tx|$ agrupando y factorizando

$|x-v_{t}|=|(x-z)(1-t)+(tx-tw)|$ aplicando la desigualdad del triángiulo

$|x-v_{t}|\leq |(x-z)(1-t)|+|tx-tw|$ n Como $0\leq t\leq 1$ , entonces $0\leq {1-t}\leq 1$ y de las propiedades del valor absoluto tenemos que $|x-v_{t}|\leq (1-t)|x-z|+t|x-w|$ aplicando (*)

$|x-v_{t}|<(1-t)r+tr=r-tr+t=r$ por lo que $v_{t}\in B(x,r)$ Como $v_{t}$ fue arbitrario, entonces $[z,w]\subseteq B(x,r)$

Así, hemos dado dos elementos $z,w\in B(x,r)$ cuyo segmento $[z,w]\in B(x,r)$

Por lo tanto, un disco abierto es convexo

Para un disco cerrado solo se reemplazan la desigualdad estricta de (*) por una desigualdad.

Sean $x,y\in H_{u}$ con $H_{u}$ un semiplano abierto generado por $u,v\in \mathbb {C} ,v\not =0$ , luego $Im(\displaystyle {\frac {x-w}{v}})>0$ & $Im(\displaystyle {\frac {y-w}{v}})>0$ (**)

Sea $z_{t}\in [x,y]$ arbitrario, entonces

$Im(\displaystyle {\frac {z_{t}-w}{v}})=Im(\displaystyle {\frac {ty+(1-t)x-w}{v}})$

$=Im(\displaystyle {\frac {ty+x-tx-w}{v}})=Im(\displaystyle {\frac {ty+x-tx-w+tw-tw}{v}})$ $=Im(\displaystyle {\frac {ty-tw+(1-t)(x-w)}{v}})=Im(\displaystyle {\frac {ty-tw}{v}})+Im(\displaystyle {\frac {(1-t)(x-w)}{v}})$

$=tIm(\displaystyle {\frac {y-w}{v}})+(1-t)Im(\displaystyle {\frac {x-w}{v}})$

Como $t\geq 0,1-t\geq 0$ y de (**) se tiene que $Im(\displaystyle {\frac {z_{t}-w}{v}})>0$ , como $z_{t}$ fue arbitrario, entonces $z_{t}\in H_{u}$

Por lo tanto un semiplano abierto es convexo.

Para el caso del semiplano cerrado basta con cambiar la condición (**).

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 19:17 22 nov 2012 (CST)

1.27 Si $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.

Tomemos una componente $\Omega {\text{´}}\subseteq \mathbb {C}$ y un punto $z_{0}\epsilon \Omega {\text{´}}$ , como $z_{0}\epsilon \Omega$ y $\Omega$ es abierto, existe un disco $B(z_{0};r)\subseteq \Omega$ . Recordando que un subconjunto $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos,tenemos que la unión $B(z_{0};r)\cup \Omega {\text{´}}$ por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a $\Omega {\text{´}}$ . Con esto se entiende que $B(z_{0};r)\subseteq \Omega {\text{´}}$ y por tanto $\Omega {\text{´}}$ es abierto.