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1.4) Si \(a\in \mathbb{R}\) demuestre que \(\omega(-a)\)=-\(\omega(a)\).

Y si \(a\neq 0\), demuestre que \(\omega (a^{-1})\)=\(\omega(a)^{-1}\)

Demostración

Sea \(\omega=a=(a,0)\), entonces \(\omega (-a)\)=-a \(\therefore\) \(\omega(-a)\)=\(-\omega(a)\)

y

\(\omega (a^{-1})\)=\(\frac{1}{a}\) \(\Rightarrow\) \(\omega (a^{-1})\)=\(\frac{1}{\omega (a)}\) \(\therefore\) \(\omega (a^{-1})\)=\(\omega(a)^{-1}\)


Sean \( w,z\in{C} \) Demostrar que:

a)\( ||z||=||\overline{z}||\)


Demostración


Sea \(\overline{z}=a-ib\qquad y\qquad z=a+ib \) entonces

\(||\overline{z}||= \sqrt{a^2+(-b)^2}\qquad y \qquad||z||=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\therefore \qquad ||z||=||\overline{z}||\)


b) \(\qquad||zw||=||z||||w||\)

Demostración

\(||zw||^2=(zw)(\overline{zw})\)

\(||zw||^2=(z\overline{w})(w\overline{z})\)

\(\qquad ||zw||^2=||z||^2||w||^2\)

\(\therefore\qquad ||zw||=||z||||w||\)


c) \(\qquad ||z+w||\leq ||z||+||w||\)

Demostración

\(||z+w||^2=(z+w)(\overline{w+z})\)

\(||z+w||^2=(z+w)(\overline{w}+\overline{z})\)

\(||z+w||^2=z\overline{z}+z \overline{w})+w \overline{z}+w \overline{w}\)

\(\qquad ||z+w||^2=||z||^2+2Re(zw)+||w||^2\)

\(\qquad ||z+w||^2\leq||z||^2+2||z||||w||+||w||^2\)

\(\qquad ||z+w||^2\leq(||z||+||w||)^2\)

\(\therefore\qquad ||z+w||\leq||z||+||w||\)


d) \(||z-w||\geq||z||-||w||\)

Demostración

\(\qquad ||z||=||(z-w)+w||\)

\(||z||\leq||z-w||+||w||\)

\(\therefore\qquad ||z||-||w||\leq||z-w||\)


Si z=a+ib, demuestre que \(Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2} \qquad y \qquad Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}\)

Demostración

a) \(\qquad \frac{z+\overline{z}}{2}= \frac{a+ib+(a-ib)}{2}\)

\(\frac{z+\overline{z}}{2}= \frac{2a}{2}\)

\(\therefore \qquad \frac{z+\overline{z}}{2}=Re(a)\)

b)\(\qquad \frac{z-\overline{z}}{2i}= \frac{a+ib-(a-ib)}{2i}\)

\(\frac{z+\overline{z}}{2i}= \frac{2ib}{2i}\)

\(\therefore \qquad \frac{z+\overline{z}}{2i}=Im(z)\)



LEYES DE MORGAN

1) \((A \cup B)^C=A^C \cap B^C\)
Demostración
Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:
\[ x\in (A \cup B)^C \Leftrightarrow x\notin (A \cup B)\]
\[\Leftrightarrow \neg(x\in (A\cup B)) \]
\[\Leftrightarrow \neg(x\in A \vee x\in B) \]
\[\Leftrightarrow x\notin A \wedge x\notin B \]
\[\Leftrightarrow (x\in A^C) \wedge (x \in B^C) \]
\[\Leftrightarrow x\in (A^C \cap B^C)\]
al ser x arbitrario
\[ \forall x : x\in ((A \cup B)^C) \Leftrightarrow x\in (A^C \cap B^C) \]
\[ \therefore (A \cup B)^C=A^C \cap B^C \]
2) \((A \cap B)^C=A^C \cup B^C \)
Demostración
Sea un x arbitrario del conjunto universal, entonces:
\[ x\in (A \cap B)^C \Leftrightarrow x\notin (A \cap B)\]
\[\Leftrightarrow \neg(x\in (A\cap B)) \]
\[\Leftrightarrow \neg(x\in A \wedge x\in B) \]
\[\Leftrightarrow x\notin A \vee x\notin B \]
\[\Leftrightarrow (x\in A^C) \vee (x \in B^C) \]
\[\Leftrightarrow x\in (A^C \cup B^C)\]
al ser x arbitrario
\[ \forall x : x\in ((A \cap B)^C) \Leftrightarrow x\in (A^C \cup B^C) \]
\[ \therefore (A \cap B)^C=A^C \cup B^C \]

1.18 Describa los siguientes subconjuntos de \( \mathbb{C} \)

a)\({z\in \mathbb{C}: Im(z)>0}\)

Solución

Sea \(z\in \mathbb{C}\), z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. \(\therefore\) la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b)\({z\in \mathbb{C}: Re(z)>\frac{3}{2}} \) Solución

Sea \(z\in \mathbb{C}\), z=a+ib. Si la parte \({Re(z)>\frac{3}{2}}\), entonces \(|a|>\frac{3}{2}\) \(\therefore\) la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical \(a>\frac{3}{2}\)

c)\({z\in \mathbb{C}: |z-1|\leq2}\)

Solución

Sea \(z\in \mathbb{C}\) y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|\(\leq 2\) \(\Rightarrow\)|\(a-1+b\)|\(\leq 2\) \(\Rightarrow\)\((a-1)^2+b^2\)\(\leq 4\)

\(\therefore\) Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d) \(z\in \mathbb{C}:|z+1|>2\)

Solución

Sea \(z\in \mathbb{C}\) y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 \(\Rightarrow\)|\(a-1+b\)|>2 \(\Rightarrow\)\((a-1)^2+b^2\)> 4 \(\therefore\) Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e) \(z\in \mathbb{C}:Im(z)>0, \frac{-1}{2}\leq Re(z)\leq \frac{1}{2}\)

Solución

Sea \(z\in \mathbb{C}\) y z=a+ib, como b>0 y \(\frac{-1}{2}\leq a\leq \frac{1}{2}\) \(\therefore\)\(z\in (\frac{-1}{2},\frac{1}{2})\)

f) \(z\in \mathbb{C}:Im(z)>0, \frac{-1}{2}\leq Re(z)\leq \frac{1}{2}\),\(|z|\geq 1\)

Solución

Sea \(z\in \mathbb{C}\) y z=a+ib, como b>0 y \(\frac{-1}{2}\leq a\leq \frac{1}{2}\), \(|z|\geq 1\), entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1 \(\therefore\)\(z\in\)\((-\infty,-1)\)\(\bigcup\) \((1,\infty)\)



1.35 Demuestre que si \(\sum_{n=0}^{\infty} z_{n}\) es convergente, entonces la sucesión \(\{z_{n}\}\) converge a 0.La afirmación recíproca es falsa: considere la serie armónica \( \sum_{n=0}^{\infty} 1/n \)

Demostración: Para k grande \( a_{k}=S_{k}-S_{k-1} \) entonces\[ \lim_{k \to \infty} a_{k}= \lim_{k \to \infty} (S_{k}-S_{k-1}) \] \( \textrm{Si S es suma de la serie } \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \textrm{ entonces } \lim_{k \to \infty}S_{k}=S\) \( \textrm{ donde }\lim_{k\to\infty}a_{k} = \lim_{k \to \infty} (S_{k}-S_{k-1}) =S-S=0\)



2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas \( f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2\)

Solucion:
Sea \( f(z)=z^92 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 \) donde\[u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy\]
Derivando parcialmente\[ u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y \]

\( v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x \):

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann

2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas \( f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2\) Solucion\[ f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 \] Entonces:

Si z=0

\[ f' (0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0 \]

Si z \ne 0

\[ f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h} \]

Si \( h\in \mathbb{R} \) tenemos:
\[ \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z \]
Si \( h=ir \textrm{ con } r>0 \) entonces:
\[ \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z \]
como \( z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z \)

\[ \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0 \]