Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap6.1»
Línea 613: | Línea 613: | ||
Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$ | Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$ | ||
$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{\frac{1}{2}i^{n+1}}{\frac{1}{2}i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | \frac{i^{n+1}}{i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | i^{n+1-n} \right |$ | |||
Revisión del 07:43 12 feb 2023
Ejercicios del capítulo 6, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 6.1
Ejercicio 1
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada
${5i^{n}}$
Procedimiento
Si $z_{n}=5i^{n}$
Entonces para $n=1,2,3,4,5.$, tenemos los siguientes resultados
Para $z_{1}=5i$
Para $z_{2}=-5$
Para $z_{3}=-5i$
Para $z_{4}=5$
Para $z_{5}=5i$
Por lo tanto la sucesión $z_{n}=5i^{n}$ converge ya que
$\lim_{n\to\infty}{\left\{5i^{n}\right\}}=0$
como vemos en
Solución
$\left \{ 5i, -5, -5i, 5, 5i \right \}$
Comentario por:Tlacaelel Cruz (discusión) 17:53 2 jul 2015 (CDT) El límite como tal no tiende a 0, pero la sucesión no diverge; en todo caso se dice que esta acotado pero no por eso es 0
Elaborado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:27 26 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada.
$2+(-i)^{n}$
Procedimiento
Para $n=1$
$2+(-i)^{1}=2-i$
Para $n=2$
$2+(-i)^{2}=1$
Para $n=3$
$2+(-i)^{3}=2+i$
Para $n=4$
$2+(-i)^{4}=3$
Para $n=5$
$2+(-i)^{5}=2-i$
Solución
Finalmente para $n=1,2,3,4,5$ tenemos los resultados $\left \{ 2-i,1,2+i,3,2-i \right \}$ respectivamente.
Elaborado porFernando Vazquez V. (discusión) 18:06 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada
${1 + e ^{n\pi i}}$
Procedimiento
Si $z_{n}= {1 + e ^{n\pi i}} $
Sustituimos $n=1,2,3,4,5.$ en $z_{n}$:
$n=1$
$z_{1}= {1 + e ^{ \pi i}} = 1 + (cos \pi + isen \pi) = 1+(-1)=0$
$n=2$
$z_{2}= {1 + e ^{2 \pi i}} = 1 + (cos 2\pi + isen 2\pi) = 1+(1)=2$
$n=3$
$z_{3}= {1 + e ^{ 3\pi i}} = 1 + (cos 3\pi + isen 3\pi) = 1+(-1)=0$
$n=4$
$z_{4}= {1 + e ^{ 4\pi i}} = 1 + (cos 4\pi + isen 4\pi) = 1+(1)=2$
$n=5$
$z_{5}= {1 + e ^{ 5\pi i}} = 1 + (cos 5\pi + isen 5\pi) = 1+(-1)=0$
Solución
Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ {1 + e ^{n\pi i}} $ son:
$\left \{ 0,2,0,2,0 \right \}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 23:48 26 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada
$\left \{(1+i)^{n}\right \}$
Procedimiento
Sea $z=i+i$
Escribiendo en su forma polar, se tiene que:
$\left |z \right |=\sqrt{1+1}=\sqrt2$
Y el $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$
Por lo que
$z=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$
Por lo que la sucesión, se puede escribir, como:
$\left \{ \left (\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}} \right )^{n} \right \}$
Para:
$n=1$
$z_{1}=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}=(1+i)$
$n=2$
$z_{2}=\sqrt{2}^{2} e^{i\frac{2\pi}{4}}=2i$
$n=3$
$z_{3}=\sqrt{2}^{3} e^{i\frac{3\pi}{4}}=2(-1+i)$
$n=4$
$z_{4}= \sqrt{2}^{4} e^{i\frac{4\pi}{4}}=-4$
$n=5$
$z_{5}= \sqrt{2}^{5} e^{i\frac{5\pi}{4}}=4(-1-i)$
En el ultimo paso se utilizo la forma trigonométrica del numero polar.
Solución
Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ \left \{(1+i)^{n}\right \}$ son:
$\left \{ (1+i),2i,2(-1+i),-4,4(-1-i) \right \}$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 5
Determine si $\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}$ converge o no.
Procedimiento
Si la sucesión converge: \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=L=a+ib \] \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(3ni+2)(1-i)}{n(1+i)(1-i)}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(2+3n)+i(-2+3n)}{2n}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\left(\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right)+i\left(-\frac{1}{n}+\frac{3}{2} \right)\right\}} \] \[ =\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}+i\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}=\frac{3}{2}+i\frac{3}{2}=L=a+ib \]
Solución
\[ \therefore \left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\} \; es \, convergente \]
Tlacaelel Cruz (discusión) 20:23 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Determine si la sucesión $\left\{\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}\right\}$ converge o diverge.
Teorema 6.1.1. Criterio para la convergencia
Una sucesión $\left\{z_{n}\right\}$ converge a un número complejo $L=a+ib$ si y sólo si $Re(z_{n})$ converge a $Re(L)=a$ e $Im(L)=b$.
Procedimiento
De
\[
z_{n}=\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}=\frac{(ni+2^n)(3ni-5^n)}{(3ni+5^n)(3ni-5^n)}=\frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 }-i \frac{2^n \;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2}
\]
vemos que
\[ Re(z_{n})= \frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 } \rightarrow 0 \]
\[
Im(z_{n})= -\frac{2^n\;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2} \rightarrow 0
\]
Solución
Conforme $n\rightarrow{}\infty$. Del teorema 6.1.1, los últimos resultados son suficientes para concluir que la sucesión dada converge a $a+ib=0+i0$.
Emmanuell Castro Flores (discusión) 17:11 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Determine si la sucesión dada diverge o converge.
${\frac{(ni+2)²}{n²i}}$
Procedimiento
Conocemos que:
$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=L=a+ib$
Desarrollando:
$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{-n²+4ni+4}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{i}+\frac{4}{n}+\frac{4}{n²i}\right\}}=-\frac{1}{i}$
Por lo cual la sucesión converge.
Anahi Limas (discusión) 22:58 26 jun 2015 (CDT)
ejercicio 8
Determinar si la sucesión dada diverge o converge
$\left\{ \frac{n\left(1+i^{n}\right)}{n+1}\right\} $
Procedimiento
desarrollamos y tenemos
$\frac{n}{n+1}+\frac{ni^{n}}{n+1}$
lo multiplicamos todo por $\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$ y nos da
$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$
sabemos que al resolver el límite lo podemos separar
Solución
$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$
en el segundo termino $\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$ no se aproxima a un número complejo fijo, va variando por lo tanto nuestra sucesión diverge
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:59 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Determinar si la sucesión dada diverge o converge
e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$...$\left(1\right)$
Procedimiento
Si:
$z_{n}=e^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$es una sucesión, converge a un número complejo $L=a+ib$
si y sólo si $Re\left(z_{n}\right)$converge a $Re\left(L\right)=a$ e $Im\left(z_{n}\right)$converge a $Im\left(L\right)=b$
Así, de la ecuación $\left(1\right)$se puede obervar que:
$Re\left(z_{n}\right)=e^{\frac{1}{n}}$
$Im\left(z_{n}\right)=2\left[\arctan\left(n\right)\right]$
Cuando $n\rightarrow\infty$
$e^{\frac{1}{n}}\rightarrow$1
$2\left[\arctan\left(n\right)\right]\rightarrow2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi$
Por lo tanto la sucesión:
e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$
Solución
Es convergente y converge a:
$L=a+ib=1+\pi i$
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:29 26 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
En los problemas 11 y 12, muestran que la secuencia dada ${z_n}$ converge a un número complejo $L$ mediante el cálculo de $\lim_{n\to\infty}$ $Re_(z_n)$ y $\lim_{n\to\infty}$ $Im_(z_n)$
${\frac{4n+3ni}{2n+i} } $
Procedimiento
Entonces:
Desarrollando: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{4n+3ni}{2n+i}\right\}} = \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(4n+3ni)(2n-i)}{(2n+i)(2n-i)}\right\}}= \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(8n^2+3n)+i(6n^2-4n)}{4n^2+1}\right\}}
$\lim_{n\to\infty}{\frac{8n^2+3n}{4n^2+1} + i \lim_{n\to\infty}\frac {6n^2-4n} {4n^2+1}} = 2 + i\frac {3}{2}$
Solución
Por lo tanto.
$\lim_{n\to\infty} Re_(z_n) = 2$ y $\lim_{n\to\infty} Im_(z_n)= i\frac {3}{2}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 01:04 27 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Utilice la secuencia de sumas parciales para demostrar que la serie dada es convergente,
Procedimiento
\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]\]
Para poder demostrar la convergencia de esta suma, bastara con darle algunos valores que nos dejen ver de manera clara la convergencia, y para esto descompondremos la suma en dos sumas, así tendremos;
dando algunos valores ala primera suma tendremos;
dando valores ala segunda suma;
Ahora restando la segunda suma a la primera, nos daremos cuenta que todos los términos se cancelan a excepción del primero y el ultimo, así obtendremos;
\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2i}-\frac{1}{n+1+2i}\]
de donde es evidente que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1+2i}=0$ (incluso se puede usar la regla de "L'Hôpital")
asi;
\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+2i}=\frac{1}{1+2i}\]
Expresando este ultimo termino en la forma $z=a+bi$ esto es multiplicando y dividiendo por su conjugado tendremos;
\[\frac{1}{1+2i}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]
Conclusión
La serie
$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]$ es convergente y converge a $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$
Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 02:37 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determine si la serie geométrica dada converge o diverge. Si converge, encuentre sus sumas
$\sum_{k=0}^{\infty} (1-i)^{k}$
Procedimiento
Haciendo uso del criterio de la raíz N-esima
$\sum_{k=0}^{\infty} (a_n) $ tal que $a_n \neq 0$ $\forall n$ y sea $\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|} = l$
Donde
$l = \begin{cases} <1 & \text{ la serie converge } \\
>1 & \text{ la serie diverge }\\
= 1 & \text{ la serie puede o no converger }\end{cases}$
Entonces aplicando este criterio a nuestra serie geométrica tenemos :
$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|}$
Con $a_n = {|1 - i|}^k$
$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{({|1 - i|}^k)} = \lim_{k \rightarrow \infty} {[{(\sqrt{2})}^k}]^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Conclusión
En este caso $l = \sqrt{2}$ como $l > 1$ la serie es divergente
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 21:52 27 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre su suma.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}$
Procedimiento
Sabemos que es una serie geométrica, osea es de la forma:
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=a+az+az^{2}+\cdots$
Entonces, primero encontramos las partes de la serie
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=4i+4i(\frac{1}{3})+4i(\frac{1}{3})^{2}+\cdots$
$a=4i$
$z=\frac{1}{3}$ $\Longrightarrow$ $|z|=\frac{1}{3}<1$
Por el ultimo argumento sabemos que la serie converge y se puede escribir como
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=\frac{a}{1-z}$
En nuestro caso
\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=\frac{4i}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4i}{\frac{2}{3}}=6i \]
Conclusión
Así, la serie es convergente y converge a:
\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}=6i \]
Fernando Vazquez V. (discusión) 20:02 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre sus suma.
Procedimiento
La serie infinita la escribimos como
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{i}{2}\right)^{k}=\frac{i}{2}+\left(\frac{i}{2}\right)^{2}+\left(\frac{i}{2}\right)^{3}+\cdots...(1)}
y tiene la forma de una serie geométrica
comparamos (2) con (1) y observamos que:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=\frac{i}{2}}
- donde vemos que
en el cuál “z” es menor que uno, lo que nos dice que la serie es convergente , y la suma de una serie geométrica esta dada por:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+\cdots+az^{n-1}+\cdots}
Observando el detalle que es el equivalente de (2).
Entonces sustituyendo , y simplificando se tiene finalmente que
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}3\left(\frac{2}{1+2i}\right)^{k}=\frac{\frac{i}{2}}{1-\left(\frac{i}{2}\right)}=\frac{\frac{i}{2}}{\frac{2-i}{2}}=\frac{2i}{2(2-i)}=\left(\frac{i}{2-i}\right)\left(\frac{2+i}{2+i}\right)=\frac{2i+i^{2}}{4-i^{2}}=\frac{-1+2i}{5}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i}
Conclusión
por lo tanto la serie geométrica converge en
Elaborado por Ricardo García Hernández --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:31 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 18
Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, hallar su suma .
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}i^{k}$
Procedimiento
Expandiendo la serie, se tiene que:
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}i^{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}i^{2}+\frac{1}{2}i^{3}+...$
Esta serie, es una serie geométrica, en la que se sabe que diverge, si $\left |z \right |\geqslant 1$
Sacando el radio de convergencia usando:
$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{z_{n+1}}{z_n} \right |=L$
Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$
$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{\frac{1}{2}i^{n+1}}{\frac{1}{2}i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | \frac{i^{n+1}}{i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | i^{n+1-n} \right |$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 19
Determinar si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su suma.
$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}$
Procedimiento
Para determinar si el convergente usamos el criterio de la convergencia para series geométricas de la forma:
$S_{n}=a+az+az^{2}+az^{3}.....$ de la cual siempre es posible encontrar una fórmula que la determine y la cual converge si
$S_{n}=L$ cuando $n\rightarrow\infty$ .
Para $S{}_{n}=\frac{a(1-z^{n})}{1-z}$
Tenemos que si $z^{n}\rightarrow o$ conforme $n\rightarrow\infty$ siempre que $|z|<1,$ y así ...
$\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$ .......(1)
Entonces analizando nuestra ecuación, vemos que está de la forma (1) identificando a:
$a=3$
$z=\frac{2}{1+2i}$
Entonces para obtener $|z|$ primero :
$z=\frac{2}{1+2i}(\frac{1-2i}{1-2i})=\frac{2(1-2i)}{5}=\frac{2}{5}-i\frac{4}{5}$
$\Longrightarrow|z|=\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(-\frac{4}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{20}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\Longrightarrow|z|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Por tanto, como $|z|<1,$ la serie es convergente y su suma está dada por $\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$
donde:
$\frac{3}{1-\frac{2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3+6i}{-1+2i}=\frac{(3+6i)(-1-2i)}{1+4}=\frac{-3+12-6i-6i}{5}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$
Conclusión
Por lo tanto, la serie converge a:
$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$
A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:12 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias.
$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-2i)^k+1}(z-2i)^k $
Procedimiento
De la serie se tiene que:
Resolviendo por la prueba de la raíz :
Por tanto de la prueba de la razón:
Donde el radio de convergencia está definido como :
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R=\sqrt{5}
Conclusión
Por tanto el círculo de convergencia es:
El circulo de convergencia esta centrado en 2i y tiene un radio de $\sqrt5$
Samantha Martinez (discusión) 23:27 27 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 23
Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k2^{k}}\left(z-1-i\right)^{k}$
Procedimiento
Resolveremos este problema con la prueba de razón dada por:
$\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|=L$ ...(1)
ademas sabemos que el radio es:
$R=\frac{1}{L}$ ... (2)
Sacamos los $a_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}$
Ahora usaremos (1) para resolver la potencia
$\underset{n\rightarrow\prime}{lim}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}}{\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}}\right|=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n2^{n}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n}{2n+2}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{1}{2+\frac{2}{n}}$
Aplicando el limite tenemos $L=\frac{1}{2}$
De (2) tenemos que
$R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
Conclusión
Por lo tanto $\left|z-1-i\right|=2$ y
El circulo esta centrado en $z_0=1+i$ y tiene radio$R=2$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:25 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Encuentre el circulo y el radio de convergencia de la serie de potencias
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(1+3i)^{k}(z-i)^{k}}
Procedimiento
Identificamos en la serie que:
Entonces aplicando el teorema de la prueba de la raíz en la forma
donde
y sabemos
- el radio de convergencia es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R=\frac{1}{L}
Entonces el radio de convergencia de la serie es
La serie de potencias converge absolutamente para
Conclusión
El circulo de convergencia es
Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:49 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 27
Identifique el radio de convergencia y el círculo de convergencia de
Procedimiento
Identificamos que a serie tiene la forma de , por lo que identificando a y
y
Por lo que el límite se obtiene como
Por lo que resolviendo para a tenemos que
El radio de convergencia está dado por y el círculo de convergencia está dado por
Por lo que concluimos que
y
Conclusión
Por lo que la serie converge absolutamente cuando
El circulo de convergencia esta centrado en $z_0=4+3i$ y tiene un radio de convergencia de 25
Pablo (discusión) 14:35 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 32
Demuestre que la serie de potencias $\sum_{k=1}^\infty\dfrac{z^k}{k^{2}}$ Converge en cada punto de su radio de convergencia
Procedimiento
Donde $|z^{k}/k^{2}| = 1/k^{2}$
\[
\sum_{k=1}^\infty |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}| = \sum_{k=1}^\infty |\dfrac{1}{n^{2}}| \]
Aplicando el criterio del cociente
\[
\lim_{n\rightarrow \infty} |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}|= \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{z^{n^{2}+1}/(n^{2}+1)}{z^{n}/n^{2}} =|z| \]
Convergencia absoluta en si $ |z=1|$
Por lo tanto
\[ |z|<1 converge\]
\[
|z|>1 diverge\]
Conclusión
Para $ |z=1|$ La serie converge absolutamente dentro de su radio de convergencia
Esther Sarai (discusión) 23:43 27 jun 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 35
Considerando la serie $\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta},0<r<1,$ demuestre que:
$\sum_{k=0}^{\infty}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}\;y\;\sum_{k=0}^{\infty}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}$
Procedimiento
si desarrollamos la serie :
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots$
si a esta serie la llamamos $f{}_{m}$ entonces:
$f{}_{m}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}...(1)$
si la multiplicamos por $re^{i\theta}$
$re^{i\theta}f{}_{m}=re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n}e^{in\theta}...(2)$
restando la serie $1$ de $2$
$f{}_{m}-re^{i\theta}f{}_{m}=1-r^{n}e^{in\theta}\Longleftrightarrow f{}_{m}=\frac{1-r^{n}e^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}$
escribiendo $f{}_{m}$ en su forma trigonométrica
$f{}_{m}=\frac{1-r^{n}\left[\cos n\theta+i\sin n\theta\right]}{1-r\left[\cos\theta+i\sin\theta\right]}=\frac{1-r^{n}\cos n\theta-ir^{n}\sin n\theta}{1-r\cos\theta-ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}$
multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador:
$f{}_{m}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}.\frac{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)(1-r\cos\theta)+(r^{n}\sin n\theta)(r\sin\theta)+i\left[(1-r^{n}\cos n\theta)(r\sin\theta)+(1-r\cos\theta)(-r^{n}\sin n\theta)\right]}{(1-r\cos\theta)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}=$
$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}\cos n\theta\cos\theta+r^{n+1}\sin n\theta\sin\theta+i\left[r\sin\theta-r^{n+1}\cos n\theta\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}\sin n\theta\cos\theta\right]}{1+r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}$
$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)+i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
de esto podemos ver que hay dos partes, la real y la imaginaria:
$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
$como\;0<r<1,\;entonces\;r^{n}\rightarrow0\;conforme\;n\rightarrow\infty$
así
$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
y
$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
de aquí que:
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\left[\cos k\theta+i\sin k\theta\right]=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta+\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}+i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
Conclusión
Al separar la parte real de la imaginaria tenemos:
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}\Longleftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
como se quería.
Francisco Medina Albino (discusión) 12:29 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 36
Supongamos que $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ converge. Analice: ¿Se deduce que al menos una de las sucesiones $\left\{ z_{n}\right\} \hspace{1em}o\hspace{1em}\left\{ w_{n}\right\} $ converge?
No necesariamente si $z_n$ converge y $w_n$ converge $z_n + w_n$ convergerá, pero que la suma converja no implica que cada una lo haga, por ejemplo:
\[ z_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}=1-z+\frac{z^2}{2!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}+\ldots \] Es una serie que diverge para $1\leq |z|$ y: \[ w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=-1+z-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}-\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots \] También diverge para $1\leq |z|$ \[ z_n + w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}+\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=\sum_{n=0}^{\infty} {[(-1)^n +(-1)^{n+1}]\, z^n}=0 \] que evidentemente no diverge
Conclusión
Por lo que si la suma converge $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ no lo hace necesariamente $\left \{ z_n \right \} \left \{ w_n \right \}$ alguna de ellas converge.
Tlacaelel Cruz (discusión) 18:10 2 jul 2015 (CDT)
Ejercicio 37
37. Una sucesión $\{z_n\} $ se dice que está acotada si el conjunto $S$ de todos los términos de la sucesión es un conjunto acotado:
a) Pruebe que la sucesión del ejemplo 2 está acotada. b) De otro ejemplo de sucesión compleja que esté acotada. c) De ejemplo de una sucesión que no esté acotada.
Solución:
a) La sucesión del ejemplo 2 es: $\{ \frac{3+ni}{n+2ni} \} $.
Ahora: $z_n=\frac{3+ni}{n+2ni}=\frac{3+ni}{n(1+2i)} \cdot \frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(3+2n)+(n-6)i}{5n} \Longrightarrow |z_n|=\frac{1}{5n}\sqrt{(3+2n)^2+(n-6)^2}=\frac{1}{5n}\sqrt{9+12n+4n^2+n^2-12n-36}=\frac{1}{5n}\sqrt{5n^2+45}=\frac{\sqrt{5}}{n}\sqrt{n^2+9}$.
Notemos ademas: $ (\forall n\in \mathbb{N}): 1\leq n^2 \Longleftrightarrow 9\leq 9n^2 \Longleftrightarrow n^2+9\leq 10n^2 \Longleftrightarrow \frac{1}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{10} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{50} \Longleftrightarrow |z_n|\leq \sqrt{50} $
Se ha exhibido un número real positivo que es mayor (ó igual) al módulo de cualquier término de la sucesión, por lo tanto la sucesión está acotada.
b) La sucesión: $\{\frac{n-i}{n+1}\}$ está acotada. En efecto, $\ |z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}$. Note además que $|z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}\leq 1 \Longleftrightarrow n^2+1 \leq n^2+2n+1 \Longleftrightarrow 0\leq 2n $.
c) Un ejemplo de sucesión no acotada es $\{n+ni\}$.
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:02 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 39
¿La sucesión {$i^{1/n}$}, donde $i^{1/n}$ denota la $n$-ésima vez raíz principal de $i$, converge?
Procedimiento
Si $lím_{n\longrightarrow \infty}z_n=L$, se dice que la sucesión {$z_n$} es convergente.
El problema menciona que {$i^{1/n}$} es la $n$-ésima raíz principal de $i$. Sea $z=i$ y $w=i^{1/n}$. De la fórmula para las raíces
$w_k=^n\sqrt{r}[\cos (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})]$
Con $|z|=1$ y $\theta = \frac{\pi}{2}$. Se busca la raíz principal, por lo que $k=0$. Así
$w_0=^n\sqrt{1}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]$
Hacemos tender al límite
$lím_{n\longrightarrow \infty}w_0=lím_{n\longrightarrow \infty} 1^{1/n}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]=1^0[\cos 0 +i\sin 0]=1$
Conclusión
Dado que $L=1$ concluimos que la sucesión converge.
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:56 3 jul 2015 (CDT)