Compleja:Zill-Cap6.1

Ejercicios del capítulo 6, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 6.1

Ejercicio 1

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

${5i^{n}}$

Procedimiento

Si $z_{n}=5i^{n}$

Entonces para $n=1,2,3,4,5.$, tenemos los siguientes resultados

Para $z_{1}=5i$

Para $z_{2}=-5$

Para $z_{3}=-5i$

Para $z_{4}=5$

Para $z_{5}=5i$

Por lo tanto la sucesión $z_{n}=5i^{n}$ converge ya que

$\lim_{n\to\infty}{\left\{5i^{n}\right\}}=0$

como vemos en

Solución

$\left \{ 5i, -5, -5i, 5, 5i \right \}$

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Comentario por:Tlacaelel Cruz (discusión) 17:53 2 jul 2015 (CDT) El límite como tal no tiende a 0, pero la sucesión no diverge; en todo caso se dice que esta acotado pero no por eso es 0

Elaborado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:27 26 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada.

$2+(-i)^{n}$

Procedimiento

Para $n=1$

$2+(-i)^{1}=2-i$

Para $n=2$

$2+(-i)^{2}=1$

Para $n=3$

$2+(-i)^{3}=2+i$

Para $n=4$

$2+(-i)^{4}=3$

Para $n=5$

$2+(-i)^{5}=2-i$

Solución

Finalmente para $n=1,2,3,4,5$ tenemos los resultados $\left \{ 2-i,1,2+i,3,2-i \right \}$ respectivamente.

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Elaborado porFernando Vazquez V. (discusión) 18:06 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

${1 + e ^{n\pi i}}$

Procedimiento

Si $z_{n}= {1 + e ^{n\pi i}} $

Sustituimos $n=1,2,3,4,5.$ en $z_{n}$:

$n=1$

$z_{1}= {1 + e ^{ \pi i}} = 1 + (cos \pi + isen \pi) = 1+(-1)=0$

$n=2$

$z_{2}= {1 + e ^{2 \pi i}} = 1 + (cos 2\pi + isen 2\pi) = 1+(1)=2$

$n=3$

$z_{3}= {1 + e ^{ 3\pi i}} = 1 + (cos 3\pi + isen 3\pi) = 1+(-1)=0$

$n=4$

$z_{4}= {1 + e ^{ 4\pi i}} = 1 + (cos 4\pi + isen 4\pi) = 1+(1)=2$

$n=5$

$z_{5}= {1 + e ^{ 5\pi i}} = 1 + (cos 5\pi + isen 5\pi) = 1+(-1)=0$

Solución

Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ {1 + e ^{n\pi i}} $ son:

$\left \{ 0,2,0,2,0 \right \}$

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Nancy Martínez Durán (discusión) 23:48 26 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada

$\left \{(1+i)^{n}\right \}$

Procedimiento

Sea $z=i+i$

Escribiendo en su forma polar, se tiene que:

$\left |z \right |=\sqrt{1+1}=\sqrt2$

Y el $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$

Por lo que

$z=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$

Por lo que la sucesión, se puede escribir, como:

$\left \{ \left (\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}} \right )^{n} \right \}$

Para:

$n=1$

$z_{1}=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}=(1+i)$

$n=2$

$z_{2}=\sqrt{2}^{2} e^{i\frac{2\pi}{4}}=2i$

$n=3$

$z_{3}=\sqrt{2}^{3} e^{i\frac{3\pi}{4}}=2(-1+i)$

$n=4$

$z_{4}= \sqrt{2}^{4} e^{i\frac{4\pi}{4}}=-4$

$n=5$

$z_{5}= \sqrt{2}^{5} e^{i\frac{5\pi}{4}}=4(-1-i)$

En el ultimo paso se utilizo la forma trigonométrica del numero polar.

Solución

Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ \left \{(1+i)^{n}\right \}$ son:

$\left \{ (1+i),2i,2(-1+i),-4,4(-1-i) \right \}$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 5

Determine si $\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}$ converge o no.

Procedimiento

Si la sucesión converge: \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=L=a+ib \] \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(3ni+2)(1-i)}{n(1+i)(1-i)}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(2+3n)+i(-2+3n)}{2n}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\left(\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right)+i\left(-\frac{1}{n}+\frac{3}{2} \right)\right\}} \] \[ =\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}+i\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}=\frac{3}{2}+i\frac{3}{2}=L=a+ib \]

Solución

\[ \therefore \left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\} \; es \, convergente \]

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Tlacaelel Cruz (discusión) 20:23 25 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 6

Determine si la sucesión $\left\{\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}\right\}$ converge o diverge.

Teorema 6.1.1. Criterio para la convergencia

Una sucesión $\left\{z_{n}\right\}$ converge a un número complejo $L=a+ib$ si y sólo si $Re(z_{n})$ converge a $Re(L)=a$ e $Im(L)=b$.

Procedimiento

De \[ z_{n}=\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}=\frac{(ni+2^n)(3ni-5^n)}{(3ni+5^n)(3ni-5^n)}=\frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 }-i \frac{2^n \;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2} \]

vemos que

\[ Re(z_{n})= \frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 } \rightarrow 0 \]

\[ Im(z_{n})= -\frac{2^n\;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2} \rightarrow 0 \]

Solución

Conforme $n\rightarrow{}\infty$. Del teorema 6.1.1, los últimos resultados son suficientes para concluir que la sucesión dada converge a $a+ib=0+i0$.

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Emmanuell Castro Flores (discusión) 17:11 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

Determine si la sucesión dada diverge o converge.

${\frac{(ni+2)²}{n²i}}$

Procedimiento

Conocemos que:

$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=L=a+ib$

Desarrollando:

$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{-n²+4ni+4}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{i}+\frac{4}{n}+\frac{4}{n²i}\right\}}=-\frac{1}{i}$

Por lo cual la sucesión converge.

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Anahi Limas (discusión) 22:58 26 jun 2015 (CDT)

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ejercicio 8

Determinar si la sucesión dada diverge o converge

$\left\{ \frac{n\left(1+i^{n}\right)}{n+1}\right\} $

Procedimiento

desarrollamos y tenemos

$\frac{n}{n+1}+\frac{ni^{n}}{n+1}$

lo multiplicamos todo por $\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$ y nos da

$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$

sabemos que al resolver el límite lo podemos separar

Solución

$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$

en el segundo termino $\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$ no se aproxima a un número complejo fijo, va variando por lo tanto nuestra sucesión diverge

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Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:59 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Determinar si la sucesión dada diverge o converge

e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$...$\left(1\right)$

Procedimiento

Si:

$z_{n}=e^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$es una sucesión, converge a un número complejo $L=a+ib$

si y sólo si $Re\left(z_{n}\right)$converge a $Re\left(L\right)=a$ e $Im\left(z_{n}\right)$converge a $Im\left(L\right)=b$

Así, de la ecuación $\left(1\right)$se puede obervar que:

$Re\left(z_{n}\right)=e^{\frac{1}{n}}$

$Im\left(z_{n}\right)=2\left[\arctan\left(n\right)\right]$

Cuando $n\rightarrow\infty$

$e^{\frac{1}{n}}\rightarrow$1

$2\left[\arctan\left(n\right)\right]\rightarrow2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi$

Por lo tanto la sucesión:

e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$

Solución

Es convergente y converge a:

$L=a+ib=1+\pi i$

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Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:29 26 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

En los problemas 11 y 12, muestran que la secuencia dada ${z_n}$ converge a un número complejo $L$ mediante el cálculo de $\lim_{n\to\infty}$ $Re_(z_n)$ y $\lim_{n\to\infty}$ $Im_(z_n)$

${\frac{4n+3ni}{2n+i} } $

Procedimiento

Entonces:

$\lim _{n\to \infty }{\left\{{\frac {4n+3ni}{2n+i}}\right\}}=L=a+ib$

Desarrollando: $\lim _{n\to \infty }{\left\{{\frac {4n+3ni}{2n+i}}\right\}}=\lim _{n\to \infty }{\left\{{\frac {(4n+3ni)(2n-i)}{(2n+i)(2n-i)}}\right\}}=\lim _{n\to \infty }{\left\{{\frac {(8n^{2}+3n)+i(6n^{2}-4n)}{4n^{2}+1}}\right\}}$

$\lim_{n\to\infty}{\frac{8n^2+3n}{4n^2+1} + i \lim_{n\to\infty}\frac {6n^2-4n} {4n^2+1}} = 2 + i\frac {3}{2}$

Solución

Por lo tanto.

$\lim_{n\to\infty} Re_(z_n) = 2$ y $\lim_{n\to\infty} Im_(z_n)= i\frac {3}{2}$

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Nancy Martínez Durán (discusión) 01:04 27 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Utilice la secuencia de sumas parciales para demostrar que la serie dada es convergente,

Procedimiento

\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]\]

Para poder demostrar la convergencia de esta suma, bastara con darle algunos valores que nos dejen ver de manera clara la convergencia, y para esto descompondremos la suma en dos sumas, así tendremos;

$\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {1}{k+2i}}-{\frac {1}{k+1+2i}}]=\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {1}{k+2i}}]-\sum _{k=1}^{\infty }[{\frac {1}{k+1+2i}}]$

dando algunos valores ala primera suma tendremos;

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+2i}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}[{\frac {1}{n+2i}}={\frac {1}{1+2i}}+{\frac {1}{2+2i}}+{\frac {1}{3+2i}}......{\frac {1}{n+2i}}$

dando valores ala segunda suma;

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1+2i}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}[{\frac {1}{n+1+2i}}={\frac {1}{2+2i}}+{\frac {1}{3+2i}}+{\frac {1}{4+2i}}......{\frac {1}{n+1+2i}}$

Ahora restando la segunda suma a la primera, nos daremos cuenta que todos los términos se cancelan a excepción del primero y el ultimo, así obtendremos;

\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2i}-\frac{1}{n+1+2i}\]

de donde es evidente que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1+2i}=0$ (incluso se puede usar la regla de "L'Hôpital")

asi;

\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+2i}=\frac{1}{1+2i}\]

Expresando este ultimo termino en la forma $z=a+bi$ esto es multiplicando y dividiendo por su conjugado tendremos;

\[\frac{1}{1+2i}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]

Conclusión

La serie

$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]$ es convergente y converge a $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$

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Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 02:37 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Determine si la serie geométrica dada converge o diverge. Si converge, encuentre sus sumas

$\sum_{k=0}^{\infty} (1-i)^{k}$

Procedimiento

Haciendo uso del criterio de la raíz N-esima

$\sum_{k=0}^{\infty} (a_n) $ tal que $a_n \neq 0$ $\forall n$ y sea $\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|} = l$

Donde

$l = \begin{cases} <1 & \text{ la serie converge } \\ >1 & \text{ la serie diverge }\\ = 1 & \text{ la serie puede o no converger }\end{cases}$

Entonces aplicando este criterio a nuestra serie geométrica tenemos :

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|}$

Con $a_n = {|1 - i|}^k$

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{({|1 - i|}^k)} = \lim_{k \rightarrow \infty} {[{(\sqrt{2})}^k}]^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Conclusión

En este caso $l = \sqrt{2}$ como $l > 1$ la serie es divergente

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Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 21:52 27 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 16

Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre su suma.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}$

Procedimiento

Sabemos que es una serie geométrica, osea es de la forma:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=a+az+az^{2}+\cdots$

Entonces, primero encontramos las partes de la serie

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=4i+4i(\frac{1}{3})+4i(\frac{1}{3})^{2}+\cdots$

$a=4i$

$z=\frac{1}{3}$ $\Longrightarrow$ $|z|=\frac{1}{3}<1$

Por el ultimo argumento sabemos que la serie converge y se puede escribir como

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=\frac{a}{1-z}$

En nuestro caso

\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=\frac{4i}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4i}{\frac{2}{3}}=6i \]

Conclusión

Así, la serie es convergente y converge a:

\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}=6i \]

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Fernando Vazquez V. (discusión) 20:02 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre sus suma.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {i}{2}}\right)^{k}}$

Procedimiento

La serie infinita la escribimos como

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {i}{2}}\right)^{k}={\frac {i}{2}}+\left({\frac {i}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {i}{2}}\right)^{3}+\cdots ...(1)}$

y tiene la forma de una serie geométrica

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }az^{k-1}=a}+az+az^{2}+az^{3}+\cdots +az^{n-1}+\cdots ...(2)$

comparamos (2) con (1) y observamos que:

${\displaystyle a={\frac {i}{2}}}$

${\displaystyle z={\frac {i}{2}}}$

${\displaystyle \mid z\mid ={\sqrt {\left(0\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}}$ donde vemos que ${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\leq 1}$

en el cuál “z” es menor que uno, lo que nos dice que la serie es convergente , y la suma de una serie geométrica esta dada por:

${\displaystyle {\frac {a}{1-z}}=a+az+az^{2}+\cdots +az^{n-1}+\cdots }$

Observando el detalle que es el equivalente de (2).

Entonces sustituyendo , y simplificando se tiene finalmente que

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }3\left({\frac {2}{1+2i}}\right)^{k}={\frac {\frac {i}{2}}{1-\left({\frac {i}{2}}\right)}}={\frac {\frac {i}{2}}{\frac {2-i}{2}}}={\frac {2i}{2(2-i)}}=\left({\frac {i}{2-i}}\right)\left({\frac {2+i}{2+i}}\right)={\frac {2i+i^{2}}{4-i^{2}}}={\frac {-1+2i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{5}}i}$

Conclusión

por lo tanto la serie geométrica converge en

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {i}{2}}\right)^{k}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{5}}i}$

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Elaborado por Ricardo García Hernández --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:31 25 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, hallar su suma .

${\displaystyle \sum_{k=1}\frac{1}{2}i^{k}}$

Procedimiento

Expandiendo la serie, se tiene que:

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}i^{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}i^{2}+\frac{1}{2}i^{3}+...$

Esta serie, es una serie geométrica, en la que se sabe que diverge, si $\left |z \right |\geqslant 1$

Sacando el radio de convergencia usando:

$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{z_{n+1}}{z_n} \right |=L$

Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$

$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{\frac{1}{2}i^{n+1}}{\frac{1}{2}i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | \frac{i^{n+1}}{i^{n}} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | i^{n+1-n} \right |$

$\lim_{n\to\infty}\left | i^{} \right |=\lim_{n\to\infty}\left | 1^{} \right |=1$

Conclusión

Por lo que se concluye que el radio de convergencia es 1, dado que es una serie geométrica, la serie diverge.

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 19

Determinar si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su suma.

$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}$

Procedimiento

Para determinar si el convergente usamos el criterio de la convergencia para series geométricas de la forma:

$S_{n}=a+az+az^{2}+az^{3}.....$ de la cual siempre es posible encontrar una fórmula que la determine y la cual converge si

$S_{n}=L$ cuando $n\rightarrow\infty$ .

Para $S{}_{n}=\frac{a(1-z^{n})}{1-z}$

Tenemos que si $z^{n}\rightarrow o$ conforme $n\rightarrow\infty$ siempre que $|z|<1,$ y así ...

$\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$ .......(1)

Entonces analizando nuestra ecuación, vemos que está de la forma (1) identificando a:

$a=3$

$z=\frac{2}{1+2i}$

Entonces para obtener $|z|$ primero :

$z=\frac{2}{1+2i}(\frac{1-2i}{1-2i})=\frac{2(1-2i)}{5}=\frac{2}{5}-i\frac{4}{5}$

$\Longrightarrow|z|=\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(-\frac{4}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{20}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\Longrightarrow|z|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Por tanto, como $|z|<1,$ la serie es convergente y su suma está dada por $\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$

donde:

$\frac{3}{1-\frac{2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3+6i}{-1+2i}=\frac{(3+6i)(-1-2i)}{1+4}=\frac{-3+12-6i-6i}{5}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$

Conclusión

Por lo tanto, la serie converge a:

$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$

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A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:12 25 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias.

$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-2i)^k+1}(z-2i)^k $

Procedimiento

De la serie se tiene que:

${\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{(1-2i)^{k+1}}}$

Resolviendo por la prueba de la raíz :

${\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{|a_{n}|}}}={\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{|(1-2i)^{k+1}|}}}={\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{|1-2i|^{k+1}}}}={\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}{\frac {1}{|1-2i|}}={\frac {1}{\sqrt {(1)^{2}+(-2)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}$

$\therefore {\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}{\sqrt[{n}]{\frac {1}{|(1-2i)^{k+1}|}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}=L$

Por tanto de la prueba de la razón:

${\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L={\frac {1}{\sqrt {5}}}$

Donde el radio de convergencia está definido como :

$R={\frac {1}{L}}={\frac {1}{\frac {1}{\sqrt {5}}}}={\sqrt {5}}$

$R={\sqrt {5}}$

Conclusión

Por tanto el círculo de convergencia es:

$\therefore |z-2i|={\sqrt {5}}$

El circulo de convergencia esta centrado en 2i y tiene un radio de $\sqrt5$

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Samantha Martinez (discusión) 23:27 27 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 23

Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k2^{k}}\left(z-1-i\right)^{k}$

Procedimiento

Resolveremos este problema con la prueba de razón dada por:

$\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|=L$ ...(1)

ademas sabemos que el radio es:

$R=\frac{1}{L}$ ... (2)

Sacamos los $a_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}$

Ahora usaremos (1) para resolver la potencia

$\underset{n\rightarrow\prime}{lim}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}}{\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}}\right|=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n2^{n}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n}{2n+2}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{1}{2+\frac{2}{n}}$

Aplicando el limite tenemos $L=\frac{1}{2}$

De (2) tenemos que

$R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$

Conclusión

Por lo tanto $\left|z-1-i\right|=2$ y

El circulo esta centrado en $z_0=1+i$ y tiene radio$R=2$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:25 25 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 25

Encuentre el circulo y el radio de convergencia de la serie de potencias

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(1+3i)^{k}(z-i)^{k}}$

Procedimiento

Identificamos en la serie que:

${\displaystyle a_{n}=(1+3i)^{n}}$

Entonces aplicando el teorema de la prueba de la raíz en la forma

${\underset {n\rightarrow \infty }{l{\acute {\imath }}m}}{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mid a_{n}\mid }}={\underset {n\rightarrow \infty }{l{\acute {\imath }}m}}{\sqrt[{n}]{\mid (1+3i)^{n}\mid }}={\underset {n\rightarrow \infty }{l{\acute {\imath }}m}}{\sqrt[{n}]{\mid (1+3i)\mid ^{n}}}={\underset {n\rightarrow \infty }{l{\acute {\imath }}m}}\mid 1+3i\mid ={\sqrt {(1)^{2}+(3)^{2}}}={\sqrt {10}}}$

donde

${\underset {n\rightarrow \infty }{l{\acute {\imath }}m}}{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mid (1+3i)^{n}\mid }}={\sqrt {10}}=L}$

y sabemos

${\underset {n\rightarrow \infty }{l{\acute {\imath }}m}}{\displaystyle \mid {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\mid =L\neq 0}$ el radio de convergencia es $R={\frac {1}{L}}$

Entonces el radio de convergencia de la serie es $R={\frac {1}{\sqrt {10}}}$

La serie de potencias converge absolutamente para $\mid z-i\mid \lneq {\frac {1}{\sqrt {10}}}$

Conclusión

El circulo de convergencia es $\mid z-i\mid ={\frac {1}{\sqrt {10}}}$

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Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:49 25 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 27

Identifique el radio de convergencia y el círculo de convergencia de $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(z-4-3i)^{k}}{5^{2k}}}$

Procedimiento

Identificamos que a serie tiene la forma de $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}$, por lo que identificando a $a_{k}$ y $z_{0}$

$z_{0}=4+3i$ y $a_{k}={\frac {1}{5^{2k}}}$

Por lo que el límite se obtiene como

${\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L$

Por lo que resolviendo para a tenemos que

${\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}\left|{\frac {\frac {1}{5^{2(n+1)}}}{\frac {1}{5^{2n}}}}\right|={\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}\left|{\frac {5^{2n}}{5^{2n+2}}}\right|={\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}\left|{\frac {5^{2n}}{5^{2n}5^{2}}}\right|={\underset {n\rightarrow \infty }{lim}}\left|{\frac {1}{5^{2}}}\right|={\frac {1}{5^{2}}}$

El radio de convergencia está dado por $R={\frac {1}{L}}$ y el círculo de convergencia está dado por $|z-z_{0}|=R$

Por lo que concluimos que

$R=5^{2}$

y

Conclusión

$|z-(4+3i)|=5^{2}$

Por lo que la serie converge absolutamente cuando

$|z-(4+3i)|<5^{2}$

El circulo de convergencia esta centrado en $z_0=4+3i$ y tiene un radio de convergencia de 25

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Pablo (discusión) 14:35 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 32

Demuestre que la serie de potencias $\sum_{k=1}^\infty\dfrac{z^k}{k^{2}}$ Converge en cada punto de su radio de convergencia

Procedimiento

Donde $|z^{k}/k^{2}| = 1/k^{2}$

\[ \sum_{k=1}^\infty |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}| = \sum_{k=1}^\infty |\dfrac{1}{n^{2}}| \]

Aplicando el criterio del cociente

\[ \lim_{n\rightarrow \infty} |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}|= \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{z^{n^{2}+1}/(n^{2}+1)}{z^{n}/n^{2}} =|z| \]

Convergencia absoluta en si $ |z=1|$

Por lo tanto

\[ |z|<1 converge\]

\[ |z|>1 diverge\]

Conclusión

Para $ |z=1|$ La serie converge absolutamente dentro de su radio de convergencia

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Esther Sarai (discusión) 23:43 27 jun 2015 (CDT)Esther Sarai

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Ejercicio 35

Considerando la serie $\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta},0<r<1,$ demuestre que:

$\sum_{k=0}^{\infty}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}\;y\;\sum_{k=0}^{\infty}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}$

Procedimiento

si desarrollamos la serie :

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots$

si a esta serie la llamamos $f{}_{m}$ entonces:

$f{}_{m}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}...(1)$

si la multiplicamos por $re^{i\theta}$

$re^{i\theta}f{}_{m}=re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n}e^{in\theta}...(2)$

restando la serie $1$ de $2$

$f{}_{m}-re^{i\theta}f{}_{m}=1-r^{n}e^{in\theta}\Longleftrightarrow f{}_{m}=\frac{1-r^{n}e^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}$

escribiendo $f{}_{m}$ en su forma trigonométrica

$f{}_{m}=\frac{1-r^{n}\left[\cos n\theta+i\sin n\theta\right]}{1-r\left[\cos\theta+i\sin\theta\right]}=\frac{1-r^{n}\cos n\theta-ir^{n}\sin n\theta}{1-r\cos\theta-ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}$

multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador:

$f{}_{m}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}.\frac{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)(1-r\cos\theta)+(r^{n}\sin n\theta)(r\sin\theta)+i\left[(1-r^{n}\cos n\theta)(r\sin\theta)+(1-r\cos\theta)(-r^{n}\sin n\theta)\right]}{(1-r\cos\theta)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}=$

$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}\cos n\theta\cos\theta+r^{n+1}\sin n\theta\sin\theta+i\left[r\sin\theta-r^{n+1}\cos n\theta\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}\sin n\theta\cos\theta\right]}{1+r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}$

$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)+i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

de esto podemos ver que hay dos partes, la real y la imaginaria:

$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

$como\;0<r<1,\;entonces\;r^{n}\rightarrow0\;conforme\;n\rightarrow\infty$

así

$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

y

$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

de aquí que:

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\left[\cos k\theta+i\sin k\theta\right]=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta+\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}+i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

Conclusión

Al separar la parte real de la imaginaria tenemos:

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}\Longleftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$

como se quería.

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Francisco Medina Albino (discusión) 12:29 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 36

Supongamos que $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ converge. Analice: ¿Se deduce que al menos una de las sucesiones $\left\{ z_{n}\right\} \hspace{1em}o\hspace{1em}\left\{ w_{n}\right\} $ converge?

No necesariamente si $z_n$ converge y $w_n$ converge $z_n + w_n$ convergerá, pero que la suma converja no implica que cada una lo haga, por ejemplo:

\[ z_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}=1-z+\frac{z^2}{2!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}+\ldots \] Es una serie que diverge para $1\leq |z|$ y: \[ w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=-1+z-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}-\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots \] También diverge para $1\leq |z|$ \[ z_n + w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}+\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=\sum_{n=0}^{\infty} {[(-1)^n +(-1)^{n+1}]\, z^n}=0 \] que evidentemente no diverge

Conclusión

Por lo que si la suma converge $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ no lo hace necesariamente $\left \{ z_n \right \} \left \{ w_n \right \}$ alguna de ellas converge.

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Tlacaelel Cruz (discusión) 18:10 2 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 37

Una sucesión $\{z_n\} $ se dice que está acotada si el conjunto $S$ de todos los términos de la sucesión es un conjunto acotado:

a) Pruebe que la sucesión del ejemplo 2 está acotada.

b) De otro ejemplo de sucesión compleja que esté acotada.

c) De ejemplo de una sucesión que no esté acotada.

Procedimiento

a) La sucesión del ejemplo 2 es: $\{ \frac{3+ni}{n+2ni} \} $.

Ahora: $z_n=\frac{3+ni}{n+2ni}=\frac{3+ni}{n(1+2i)} \cdot \frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(3+2n)+(n-6)i}{5n} \Longrightarrow |z_n|=\frac{1}{5n}\sqrt{(3+2n)^2+(n-6)^2}=\frac{1}{5n}\sqrt{9+12n+4n^2+n^2-12n-36}=\frac{1}{5n}\sqrt{5n^2+45}=\frac{\sqrt{5}}{n}\sqrt{n^2+9}$.

Notemos ademas: $ (\forall n\in \mathbb{N}): 1\leq n^2 \Longleftrightarrow 9\leq 9n^2 \Longleftrightarrow n^2+9\leq 10n^2 \Longleftrightarrow \frac{1}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{10} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{50} \Longleftrightarrow |z_n|\leq \sqrt{50} $

Se ha exhibido un número real positivo que es mayor (ó igual) al módulo de cualquier término de la sucesión, por lo tanto la sucesión está acotada.

b) La sucesión: $\{\frac{n-i}{n+1}\}$ está acotada. En efecto, $\ |z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}$. Note además que $|z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}\leq 1 \Longleftrightarrow n^2+1 \leq n^2+2n+1 \Longleftrightarrow 0\leq 2n $.

c) Un ejemplo de sucesión no acotada es $\{n+ni\}$.

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Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:02 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 39

¿La sucesión {$i^{1/n}$}, donde $i^{1/n}$ denota la $n$-ésima vez raíz principal de $i$, converge?

Procedimiento

Si $lím_{n\longrightarrow \infty}z_n=L$, se dice que la sucesión {$z_n$} es convergente.

El problema menciona que {$i^{1/n}$} es la $n$-ésima raíz principal de $i$. Sea $z=i$ y $w=i^{1/n}$. De la fórmula para las raíces

$w_k=^n\sqrt{r}[\cos (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})]$

Con $|z|=1$ y $\theta = \frac{\pi}{2}$. Se busca la raíz principal, por lo que $k=0$. Así

$w_0=^n\sqrt{1}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]$

Hacemos tender al límite

$lím_{n\longrightarrow \infty}w_0=lím_{n\longrightarrow \infty} 1^{1/n}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]=1^0[\cos 0 +i\sin 0]=1$

Conclusión

Dado que $L=1$ concluimos que la sucesión converge.

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Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:56 3 jul 2015 (CDT)

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