Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap5.2»
(No se muestran 52 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 53: | Línea 53: | ||
y para finalizar simplificamos | y para finalizar simplificamos | ||
'''Conclusión''' | |||
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt= -28+84i$ | $\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt= -28+84i$ | ||
Línea 63: | Línea 65: | ||
===Ejercicio 2=== | ===Ejercicio 2=== | ||
Evaluar la integral dada, a lo largo del contorno indicado. | |||
'''Procedimiento''' | |||
$\int_{c}\left( | $\int_{c}\left(2\bar{z}-z\right)dz:donde$ c esta dada por $x=-t:y=t^{2}+2;0\leq t\geq2$ | ||
utilizamos la siguiente relación para curvas parametrizadas: | |||
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$ | $\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$ | ||
Que cumple con la forma de calcular trabajo en funciones vectoriales | |||
sobre curvas | sobre curvas paramétricas | ||
Entonces si utilizamos esta relación podremos resolver la integral compleja como sigue: | |||
compleja como sigue: | |||
$f\left(z\right)= | $f\left(z\right)=2\bar{z}-z=2\left(x-iy\right)-\left(x+iy\right)=2x-2iy-x-iy=x-3iy$ | ||
$f\left(z\left(t\right)\right)=-t-3i\left(t^{2}+2\right)$ | $f\left(z\left(t\right)\right)=-t-3i\left(t^{2}+2\right)$ | ||
Línea 91: | Línea 89: | ||
$z^{\prime}\left(t\right)=-1+2it$ | $z^{\prime}\left(t\right)=-1+2it$ | ||
Usando estos resultados podemos escribir la integral de este modo: | |||
'''Conclusión''' | |||
$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(-t-3i\left(t^{2}+2\right)\right)\left(-1+2it\right)dt=\int_{0}^{2}\left(6t^{3}+13t\right)dt+i\int_{0}^{2}\left(t^{2}+6\right)dt=\left[\frac{6}{4}t^{4}+\frac{13}{2}t^{2}\right]_{0}^{2}+i\left[\frac{1}{3}t^{3}+6t\right]_{0}^{2}=50+i14.666$ | $\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(-t-3i\left(t^{2}+2\right)\right)\left(-1+2it\right)dt=\int_{0}^{2}\left(6t^{3}+13t\right)dt+i\int_{0}^{2}\left(t^{2}+6\right)dt=\left[\frac{6}{4}t^{4}+\frac{13}{2}t^{2}\right]_{0}^{2}+i\left[\frac{1}{3}t^{3}+6t\right]_{0}^{2}=50+i14.666$ | ||
--[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ---- | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ---- | |||
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Línea 105: | Línea 106: | ||
Para resolver esta integral es necesario hacer uso de la expresión | Para resolver esta integral es necesario hacer uso de la expresión: | ||
'''Procedimiento''' | |||
$\int_{c}f\left(z\right)dz = \int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$ | $\int_{c}f\left(z\right)dz = \int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$ | ||
Línea 147: | Línea 149: | ||
'''Conclusión''' | |||
$\int_{c}f\left(z\right)dz= -48 + i \frac{736}{3}$ | |||
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Realizado por: [[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 00:24 14 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 159: | Línea 164: | ||
$\int_{c}(3z^{2}-2z)dz$ donde C es $z(t)=t+it^{2}$ con $0\leq t\leq1$ | $\int_{c}(3z^{2}-2z)dz$ donde C es $z(t)=t+it^{2}$ con $0\leq t\leq1$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Como ya nos dan la parametrización sólo debemos derivar respecto a | Como ya nos dan la parametrización sólo debemos derivar respecto a | ||
Línea 175: | Línea 182: | ||
$=\int_{0}^{1}[6it^{5}+12it^{3}-6it^{2}-15t^{4}+4t^{3}+3t^{2}-2t]dt$ | $=\int_{0}^{1}[6it^{5}+12it^{3}-6it^{2}-15t^{4}+4t^{3}+3t^{2}-2t]dt$ | ||
Y haciendo la integral queda de la forma: | Y haciendo la integral queda de la forma: | ||
'''Solución''' | |||
$=(it^{6}+3it^{4}-2it^{3}-3t^{5}+t^{4}+t^{3}-2)|_{0}^{1}$$=(i+3i-2i-3+1+1-2)=-3+2i$ | $=(it^{6}+3it^{4}-2it^{3}-3t^{5}+t^{4}+t^{3}-2)|_{0}^{1}$$=(i+3i-2i-3+1+1-2)=-3+2i$ | ||
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Realizado por: [[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:36 12 jun 2015 (CDT) | |||
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=== Ejercicio 5 === | === Ejercicio 5 === | ||
Evalué la integral a lo largo del contorno indicado. | |||
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz$ , donde $C$ es la mitad derecha de la | $\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz$ , donde $C$ es la mitad derecha de la | ||
Línea 193: | Línea 201: | ||
$z=-i$ a $z=i$ | $z=-i$ a $z=i$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
$\left|z\right|=1$... $\left(1\right)$ | $\left|z\right|=1$... $\left(1\right)$ | ||
Línea 234: | Línea 242: | ||
$=i\left[2+\pi\right]-\left[0-0\right]$ | $=i\left[2+\pi\right]-\left[0-0\right]$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\left[2+\pi\right]i$ | $\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\left[2+\pi\right]i$ | ||
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[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 01:50 14 jun 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 6=== | ===Ejercicio 6=== | ||
Línea 249: | Línea 258: | ||
Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado | Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado | ||
$\int_{c}|z|^{2}dz$ donde C es $x=t^{2}$, $y=\frac{1}{t}$, $1\leq t\leq2$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Por las condiciones tenemos que: | Por las condiciones tenemos que: | ||
Línea 263: | Línea 272: | ||
Por otra parte, se observa que $|z|>0$, entonces | Por otra parte, se observa que $|z|>0$, entonces | ||
$\int_{c}|z|^{2}dz=\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(t^{4}+it-\frac{1}{t^{2}})(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-it^{2}-\frac{2}{t}+i\frac{1}{t^{4}}+2it^{2}+\frac{1}{t})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-\frac{1}{t})dt+i\intop_{1}^{2}(\frac{1}{t^{4}}+t^{2})dt=(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}$ | $\int_{c}|z|^{2}dz=\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(t^{4}+it-\frac{1}{t^{2}})(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-it^{2}-\frac{2}{t}+i\frac{1}{t^{4}}+2it^{2}+\frac{1}{t})dt$ | ||
$=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-\frac{1}{t})dt+i\intop_{1}^{2}(\frac{1}{t^{4}}+t^{2})dt=(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}$ | |||
Línea 273: | Línea 284: | ||
'''Solución''' | |||
$\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$ | $\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$ | ||
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 16:06 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 16:06 14 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 286: | Línea 298: | ||
'''Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado.''' | '''Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado.''' | ||
$\oint_{c} Re(z) dz$ donde C es la circunferencia $|z|=1$ | |||
Para nuestro caso la curva esta dada por | '''Procedimiento''' | ||
Para nuestro caso la curva esta dada por $|z|=1$, pero sabemos que $z=x+iy$, por lo cual | |||
$x²+y²=1$. | |||
por lo cual podemos parametrizar de la siguiente manera. | por lo cual podemos parametrizar de la siguiente manera. | ||
$x(t)= \cos(t)$ | |||
$y(t)= \sin(t)$ | |||
$0\leq t\leq2\pi$ | |||
Ahora sustituimos a | Ahora sustituimos a $z$ poniéndolo en términos de la parametrización propuesta. | ||
$z(t)= \cos(t)+i \sin(t)$ | |||
$z'(t)= -\sin(t) + i \cos(t)$ | |||
como la integral solo nos la pide en la parte real de | como la integral solo nos la pide en la parte real de $z$tenemos: | ||
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt$ | |||
$\intop_{0}^{2\pi}-cos(t)sen(t) dt+i\intop_{0}^{2\pi}cos²(t)dt$ | |||
Integrando tenemos que | Integrando tenemos que | ||
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt= \frac{sen²(t)}{2}+\frac{t + sen(t)cos(t)}{2}|_{0}^{2\pi}$ | |||
evaluando tenemos: | evaluando tenemos: | ||
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt=\frac{sen²(2\pi)}{2}+\frac{2\pi + sen(2\pi)cos(2\pi)}{2}-\frac{sen²(0)}{2}+\frac{0 + sen(t)cos(0)}{2}$ | |||
por lo cual para $c$ definida por $ |z|=1$ | |||
'''Conclusión''' | |||
$\oint_{c} Re(z) dz= i\pi$ | |||
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Realizado por: [[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 20:10 14 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 333: | Línea 350: | ||
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz$ | $\intop_{C}(x^2-iy^3)dz$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Donde $C$ es la línea recta $1<t<i$ | |||
$z=(1+i)t$ y $dz=(1+i)$ | |||
Línea 349: | Línea 367: | ||
$ \intop_{1}^{i}(t^2+t^3+it^2+it^3dt= \frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$ | $ \intop_{1}^{i}(t^2+t^3+it^2+it^3dt= \frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$ | ||
'''Conclusión''' | |||
Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
Línea 355: | Línea 374: | ||
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[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 16:07 14 jun 2015 (CDT) | [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 16:07 14 jun 2015 (CDT) | ||
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Línea 360: | Línea 380: | ||
=== Ejercicio 14 === | === Ejercicio 14 === | ||
Encuentra el valor de la integral, sobre el contorno dado. $\int_{C} dz$, donde C es la mitad izquierda de la elipse: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$, desde:$z=2i$, hasta $z=-2i$. | |||
'''Procedimiento''' | |||
Usando el hecho de que: $\int_{C}f(z)dz=\int_{C}(udx-vdy)+i\int_{C}(vdx+udy)$; donde $f(z)=u(x,y)+iv(x,y); x,y\in\mathbb{R}$, se tiene: | Usando el hecho de que: $\int_{C}f(z)dz=\int_{C}(udx-vdy)+i\int_{C}(vdx+udy)$; donde $f(z)=u(x,y)+iv(x,y); x,y\in\mathbb{R}$, se tiene: | ||
Línea 373: | Línea 393: | ||
Regresando a (1): | Regresando a (1): | ||
'''Conclusión''' | |||
$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy=\int_{2}^{-2} \frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}+i\int_{2}^{-2}dy=0+i(-2-2)=-4i$. | $\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy=\int_{2}^{-2} \frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}+i\int_{2}^{-2}dy=0+i(-2-2)=-4i$. | ||
Línea 378: | Línea 400: | ||
Por lo tanto: $\int_{C} dz=-4i$ | Por lo tanto: $\int_{C} dz=-4i$ | ||
[[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 19:55 19 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 19:55 19 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 389: | Línea 412: | ||
[[Archivo:Ejercicio19zill.png]] | [[Archivo:Ejercicio19zill.png]] | ||
'''Procedimiento''' | |||
Como C es suave por tramos, integraremos sobre los tres tramos suaves | Como C es suave por tramos, integraremos sobre los tres tramos suaves | ||
Línea 415: | Línea 439: | ||
Por lo que para la segunda curva tenemos que la integral cumple | Por lo que para la segunda curva tenemos que la integral cumple | ||
<math>\int_{C_2} z_2^2 dz= \int_{C_2} (x_2(t)+y_2(t))^2 (x'_2(t)+y'_2(t))= \int_{0}^{1} (1+ti)^2 (i) dt=i \int_{0}^{1} (1-t^2)+ 2it dt= \int_{0}^{1} i(1-t^2)-2t dt = (-t^2+ i(t-\frac{t^3}{3}))|_{0}^{1}= -1+ \frac{i2}{3} </math> | <math>\int_{C_2} z_2^2 dz= \int_{C_2} (x_2(t)+y_2(t))^2 (x'_2(t)+y'_2(t))= \int_{0}^{1} (1+ti)^2 (i) dt=i \int_{0}^{1} (1-t^2)+ 2it dt= </math> | ||
<math>\int_{0}^{1} i(1-t^2)-2t dt = (-t^2+ i(t-\frac{t^3}{3}))|_{0}^{1}= -1+ \frac{i2}{3} </math> | |||
Para <math>c_3 </math> que va desde el punto z=1+i al punto z= 0+0i, tenemos que <math>z_{3}= x_{3}(t)+y_{3}(t)</math> su parametrización es, con <math>t \epsilon [1,0]</math> | Para <math>c_3 </math> que va desde el punto z=1+i al punto z= 0+0i, tenemos que <math>z_{3}= x_{3}(t)+y_{3}(t)</math> su parametrización es, con <math>t \epsilon [1,0]</math> | ||
Línea 425: | Línea 451: | ||
Por lo que para la tercera integración | Por lo que para la tercera integración | ||
<math>\int_{C_3} z_3^2 dz= \int_{C_3} (x_3(t)+y_3(t))^2 (x'_3(t)+y'_3(t))= \int_{0}^{1} (t+ti)^2 (1+i) dt= \int_{0}^{1} t^2 (1+i)^2 (1+i) dt= \int_{0}^{1} t^2(1+i)^3 dt= (1+i)^3 \int_{0}^{1} t^2 dt= (1+i)^3 \frac{t^3}{3}|_1^0 = \frac{(1+i)^3}{3}</math> | <math>\int_{C_3} z_3^2 dz= \int_{C_3} (x_3(t)+y_3(t))^2 (x'_3(t)+y'_3(t))= \int_{0}^{1} (t+ti)^2 (1+i) dt= \int_{0}^{1} t^2 (1+i)^2 (1+i) dt= \int_{0}^{1} t^2(1+i)^3 dt= </math> | ||
<math>(1+i)^3 \int_{0}^{1} t^2 dt= (1+i)^3 \frac{t^3}{3}|_1^0 = \frac{(1+i)^3}{3}</math> | |||
Por lo que resolviendo, tenemos que | Por lo que resolviendo, tenemos que | ||
<math>\frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(1+i)(1+i)}{3} (1+i)=\frac{2i}{3} (1+i)</math> | <math>\frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(1+i)(1+i)}{3} (1+i)=\frac{2i}{3} (1+i)</math> | ||
'''Conclusión''' | |||
Al sumar todas las partes tenemos que | Al sumar todas las partes tenemos que | ||
Línea 436: | Línea 466: | ||
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 18:05 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 18:05 14 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 443: | Línea 473: | ||
'''Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:''' | '''Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:''' | ||
[[Archivo:P5.2.21.png|center]] | [[Archivo:P5.2.21.png|center]] | ||
'''Procedimiento''' | |||
Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que: | Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que: | ||
\[ | \[ | ||
z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i | z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i | ||
Línea 459: | Línea 493: | ||
Se puede escribir la integral como: | Se puede escribir la integral como: | ||
\[ | \[ | ||
\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right]=(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right] | \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right] | ||
=(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right]= | |||
\] | \] | ||
\[ | \[ | ||
Línea 471: | Línea 507: | ||
=== ejercicio 22 === | === ejercicio 22 === | ||
Evalúe $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz$ de i a 1 a lo largo del | |||
contorno C dado en la figura | contorno C dado en la figura | ||
[[Archivo: | [[Archivo:Zill 5.2 problema 22 (2).svg|200px|thumb|left|Curva del problema 22 Capitulo 5.2 del Zill]] | ||
primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones | primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones | ||
Línea 484: | Línea 521: | ||
$-z=-x-yi$ | $-z=-x-yi$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sustituimos y simplificamos la expresión | |||
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | $\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | ||
por propiedades de la | por propiedades de la integral sabemos que | ||
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | $\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | ||
Línea 494: | Línea 533: | ||
parametrizamos de la siguiente forma | parametrizamos de la siguiente forma | ||
$y= | $y=1$ , $0\leq x\leq1$ | ||
obtenemos que | obtenemos que | ||
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi | $\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dz$ | ||
$z(x)=x+ | $z(x)=x+i=x+i$ | ||
$z'(x)=dx$ | $z'(x)=dx$ | ||
Entonces nuestra primera integral nos queda | |||
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi | $\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx$ | ||
$\intop_{ | $\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx=\frac{1}{3}+i-\frac{1}{2}-i+1= \frac{5}{6}$ | ||
Ahora haremos la segunda integral: | |||
$\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | $\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | ||
Línea 528: | Línea 567: | ||
lo cual nos da como resultado al calcularla | lo cual nos da como resultado al calcularla | ||
$-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i | $-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i\right]=\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i$ | ||
por lo tanto nos queda | por lo tanto nos queda: | ||
'''Solución''' | |||
-- | $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz= \frac{5}{6} + \frac{1}{2}-\frac{5}{3}i=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i$ | ||
---- | |||
Re elaborado por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]] | |||
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 23:01 14 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 548: | Línea 590: | ||
[[Archivo:Eje23.5.2.png|thumb|Figura 5.2.10 figura para el problema 23]] | [[Archivo:Eje23.5.2.png|thumb|Figura 5.2.10 figura para el problema 23]] | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para parametrizar $y=-x^2+1$ | Para parametrizar $y=-x^2+1$ | ||
Línea 582: | Línea 622: | ||
\[ | \[ | ||
\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= | \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= | ||
\] | \] | ||
\[ | |||
=(1-i) \int_{0}^{1} \! 1 \, dt - 3\int_{0}^{1} \! t \, dt + (7+3i) \int_{0}^{1} \! t^{2} \, dt + (2-8i) \int_{0}^{1} \! t^{3} \,dt - 5 \int_{0}^{1} \! t^{4} \,dt +2i \int_{0}^{1} \! t^{5} \,dt | |||
\] | |||
'''Solución''' | |||
\[ | \[ | ||
Línea 592: | Línea 638: | ||
--[[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 20:13 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 20:13 14 jun 2015 (CDT) | |||
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=== Ejercicio 24 === | === Ejercicio 24 === | ||
Evalué ${\displaystyle \int_{c}(z^{2}-z+2)dz}$ donde $c$ es el cuarto | |||
de circulo en el primer cuadrante con | de circulo en el primer cuadrante con orientación negativa | ||
Proponemos la | '''Procedimiento''' | ||
Proponemos la parametrización de $c=e^{it}$ con $\frac{\pi}{2}\leq t\leq0$ | |||
Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$ | Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$ | ||
Así, tendríamos que calcular | |||
\[ | \[ | ||
{\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+ | {\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+2)ie^{it}dt}} | ||
\] | \] | ||
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\] | \] | ||
'''Solución''' | |||
\[ | \[ | ||
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\] | \] | ||
[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 18:47 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 18:47 14 jun 2015 (CDT) | |||
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</math> | </math> | ||
'''Procedimiento''' | |||
El teorema de acotamiento nos dice <math> \mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML | El teorema de acotamiento nos dice <math> \mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML | ||
</math>, donde L es la longitud de la | </math>, donde L es la longitud de la circunferencia(perímetro), | ||
entonces: | entonces: | ||
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</math> | </math> | ||
Juntando los resultados obtenidos se tiene finalmente: | |||
'''Solución''' | |||
: <math>\mid\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz\mid\leq\frac{10\pi e^{5}}{24} | : <math>\mid\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz\mid\leq\frac{10\pi e^{5}}{24} | ||
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</math> | </math> | ||
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Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 13:02 14 jun 2015 (CDT) | Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 13:02 14 jun 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 26=== | |||
'''Encontrar un límite superior para el valor absoluto de la integral dada a lo largo del contorno indicado.''' | |||
$\oint_{c} \frac{1}{z^2-2i}dz $ | |||
donde C es la mitad derecha del círculo |z|=6 , de z=-6i a z=6i | |||
'''Procedimiento''' | |||
Tenemos una circunferencia con r=3 | |||
Tomamos el teorema de acotamiento | |||
$ |\oint_{c}f(z)dz|\leq ML ....(1) $ | |||
Donde L es la longitud de la curva, por tanto | |||
$ L=2\pi r=2\pi(3)=6\pi ....(2) $ | |||
Para encontrar el valor de la cota, tomamos el valor absoluto de la integral,donde | |||
$ |\frac{1}{z^2-2i}|=\frac{|1|}{|z^2-2i|} ....(3) $ | |||
pero | |||
$ |z_{1}+z_{2}|\geq |z_{1}|-|z_{2}| $ | |||
$ |z^2-2i|\geq |z^2|-|-2i| $ | |||
$ |z^2|-|-2i|\leq |z^2-2i| $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|z^2|-|-2i|} $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|36|-|-2i|} $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-\sqrt{4}\sqrt{i^2}} $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-2i} $ | |||
$ \therefore \frac{1}{36-2i}=M=(máximo)....(4)$ | |||
'''Solución''' | |||
$ \therefore |\oint_{-6i}^{6i} \frac{1}{z^2-2i}dz|\leq \frac{6\pi}{36-2i} $ | |||
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Realizado por: [[Usuario:Samantha Martinez|Samantha Martinez]] ([[Usuario discusión:Samantha Martinez|discusión]]) 18:50 14 junio 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 27=== | ===Ejercicio 27=== | ||
Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral | |||
a lo largo del contorno indicado. | a lo largo del contorno indicado. | ||
$\int_{c}(z^{2}+4)dz$, donde$C$ es el segmento de recta $z=0\:a\:z=1+i$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
'''por el teorema de acotamiento''' | '''por el teorema de acotamiento''' | ||
Línea 732: | Línea 829: | ||
$L=\sqrt{2}$ | $L=\sqrt{2}$ | ||
podemos ver que el valor | podemos ver que el valor máximo que puede alcanzar $z$ es: | ||
$\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ | $\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ | ||
Línea 743: | Línea 840: | ||
$\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$ | $\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$ | ||
'''Conclusión''' | |||
por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de | por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de | ||
Línea 748: | Línea 848: | ||
--[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 18:02 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 18:02 14 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 756: | Línea 857: | ||
$\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$ | $\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para resolver el problema necesitaremos usar | Para resolver el problema necesitaremos usar | ||
Línea 771: | Línea 874: | ||
Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3) | Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3) | ||
Lo primero que se | Lo primero que se resolverá va a ser L pero antes de eso sabemos que | ||
la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de | la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de | ||
4i a 4. Ahora resolvemos usando (2) | 4i a 4. Ahora resolvemos usando (2) | ||
Línea 791: | Línea 894: | ||
pero nos enfocaremos en $z^{3}$ | pero nos enfocaremos en $z^{3}$ | ||
$\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}= | $\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}=4(16)=64$ | ||
esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3) | esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3) | ||
Línea 803: | Línea 906: | ||
Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema | Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema | ||
'''Conclusión''' | |||
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$ | $\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$ | ||
Nota: Salvo por el signo el ejercicio es correcto | |||
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq+\frac{\pi}{32}$ | |||
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Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 15:56 14 jun 2015 (CDT) | Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 15:56 14 jun 2015 (CDT) | ||
----- | ----- | ||
===Ejercicio 29=== | |||
(a) utilice la definición 5.2.1 para demostrar que para cualquier curva suave C entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_{c} dz = z_{n} - z_{n}$ | |||
'''Inciso a''' | |||
Si $f$ es continua en una curva suave C dada por la parametrización $z(t) = x(t) iy(t), a \leq t \leq b$ , entonces | |||
Si $f$ es continua en una | |||
Línea 835: | Línea 942: | ||
De acuerdo con el problema: | |||
Línea 842: | Línea 949: | ||
\[ | \[ | ||
z_{n} - z_{0}\] | z_{n} - z_{0}\] | ||
b)Usar los resultados en la parte (a) para verificar la respuesta del problema 14. | |||
'''Inciso b''' | |||
$z_0=2i$ | |||
$z_n=-2i$ | |||
$\int _c dz=-4i$ | |||
Que es el mismo resultado que el problema 14. | |||
c) Cual es $\int _c dz $ si C es una curva simple cerrada. | |||
'''Inciso c''' | |||
Si es simple y cerrada: | |||
$z_n = z_0$ | |||
Por lo que | |||
$\int _c dz=0$ | |||
---- | |||
Realizado por: [[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 11:45 13 jun 2015 (CDT)Esther Sarai | |||
---- | ---- | ||
Línea 857: | Línea 983: | ||
'''Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.''' | '''Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.''' | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Sustituimos en la | '''Sol.''' La definición de la integral compleja es $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt$, para nuestro problema $f(z)=z$ con $z=z(t)=x(t)+iy(t)$ donde $x$ e $y$ están parametrizadas en $t:[a,b]$ y definamos $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ con $t_0=a$ y $t_n=b$. | ||
Sustituimos en la definición: | |||
$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$ | $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$ | ||
Línea 929: | Línea 1057: | ||
Por lo que hemos demostrado que: | Por lo que hemos demostrado que: | ||
'''Conclusión''' | |||
$\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$ | $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$ | ||
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[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 20:20 13 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 20:20 13 jun 2015 (CDT) | |||
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Revisión actual - 09:43 12 mar 2023
Ejercicios del capítulo 5, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 5.2
Ejercicio 1
Evalué la integral a lo largo del contorno indicado
Procedimiento
$\int_{c}\left(z+3\right)dz$ donde $C$ esta dada por $x=2t:y=4t-1;1\leq t\leq3$
para evaluar la integral de contorno sabemos que
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
Si $z(t)=x+yi=2t+(4t-1)i$
$z(t)^{\prime}=2+4i$
y
$f(z(t))=(2t+3)+(4t-1)i$
por lo tanto
$\intop_{1}^{3} [(2t+3)+(4t-1)i](2+4i)dt$
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt$
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt = -6t^{2}+10t+i8t^{2}+i10t \mid_{1}^{3}$
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt = (-24+102i)-(4+18i)$
y para finalizar simplificamos
Conclusión
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt= -28+84i$
Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 17:28 13 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Evaluar la integral dada, a lo largo del contorno indicado.
Procedimiento
$\int_{c}\left(2\bar{z}-z\right)dz:donde$ c esta dada por $x=-t:y=t^{2}+2;0\leq t\geq2$
utilizamos la siguiente relación para curvas parametrizadas:
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
Que cumple con la forma de calcular trabajo en funciones vectoriales sobre curvas paramétricas
Entonces si utilizamos esta relación podremos resolver la integral compleja como sigue:
$f\left(z\right)=2\bar{z}-z=2\left(x-iy\right)-\left(x+iy\right)=2x-2iy-x-iy=x-3iy$
$f\left(z\left(t\right)\right)=-t-3i\left(t^{2}+2\right)$
$z=x+iy$ entonces $z\left(t\right)=-t+i\left(t^{2}+2\right)$
$z^{\prime}\left(t\right)=-1+2it$
Usando estos resultados podemos escribir la integral de este modo:
Conclusión
$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(-t-3i\left(t^{2}+2\right)\right)\left(-1+2it\right)dt=\int_{0}^{2}\left(6t^{3}+13t\right)dt+i\int_{0}^{2}\left(t^{2}+6\right)dt=\left[\frac{6}{4}t^{4}+\frac{13}{2}t^{2}\right]_{0}^{2}+i\left[\frac{1}{3}t^{3}+6t\right]_{0}^{2}=50+i14.666$
Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----
Ejercicio 3
Evalué la integral $\int_{c}(z^{2})dz$ a lo largo del contorno C dado $z(t) = 3t+2it$ con $-2\leq t\leq2$
Para resolver esta integral es necesario hacer uso de la expresión:
Procedimiento
$\int_{c}f\left(z\right)dz = \int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
donde:
$z(t) = 3t+2it$
$z^{\prime} (t) = 3 + 2i$
Sustituyendo estos valores en nuestra expresión para resolver la integral
$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{-2}^{2} (3t + 2it)^2 (3 + 2i)dt $
$= \int_{-2}^{2} (9t^2 + 2(6it^2) - 4t^2) (3 +2i)dt$
$= \int_{-2}^{2} (27t^2 + 36it^2 - 12t^2 + 18it^2 - 24t^2 - 8it^2)dt$
$= \int_{-2}^{2} (-9t^2 + 46it^2)dt$
$= -\int_{-2}^{2} 9t^2 dt + i\int_{-2}^{2} 46t^2 dt$
Evaluando la integral
$= -\frac{9}{3} [t^3]_{-2}^{2} + i\frac{46}{3} [t^3]_{-2}^{2}$
$= -3 (2^3 - (-2)^3) + i \frac{46}{3} (2^3 - (-2)^3)$
Conclusión
$\int_{c}f\left(z\right)dz= -48 + i \frac{736}{3}$
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 00:24 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Evaluar la integral a lo largo del contorno dado'
$\int_{c}(3z^{2}-2z)dz$ donde C es $z(t)=t+it^{2}$ con $0\leq t\leq1$
Procedimiento
Como ya nos dan la parametrización sólo debemos derivar respecto a t y substituir en la integral.
$dz=1+2it$
$\Longrightarrow\int_{c}(3z^{2}-2z)dz=\int_{0}^{1}[3(t+it^{2})^{2}-2(t+it^{2})][1+2it]dt$
$=\int_{0}^{1}[3(t^{2}+2it^{3}-t^{4})-2t-2it^{2})][1+2it]dt$
$=\int_{0}^{1}[3t^{2}+6it^{3}-3t^{4}-2t-2it^{2}][1+2it]dt$
$=\int_{0}^{1}[3t^{2}+6it^{3}-3t^{4}-2t-2it^{2}+6it^{3}-12t^{4}-6it^{5}-4it^{2}+4t^{3}]dt$
$=\int_{0}^{1}[6it^{5}+12it^{3}-6it^{2}-15t^{4}+4t^{3}+3t^{2}-2t]dt$
Y haciendo la integral queda de la forma:
Solución
$=(it^{6}+3it^{4}-2it^{3}-3t^{5}+t^{4}+t^{3}-2)|_{0}^{1}$$=(i+3i-2i-3+1+1-2)=-3+2i$
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 20:36 12 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Evalué la integral a lo largo del contorno indicado.
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz$ , donde $C$ es la mitad derecha de la circunferencia $\left|z\right|=1$ de
$z=-i$ a $z=i$
Procedimiento
$\left|z\right|=1$... $\left(1\right)$
Si $z=x+iy$...$\left(2\right)$ entonces
$x^{2}+y^{2}=1$... $\left(3\right)$
La ecuación $\left(2\right)$se puede parametrizar como :
$x=\cos\left(t\right)$ , $y=\sin\left(t\right)$, $-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}$
entonces:
$z\left(t\right)=\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)$
De modo que por el Teorema 5.2.1 :
$f\left(z\right)=\frac{z+1}{z}=\frac{\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)}$
y además $z\prime\left(t\right)=-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)$
Entonces:
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)}\right]\left[-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)\right]dt$
multiplicando la integral por:
$\frac{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}$
se obtiene:
$\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)}\right]\left[-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)\right]\left[\frac{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}\right]dt$
$=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{1}\right]\left[i\right]dt$
$=i\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\cos\left(t\right)+1\right]dt-\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(t\right)dt$
$=i\left[\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\pi\right]-\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]$
$=i\left[2+\pi\right]-\left[0-0\right]$
Solución
Por lo tanto:
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\left[2+\pi\right]i$
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 01:50 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado
$\int_{c}|z|^{2}dz$ donde C es $x=t^{2}$, $y=\frac{1}{t}$, $1\leq t\leq2$
Procedimiento
Por las condiciones tenemos que:
$z(t)=t^{2}+i\frac{1}{t}$
$z'(t)=2t-i\frac{1}{t^{2}}$
Por otra parte, se observa que $|z|>0$, entonces
$\int_{c}|z|^{2}dz=\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(t^{4}+it-\frac{1}{t^{2}})(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-it^{2}-\frac{2}{t}+i\frac{1}{t^{4}}+2it^{2}+\frac{1}{t})dt$
$=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-\frac{1}{t})dt+i\intop_{1}^{2}(\frac{1}{t^{4}}+t^{2})dt=(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}$
Evaluando
$(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}=\frac{32}{3}-ln2-(\frac{1}{3}-ln1)+i[\frac{-1}{24}+4-(-\frac{1}{3}+2)]=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$
Solución
$\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 16:06 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado.
$\oint_{c} Re(z) dz$ donde C es la circunferencia $|z|=1$
Procedimiento
Para nuestro caso la curva esta dada por $|z|=1$, pero sabemos que $z=x+iy$, por lo cual $x²+y²=1$. por lo cual podemos parametrizar de la siguiente manera.
$x(t)= \cos(t)$
$y(t)= \sin(t)$
$0\leq t\leq2\pi$
Ahora sustituimos a $z$ poniéndolo en términos de la parametrización propuesta.
$z(t)= \cos(t)+i \sin(t)$
$z'(t)= -\sin(t) + i \cos(t)$
como la integral solo nos la pide en la parte real de $z$tenemos:
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt$
$\intop_{0}^{2\pi}-cos(t)sen(t) dt+i\intop_{0}^{2\pi}cos²(t)dt$
Integrando tenemos que
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt= \frac{sen²(t)}{2}+\frac{t + sen(t)cos(t)}{2}|_{0}^{2\pi}$
evaluando tenemos: $\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt=\frac{sen²(2\pi)}{2}+\frac{2\pi + sen(2\pi)cos(2\pi)}{2}-\frac{sen²(0)}{2}+\frac{0 + sen(t)cos(0)}{2}$
por lo cual para $c$ definida por $ |z|=1$
Conclusión
$\oint_{c} Re(z) dz= i\pi$
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 20:10 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Evalua la siguiente integral definida
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz$
Procedimiento
Donde $C$ es la línea recta $1<t<i$
$z=(1+i)t$ y $dz=(1+i)$
Sustituyendo los valores anteriores en la integral, tenemos:
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz=\intop_{C}(t^2-i(it)^3)(1+i)dt= \intop_{C}(t^2+t^3(1+i)dt=$
$ \intop_{1}^{i}(t^2+t^3+it^2+it^3dt= \frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$
Conclusión
Por lo tanto:
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz=\frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$
Nancy Martínez Durán (discusión) 16:07 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 14
Encuentra el valor de la integral, sobre el contorno dado. $\int_{C} dz$, donde C es la mitad izquierda de la elipse: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$, desde:$z=2i$, hasta $z=-2i$.
Procedimiento
Usando el hecho de que: $\int_{C}f(z)dz=\int_{C}(udx-vdy)+i\int_{C}(vdx+udy)$; donde $f(z)=u(x,y)+iv(x,y); x,y\in\mathbb{R}$, se tiene:
$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy$...(1)
Por otra parte: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1 \Longleftrightarrow x^2+9y^2=36\Longleftrightarrow x^2=36-9y^2\Longleftrightarrow |x|=\sqrt{36-9y^2} \Longrightarrow x=-\sqrt{36-9y^2}$. Como es la mitad izquierda de la elipse se toman las x's negativas.
de lo anterior: $x=-\sqrt{36-9y^2} \Longrightarrow dx=\frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}$.
Regresando a (1):
Conclusión
$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy=\int_{2}^{-2} \frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}+i\int_{2}^{-2}dy=0+i(-2-2)=-4i$.
Por lo tanto: $\int_{C} dz=-4i$
Realizado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 19:55 19 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Evale la integral a lo largo del contorno C dado en la figura
Procedimiento
Como C es suave por tramos, integraremos sobre los tres tramos suaves
Primero tomaremos a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C_1
la parte del contorno que va del punto z= 0+ i0 al punto z= 1+ 0i, Por lo que su parametrización es, con
además
además Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y'_1(t)= 0
Por lo que para la primera curva suave tenemos que
Ahora para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): c_2 que va desde el punto z=1+0i al punto z= 1+i, tenemos que su parametrización es, con
además
además Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y'_2(t)= dt
Por lo que para la segunda curva tenemos que la integral cumple
Para que va desde el punto z=1+i al punto z= 0+0i, tenemos que su parametrización es, con
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3(t)= t además Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x'_3(t)= dt
además
Por lo que para la tercera integración
Por lo que resolviendo, tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(1+i)(1+i)}{3} (1+i)=\frac{2i}{3} (1+i)
Conclusión
Al sumar todas las partes tenemos que
Realizado por: Pablo (discusión) 18:05 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:
Procedimiento
Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que:
\[ z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i \] Entonces: \[ z^2=(i+(1-i)t)^2=i^2+2i(1-i)t+(1-i)^2 t^2=-1+2(1+i)t-2it^2 \] \[ z(t)=i+(1-i)t \] \[ z^2-z+2=(-2i)t^2+(2+2i+i)t+(-1-1-i)=-(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \] Se puede escribir la integral como: \[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right] ='"`UNIQ--h-12--QINU`"'(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right]= \] \[ =(1-i) \left[ -2i\frac{1}{3} +(1+3i)\frac{1}{2}+(1-i)\right]=(1-i) \left[\frac{1}{2}+1+i\left(-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-1\right)\right]=(1-i)\left( \frac{3}{2}-i\frac{1}{6} \right)=\frac{4-5i}{3} \]
--Tlacaelel Cruz (discusión) 15:30 12 jun 2015 (CDT)
ejercicio 22
Evalúe $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz$ de i a 1 a lo largo del contorno C dado en la figura
primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones
$z=x+yi$
$z^{2}=x^{2}+2xiy-y^{2}$
$-z=-x-yi$
Procedimiento
Sustituimos y simplificamos la expresión
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$
por propiedades de la integral sabemos que
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$
parametrizamos de la siguiente forma
$y=1$ , $0\leq x\leq1$
obtenemos que
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dz$
$z(x)=x+i=x+i$
$z'(x)=dx$
Entonces nuestra primera integral nos queda
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx$
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx=\frac{1}{3}+i-\frac{1}{2}-i+1= \frac{5}{6}$
Ahora haremos la segunda integral:
$\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$
parametrizamos de la siguiente forma
$x=1$ , $1\leq y\leq0$
$z(y)=1+yi$
$z'(y)=idy$
por los tanto nuestra integral nos queda
$\intop_{1}^{0}\left(1^{2}+2iy-y^{2}-1-iy+2\right)idy=\intop_{1}^{0}\left(-y^{2}+iy+2\right)idy=-\intop_{0}^{1}\left(-y^{2}i-y+2i\right)dy$
lo cual nos da como resultado al calcularla
$-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i\right]=\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i$
por lo tanto nos queda:
Solución
$\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz= \frac{5}{6} + \frac{1}{2}-\frac{5}{3}i=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:01 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 23
Evalúe $\int_C (z^2-z+2)dz$ de $i$ a $1$ a lo largo del contorno $C$ dado en la figura.
Procedimiento
Para parametrizar $y=-x^2+1$
Digo que: $x=t$ , $y=1-t^2$
Entonces : $\vec{z}(t)=<t,(1-t^2)>$ , $t\in[0,1]$
Si $z=x+iy$
$C:$ queda parametrizado por
$z(t)=t+i(1-t^2)$, $t[0,1]$
y $dz= (1-2it)dt$
Ahora: $z^{2}=\left(t+i(1-t)^{2}\right)^{2}$
y sustituyendo en mi función:
$z^2-z+2=(t+i(1-t^2))^{2}-\left(t+i(1-t^2)\right)+2=\left(1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right)$
La integral queda: \[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3} -t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= \frac{4}{3}-\frac{5}{3}i \]
Por que:
\[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= \]
\[ =(1-i) \int_{0}^{1} \! 1 \, dt - 3\int_{0}^{1} \! t \, dt + (7+3i) \int_{0}^{1} \! t^{2} \, dt + (2-8i) \int_{0}^{1} \! t^{3} \,dt - 5 \int_{0}^{1} \! t^{4} \,dt +2i \int_{0}^{1} \! t^{5} \,dt \]
Solución
\[ =1-i-\frac{3}{2}+\frac{7}{3}+i+\frac{1}{2}-2i-1+\frac{i}{3}=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i \]
Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 20:13 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 24
Evalué ${\displaystyle \int_{c}(z^{2}-z+2)dz}$ donde $c$ es el cuarto de circulo en el primer cuadrante con orientación negativa
Procedimiento
Proponemos la parametrización de $c=e^{it}$ con $\frac{\pi}{2}\leq t\leq0$
Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$
Así, tendríamos que calcular
\[ {\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+2)ie^{it}dt}} \]
\[
\Rightarrow-{\displaystyle i\int_{0}^{\pi/2}(e^{3it}-e^{2it}+2e^{it})dt=-i\left({\displaystyle \frac{e^{3it}}{3i}-{\displaystyle \frac{e^{2it}}{2i}+{\displaystyle \frac{2e^{it}}{i}}}}\right)|_{0}^{\pi/2}=\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}}
\]
\[
\Rightarrow\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}=\left({\displaystyle \frac{-\cos3t}{3}}+{\displaystyle \frac{\cos2t}{2}-2\cos t}\right)|_{0}^{\pi/2}+i\left({\displaystyle \frac{-\sin3t}{3}+{\displaystyle \frac{\sin2t}{2}-2\sin t}}\right)|_{0}^{\pi/2}
\]
Solución
\[ \Rightarrow\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}={\displaystyle \frac{4}{3}+i{\displaystyle \frac{5}{2}}} \]
Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 18:47 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral a lo largo del contorno indicado
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz donde C es la circuferencia :
Procedimiento
El teorema de acotamiento nos dice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML , donde L es la longitud de la circunferencia(perímetro),
entonces:
- y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x=Re\mid z\mid=5
Ahora:
analizamos el denominador:
La desiguealdad del triangulo nos dice que:
- , entonces
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid z^{2}+1\mid\geq\mid z^{2}\mid-\mid1\mid
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{\mid z^{2}+1\mid}\leq\frac{1}{\mid5^{2}\mid-\mid1\mid}
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{\mid z^{2}+1\mid}\leq\frac{1}{24}
Por otro lado, la definición de una función exponencial compleja es:
sacando la magnitud(módulo)de ambos miembros de la ecuación, factorizando se tiene:
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid e^{z}\mid=\mid e^{x}\mid\mid cosy+iseny\mid
Juntando los resultados obtenidos se tiene finalmente:
Solución
Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:02 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 26
Encontrar un límite superior para el valor absoluto de la integral dada a lo largo del contorno indicado.
$\oint_{c} \frac{1}{z^2-2i}dz $
donde C es la mitad derecha del círculo |z|=6 , de z=-6i a z=6i
Procedimiento
Tenemos una circunferencia con r=3
Tomamos el teorema de acotamiento
$ |\oint_{c}f(z)dz|\leq ML ....(1) $
Donde L es la longitud de la curva, por tanto
$ L=2\pi r=2\pi(3)=6\pi ....(2) $
Para encontrar el valor de la cota, tomamos el valor absoluto de la integral,donde
$ |\frac{1}{z^2-2i}|=\frac{|1|}{|z^2-2i|} ....(3) $
pero
$ |z_{1}+z_{2}|\geq |z_{1}|-|z_{2}| $ $ |z^2-2i|\geq |z^2|-|-2i| $ $ |z^2|-|-2i|\leq |z^2-2i| $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|z^2|-|-2i|} $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|36|-|-2i|} $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-\sqrt{4}\sqrt{i^2}} $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-2i} $ $ \therefore \frac{1}{36-2i}=M=(máximo)....(4)$
Solución
$ \therefore |\oint_{-6i}^{6i} \frac{1}{z^2-2i}dz|\leq \frac{6\pi}{36-2i} $
Realizado por: Samantha Martinez (discusión) 18:50 14 junio 2015 (CDT)
Ejercicio 27
Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral a lo largo del contorno indicado.
$\int_{c}(z^{2}+4)dz$, donde$C$ es el segmento de recta $z=0\:a\:z=1+i$
Procedimiento
por el teorema de acotamiento
si $f$ es continua sobre una curva suave $C$y si $\mid f(z)\mid\leq M\;\forall,z\epsilon C$, entonces $\mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML$, donde $L$ es la longitud de $C$
la longitud $L$ de $z=0\:a\:z=1+i$ utilizando el teorema de pitagoras
$L=\sqrt{2}$
podemos ver que el valor máximo que puede alcanzar $z$ es:
$\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
ademas:
$\mid z^{2}+4\mid\leq\mid z^{2}\mid+\mid4\mid=\mid z^{2}\mid+4=\mid z\mid^{2}+4=\sqrt{2}^{2}+4=2+4=6$
por el teorema de acotamiento tenemos:
$\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$
Conclusión
por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de $\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:02 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 28
Determinar una cota superior para el valor absoluto de la integral $\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$
Procedimiento
Para resolver el problema necesitaremos usar
$\left|\int_{c}f\left(z\right)dz\right|\leq ML$ ...(1)
Donde L es la longitud de arco dado por
$L=\int_{c}\sqrt{\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\psi}{dt}\right)^{2}}dt$ ...(2)
y M es una constante real
Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3)
Lo primero que se resolverá va a ser L pero antes de eso sabemos que la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de 4i a 4. Ahora resolvemos usando (2)
Antes definiremos las variables y sus derivadas
$x=\phi\left(t\right)=4cost\implies\frac{dx}{dt}=-4sent$ , $y=\psi\left(t\right)=4sent\Longrightarrow\frac{dy}{dt}=4cost$
Ya tenemos todo lo necesario para usar (2)
$L=\int\sqrt{\left(-4sent\right)^{2}+\left(4cost\right)^{2}}dt=\int\sqrt{16sen^{t}+16cos^{2}t}dt=\int\sqrt{\left(16\right)\left(sen^{2}t+cos^{2}t\right)}dt=\int\sqrt{16}=\int4dt$
Poniendo los limites de integracion adecuados tenemos que:
$L=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}dt=4t\mid_{\frac{\pi}{2}}^{0}=4t\left(o-\frac{\pi}{2}\right)=-2\pi$ Recordando que el signo negativo nos da por la dirección.
Ahora sacaremos M y para hacerlo necesitamos tomar la norma de $\frac{1}{z^{3}}$ pero nos enfocaremos en $z^{3}$
$\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}=4(16)=64$ esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3)
por lo tanto tenemos que
$\left|\frac{1}{z^{3}}\right|=\frac{1}{64}$
Multiplicamos Lpor M
$LM=-2\pi\left(\frac{1}{64}\right)=-\frac{\pi}{32}$
Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema
Conclusión
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$
Nota: Salvo por el signo el ejercicio es correcto
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq+\frac{\pi}{32}$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:56 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 29
(a) utilice la definición 5.2.1 para demostrar que para cualquier curva suave C entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_{c} dz = z_{n} - z_{n}$
Inciso a
Si $f$ es continua en una curva suave C dada por la parametrización $z(t) = x(t) iy(t), a \leq t \leq b$ , entonces
\[
\int_{c} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z' (t) dt\]
Tenemos
\[
\int_{z_{0}}^{z_{n}} dz = \int_{a}^{b} z' (t) dt\]
Entonces
\[
\int_{a}^{b}[x'(t) + i y'(t)] dt = z\]
De acuerdo con el problema:
$b= z_{n} a= z_{0}$
\[ z_{n} - z_{0}\]
b)Usar los resultados en la parte (a) para verificar la respuesta del problema 14.
Inciso b
$z_0=2i$
$z_n=-2i$
$\int _c dz=-4i$
Que es el mismo resultado que el problema 14.
c) Cual es $\int _c dz $ si C es una curva simple cerrada.
Inciso c
Si es simple y cerrada:
$z_n = z_0$
Por lo que
$\int _c dz=0$
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 11:45 13 jun 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 30
Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.
Procedimiento
Sol. La definición de la integral compleja es $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt$, para nuestro problema $f(z)=z$ con $z=z(t)=x(t)+iy(t)$ donde $x$ e $y$ están parametrizadas en $t:[a,b]$ y definamos $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ con $t_0=a$ y $t_n=b$.
Sustituimos en la definición:
$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$
Si $z(t)=x(t)+iy(t)$ entonces $z'(t)=x'(t)+iy'(t)$. Por comodidad se omitirá la notación $x(t)$ y demás considerándose que todas las variables son funciones implícitas de $t$.
Sustituyendo:
$\int_Cf(z)dz=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}(x+iy)(x'+iy')dt=\int_{t_0}^{t_n}[xx'+ixy'+iyx'-yy']dt$
$\int_Czdz=\int_{t_0}^{t_n}[(xx'-yy')+i(xy'+x'y)]dt=\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt+i\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$
e identificamos las partes de la integral
$\int_{a}^{b}f_1(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt$ y $\int_{a}^{b}f_2(t)=\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$
las cuales son integrales reales. Del teorema fundamental del cálculo se tiene que si $F(t)$ es una anti-derivada de una función continua (las cuales deben de ser para este problema dado que las funciones $x(t)$ e $y(t)$ son continuas en la curva $C$), es decir, $F$ es una función para la que $F'(t)=f(t)$, entonces la integral definida de $f$ en el intervalo $[a,b]$ es el número
$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$
por lo que se procede a encontrar las funciones $F_1(t)$ y $F_2(t)$.
Para la parte real se tiene $\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt$, por lo que una opción es $F_1(t)=\frac{1}{2}(x^2-y^2)$, lo cual puede comprobarse al derivar implícitamente respecto a $t$ con la regla de la cadena. Así, para la parte real de la integral $\int_Czdz$ se tiene
$\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt=\frac{1}{2}(x^2-y^2)|_{t_0}^{t_n}=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)-(x(t_0)^2-y(t_0)^2)]$
La parte imaginaria es $\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$ y notamos que lo de entre paréntesis es la derivada de un producto por lo que $F_2(t)=xy$, así
$\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt=xy|_{t_0}^{t_n}=x(t_n)y(t_n)-x(t_0)y(t_0)$
Sustituyendo
$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)-(x(t_0)^2-y(t_0)^2)]+i[x(t_n)y(t_n)-x(t_0)y(t_0)]$
$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)+i(2x(t_n)y(t_n))]-\frac{1}{2}[(x(t_0)^2-y(t_0)^2)+i(2x(t_0)y(t_0))]$
Dado que $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ y $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, entonces por las reglas de multiplicación
$z_0^2=[x(t_0)+iy(t_0)]^2=[x(t_0)^2-y(t_0)^2]+i[2x(t_0)y(t_0)]$ y,
$z_n^2=[x(t_n)+iy(t_n)]^2=[x(t_n)^2-y(t_n)^2]+i[2x(t_n)y(t_n)]$
Sustituyendo
$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)+i(2x(t_n)y(t_n))]-\frac{1}{2}[(x(t_0)^2-y(t_0)^2)+i(2x(t_0)y(t_0))]=\frac{1}{2}z_n^2-\frac{1}{2}z_0^2$
Por lo que hemos demostrado que:
Conclusión
$\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$
para toda curva $C$ suave entre los puntos $z_0$ y $z_n$.
Realizado por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:20 13 jun 2015 (CDT)