Compleja:Zill-Cap3.1

Ejercicios del capítulo 3, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 3.1

Ejercicio 1

Usando la definición 3.1 $\left(f'(z_0)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\right)$ para encontrar $f'(z)$ para la función $f(z)=9iz+2-3i$.

Procedimiento

Usando la definición tenemos:

\[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9i\left( z+\Delta z \right)+2-3i\;-\left( 9iz+2-3i \right)}{\Delta z}=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9iz+9i\Delta z+2-3i-9iz-2+3i}{\Delta z}=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9i\Delta z}{\Delta z} \] Por propiedades de límites $\left( \lim c\,f=c\,\lim f \right)$, si $c$ es una constante compleja. \[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{9i\Delta z}{\Delta z}=9i\,\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta z} \]

Solución

Como $a/a=1$ para todo $a\not= 0$, y dado que $\Delta z$ tiende a $0$ (no es cero), podemos hacer la división \[ f'(z)=9i(1)=9i \]

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Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 13:02 27 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Use la definición 3.1.1 para encontrar $f´(z)$ para

$f(z)=15z^{2}-4z+1-3i$

Procedimiento

empezamos escribiendo $f(z+\varDelta z)$

$f(z+\varDelta z)=15(z+\varDelta z)^{2}-4(z+\varDelta z)+1-3i$

desarrollamos y simplificamos

$f(z+\varDelta z)=15z^{2}+30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4z-4\varDelta z+1-3i$

ahora hacemos $f(z+\varDelta z)-f(z)$

$f(z+\varDelta z)-f(z)=(15z^{2}+30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4z-4\varDelta z+1-3i)-(15z^{2}-4z+1-3i)=15z^{2}+30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4z-4\varDelta z+1-3i-15z^{2}+4z-1+3i$

$f(z+\varDelta z)-f(z)=30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4\varDelta z$

realizamos el límite

$f´(z)=lim_{\varDelta z\longrightarrow0}\frac{30z\varDelta z+15\varDelta z^{2}-4\varDelta z}{\varDelta z}$

factorizamos $\varDelta z$

$lim_{\varDelta z\longrightarrow0}\frac{\varDelta z(30z+15\varDelta z-4)}{\varDelta z}$

se hacen 1 y nos queda

$lim_{\varDelta z\longrightarrow0}30z+15\varDelta z-4=30z-4$

Solución

por lo tanto

$f´(z)=30z-4$

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Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 18:02 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

Obtén $f'(z)$ de la siguiente función, usando la definición de Derivada.

$f(z)=iz^3-7z^2$

Procedimiento

Definición de derivada:

$\left(f'(z_0)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\right)$

Entonces:

$ f(z+\Delta z)-f(z)= i(z+\Delta z)^3-7(z+\Delta z)^2-(iz^3-7z^2)= 3z^2\Delta zi+3z\Delta z^2i+\Delta z^3i-14z\Delta z-7\Delta z^2$

\[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{\Delta z\left(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z \right)}{\Delta z}\]

\[ f'(z)= \lim_{\,\Delta z \to 0}(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z) \]

Solución

Por lo tanto: Aplicando el limite y sus propiedades , obtenemos:

\[ f'(z)= 3iz^2-14z \]

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Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 11:57 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Obtén $f'(z)$ de la siguiente función, usando la definición de Derivada.

$f\left(z\prime\right)=\frac{1}{z}$

Procedimiento

Por definición se tiene:

$f\left(z\prime\right)=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{f\left(z+\triangle z\right)-f\left(z\right)}{\triangle z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\frac{1}{\left(z+\triangle z\right)}-\frac{1}{z}}{\triangle z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\frac{z-\left(z+\triangle z\right)}{\left(z+\triangle z\right)\left(z\right)}}{\triangle z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{z-\left(z+\triangle z\right)}{z.\triangle z.\left(z+\triangle z\right)}$

$=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{-\triangle z}{\triangle z.z^{2}+\triangle z^{2}.z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}-\frac{1}{z^{2}+\triangle z.z}=-\frac{1}{z^{2}}$

Solución

Por lo tanto:

$f\left(z\prime\right)=-\frac{1}{z^{2}}$

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Realizado por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 20:12 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

encuentre $f'(z)$ para la función dada

$f(z)=z-\frac{1}{z}$

Procedimiento

primero, como, calcularemos la derivada de $f(z)$ en cualquier punto entonces:

$f(z+\Delta z)=(z+\Delta z)-\frac{1}{z+\Delta z}=\frac{(z+\Delta z)^{2}-1}{z+\Delta z}=\frac{z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1}{z+\Delta z}$

segundo

$f(z+\Delta z)-f(z)=\frac{z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1}{z+\Delta z}-z+\frac{1}{z}=\frac{z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1}{z+\Delta z}+\frac{1-z^{2}}{z}=\frac{z(z^{2}+2z*\Delta z+\Delta z^{2}-1)+(1-z^{2})(z+\Delta z)}{(z+\Delta z)z}=\frac{z^{3}+2z^{2}\Delta z+z*\Delta z^{2}-z+z-z^{3}+\Delta z-z^{2}\Delta z}{z^{2}+z*\Delta z}=\frac{\Delta z(z^{2}+z*\Delta z+1)}{z^{2}+z*\Delta z}$

así

$f'(z)=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\frac{\Delta z(z^{2}+z*\Delta z+1)}{z^{2}+z*\Delta z}}{\Delta z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\Delta z(z^{2}+z*\Delta z+1)}{\triangle z(z^{2}+z*\Delta z)}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{z^{2}+z*\Delta z+1}{z^{2}+z*\Delta z}=\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{z^{2}+z*\Delta z}{z^{2}+z*\Delta z}+\lim_{\triangle z\rightarrow0}\frac{1}{z^{2}+z*\Delta z}=1+\frac{1}{z^{2}}$

Solución

así, el límite es

$f'(z)=1+\frac{1}{z^{2}}$

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Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 15:51 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Utilizar la función alternativa para encontrar $f'(z)$

con $f(z)=Z^3$

Procedimiento

para poder resolver este problema utilizaremos la definicion de funcion alternativa, esto es;

$f'(z)={\underset {z\rightarrow {i}}{lim}}({\frac {f(z)-f(z0)}{z-z0}})$

en este caso la definicion queda de la sigiente manera;

$f'(z)=\underset{z\rightarrow{z}}{lim}(\frac{(z^{3})-(z0^{3})}{z-z0})$= $\underset{z\rightarrow{z}}{lim}(\frac{(z-z0)(z^2+zz0+z0^{2})}{z-z0})$= $\underset{z\rightarrow{z}}{lim}(z^{2}+z^{2}+z^{2})=3z^{2})$

Conclusión 

$f'(z)=3z^{2}$

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Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 00:15 1 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Use las reglas de diferenciación para hallar $f'(z)$

$f(z) = 5(iz)^3 - 10z^2 + 3 - 4i$

Procedimiento

$f'(z) = 15(iz)^2(i) - 20z$

$f'(z) = 15i^2z^2i - 20z$

Solución

con $i^2 = -1$, entonces tenemos que

$f'(z) = -15iz^2 - 20z$

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Realizado por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 23:27 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Usar las reglas de diferenciación, para encontrar $f'(z)$

$f\left\{ z\right\} =(z^{6}-1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)$

Procedimiento

$f\left\{ z\right\} =(z^{6}-1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)$

usando la derivación de un producto tenemos

$f\left(z\right)=g\left(a\right)h\left(z\right)$

$f^{!}\left(z\right)=g\left(a\right)^{!}h\left(z\right)+g\left(a\right)h^{!}\left(z\right)$

aplicándolo a el ejercicio pedido tenemos:

$f'(z)= =(z^{6}\text{-}1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)$

$f'(z)= =(z^{6}\text{-}1)^{!}(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)+(z^{6}\text{-}1)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)^{!}$

$f'(z)=\left(6z^{5}\right)(z^{2}\text{-}z+1\text{-}5i)+(z^{6}\text{-}1)\left(2z-1\right)$

Solución

Haciendo los productos, se tiene que:

$f'(z)=8z^7-7z^6+6z^5(1-5i)-2z+1$

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Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 14:27 30 mayo 2015 (CDT) Completado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 14

Usar las reglas de derivación para:

$f\left(z\right)=\left(z^{2}+2z-7i\right)^{2}\left(z^{4}-4iz\right)^{3}$

Procedimiento

Aplicando la regla del producto la cual es

$\frac{d}{dz}f\left(z\right)g\left(z\right)=f\left(z\right)\frac{d}{dz}g\left(z\right)+\frac{d}{dz}f\left(z\right)g\left(z\right)$

Y en la función tenemos

$\frac{d}{dz}f\left(z\right)=2\left(z^{2}+2z-7i\right)\left(2z+2\right)\left(z^{4}-4iz\right)^{3}+\left(z^{2}+2z-7i\right)^{2} 3(z^4-4iz)^2 (4z^3-4i)$

Si se quiere expandir y realizar los productos y potencias, se tiene que, usando mathematica.

Resultado Expandido

$f'(z) = 4 z^{15} + 12 z^{14} + (8 - 28 i) z^{13} - 44 i z^{12} - 80 i z^{11} - (100 + 128 i) z^{10} - (288 + 64 i) z^9 - (304 + 180 i) z^8 - (448 + 432 i) z^7 - (1204 - 656 i) z^6 - (1184 - 1152 i) z^5 - (1536 - 1292 i) z^4 - (192 - 3792 i) z^3 + (1792 + 1856 i) z^2 + 4144 z$.

Aunque se usará el resultado anterior como solución.

Solución

$\frac{d}{dz}f\left(z\right)=2\left(z^{2}+2z-7i\right)\left(2z+2\right)\left(z^{4}-4iz\right)^{3}+\left(z^{2}+2z-7i\right)^{2} 3(z^4-4iz)^2 (4z^3-4i)$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 11:34 31 mayo 2015 (CDT) Corregido por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 15

Encontrar la derivada de la función $f(z)$ utilizando las reglas de la derivada

$f(z)=\frac{iz^{2} - 2z}{3z+1-i}$

Procedimiento

Para esta función se hace uso de la regla del cociente que dice:

$\frac{d}{dz} [\frac{g(z)}{h(z)}] = \frac{h(z)g´(z) - g(z)h´(z)}{[h(z)]^2}$

En la función tenemos que :

$g(z)=iz^2 - 2z$

$h(z)=3z+1-i$

Al aplicar la regla del cociente en la función tenemos

$f´(z) = \frac{(3z+1-i)(2iz-2) - (iz^{2}-2z)(3)}{(3z+1-i)^2}$

$f´(z)=\frac{3iz^{2}+2iz+2z+2i-2}{(3z+1-i)^2}$

Solución

$f´(z)=\frac{3iz^{2}+z(2i+2)+2i-2}{(3z+1-i)^2}$

Siendo este nuestro resultado final

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Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 01:51 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 16

Utilice las reglas de derivacion para encontrar $f^{\prime}(z)$ para la funcion dada

16. $f(z)=-5iz^{2}+{\displaystyle \frac{2+i}{z^{2}}}$

Para el primer termino usamos la regla de las potencias y para el segundo termino la regla del producto, asi tenemos lo siguiente

\[ f^{\prime}(z)={\displaystyle \frac{d}{dz}[-5iz^{2}]+{\displaystyle \frac{d}{dz}[2+i]z+{\displaystyle \frac{d}{dz}[z^{-2}](2+i)}}} \]

\[ f^{\prime}(z)=-10iz-2(2+i)z^{-1} \]

En la cual derive el cociente como un producto.

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Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 23:07 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Utilice las reglas de derivación para encontrar la derivada para la función dada

$f(z)=(z^{4}-2iz+z)^{10}$

Procedimiento

Para derivar esta función usamos de la regla de la potencia

$\frac{d}{dz} [g(z)]^{n} = n[g(z)]^{n-1}g'(z)$

En al regla de las funciones de potencia se identifica $n=10$, $n-1=9$, $g(z)=z^{4}-2iz+z$ y $g'(z)=4z^{3}-2i+1$

Pr lo tanto $f'(z)$ es

Solución

$f'(z)=10(z^{4}-2iz+z)^{9}(4z^{3}-2i+1)$

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 10:20 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Utilice las reglas de derivación para encontrar la derivada para la función dada $f'(z)$.

$f(z)= (\frac{(4+2i)z}{(2-i)z² +9i})³$

Podemos tomar: $u=\frac{(4+2i)z}{(2-i)z² +9i}$

por lo cual tenemos que :

$f(u)=u³$ , derivando

$f'(u)=3u²$

Ahora bien $u$ esta conformada de un cociente de funciones por lo cual procedemos a utilizar la regla para derivación de cocientes:

$\frac{d}{dt}[\frac{f(z)}{g(z)}]=\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{[g(z)]²}$

Ahora bien definimos de $u$:

$f(z)= (4+2i)z$

$f'(z)= 4+2i$

$g(z)= (2-i)z²+9i$

$g'(z)=2(2-i)z$

Ahora bien sustituyendo:

$u'= \frac{[(2-i)z²+9i)*(4+2i)]-[(4+2i)z*(2z(2-i))]}{(4z-2iz)²}$

desarrollando:

$u'= \frac{(2z²-iz²+9i)(4+2i)-(4z+2iz)(4z-2iz)}{12z²-16iz²}$

$u'= \frac{8z²-4iz+36i+4iz²+2z²-18-16z²+8iz-8iz²+4z²}{12z²-16iz²}$

$u'=\frac{-2z²-4iz²+4iz+36i-18}{12z²-16iz²}$

$u'= \frac{-(2+4i)z²+(4z+36)i-18}{(12-16i)z²}$

Por ultimo sabemos que :

$f'(u)=(n-1)u^{n}*u'$

Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos que:

$f'(z)= 3(\frac{(4+2i)z}{(2-i)z² +9i})²*(\frac{-(2+4i)z²+(4z+36)i-18}{(12-16i)z²})$

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Realizado por: Anahi Limas (discusión) 00:35 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 19

La función $f(z) = |z|^{2}$ es continua en el origen

(a) demuestre que $f$ es derivable en el origen.

(b) demuestre que $f$ no es derivable en ningún otro punto $z\neq 0$.

Procedimiento

(a) Podemos definir a $z=|z|^2= \overline{z}z$

Utilizando la definición de derivada \[ f'(z)= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\]

\[ = \lim_{\Delta z\to 0} \frac{|z+\Delta z|^{2}-|z|^{2}}{\Delta z}\]

\[= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{(z+\Delta z )(\overline {z} + \overline{\Delta z)} -z\overline{z}}{\Delta z} \]

\[= lim_{\Delta z\to 0} \overline{z} + \overline{\Delta z} + z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\]

Solución

Para un $z= 0$

\[ f'(0) =lim_{\Delta z\to 0} \frac{|\Delta z |^{2} \overline{\Delta z}} {|\Delta z |^{2}}\]

\[ = lim_{\Delta z\to 0} \overline{\Delta z} = 0\]

Por lo tanto f(z) es diferenciable en el origen.

(b) Para $ z\neq 0$

Procedimiento

\[= \lim_{\Delta z\to 0} \frac{(z+\Delta z )(\overline {z} + \overline{\Delta z)} -z\overline{z}}{\Delta z} \]

Solución

\[= lim_{\Delta z\to 0} \overline{z} + \overline{\Delta z} + z \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} \] el limite no existe

Dado que no existe el limite, f(z) no es diferenciable, en ningún punto $z\neq 0$

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Realizado por: Esther Sarai (discusión) 09:58 31 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai

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Ejercicio 23

Utilice la regla de L' Hopital para calcular el siguiente límite complejo

${\underset {z\rightarrow i}{\lim }}{\frac {z^{7}+i}{z^{14}+1}}$.

Procedimiento

Identificamos $f(z)=z^{7}+i$; $g(z)=z^{14}+1$, comprobamos primero que:

$f(i)=\left(i\right)^{7}+i=-i+i=0,$

$g(i)=\left(i\right)^{14}+1=-1+1=0,$

${\underset {z\rightarrow i}{\Rightarrow \lim }}{\frac {z^{7}+i}{z^{14}+1}}={\frac {0}{0}}$, ambas son funciones polinomiales analíticas en $z_{0}=i$, usando la regla de L' Hopital se tiene

$f'(z)=7z^{6}\Rightarrow f'(i)=7(i)^{6}=-7,$

$g'(z)=14z^{13}\Rightarrow g'(i)=14(i)^{13}=14i,$

sustituyendo y simplificando en el límite se tiene

${\underset {z\rightarrow i}{\lim }}{\frac {f'(z_{0})}{g'(z_{0})}}=-{\frac {7}{14i}}=-{\frac {1}{2i}}*{\frac {i}{i}}=-{\frac {i}{2\left(i\right)^{2}}}=-{\frac {i}{2(-1)}}={\frac {1}{2}}i.$

Solución

Por lo que el ${\underset {z\rightarrow i}{\lim }}{\frac {z^{7}+i}{z^{14}+1}}={\frac {1}{2}}i$.

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Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:23 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 24

Utilice la regla de L'Hopital para calcular el limite dado.

$\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{2}i}[\frac{z^{4}+16}{z^{2}-2\sqrt{2}z+4}]$

Procedimiento

Como se puede ver tenemos que:

$f(z)=z^{4}+16=(z^{2})^{2}+16$

$g(z)=z^{2}-2\sqrt{2}z+4$

Ahora evaluamos $f(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$ y $g(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$

$f(x,y)=[x-y^{2}+i(2xy)]^{2}+16$

$f(\sqrt{2},\sqrt{2})=[\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{2}+i(2\sqrt{2}\sqrt{2})]^{2}+16=[i(4)]^{2}+16=-16+16=0$

$g(x,y)=[x^{2}-y^{2}+i(2xy)]^{2}-2\sqrt{2}(x+iy)+4$

$g(\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{2}+i(2\sqrt{2}\sqrt{2})-2\sqrt{2}(\sqrt{2}+i\sqrt{2})+4=4i-4-4i+4=0$

Por lo tanto podemos usar L'Hopital

$\dot{f(z)}=4z^{3}\Longrightarrow\dot{f(\sqrt{2},\sqrt{2})}=4[\sqrt{2}^{2}-\sqrt{2}^{2}+i(2\sqrt{2}\sqrt{2})](\sqrt{2}+i\sqrt{2})=4(4i)(\sqrt{2}+i\sqrt{2})=16(i\sqrt{2}-\sqrt{2})=-16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}$

$\dot{g(z)}=2z-2\sqrt{2}\Longrightarrow\dot{g(\sqrt{2},\sqrt{2})}=2(\sqrt{2}+i\sqrt{2})-2\sqrt{2}=i2\sqrt{2}$

Solución

Finalmente

$\underset{z\rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{lim}=\frac{\dot{f(z_{0})}}{\dot{g(z_{0})}}=\frac{-16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}}{i2\sqrt{2}}=\frac{-16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}}{i2\sqrt{2}}[\frac{i}{i}]=\frac{-16i\sqrt{2}-16\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}+i16\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=8+8i$

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Elaborado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 21:36 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 25

Utilice la regla de L' Hopital para calcular el siguiente límite complejo ${\underset {z\rightarrow i+1}{\lim }}{\frac {z^{5}+4z}{z^{2}-2z+2}}$.

Procedimiento

Tenemos que $f(z)=z^{5}+4z$ y $g(z)=z^{2}-2z+2$. Comprobamos que

$f(1+i)=\left(1+i\right)^{5}+4(1+i)=1+5i+10i^{2}+10i^{3}+5i^{4}+i^{5}+4+4i=1+5i-10-10i+5+i+4+4i=0,$

$g(1+i)=\left(1+i\right)^{2}-2\left(1+i\right)+2=1+2i+i^{2}-2-i+2=0,$

$\Rightarrow {\underset {z\rightarrow i+1}{\lim }}{\frac {z^{5}+4z}{z^{2}-2z+2}}={\frac {0}{0}}$, ambas funciones son analíticas en $z_{0}=1+i$; usando la regla de L' Hopital se tiene

$f'(z)=5z^{4}+4\Rightarrow f'(1+i)=5\left(1+i\right)^{4}+4=5\left(1+4i-6-4i+1\right)+4=-16,$

$g'(z)=2z-2\Rightarrow g'(1+i)=2(1+i)-2=2i.$

Sustituyendo y simplificando en el límite se tiene

${\underset {z\rightarrow i}{\lim }}{\frac {f'(z_{0})}{g'(z_{0})}}=-{\frac {16}{2i}}=-{\frac {8}{i}}*{\frac {i}{i}}=8i.$

Solución

$\therefore {\underset {z\rightarrow i+1}{\lim }}{\frac {z^{5}+4z}{z^{2}-2z+2}}=8i.$

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Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:56 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 26

utilice la regla de L' Hopital para calcular el limite dado.

$\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}i\;}\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}$

Procedimiento

si hacemos

$f(z)=z^{3}+5z^{2}+2z+10$

y

$g(z)=z^{5}+2z^{3}$

entonces evaluando $\sqrt{2}i$ en $f(z)\;y\;g(z)$

$f(\sqrt{2}i)=(\sqrt{2}i)^{3}+5(\sqrt{2}i)^{2}+2(\sqrt{2}i)+10=-2\sqrt{2}i-10+2(\sqrt{2}i)+10=0$

$g(\sqrt{2}i)=(\sqrt{2}i)^{5}+2(\sqrt{2}i)^{3}=4\sqrt{2}i-4\sqrt{2}i=0$

así

$f'(z)=3z^{2}+10z+2$

$g'(z)=5z^{4}+6z^{2}$

de aquí, que utilizando la regla de L'Hospita tenemos

$\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}i\;}\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}=\frac{f'(z)}{g'(z)}=\frac{3(\sqrt{2}i)^{2}+10(\sqrt{2}i)+2}{5(\sqrt{2}i)^{4}+6(\sqrt{2}i)^{2}}=\frac{-6+2+10\sqrt{2}i}{20-12}=\frac{-4+10\sqrt{2}i}{8}=-\frac{1}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{4}i$

Solución

$\therefore\lim_{z\rightarrow\sqrt{2}i\;}\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{4}i$

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Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 01:05 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 27

Determine los puntos en donde la función dada no es analítica.

a) $f(z)={\frac {iz^{2}-2z}{3z+1-i}}$

Procedimiento

El criterio de analiticidad dice que la función tiene que ser derivable en un punto para que en ese punto exista la analiticidad.

Pero para que exista la derivada en un punto tiene que tener el límite y ser continua en el punto.

Analizando la función dada tenemos un punto en donde no es continua que es en el cociente de cero. Por lo tanto no es continua en

$3z+1-i=0$

y esto pasa sí y sólo sí.

$z={\frac {-1+i}{3}}$

Solución

Por lo tanto la función no es analítica en $z={\frac {-1+i}{3}}$.

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Realizado por: Pablo (discusión) 11:04 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 29

Determine los puntos en donde la función dada no es analítica

$f(z)=(z^4-2iz^2+z)^{10} $

Procedimiento

Tomamos el limite de f(z)

$ {\lim_{z\rightarrow 0}} (z^4-2iz^2+z)^{10} $

$ f(0)= (0^4-2i0^2+0)^{10} = 0 $

$ {\lim_{z\rightarrow 0}} (z^4-2iz^2+z)^{10} = 0 $

Donde f(z) es una función porlinomial que es analítica en z=0, ahora utilizando L' Hopital

$ f'(z)=(4z^3-4iz+1)^{10} $ $ f'(0)= 1 $

Solución

Por tanto

$ {\lim_{z\rightarrow 0}} (z^4-2iz^2+z)^{10} =1 $

El limite existe entonces f(z) es derivable por lo tanto la función es analítica y es continua en el punto z=1

Entonces f(z) es analítica para todo z

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Usuario:Samantha Martinez (discusión) 11:04 31 mayo 2015 (CDT)

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===Ejercicio 31 ( PROBABLEMENTE DE OTRO LIBRO NO ZILL)===

Use la definición 2.6.2 y el teorema 2.6.2 para demostrar la regla de la constante ${\frac {d}{dz}}cf(z)=cf'(x)$

Usando la definición de derivada tenemos que

${\frac {d}{dz}}cf(z)=lim_{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {cf(z+\Delta z)-cf(z)}{\Delta z}}$

Factorizando la c y usando la definición

$lim_{z\rightarrow z_{0}}cf(z)=cL$

Tenemos que

$lim_{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {cf(z+\Delta z)-cf(z)}{\Delta z}}=lim_{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {c(f(z+\Delta z)-f(z))}{\Delta z}}=cL$

Donde $L$ es la derivada de la función, por la propiedad

$lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})$

$lim_{\Delta z\rightarrow 0}c{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}=cf'(x)$

Por lo tanto por la definición de derivada tenemos que

${\frac {d}{dz}}cf(z)=cf'(x)$

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Realizado por: Pablo (discusión) 11:28 31 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 32

PROBABLEMENTE OTRO LIBRO, NO ZILL

Usar la definición 2.6.2 y el teorema 2.6.2 para demostrar la regla de la suma $\dfrac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=f'(z)+g'(z)$.

Sol. Si $w(z)=f(z)+g(z)$:

$\dfrac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=\dfrac{d}{dz}w(z)=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z}$

Sustituyendo se tiene:

$\dfrac{d}{dz}w(z)=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{[f(z+\Delta z)+g(z+\Delta z)]-[f(z)+g(z)]}{\Delta z}=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{[f(z+\Delta z)-f(z)]+[g(z+\Delta z)-g(z)]}{\Delta z}=lím_{\Delta z\rightarrow 0}(\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z})$

Y del teorema 2.6.2 tenemos que:

$lím_{z\rightarrow z_0}(h(z)\pm k(z))=lím_{z\rightarrow z_0}h(z)\pm lím_{z\rightarrow z_0}k(z)$

Podemos decir:

$lím_{\Delta z\rightarrow 0}(\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z})=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+ lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}$

Y de la definición para la derivada: $w'(z)=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z}$

Podemos concluir que:

$\dfrac{d}{dz}[f(z)+g(z)]=lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}+ lím_{\Delta z\rightarrow 0}\dfrac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}=f'(z)+g'(z)$

Oscar Javier Gutierrez Varela 19:39 30 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 34

En este problema se le guía a través del inicio de la prueba de la regla del producto. Demostración Partimos de la hipótesis de que f y g son derivables en un punto z; es decir, existen cada uno de los siguientes límites:

$ f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} ; g'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z} $

(a) Justifique la igualdad.

(b) Use la definición 2.9 para justificar

$\lim_{\Delta z \to 0}{g(z+\Delta z)=g(z)}$

(c)Use los Teoremas 2.2 $(ii)$ y 2.2$(iii)$ para finalizar la prueba.

Solución

(a)

\begin{align*} \frac{d}{dz}[f(z)g(z)]&=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z)}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)g(z+\Delta z)+(f(z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z+\Delta z))-f(z)g(z)}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{(f(z+\Delta z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z+\Delta z))+(f(z)g(z+\Delta z)-f(z)g(z))}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z \to 0}[\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}g(z+\Delta z)+f(z)\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z}] \end{align*}

Se agregó un cero en el segundo renglón, luego se asocio y por último se factorizó.

Solución

(b) La definición 2.9 establece: Una función $f$ es continua en $z_0$ si:

$ \lim_{z \to z_0} f(z)=f(z_0) $

Como $g$ es continua por hipótesis, (ya que si $g$ es diferenciable en $z$, entonces $g$ es continua en $z$ (teorema3.2) ) y aplicando la definición 2.9, se tiene: $\lim_{\Delta z \to 0} g(z+\Delta z)=g(z+0)=g(z)$

Solución

(c) Aplicando el teorema 2.2(ii) a la última igualdad del inciso (a)

$ \lim_{\Delta z \to 0}(\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}g(z+\Delta z))+(\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z} f(z)) $

Aplicando el teorema 2.2(iii) a lo anterior:

$(\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z})(\lim_{\Delta z \to 0}g(z+\Delta z))+(\lim_{\Delta z \to 0}\frac{g(z+\Delta z)-g(z)}{\Delta z})(\lim_{\Delta z \to 0} f(z)) $

De la hipótesis y por (b), se concluye que:

$\frac{d}{dz}[f(z)g(z)]=f'(z)g(z)+g'(z)f(z) $

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Elaborado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 22:13 31 mayo 2015 (CDT)

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