Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap2.6»
(No se muestran 32 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 137: | Línea 137: | ||
===Ejercicio 5=== | ===Ejercicio 5=== | ||
Use el teorema 2.1 y las propiedades de los límites reales de la página 115 a calcular el límite complejo dado. | |||
$lim_{z\longrightarrow i\pi}\left (e^z \right )$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Usando la expansión de la exponencial compleja, tenemos: | |||
$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\left [ \cos y+i \sin y \right ]$ | |||
'''Solución''' | |||
Aplicando esto a el limite requerido tenemos: | |||
$\lim_{(x,y)\longrightarrow (0,\pi)}e^{x}\left [ \cos y +i \sin y \right ]=e^{0}\left [ \cos(\pi)+i\sin(\pi) \right ]=e^{0}(-1+i0)=-1$ | |||
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[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 13:10 30 mayo 2015 (CDT) | |||
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Línea 181: | Línea 167: | ||
'''Procedimiento''' | |||
$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$ | $\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$ | ||
Línea 189: | Línea 174: | ||
Ademas para $z_{0}=2-i$ | Ademas para $z_{0}=2-i$ | ||
'''Solución''' | |||
$f(z_{0})=f(2-i)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$ | $f(z_{0})=f(2-i)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$ | ||
$\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=1-3i$ | |||
Ya que $\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=f(z_{0})$ | Ya que $\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=f(z_{0})$ | ||
Concluimos que $f(z)=z^{2}-z$ es continua el punto $2-i$ | |||
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[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 03:07 31 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 03:07 31 mayo 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 10=== | ===Ejercicio 10=== | ||
Calcule el limite complejo $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2}+z)$ | |||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Para calcular este limite es necesario saber que $\underset{z\rightarrow{z0}}{lim}z=z0)$ | Para calcular este limite es necesario saber que $\underset{z\rightarrow{z0}}{lim}z=z0)$ | ||
Línea 212: | Línea 199: | ||
<math>\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2+}+z)=\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z)-\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z)+\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z)</math> | <math>\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2+}+z)=\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z)-\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z) \underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z)+\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z)</math> | ||
Así calculando el limite $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}z=i$ obtendremos que; | |||
<math>\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2+}+z)=(i)(i)(i)(i)(i)-(i)(i)+(i)</math> | <math>\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2+}+z)=(i)(i)(i)(i)(i)-(i)(i)+(i)</math> | ||
'''Solución''' | |||
Así resolviendo tendremos finalmente que; | |||
<math>\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2+}+z)=i+1+i=1+2i</math> | <math>\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2+}+z)=i+1+i=1+2i</math> | ||
--[[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 22:25 31 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 22:25 31 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 15=== | ===Ejercicio 15=== | ||
'''<math>\underset{z \rightarrow z_{0}}{lim}(\frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}})</math>''' | '''<math>\underset{z \rightarrow z_{0}}{lim}(\frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}})</math>''' | ||
'''Procedimiento''' | |||
Evaluando el límite | Evaluando el límite | ||
Línea 234: | Línea 228: | ||
<math>\underset{z \rightarrow z_{0}}{lim}(\frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}})= \frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}}= \frac{az-az_{0}+b-b}{z-z_{0}}=\frac{a(z-z_{0})}{z-z_{0}}= a</math> | <math>\underset{z \rightarrow z_{0}}{lim}(\frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}})= \frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}}= \frac{az-az_{0}+b-b}{z-z_{0}}=\frac{a(z-z_{0})}{z-z_{0}}= a</math> | ||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto el límite de esta función está dado por | Por lo tanto el límite de esta función está dado por | ||
Línea 239: | Línea 235: | ||
<math>\underset{z \rightarrow z_{0}}{lim}(\frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}})= a</math> | <math>\underset{z \rightarrow z_{0}}{lim}(\frac{(az+b)-(az_{0} +b)}{z-z_{0}})= a</math> | ||
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 09:50 31 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 09:50 31 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 19=== | ===Ejercicio 19=== | ||
Considere el limite $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2},$ | |||
donde | |||
$z^{c}$es $z$ conjugado | $z^{c}$es $z$ conjugado | ||
Línea 260: | Línea 259: | ||
e) ¿Que puede decir acerca de $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}?$ | e) ¿Que puede decir acerca de $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}?$ | ||
'''Inciso a''' | |||
suponga que $z=x+iy=(x,y)$ (en el plano complejo) entonces $z^{c}=x-iy=(x,-y)$ | suponga que $z=x+iy=(x,y)$ (en el plano complejo) entonces $z^{c}=x-iy=(x,-y)$ | ||
así | |||
a) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0))}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$ | a) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0))}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$ | ||
'''Inciso b''' | |||
b) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$ | b) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$ | ||
'''Inciso c''' | |||
c) esto no quiere decir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe | c) esto no quiere decir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe | ||
ya que solo hemos | ya que solo hemos comprobado que existe aproximándose por 2 trayectorias. | ||
'''Inciso d''' | |||
d) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\frac{2}{-2}=-1$ | d) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\frac{2}{-2}=-1$ | ||
'''Inciso e''' | |||
e) así podemos concluir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}=no\;existe$ | e) así podemos concluir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}=no\;existe$ | ||
Línea 280: | Línea 289: | ||
no existe. | no existe. | ||
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[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 00:03 31 mayo 2015 (CDT) | |||
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=== Ejercicio 21 === | === Ejercicio 21 === | ||
Línea 287: | Línea 298: | ||
</math>. | </math>. | ||
'''Procedimiento''' | |||
Por medio de <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}f(z)=w_{0}\Longleftrightarrow\underset{z\rightarrow0}{\lim}f\left(\frac{1}{z}\right)=L | Por medio de <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}f(z)=w_{0}\Longleftrightarrow\underset{z\rightarrow0}{\lim}f\left(\frac{1}{z}\right)=L | ||
Línea 308: | Línea 319: | ||
: <math> \underset{z\rightarrow0}{\lim}\frac{1+iz-2z^{2}}{1+2i}=\frac{1+i(0)-2(0)^{2}}{1+2i}=\frac{1}{1+2i}*\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{\left(1\right)^{2}-\left(4i\right)^{2}}=\frac{1-2i}{5}. | : <math> \underset{z\rightarrow0}{\lim}\frac{1+iz-2z^{2}}{1+2i}=\frac{1+i(0)-2(0)^{2}}{1+2i}=\frac{1}{1+2i}*\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{\left(1\right)^{2}-\left(4i\right)^{2}}=\frac{1-2i}{5}. | ||
</math> | </math> | ||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto, el <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}\frac{z^{2}+iz-2}{(1+2i)z^{2}}=\frac{1}{5}-\frac{2i}{5} | Por lo tanto, el <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}\frac{z^{2}+iz-2}{(1+2i)z^{2}}=\frac{1}{5}-\frac{2i}{5} | ||
</math>. | </math>. | ||
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Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:53 31 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:53 31 mayo 2015 (CDT) | ||
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Línea 321: | Línea 335: | ||
$\lim_{z \to \infty}\frac{iz+1}{2z-i}$ | $\lim_{z \to \infty}\frac{iz+1}{2z-i}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para resolver el limite es necesario hacer uso de la definición: | Para resolver el limite es necesario hacer uso de la definición: | ||
Línea 333: | Línea 350: | ||
$=\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i}{z} + \frac{z}{z}}{\frac{2}{z} - \frac{iz}{z}} =\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i+z}{z}}{\frac{2-iz}{z}}$ | $=\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i}{z} + \frac{z}{z}}{\frac{2}{z} - \frac{iz}{z}} =\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i+z}{z}}{\frac{2-iz}{z}}$ | ||
'''Solución''' | |||
Desarrollando | Desarrollando | ||
Línea 338: | Línea 359: | ||
$=\lim_{z \to 0}\frac{z(i+z)}{z(2-iz)}=\lim_{z \to 0}\frac{i+z}{2-iz}=\frac{\lim_{z \to 0}(i+z)}{\lim_{z \to 0}(2-iz)} = \frac{i}{2}$ | $=\lim_{z \to 0}\frac{z(i+z)}{z(2-iz)}=\lim_{z \to 0}\frac{i+z}{2-iz}=\frac{\lim_{z \to 0}(i+z)}{\lim_{z \to 0}(2-iz)} = \frac{i}{2}$ | ||
Al evaluar el limite nos da un valor complejo final | Al evaluar el limite nos da un valor complejo final. | ||
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[[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 00:38 31 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 00:38 31 mayo 2015 (CDT) | ||
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=== Ejercicio 25 === | === Ejercicio 25 === | ||
Línea 347: | Línea 370: | ||
</math>. | </math>. | ||
'''Procedimiento''' | |||
Por medio de <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}f(z)=w_{0}\Longleftrightarrow\underset{z\rightarrow0}{\lim}f\left(\frac{1}{z}\right)=L | Por medio de <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}f(z)=w_{0}\Longleftrightarrow\underset{z\rightarrow0}{\lim}f\left(\frac{1}{z}\right)=L | ||
Línea 359: | Línea 382: | ||
: <math> \underset{z\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{1}{z^{2}}-\left(2+3i\right)\frac{1}{z}+1}{i-3}=\frac{\frac{1}{0}-(2+3i)\frac{1}{0}+1}{0-3}=\infty. | : <math> \underset{z\rightarrow0}{\lim}\frac{\frac{1}{z^{2}}-\left(2+3i\right)\frac{1}{z}+1}{i-3}=\frac{\frac{1}{0}-(2+3i)\frac{1}{0}+1}{0-3}=\infty. | ||
</math> | </math> | ||
'''Solución''' | |||
Por lo que <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}\frac{z^{2}-\left(2+3i\right)z+1}{iz-3}=\infty. | Por lo que <math> \underset{z\rightarrow\infty}{\lim}\frac{z^{2}-\left(2+3i\right)z+1}{iz-3}=\infty. | ||
</math> | </math> | ||
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Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:56 31 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 12:56 31 mayo 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 26 === | ===Ejercicio 26 === | ||
Calcule el límite de la función, usando los teoremas adecuados. | |||
$\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)(z-i)}{(z-i)(z+i)+(z-i)} \right )$ | |||
Simplificando: | |||
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)(z-i)}{(z-i)\left [(z+i)+1 \right ]} \right )$ | |||
$lim_{z\rightarrow | $\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)}{\left [(z+i)+1 \right ]} \right )$ | ||
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)}{\left [(z+i)+1 \right ]} \right )=\frac{i+i}{i+i+1}=\frac{2i}{2i+1}\frac{2i-1}{2i-1}=\frac{4}{5}+i\frac{2}{5}$ | |||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
$\lim_{z\rightarrow | $\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}=\frac{4}{5}+i\frac{2}{5}$ | ||
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Re elaborado por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]] | |||
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Línea 393: | Línea 427: | ||
Demuestre que la función <math>f</math> es continua en el punto dado. | Demuestre que la función <math>f</math> es continua en el punto dado. | ||
$f(z)= z²-iz+3-2i$ | |||
$z_0 = 2-i$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Para saber si es continua debemos encontrar los valores para $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ y $ f(z_0)$, y comprobar que ambos valores son iguales. | Para saber si es continua debemos encontrar los valores para $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ y $ f(z_0)$, y comprobar que ambos valores son iguales. | ||
Línea 399: | Línea 437: | ||
por lo cual tenemos: | por lo cual tenemos: | ||
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow 2-i} (z²-iz+3-2i)$= $(2-i)² - i (2-i)+3-2i$ =$ 4-2i-1- | $\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow 2-i} (z²-iz+3-2i)$= $(2-i)² - i (2-i)+3-2i$ =$(4-4i-1)-2i+i^{2}+3-2i=3-4i-1-2i+3-2i=5-8i$ | ||
'''Conclusión''' | |||
Ademas, para $z_0=2-i$ tenemos: | Ademas, para $z_0=2-i$ tenemos: | ||
$f(z_0)=f(2-i)$=$(2-i)² - i (2-i)+3-2i$=$ | $f(z_0)=f(2-i)$=$(2-i)² - i (2-i)+3-2i$=$5-8i$ | ||
Al comparar ambos resultados vemos que son iguales, por lo cual | Al comparar ambos resultados vemos que son iguales, por lo cual concluimos que la función en el punto $z_0=2-i$ es continua. | ||
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Re elaborado por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]] | |||
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===Ejercicio 29=== | ===Ejercicio 29=== | ||
Línea 420: | Línea 460: | ||
Y $ z_{0}=i $ | Y $ z_{0}=i $ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para que una función sea continua en un punto ($ z_{o} $), tiene que cumplir con el siguiente criterio: | Para que una función sea continua en un punto ($ z_{o} $), tiene que cumplir con el siguiente criterio: | ||
Línea 434: | Línea 476: | ||
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{z^3}{z^3+3z^2+z}$ | $\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{z^3}{z^3+3z^2+z}$ | ||
=$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{-i}{-i-3+i}$ =$\frac{i}{3}$ | |||
Ademas la función evaluada: | Ademas la función evaluada: | ||
$f(z_0)=f(i)$=$\frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\frac{i}{3}$ | $f(z_0)=f(i)$=$\frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\frac{i}{3}$ | ||
'''Conclusión''' | |||
Como: | Como: | ||
Línea 448: | Línea 493: | ||
Por lo tanto la función es continua en el punto $ z_{0}=i $ | Por lo tanto la función es continua en el punto $ z_{0}=i $ | ||
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[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 08:40 30 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 08:40 30 mayo 2015 (CDT) | ||
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=== Ejercicio 33 === | === Ejercicio 33 === | ||
Demuestre que la función | Demuestre que la función $“f(z)”$ es continua en el punto dado. | ||
'''Procedimiento''' | |||
: <math> f(z)=\bar{z}-3\mathbb{R}(z)+i | : <math> f(z)=\bar{z}-3\mathbb{R}(z)+i | ||
Línea 465: | Línea 513: | ||
: <math> \underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}f(z)=\underset{z\rightarrow3-2i}{\lim}\bar{z}-3\mathbb{R}(z)+i=(3+2i)-3(3)+i=-6+3i | : <math> \underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}f(z)=\underset{z\rightarrow3-2i}{\lim}\bar{z}-3\mathbb{R}(z)+i=(3+2i)-3(3)+i=-6+3i | ||
</math> | </math> | ||
'''Conclusión''' | |||
ya que <math> \underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}f(z)=f(z_{0}) | ya que <math> \underset{z\rightarrow z_{0}}{\lim}f(z)=f(z_{0}) | ||
Línea 471: | Línea 521: | ||
</math>. | </math>. | ||
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Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:59 31 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:59 31 mayo 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 45=== | ===Ejercicio 45=== | ||
Utilice el teorema 2.6.1 para demostrar que: | |||
a) $lím_{z\rightarrow z_0} c=c$ donde $c$ es una constante. | |||
b) $lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$''' | |||
'''Procedimiento''' | |||
a) Definimos la función de variable compleja $f(z)=c$ con $c=a+ib$ como una constante compleja, entonces su parte real e imaginaria evaluada en $z_0=x_0+iy_0$ es: | |||
Línea 506: | Línea 558: | ||
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}b=b$ | $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}b=b$ | ||
'''Conclusión''' | |||
Dado que $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=a$ y $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=b$, por el teorema 2.6.1 podemos concluir que: | Dado que $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=a$ y $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=b$, por el teorema 2.6.1 podemos concluir que: | ||
Línea 512: | Línea 565: | ||
$lím_{z\rightarrow z_0}c=c$ | $lím_{z\rightarrow z_0}c=c$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
b) Si escogemos la variable compleja $z=x+iy$ y definimos la función de variable compleja $f(z)=z$ con $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=y$, su parte real e imaginaria evaluadas en $z_0=x_0+iy_0$ son: | b) Si escogemos la variable compleja $z=x+iy$ y definimos la función de variable compleja $f(z)=z$ con $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=y$, su parte real e imaginaria evaluadas en $z_0=x_0+iy_0$ son: | ||
Línea 541: | Línea 596: | ||
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=y_0$ | $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=y_0$ | ||
'''Conclusión''' | |||
por el teorema 2.6.1 podemos concluir que: | por el teorema 2.6.1 podemos concluir que: | ||
Línea 546: | Línea 602: | ||
$lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$ | $lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$ | ||
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[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 01:25 30 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 01:25 30 mayo 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 46 === | ===Ejercicio 46 === | ||
Utilice el Teorema 2.6.1 para demostrar que $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}} $ | |||
Teorema 2.6.1 | Teorema 2.6.1 | ||
Suponga que $f(z) = u(x,y) + i v(x,y),z_{0} = x_{0} + iy_{0} y L = u_{0} + i v_{0}. Entonces \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z) = L$ Si y solo si | Suponga que $f(z) = u(x,y) + i v(x,y),z_{0} = x_{0} + iy_{0} y L = u_{0} + i v_{0}. Entonces \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z) = L$ Si y solo si | ||
\[ | \[ | ||
\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y{0})} u(x.y) = u_{0} y \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} v(x,y) = v_{0}\] | \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y{0})} u(x.y) = u_{0} y \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} v(x,y) = v_{0}\] | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sabemos que $\overline {z} = ( x -iy)$ tomando un punto $\overline {z_{0}}$ = $(x_{0} + iy{0})$ | Sabemos que $\overline {z} = ( x -iy)$ tomando un punto $\overline {z_{0}}$ = $(x_{0} + iy{0})$ | ||
Línea 577: | Línea 638: | ||
\[ | \[ | ||
\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} -y= -iy_{0}\] | \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} -y= -iy_{0}\] | ||
'''Conclusión''' | |||
Entonces | Entonces | ||
Línea 582: | Línea 645: | ||
\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}}\] | \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}}\] | ||
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[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:25 28 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai | |||
---- | |||
=== Ejercicio 47 === | === Ejercicio 47 === | ||
Línea 593: | Línea 658: | ||
(c)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|=|z_{0}|}$ | (c)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|=|z_{0}|}$ | ||
'''Inciso a''' | |||
Considerando a $z=x+iy$ tenemos que el${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}x=}}{\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}x}$ | Considerando a $z=x+iy$ tenemos que el${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}x=}}{\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}x}$ | ||
Línea 602: | Línea 669: | ||
\] | \] | ||
'''Inciso b''' | |||
b) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}y={\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}y}}}$ | b) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}y={\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}y}}}$ | ||
Línea 610: | Línea 678: | ||
{\displaystyle \lim_{y\rightarrow y_{0}}y=y_{0}}=Im(z_{0}) | {\displaystyle \lim_{y\rightarrow y_{0}}y=y_{0}}=Im(z_{0}) | ||
\] | \] | ||
'''Inciso c''' | |||
c) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}={\displaystyle \lim_{(x,z)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$ | c) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}={\displaystyle \lim_{(x,z)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$ | ||
Así, tenemos que | |||
${\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=|z_{0}|}$ | ${\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=|z_{0}|}$ | ||
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[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 22:55 31 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 22:55 31 mayo 2015 (CDT) | ||
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Revisión actual - 05:45 15 feb 2023
Ejercicios del capítulo 2, sección 6 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 2.6
Ejercicio 1
Calcular el limite con las propiedades y teorema 2.6.1
$\underset{z\rightarrow2i}{lim}\left(z^{2}-\bar{z}\right)$
Procedimiento
Sean $z=x+iy$ donde $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ y $\bar{z}=x-iy$ e $i^{2}=-1$
Entonces tenemos
$f\left(z\right)=x^{2}-x-y^{2}+2ixy+iy$
Solución
Calculando el limite tenemos
$\underset{x,y\rightarrow0,2}{lim}x^{2}-x-y^{2}+i(2xy+y)=-\left(2\right)^{2}+i\left(2\right)=-4+2i$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 20:01 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Calcular el limite con las propiedades y teorema 2.6.1.
$\lim_{z\rightarrow1+i}(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}})$
Procedimiento
Utilizando los teoremas lo podemos reescribir como:
$(\frac{\lim_{z\rightarrow1+i}z-\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}}{\lim_{z\rightarrow1+i}z+\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}})$
Solución
Y finalmente resolviendo:
$(\frac{\lim_{z\rightarrow1+i}z-\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}}{\lim_{z\rightarrow1+i}z+\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}})=\frac{1+i-1-i}{1+i+1-i}=\frac{2i}{2}=i$
Fernando Vazquez V. (discusión) 20:08 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Utilizar el teorema 2.6.1 y las propiedades de los limites reales de la página 104 para calcular el límite complejo dado.
$lim_{z\longrightarrow1-i}(|z|^{2}-i\bar{z})$
Procedimiento
primero tomamos en cuenta que $z=x+iy$ , entonces hacemos:
$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$
$i\bar{z}=i(x-iy)=xi-i^{2}y=y+xi$
por lo tanto tenemos que
$|z|^{2}-i\bar{z}=(x^{2}+y^{2})-(y+xi)=(x^{2}+y^{2}-y)-i(x)$
$u(x,y)=x^{2}+y^{2}-y$
$v(x,y)=x$
por propiedades de los límites podemos hacer esto
$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}u(x,y)=(x^{2}+y^{2}-y)-lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}v(x,y)=(x)$
$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}(x^{2}+y^{2}-y)=1+1-(-1)=1+1+1=3$
$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}(x)=1$
por lo tanto
$[lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}u(x,y)=(x^{2}+y^{2}-y)-lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}v(x,y)=(x)]=3-i$
Solución
entonces
$lim_{z\longrightarrow1-i}(|z|^{2}-i\bar{z})=3-i$
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:01 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Utilizar el teorema 2.6.1 y las propiedades de los límites reales para calcular el límite complejo dado.
$\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{Im(z^{2})}{z+Re(z)}$
Procedimiento
Primero hacemos $z=x+yi$ y resolvemos para que quede de la forma. $a+bi$
$\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{Im(z^{2})}{z+Re(z)}=\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{2xyi}{2x+yi}=\underset{z\rightarrow3i}{lim}(\frac{2xyi}{2x+yi})(\frac{2x-yi}{2x-yi})=\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{4x^{2}yi+2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}$
Ahora identificamos $u(x,y)=\frac{2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}$ y $v(x,y)=\frac{4x^{2}y}{4x^{2}+y^{2}}$ y hacemos límite por separado, como sigue:
$u_{0=}\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{2(0)(3)^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=0$
$v_{0}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{4x^{2}y}{4x^{2}+y^{2}}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{4(0)^{2}(3)}{4(0)^{2}+(3)^{2}}=0$
Solución
Por lo tanto, de la definición tenemos que $L=u_{0}+iv_{0}$ . Entonces:
$L=0+i0=0$
A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:28 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Use el teorema 2.1 y las propiedades de los límites reales de la página 115 a calcular el límite complejo dado.
$lim_{z\longrightarrow i\pi}\left (e^z \right )$
Procedimiento
Usando la expansión de la exponencial compleja, tenemos:
$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\left [ \cos y+i \sin y \right ]$
Solución
Aplicando esto a el limite requerido tenemos:
$\lim_{(x,y)\longrightarrow (0,\pi)}e^{x}\left [ \cos y +i \sin y \right ]=e^{0}\left [ \cos(\pi)+i\sin(\pi) \right ]=e^{0}(-1+i0)=-1$
Martin Flores Molina (discusión) 13:10 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Calcule el limite complejo dado
$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)$
Procedimiento
$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$
Ademas para $z_{0}=2-i$
Solución
$f(z_{0})=f(2-i)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$
$\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=1-3i$
Ya que $\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=f(z_{0})$
Concluimos que $f(z)=z^{2}-z$ es continua el punto $2-i$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 03:07 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Calcule el limite complejo $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2}+z)$
Procedimiento
Para calcular este limite es necesario saber que $\underset{z\rightarrow{z0}}{lim}z=z0)$
Así utilizando las propiedades de limites, tenemos que;
Así calculando el limite $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}z=i$ obtendremos que;
Solución
Así resolviendo tendremos finalmente que;
Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 22:25 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Procedimiento
Evaluando el límite
Lo cual no es una indeterminación pero podría existir algún límite, por lo tanto descompondremos la ecuación para encontrar el límite
Solución
Por lo tanto el límite de esta función está dado por
Pablo (discusión) 09:50 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Considere el limite $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2},$
donde $z^{c}$es $z$ conjugado
a)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo del eje real?
b)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo del eje imaginario?
c)¿Las respuestas a) y b) implican que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe? Explique.
d)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo de la recta $y=x$ ?
e) ¿Que puede decir acerca de $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}?$
Inciso a
suponga que $z=x+iy=(x,y)$ (en el plano complejo) entonces $z^{c}=x-iy=(x,-y)$
así
a) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0))}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$
Inciso b
b) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$
Inciso c
c) esto no quiere decir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe ya que solo hemos comprobado que existe aproximándose por 2 trayectorias.
Inciso d
d) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\frac{2}{-2}=-1$
Inciso e
e) así podemos concluir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}=no\;existe$
ya que si $f$ tiende a dos números complejos $l_{1}=l_{2}$a lo largo de 2 diferentes curvas o trayectorias que pasan por $z_{0}$, entonces$\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z_{0})$ no existe.
Francisco Medina Albino (discusión) 00:03 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Calcule el siguiente límite complejo .
Procedimiento
Por medio de , entonces
factorizando y reduciendo términos se tiene
evaluando el valor del límite se tiene
Solución
Por lo tanto, el .
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 12:53 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 22
Encontrar el limite al infinito dado haciendo uso del teorema 2.2
$\lim_{z \to \infty}\frac{iz+1}{2z-i}$
Procedimiento
Para resolver el limite es necesario hacer uso de la definición:
$\lim_{z \to \infty} f(z) = L$ $\leftrightarrow$ $\lim_{z \to 0} f(\frac{1}{z}) = L$
Entonces al aplicar la definición al limite tenemos
$\lim_{z \to 0} \frac{\frac{i}{z} + 1}{\frac{2}{z}-i}$
multiplicamos el segundo miembro de cada parte de la función por un uno, así tenemos la siguiente expresión
$=\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i}{z} + \frac{z}{z}}{\frac{2}{z} - \frac{iz}{z}} =\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i+z}{z}}{\frac{2-iz}{z}}$
Solución
Desarrollando
$=\lim_{z \to 0}\frac{z(i+z)}{z(2-iz)}=\lim_{z \to 0}\frac{i+z}{2-iz}=\frac{\lim_{z \to 0}(i+z)}{\lim_{z \to 0}(2-iz)} = \frac{i}{2}$
Al evaluar el limite nos da un valor complejo final.
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 00:38 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Calcule el siguiente límite complejo .
Procedimiento
Por medio de , entonces
reduciendo se tiene
Solución
Por lo que
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 12:56 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 26
Calcule el límite de la función, usando los teoremas adecuados.
$\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}$
Procedimiento
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)(z-i)}{(z-i)(z+i)+(z-i)} \right )$
Simplificando:
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)(z-i)}{(z-i)\left [(z+i)+1 \right ]} \right )$
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)}{\left [(z+i)+1 \right ]} \right )$
$\lim_{z\rightarrow i}\left (\frac{(z+i)}{\left [(z+i)+1 \right ]} \right )=\frac{i+i}{i+i+1}=\frac{2i}{2i+1}\frac{2i-1}{2i-1}=\frac{4}{5}+i\frac{2}{5}$
Solución
Por lo tanto:
$\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}=\frac{4}{5}+i\frac{2}{5}$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 27
Demuestre que la función es continua en el punto dado.
$f(z)= z²-iz+3-2i$
$z_0 = 2-i$
Procedimiento
Para saber si es continua debemos encontrar los valores para $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ y $ f(z_0)$, y comprobar que ambos valores son iguales.
por lo cual tenemos:
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow 2-i} (z²-iz+3-2i)$= $(2-i)² - i (2-i)+3-2i$ =$(4-4i-1)-2i+i^{2}+3-2i=3-4i-1-2i+3-2i=5-8i$
Conclusión
Ademas, para $z_0=2-i$ tenemos:
$f(z_0)=f(2-i)$=$(2-i)² - i (2-i)+3-2i$=$5-8i$
Al comparar ambos resultados vemos que son iguales, por lo cual concluimos que la función en el punto $z_0=2-i$ es continua.
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 29
Demostrar que la funcion $ f $ es continua en el punto dado.
$ f(z)=\frac{z^3}{z^3+3z^2+z} $
Y $ z_{0}=i $
Procedimiento
Para que una función sea continua en un punto ($ z_{o} $), tiene que cumplir con el siguiente criterio:
(i) = $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ Exista
(ii) = $f(z_0)$ Este definida
(iii) = $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)=f(z_0)$
Entonces:
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{z^3}{z^3+3z^2+z}$
=$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{-i}{-i-3+i}$ =$\frac{i}{3}$
Ademas la función evaluada:
$f(z_0)=f(i)$=$\frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\frac{i}{3}$
Conclusión
Como:
$\lim\limits_{z\rightarrow i} f(z)=f(i)=\frac{i}{3}$
Por lo tanto la función es continua en el punto $ z_{0}=i $
Nancy Martínez Durán (discusión) 08:40 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 33
Demuestre que la función $“f(z)”$ es continua en el punto dado.
Procedimiento
Solución
Conclusión
ya que , concluímos que es continua en el punto .
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:59 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 45
Utilice el teorema 2.6.1 para demostrar que:
a) $lím_{z\rightarrow z_0} c=c$ donde $c$ es una constante.
b) $lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$
Procedimiento
a) Definimos la función de variable compleja $f(z)=c$ con $c=a+ib$ como una constante compleja, entonces su parte real e imaginaria evaluada en $z_0=x_0+iy_0$ es:
$u(x_0,y_0)=a$, $v(x_0,y_0)=b$
Por otro lado, tenemos que $f(z)=c=a+ib$ con $u(x,y)=a$ y $v(x,y)=b$ como su parte real e imaginaria respectivamente, entonces al aplicar límite a $z_0=x_0+iy_0$:
$lím_{z\rightarrow z_0}f(z)=lím_{z\rightarrow z_0}c=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}[u(x,y)+iv(x,y)]$
Evaluando límites en su parte real e imaginaria:
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}a=a$
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}b=b$
Conclusión
Dado que $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=a$ y $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=b$, por el teorema 2.6.1 podemos concluir que:
$lím_{z\rightarrow z_0}c=c$
Procedimiento
b) Si escogemos la variable compleja $z=x+iy$ y definimos la función de variable compleja $f(z)=z$ con $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=y$, su parte real e imaginaria evaluadas en $z_0=x_0+iy_0$ son:
$u(x_0,y_0)=x_0$, $v(x_0,y_0)=y_0$
Si $f(z)=z$, al aplicar límite a $z_0=x_0+iy_0$:
$lím_{z\rightarrow z_0}f(z)=lím_{z\rightarrow z_0}z=lím_{z\rightarrow z_0}(x+iy)$
Evaluando límites en las partes real e imaginaria:
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}x=x_0$
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}y=y_0$
por lo que de igual manera, al igualar:
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=x_0$
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=y_0$
Conclusión
por el teorema 2.6.1 podemos concluir que:
$lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 01:25 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 46
Utilice el Teorema 2.6.1 para demostrar que $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}} $
Teorema 2.6.1
Suponga que $f(z) = u(x,y) + i v(x,y),z_{0} = x_{0} + iy_{0} y L = u_{0} + i v_{0}. Entonces \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z) = L$ Si y solo si \[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y{0})} u(x.y) = u_{0} y \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} v(x,y) = v_{0}\]
Procedimiento
Sabemos que $\overline {z} = ( x -iy)$ tomando un punto $\overline {z_{0}}$ = $(x_{0} + iy{0})$
De acuerdo con la función \[ f(z) = u(x,y) + i v(x,y)\]
separamos a \[ \overline {z}\]
\[ u(x,y)= x \]
\[ v(x,y) = y\]
Calculando sus limites
\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} x= x{0}\]
\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} -y= -iy_{0}\]
Conclusión
Entonces \[ \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}}\]
Esther Sarai (discusión) 21:25 28 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 47
Utilice el Teorema 2.6.1 y el problema 46 para demostrar que
(a)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)=Re(z_{0})}$
(b)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)}=Im(z_{0})$
(c)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|=|z_{0}|}$
Inciso a
Considerando a $z=x+iy$ tenemos que el${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}x=}}{\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}x}$
Como el limite solo depende de la variable x tenemos lo siguiente
\[ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}}=x_{0}=Re(z_{0}) \]
Inciso b
b) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}y={\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}y}}}$
Como el limite solo depende de y, tenemos que
\[ {\displaystyle \lim_{y\rightarrow y_{0}}y=y_{0}}=Im(z_{0}) \]
Inciso c
c) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}={\displaystyle \lim_{(x,z)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$
Así, tenemos que
${\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=|z_{0}|}$
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:55 31 mayo 2015 (CDT)