Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap2.3»
| Línea 701: | Línea 701: | ||
escrito como | escrito como | ||
$ | $To\left(0,1,1+i,i\right)=-1,0,i,-1+i$ | ||
$ | $f(z)=z-1$ dada | ||
'''Mapeo 2''' | '''Mapeo 2''' | ||
| Línea 722: | Línea 721: | ||
quedando la cadena expresada como sigue: | quedando la cadena expresada como sigue: | ||
$ | $Rotación:-1,0,i,-1+i$ | ||
$f(z)=e^$ | |||
---- | ---- | ||
Revisión del 11:51 16 mar 2023
Ejercicios del capítulo 2, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 2.3
Ejercicio 1
(a) Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=z+3i$.
Inciso a
Para el caso de la suma de complejos, la transformación coincide con una traslación de 3 unidades hacia arriba. En la figura muestra la región inicial (en Azul) y el mapeo(en Rojo).
(b) Represente el mapeo lineal con una secuencia de puntos.
Inciso b
Los puntos se ilustran mediante flechas azules en la figura.
Gráfica
Realizado por:Tlacaelel Cruz (discusión) 19:22 22 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=3iz$.
Tenemos que:
Procedimiento
$x^2+y^2\leq 1$ $w=f(z)= 3iz$
$f(z)= 3i(x+iy)=(3xi-3y)=3(-y+xi)$
Donde
$Arg(\frac{3i}{3})=\frac{\pi}{4}$
y
$|3i|=3$
Por tanto podemos observar que al hacer el mapeo hay una rotación de $\frac{\pi}{4}$ con una amplificación de 3
Podemos concluir que al hacer el mapeo,la parte real de x pasó a ser imaginaria (al plano complejo) y la parte imaginaria de y pasó a los reales.
Gráfica
Realizado por: Samantha Martinez (discusión) 22:00 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=(1+i)z$.
Procedimiento
Tenemos que:
$w=f(z)= (1+i)z$
Pero: $z=x+iy$
Entonces:
$f(z)=(1+i)(x+iy)=(x+ix+iy+i^2y)=x-y+i(x+y)$
Determinamos el argumento y el modulo de $(1+i)$
$Arg(\frac{1}{1})=45°$
Y
$|1+i|=\sqrt{2}$
Por lo tanto hay una rotación de $\frac{\pi}{4}$ y una ampliación de $\sqrt{2}$
Gráfica
Realizado por:Nancy Martínez Durán (discusión) 03:43 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Encontrar la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ y representar el mapeo lineal como una secuencia de puntos.
$f(z)=2z-i$
Inciso a
Como se puede apreciar:
$|2|=2$ y $Arg(2)=0$
Por lo tanto es unicamente un alargamiento del vector z (en este caso, del disco) y un desplazamiento en la dirección negativa del eje imaginario en una unidad. Por ello, la figura del disco original (azul) se transforma en el disco de color morado.
Gráfica
Nota: Solo se puso en la imagen el contorno del disco de color, pero tener en cuenta que realmente es el disco entero y no unicamente la frontera
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 18:29 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|≤1$ dentro del mapeo lineal
$f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$
Procedimiento
$\left(a\right)$encuentre la imagen del disco cerrado $\left|z\right|\leqq1$bajo el mapeo lineal dado
$w=f\left(z\right)$
$\left(b\right)$represente el mapeo lineal con una secuencia de gráficas como en la figura 2.3.7
$\left(a\right)$:
Sea $S$ el disco cerrado $\left|z\right|\leqq1$ y sea $S\prime$ la imagen de $S$ bajo $f$ donde $z=x+iy$
El primer mapeo lineal se debe hacer con la expresión:
$f\left(z\right)=\left(6-5i\right)\left(x+iy\right)+1-3i=\left(6x+i6y-i5x+5y\right)+1-3i$
$f\left(z\right)=w=i\left(6y-5x-3\right)+6x+5y+1$
$\left|w\right|=36y^{2}-60xy-36y+25x^{2}+30x+9+36x^{2}+60xy+12x+25y^{2}+5y+1$
Por lo tanto $S\prime$será:
$\left|w\right|=61y^{2}+61x^{2}-31y+42x+10\leqq1$
$\left(b\right)$:
El mapeo lineal $f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$ se puede ver como la composición
de una rotación, una ampliación y una rotación:
Como en $f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$ el $\arg[6-5i]=-\arctan[\frac{5}{6}]$ y $\left|6-5i\right|=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$
$f$ actúa girando un ángulo de $39.8$ grados alrededor del origen, ampliando por $\sqrt{61}$ y luego
trasladando por $1-3i$
Secuencia de mapeos
A continuación se mostrarán imágenes con esta secuencia de mapeos
1.-El círculo que se muestra a continuación se gira $39.8$ grados alrededor del origen, quedando exactamente igual.
_20.28.09.png)
2.-El círculo se amplía por $\sqrt{61}$
_20.29.04.png)
3.- Este último círculo se desplaza $1-3i$ en el plano complejo
Realizado por:Alejandro Juárez Toribio (discusión) 20:37 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Encontrar la imagen del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ y b) representar el mapeo lineal bajo la secuencias de gráficas.
Solución:
Solución
Siendo S el triángulo descrito y S' su imagen bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ tenemos.
$f(z)=z+2i$
Que representa una traslación por lo que el triangulo conserva su orientación y tamaño, desplazándose 2 unidades hacia arriba en el plano complejo, para determinar la posición de los vértices bajo el mapeo se evalúa:
$f(0)=2i$
$f(1)=1+2i$
$f(3)=3i$
Gráfica
Los nuevos vértices del triángulo son:
$2i$,
$1+2i$,
$3i$.
Resuelto por: Luis Santos (discusión) 23:52 21 mayo 2015 (CDT)
ejercicio 8
Determine la imagen del triángulo con vértices 0,1 e i bajo el mapeo lineal $f(z)=3z$
Solución
vértice1 $f(0+0i)=3(0+0i)=0+0i$ {*}éste vértice no se mueve del origen (0,0)
vértice2 $f(1+0i)=3(1+0i)=3+0i$ {*}éste vértice se encuentra en el punto (3,0)
vértice3 $f(0+i)=3(0+i)=0+3i${*}éste vértice se encuentra en el punto (0,3)
el triángulo sólo sufrió una ampliación
Gráfica
Los vértices pasan:
$A=(0,0)$
$B'=(3,0)$
$C'=(0,3)$
En el plano $u,w$
Realizado por:Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 18:54 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Determine la imagen del triángulo con vértices 0,1 e i bajo el mapeo lineal
$f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}z$
Procedimiento
$z=re^{i\theta}= r(\cos\theta+i \sin \theta)$
$f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}= \cos( \dfrac{\pi}{4}) + i \sin (\dfrac{\pi}{4}) = (\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2})$
Un triangulo con vértices en$(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2})$
Gráfica
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 13:56 27 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 10
Determina la imagen del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo $w=f(z)$ y (b) Expresa el resultado del mapeo
Procedimiento
$f(z)=\frac{1}{2}iz$
Como nos dan los puntos del triangulo se sustituyen en la función $f(z)$
$f(0)=\frac{1}{2}i(0)=0$
$f(1)=\frac{1}{2}i(1)=\frac{1}{2}i$
$f(i)=\frac{1}{2}i(i)=\frac{1}{2}(i^2)=\frac{-1}{2}$
Gráfica
El mapeo del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo la acción de la función $f(z)=\frac{1}{2}iz$ resulta en un triangulo rotado $\frac{\pi}{2}$ y se redujo ala mitad de su tamaño original
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 22:07 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Determine la imagen del triángulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo lineal dado $w=f(z)$
$f(z)=-3z+i$
Procedimiento
Tendremos entonces que sustituir en cada z por el número predeterminado a ser.
$f(0)=-3(0)+i=i$
Y el siguiente sería:
$f(1)=-3(1)+i=-3+i$
Ahora el siguiente
$f(i)=-3(i)+i=-2i$
Gráfica
Realizado por:Francisco Medina Albino (discusión) 17:12 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Determine la imagen del triángulo con vértices en 0,1 e i bajo el mapeo $w=f\left(z\right)$
$f\left(z\right)=\left(1-i\right)z-2$
Procedimiento
Para resolver este problema solamente debemos sustituir z en las condiciones dadas
$f\left(0\right)=\left(1-i\right)0-2=-2$
$f\left(1\right)=\left(1-i\right)1-2=-1-i$
$f\left(i\right)=\left(1-i\right)i-2=i-i^{2}-2=i-\left(-1\right)-2=-1+i$
Lo cual nos da como resultado un triángulo con vértices:
$v\left(-2,-1-i,-1+i\right)$
El cual sufrió una rotación y un desplazamiento de -2 unidades en el eje de los reales
Gráfica
Resuelto porLuis Enrique Martínez Valverde (discusión) 18:47 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Exprese el mapeo lineal dado w=f(z) como una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. Luego describa la acción del mapeo lineal con palabras.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=3iz+4
Procedimiento
Para poder expresar esta función como una rotación, una ampliación y una traslación sera necesario dejarla en la forma;
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=|a|\frac{a}{|a|}z+b
En donde se puede identificar cada etapa del mapeo, esto es;
amplitud bajo el mapeo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Arg(a)= la rotacion de la imagen s bajo el mapeo
traslacion bajo el mapeo
Una vez especificado esto procederemos a identificar estas constantes en nuestra funcion, para esto pondremos la siguiente igualdad;
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=3iz+4=3(\frac{3i}{3})z+4
y asi de esta manera es claro identificar que;
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta=\frac{\pi}{2} nota;apesar de que aqui $Arctan(\frac{1}{0})$ no esta definido, el punto a=3i esta en el eje imaginario por lo cual $\theta=\frac{\pi}{2}$
Conclusión
podemos concluir que la imagen S de el conjunto de puntos en en plano complejo x-y serán mapeados de la siguiente forma al plano u-v
sea S la imagen estará sera trasladad 4 unidades en el eje real $u$--Traslación
S sera ampliada por un factor de 3 (sera 3 veces mas grande)--Ampliación
S sera rotada $\frac{\pi}{2}$ en contra de la manecillas del reloj--Rotación
Realizado por:Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 17:32 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Exprese el mapeo lineal dado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w=f(z) como una composición de una rotación , una ampliación , y una traslación .después describa con palabras la acción del mapeo lineal.
Procedimiento
Ahora bien para poder expresar la función como rotación, ampliación y traslación mapeo vamos a considerar:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=|a|\frac{a}{|a|}z+b
De donde tenemos;
amplitud
la rotacion
traslacion bajo
Ahora bien de nuestra función tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b=1 - \sqrt{3}i =-0.73205
Conclusión
Ahora bien con lo anterior podemos observar que la imagen S en cuanto a la ampliación sera por 0.5 , pero de lo cual podemos ver que esta se reducirá, en cuanto a la rotación. esta sera indicada en contra a las manecillas del reloj y sera trasladado hacia el eje negativo.
Realizado por:Anahi Limas (discusión) 20:21 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Exprese el mapeo lineal dado $w=f(z)$ como una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. Luego describa la acción del mapeo lineal con palabras.
$f(z)=(3-2i)z+12$
Procedimiento
Vemos que cada mapeo lineal complejo no constante es una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. En este caso tenemos una rotación $R(z)$ a través de $Arg(a)$ donde $a=3-2i$ por lo que $Arg(a)=tan^{-1}(\frac{-2}{3})$.
Tenemos también una ampliación $M(z)$ a través de $|a|$ es decir $|a|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}$ y una traslación $T(z)$ es una traslación por $b$ donde $b=12$ en este caso.
Entonces la composición $f(z)=T\circ M\circ R(z)=T(M(R(z)))$ es una función lineal compleja. Y se tiene que esta composición es un mapeo lineal siempre y cuando la forma básica no se vea comprometida por la transformación.
Conclusión
Por tanto la acción del mapeo lineal es una rotación de $-33.69$ aprox., una ampliación de $\sqrt{13}$ y una traslación de $12$ sobre el eje real.
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:02 25 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Determine un mapeo lineal que mapea el conjunto $S$ en el conjunto $S`$
$S$ es el triangulo con vértices $0$, $1$ y $1+i$.
$S`$ es el triangulo con vértices $2i$, $3i$, y $-1+3i$
Procedimiento
Si para una función $f(z=0)=2i$, entonces debe haber una función que cumpla que para $z=0$ haya una función $f(0)=2i$ la cual seria $f(z=0)=z+2i$
Ahora dicha funciona debe cumplir que $f(z=1)=3i$ entonces debe haber una función que cumpla que para $z=1$ haya una función $3i$ la cual seria $f(z=1)=zi+2i=3i$
Por ultimo, comprobamos estas relaciones con la ultima expresión de $z=1+i$
Si $f(z)=zi+2i$, entonces para $f(z=1+i)=i(1+i)+2i=i-1+2i=-1+3i$
Conclusión
Con lo que se cumple la relación, así concluimos que el mapeo lineal que mapea a $S$ en $S`$ es $f(z)=zi+2i$
Realizado por:Miguel Medina Armendariz (discusión) 01:38 22 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Determine un mapeo en lineal que mapea al conjunto en el conjunto .
Procedimiento
es el eje imaginario. es la recta que pasa por los puntos y
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): S y
Entonces
- , la función recta
- , la función recta ; hay periocidad.
Se propone para que tenga la solución de mapeo lineal donde
- , para una sola
![z=\exp(-\pi i/2)=\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]=i](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce874c254d3325832a160beaaff573ead423254d)
Conclusión
Con lo que se obtiene la función
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=\exp(-\pi i/2)z+i.
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:43 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Determine un mapeo lineal que mapea el conjunto S en el conjunto S'
S es el cuadrado con vértices $1+i,-1+i,-1-i,\:y\:1-i.$S' es el cuadrado con vértices $1,2+i,1+2i,\:e\:i$
Procedimiento
primero trasladamos los ejes $1+i$ unidades, entonces tendremos la función:
$T_{1}(z)=z+1+i$
así
$T_{1}(1+i)=(1+i)+1+i=2+2i$
$T_{1}(-1+i)=(-1+i)+1+i=0+2i$
$T_{1}(-1-i)=(-1-i)+1+i=0+0i$
$T_{1}(1-i)=(1-i)+1+i=2+0i$
después lo rotamos $\frac{\pi}{4}$ en la dirección de las manecillas del reloj quedándonos la función:
$R(z)=z(e^{-i\frac{\pi}{4}})=z(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)$
entonces
$R(2+2i)=(2+2i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i+\frac{2}{\sqrt{2}}i-\frac{2}{\sqrt{2}}i^{2}=\frac{4}{\sqrt{2}}+0i$
$R(0+2i)=(0+2i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\frac{2}{\sqrt{2}}i-\frac{2}{\sqrt{2}}i^{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i$
$R(0+0i)=(0+0i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=0+0i$
$R(2+0i)=(2+0i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i$
sabiendo cual es el cuadrado en S' al que queremos mapear reducimos en un factor de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ los lados del cuadrado en S, la función es:
$M(z)=z(\frac{\sqrt{2}}{2})$
de aquí que:
$M(\frac{4}{\sqrt{2}}+0i)=(\frac{4}{\sqrt{2}}+0i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=2+0i$
$M(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i)=(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=1+i$
$M(0+0i)=(0+0i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=0+0i$
$M(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i)=(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=1-i$
ademas lo trasladamos un factor de $i$
$T_{2}(z)=z+i$
de tal modo que:
$T_{2}(2+0i)=(2+0i)+i=2+i$
$T_{2}(1+i)=(1+i)+i=1+2i$
$T_{2}(0+0i)=(0+0i)+i=0+i$
$T_{2}(1-i)=(1-i)+i=1+0i$
como se quería,hemos encontrado que el mapeo lineal:
$f(z)=T_{2}\circ M\circ R\circ T_{1}(z)=(((z+1+i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i))(\frac{\sqrt{2}}{2}))+i=$
$=(z+1+i)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)+i=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}zi-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i^{2}+i=\frac{1}{2}z+1-\frac{1}{2}zi+i=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$
entonces:
$f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$
así
$f(1+i)=\frac{1}{2}\left[(1+i+2)+(2-1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(3+i)+(1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[4+2i\right]=2+i$
$f(-1+i)=\frac{1}{2}\left[(-1+i+2)+(2-(-1+i))i\right]=\frac{1}{2}\left[(1+i)+(3-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(2+4i)\right]=1+2i$
$f(-1-i)=\frac{1}{2}\left[(-1-i+2)+(2-(-1-i))i\right]=\frac{1}{2}\left[(1-i)+(3+i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(1-i)+(3+i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(0+2i)\right]=i$
$f(1-i)=\frac{1}{2}\left[(1-i+2)+(2-(1-i))i\right]=\frac{1}{2}\left[(3-i)+(1+i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(2+0i)\right]=1$
como se quería.
Conclusión
$f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$
$f(z)$ mapea $S$ en $S'$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:29 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Encuentra dos aplicaciones lineales diferentes que mapean el cuadrado con vértices 0 , 1, 1 + i , i , al cuadrado con vértices: -1 , 0, i , -1 + i
Mapeo 1
tenemos el cuadrado de vértices 0 , 1, 1 + i , i y queremos mandarlo al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i
podemos usar una traslación
traslación = -1
escrito como
$To\left(0,1,1+i,i\right)=-1,0,i,-1+i$
$f(z)=z-1$ dada
Mapeo 2
tenemos el cuadrado de vértices 0 , 1, 1 + i , i y queremos mandarlo
al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i
podemos usar la siguiente cadena:
rotación R = $e^{i\frac{pi}{2}}$
traslación T =-1
rotación R= $e^{i\frac{3pi}{2}}$
quedando la cadena expresada como sigue:
$Rotación:-1,0,i,-1+i$
$f(z)=e^$
Realizado por:Martin Flores Molina (discusión) 19:05 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 25
en las partes de (a)-(c) expresa la composición dada como un mapeo lineal de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=az+b
a) rotacion , magnificación de 2, y una translacion de 1+ i.
La rotación vista desde forma polar es tiene la ventaja que es el ángulo que se desea rotar. La composición de función tiene la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_{1}(z)=T(M(R(z)))= T \circ M \circ R(z) = 2e^{i \frac{\pi}{4}} (z)+(1+i)
Donde primero rotamos, luego amplificamos y por último transladamos.
b)magnificación por 2, transladamos por y rotamos
Ahora tenemos primero que magnificar luego transladar y por último rotamos
c) translacion de , rotación de y una amplificación de 2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_{3}(z)= T(R(M(z)))= M \circ R \circ T(z)= 2(e^{\frac{\pi}{4}}((z)+ \frac{\sqrt{2}}{2}))
d) ¿Qué puedes decir de (a)-(c)?
Si cambiamos el a polares tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_{1}(z)=2e^{\frac{i \pi}{4}} (z)+ \sqrt{1+1} e^{i arctan(\frac{1}{1})}= 2e^{\frac{i \pi}{4}} (z) + \sqrt{2} e^{\frac{i \pi}{4}}= e^{ \frac{i \pi}{4}}( 2(z)+ \sqrt{2})= f_{2}(z)
Ahora de podemos hacer
Por lo que decimos que si los incisos (a)=(b) y (b)=(c) por lo tanto (a)=(c).
Lo que podemos decir es que los incisos del (a)-(c) son iguales.
--Pablo (discusión) 19:24 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 27
(a) Demostrar que la composición de dos traslaciones $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$ es una traslación. ¿Importa el orden de la composición?
(b) Demostrar que la composición de dos rotaciones $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1 $ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$ es una rotación. ¿Importa el orden de la composición?
(c) Demostrar que la composición de dos "magnificaciones" $M_1(z)=a_1z; a_1>0 $ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>0$ es una "magnificación". ¿Importa el orden de la composición?
Solución:
(a) Sean: $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$. Entonces:
$(T_1\circ T_2)(z)=T_1(T_2(z))=T_1(z+b_2)=(z+b_2)+b_1=z+(b_2+b_1)$
$(T_2\circ T_1)(z)=T_2(T_1(z))=T_2(z+b_1)=(z+b_1)+b_2=z+(b_1+b_2)$.
si $b_1=-b_2$ entonces $b_1+b_2=b_2+b_1=0$, ya no sería traslación.
Por lo tanto la composición de dos traslaciones es una traslación (por asociatividad y por la forma)
No importa el orden, ya que que la suma es conmutativa en $\mathbb{C}$
(b) Sean: $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1$ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$. Entonces:
$(R_1\circ R_2)(z)=R_1(R_2(z))=R_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z$ (con $|a_1a_2|=|a_1||a_2|=1)$
$(R_2\circ R_1)(z)=R_2(R_1(z))=R_2(a_1z)=a_2(a_1z)=(a_2a_1)z$ (con $|a_2a_1|=|a_2||a_1|=1)$.
Por lo tanto la composición de dos traslaciones es una traslación (por asociatividad,por la propiedad de la norma (producto) y por la forma)
No importa el orden, ya que que el producto es conmutativo en $\mathbb{C}$
(c) Sean: $M_1(z)=a_1z; a_1>0$ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>$. Entonces:
$(M_1\circ M_2)(z)=M_1(M_2(z))=M_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_1a_2>0)$\\ $(M_2\circ M_1)(z)=M_2(M_1(z))=M_2(a_1z)=a_2(a_1z)=(a_2a_1)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_2a_1>0)$
Por lo tanto la composición de dos "magnificaciones" es una "magnificación" (por asociatividad, por la relación de orden de la multiplicación en $\mathbb{R}$ y por la forma).
No importa el orden (de las composiciones), ya que que el producto es conmutativo en $\mathbb{C}$
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 21:02 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 29
Utilizando el mapeo $f(z)=\overline{z}$ y cualquier mapeo lineal, determinar un mapeo $g$ que refleje alrededor del eje imaginario. Es decir, exprese el mapeo $g(x+iy)=-x+iy$ en términos de constantes complejas y el símbolo $\overline{z}$.
Sol.
Si $z=x+iy$, su conjugada es $\overline{z}=x-iy$. Con $f(z)=\overline{z}$, por lo que un mapeo de reflexión alrededor del eje imaginario está dado por:
$g(z)=-f(z)=-\overline{z}=-(x-iy)=-x+iy$
$g(x+iy)=-x+iy$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 18:34 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 30
Describa cómo obtener la imagen $w_{0}=f(z_{0})$ de un punto $z_{0}$ bajo el mapeo $f(z_{0})=a\overline{z_{0}}+b$ en terminos de traslacion, rotacion y ampliacion y reflexion.
Dado un punto $z_{0}$ hacemos una reflexion respecto al eje real, eje ``$x$, si $a$ es una constante compleja al multiplicarla por el punto $z_{0}$ esta lo rota un angulo $\phi$ y hace una homotecia, viendolo como vector, es decir, lo agranda o lo hace pequeño, por ultimo sumamos una constante $b$ que dependiendo si es real o compleja lo traslada en el eje real, imaginario o ambos.
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 19:44 29 mayo 2015 (CDT)
