Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap2.3»
(No se muestran 36 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 47: | Línea 47: | ||
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=3iz$. | Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=3iz$. | ||
Tenemos que | Tenemos que: | ||
'''Procedimiento''' | |||
$x^2+y^2\leq 1$ | $x^2+y^2\leq 1$ | ||
$w=f(z)= 3iz$ | $w=f(z)= 3iz$ | ||
Línea 60: | Línea 62: | ||
$|3i|=3$ | $|3i|=3$ | ||
Línea 68: | Línea 68: | ||
Podemos concluir que al hacer el mapeo,la parte real de x pasó a ser imaginaria (al plano complejo) y la parte imaginaria de y pasó a los reales. | Podemos concluir que al hacer el mapeo,la parte real de x pasó a ser imaginaria (al plano complejo) y la parte imaginaria de y pasó a los reales. | ||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:Capitulo2.3Ejercicio3Zill.svg|sinmarco|centro]] | |||
---- | ---- | ||
Línea 77: | Línea 81: | ||
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=(1+i)z$. | Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=(1+i)z$. | ||
'''Procedimiento''' | |||
Tenemos que: | Tenemos que: | ||
Línea 97: | Línea 103: | ||
Por lo tanto hay una rotación de $\frac{\pi}{4}$ y una ampliación de $\sqrt{2}$ | Por lo tanto hay una rotación de $\frac{\pi}{4}$ y una ampliación de $\sqrt{2}$ | ||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:Capitulo2.3Ejercicio4Zill.svg|sinmarco]] | |||
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Realizado por:[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 03:43 30 mayo 2015 (CDT) | Realizado por:[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 03:43 30 mayo 2015 (CDT) | ||
Línea 103: | Línea 112: | ||
===Ejercicio 5=== | ===Ejercicio 5=== | ||
Encontrar la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ y representar el mapeo lineal como una secuencia de puntos. | |||
$f(z)=2z-i$ | |||
'''Inciso a''' | |||
Como se puede apreciar: | Como se puede apreciar: | ||
Línea 112: | Línea 122: | ||
$|2|=2$ y $Arg(2)=0$ | $|2|=2$ y $Arg(2)=0$ | ||
Por lo tanto es unicamente un alargamiento del vector z (en este caso, del disco) y un desplazamiento en la | Por lo tanto es unicamente un alargamiento del vector z (en este caso, del disco) y un desplazamiento en la dirección negativa del eje imaginario en una unidad. Por ello, la figura del disco original (azul) se transforma en el disco de color morado. | ||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:2.3-5.gif]] | [[Archivo:2.3-5.gif]] | ||
Línea 118: | Línea 130: | ||
Nota: Solo se puso en la imagen el contorno del disco de color, pero tener en cuenta que realmente es el disco entero y no unicamente la frontera | Nota: Solo se puso en la imagen el contorno del disco de color, pero tener en cuenta que realmente es el disco entero y no unicamente la frontera | ||
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 18:29 29 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 18:29 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 6=== | ===Ejercicio 6=== | ||
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|≤1$ dentro del mapeo lineal | |||
$f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
$\left(a\right)$encuentre la imagen del disco cerrado $\left|z\right|\leqq1$bajo | $\left(a\right)$encuentre la imagen del disco cerrado $\left|z\right|\leqq1$bajo | ||
el mapeo lineal dado | el mapeo lineal dado | ||
Línea 167: | Línea 182: | ||
trasladando por $1-3i$ | trasladando por $1-3i$ | ||
'''Secuencia de mapeos''' | |||
A continuación se mostrarán imágenes con esta secuencia de mapeos | A continuación se mostrarán imágenes con esta secuencia de mapeos | ||
Línea 180: | Línea 197: | ||
3.- Este último círculo se desplaza $1-3i$ en el plano complejo | 3.- Este último círculo se desplaza $1-3i$ en el plano complejo | ||
--[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 20:37 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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Realizado por:[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 20:37 29 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 7=== | ===Ejercicio 7=== | ||
Encontrar la imagen del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ y | |||
b) representar el mapeo lineal bajo la secuencias de gráficas. | |||
Solución: | Solución: | ||
'''Solución''' | |||
Siendo S el triángulo descrito y S' su imagen bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ tenemos. | Siendo S el triángulo descrito y S' su imagen bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ tenemos. | ||
Línea 198: | Línea 217: | ||
$f(z)=z+2i$ | $f(z)=z+2i$ | ||
Que representa una | Que representa una traslación por lo que el triangulo conserva su orientación y tamaño, desplazándose 2 unidades hacia arriba en el plano complejo, para determinar la posición de los vértices bajo el mapeo se evalúa: | ||
$f(0)=2i$ | $f(0)=2i$ | ||
Línea 206: | Línea 225: | ||
$f(3)=3i$ | $f(3)=3i$ | ||
[[Archivo:17.jpeg| | '''Gráfica''' | ||
[[Archivo:17.jpeg|sinmarco]] | |||
Línea 217: | Línea 239: | ||
$3i$. | $3i$. | ||
---- | |||
Resuelto por: [[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 23:52 21 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
=== ejercicio 8 === | === ejercicio 8 === | ||
Determine la imagen del triángulo con vértices 0,1 e i bajo el mapeo | |||
lineal $f(z)=3z$ | lineal $f(z)=3z$ | ||
'''Solución''' | |||
vértice1 $f(0+0i)=3(0+0i)=0+0i$ {*}éste vértice no se mueve del origen | vértice1 $f(0+0i)=3(0+0i)=0+0i$ {*}éste vértice no se mueve del origen | ||
(0,0) | (0,0) | ||
Línea 263: | Línea 259: | ||
el triángulo sólo sufrió una ampliación | el triángulo sólo sufrió una ampliación | ||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:Capitulo2.3Ejercicio8Zill.svg|sinmarco]] | |||
Los vértices pasan: | |||
$A=(0,0)$ | |||
$B'=(3,0)$ | |||
$C'=(0,3)$ | |||
En el plano $u,w$ | |||
--[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 18:54 29 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por:[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 18:54 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 9 === | ===Ejercicio 9 === | ||
Determine la imagen del triángulo con vértices 0,1 e i bajo el mapeo lineal | |||
$f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}z$ | $f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}z$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
$z=re^{i\theta}= r(\cos\theta+i \sin \theta)$ | |||
$ | $f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}= \cos( \dfrac{\pi}{4}) + i \sin (\dfrac{\pi}{4}) = (\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2})$ | ||
Un triangulo con vértices en$(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2})$ | |||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:Problema9Capitulo2.3Zill.png|sinmarco]] | |||
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 13:56 27 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 13:56 27 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai | |||
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===Ejercicio 10=== | ===Ejercicio 10=== | ||
Determina la imagen del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo $w=f(z)$ y (b) Expresa el resultado del mapeo | |||
'''Procedimiento''' | |||
$f(z)=\frac{1}{2}iz$ | $f(z)=\frac{1}{2}iz$ | ||
Línea 303: | Línea 310: | ||
$f(i)=\frac{1}{2}i(i)=\frac{1}{2}(i^2)=\frac{-1}{2}$ | $f(i)=\frac{1}{2}i(i)=\frac{1}{2}(i^2)=\frac{-1}{2}$ | ||
'''Gráfica''' | |||
El mapeo del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo la acción de la función $f(z)=\frac{1}{2}iz$ resulta en un triangulo rotado $\frac{\pi}{2}$ y se redujo ala mitad de su tamaño original | El mapeo del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo la acción de la función $f(z)=\frac{1}{2}iz$ resulta en un triangulo rotado $\frac{\pi}{2}$ y se redujo ala mitad de su tamaño original | ||
[[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 22:07 28 mayo 2015 (CDT) | [[Archivo:Problema10Capitulo2.3Zill.png|sinmarco]] | ||
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Realizado por: [[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 22:07 28 mayo 2015 (CDT) | |||
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Línea 316: | Línea 326: | ||
$f(z)=-3z+i$ | $f(z)=-3z+i$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Tendremos entonces que sustituir en cada z por el número predeterminado | Tendremos entonces que sustituir en cada z por el número predeterminado | ||
Línea 330: | Línea 341: | ||
$f(i)=-3(i)+i=-2i$ | $f(i)=-3(i)+i=-2i$ | ||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:Problema11Capitulo2.3Zill.png|sinmarco]] | |||
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Realizado por:[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 17:12 24 mayo 2015 (CDT) | |||
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Línea 343: | Línea 356: | ||
$f\left(z\right)=\left(1-i\right)z-2$ | $f\left(z\right)=\left(1-i\right)z-2$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para resolver este problema solamente debemos sustituir z en las condiciones | |||
Para resolver este problema solamente debemos | |||
dadas | dadas | ||
Línea 358: | Línea 370: | ||
$v\left(-2,-1-i,-1+i\right)$ | $v\left(-2,-1-i,-1+i\right)$ | ||
El cual | El cual sufrió una rotación y un desplazamiento de -2 unidades en | ||
el eje de los reales | el eje de los reales | ||
'''Gráfica''' | |||
[[Archivo:Problema12Capitulo2.3Zill.png|sinmarco]] | |||
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Resuelto por[[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 18:47 28 mayo 2015 (CDT) | Resuelto por[[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 18:47 28 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
Línea 366: | Línea 382: | ||
===Ejercicio 13=== | ===Ejercicio 13=== | ||
'''Exprese el mapeo lineal dado w=f(z) como una composición de una rotación, una ampliación y una | '''Exprese el mapeo lineal dado w=f(z) como una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. Luego describa la acción del mapeo lineal con palabras.''' | ||
<math>f(z)=3iz+4</math> | <math>f(z)=3iz+4</math> | ||
Para poder expresar esta | '''Procedimiento''' | ||
Para poder expresar esta función como una rotación, una ampliación y una traslación sera necesario dejarla en la forma; | |||
Línea 395: | Línea 413: | ||
<math>b=4</math> | <math>b=4</math> | ||
''' | '''Conclusión''' | ||
podemos concluir que la imagen S de el conjunto de puntos en en plano complejo x-y serán mapeados de la siguiente forma al plano u-v | |||
S sera | sea S la imagen estará sera trasladad 4 unidades en el eje real $u$--'''Traslación''' | ||
S sera rotada $\frac{\pi}{2}$ en contra de la | S sera ampliada por un factor de 3 (sera 3 veces mas grande)--'''Ampliación''' | ||
S sera rotada $\frac{\pi}{2}$ en contra de la manecillas del reloj--'''Rotación''' | |||
---- | ---- | ||
Realizado por:[[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 17:32 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 15=== | ===Ejercicio 15=== | ||
Exprese el mapeo lineal dado <math>w=f(z)</math> como una composición de una rotación , una ampliación , y una traslación .después describa con palabras la acción del mapeo lineal. | Exprese el mapeo lineal dado <math>w=f(z)</math> como una composición de una rotación , una ampliación , y una traslación .después describa con palabras la acción del mapeo lineal. | ||
<math>f(z)= -\frac{1}{2} z + 1 - \sqrt{3}i</math> | <math>f(z)= -\frac{1}{2} z + 1 - \sqrt{3}i</math> | ||
Ahora bien para poder expresar la | '''Procedimiento''' | ||
Ahora bien para poder expresar la función como rotación, ampliación y traslación mapeo vamos a considerar: | |||
<math>f(z)=|a|\frac{a}{|a|}z+b</math> | <math>f(z)=|a|\frac{a}{|a|}z+b</math> | ||
Línea 423: | Línea 448: | ||
<math>b=</math>traslacion bajo | <math>b=</math>traslacion bajo | ||
Ahora bien de nuestra | Ahora bien de nuestra función tenemos que | ||
<math>|a|=\frac{1}{2}</math> | <math>|a|=\frac{1}{2}</math> | ||
Línea 431: | Línea 456: | ||
<math>b=1 - \sqrt{3}i =-0.73205</math> | <math>b=1 - \sqrt{3}i =-0.73205</math> | ||
Ahora bien con lo anterior podemos observar que la imagen S en cuanto a la | '''Conclusión''' | ||
--[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 20:21 29 mayo 2015 (CDT) | |||
Ahora bien con lo anterior podemos observar que la imagen S en cuanto a la ampliación sera por 0.5 , pero de lo cual podemos ver que esta se reducirá, en cuanto a la rotación. esta sera indicada en contra a las manecillas del reloj y sera trasladado hacia el eje negativo. | |||
---- | |||
Realizado por:[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 20:21 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 16=== | ===Ejercicio 16=== | ||
'''Exprese el mapeo lineal dado $w=f(z)$ como una composición de una rotación, una ampliación y una | '''Exprese el mapeo lineal dado $w=f(z)$ como una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. Luego describa la acción del mapeo lineal con palabras.''' | ||
$f(z)=(3-2i)z+12$ | $f(z)=(3-2i)z+12$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Vemos que cada mapeo lineal complejo no constante es una composición | Vemos que cada mapeo lineal complejo no constante es una composición | ||
de una rotación, una ampliación y una | de una rotación, una ampliación y una traslación. En este caso tenemos | ||
una rotación $R(z)$ a través de $Arg(a)$ donde $a=3-2i$ por lo | una rotación $R(z)$ a través de $Arg(a)$ donde $a=3-2i$ por lo | ||
que $Arg(a)=tan^{-1}(\frac{-2}{3})$. | que $Arg(a)=tan^{-1}(\frac{-2}{3})$. | ||
Tenemos también una ampliación $M(z)$ a través de $|a|$ es decir | Tenemos también una ampliación $M(z)$ a través de $|a|$ es decir | ||
$|a|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}$ y una | $|a|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}$ y una traslación $T(z)$ es | ||
una | una traslación por $b$ donde $b=12$ en este caso. | ||
Entonces la composición $f(z)=T\circ M\circ R(z)=T(M(R(z)))$ es una | Entonces la composición $f(z)=T\circ M\circ R(z)=T(M(R(z)))$ es una | ||
Línea 455: | Línea 485: | ||
lineal siempre y cuando la forma básica no se vea comprometida por | lineal siempre y cuando la forma básica no se vea comprometida por | ||
la transformación. | la transformación. | ||
'''Conclusión''' | |||
Por tanto la acción del mapeo lineal es una rotación de $-33.69$ | Por tanto la acción del mapeo lineal es una rotación de $-33.69$ | ||
aprox., una | aprox., una ampliación de $\sqrt{13}$ y una traslación de $12$ sobre | ||
el eje real. | el eje real. | ||
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 23:02 25 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 23:02 25 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 470: | Línea 503: | ||
$S$ es el triangulo con vértices $0$, $1$ y $1+i$. | |||
$S`$ es el triangulo con vértices $2i$, $3i$, y $-1+3i$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Línea 490: | Línea 523: | ||
Si $f(z)=zi+2i$, entonces para $f(z=1+i)=i(1+i)+2i=i-1+2i=-1+3i$ | Si $f(z)=zi+2i$, entonces para $f(z=1+i)=i(1+i)+2i=i-1+2i=-1+3i$ | ||
'''Conclusión''' | |||
Con lo que se cumple la relación, así concluimos que el mapeo lineal que mapea a $S$ en $S`$ es $f(z)=zi+2i$ | Con lo que se cumple la relación, así concluimos que el mapeo lineal que mapea a $S$ en $S`$ es $f(z)=zi+2i$ | ||
---- | ---- | ||
Realizado por:[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 01:38 22 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
=== Ejercicio 19 === | === Ejercicio 19 === | ||
Línea 501: | Línea 537: | ||
</math>. | </math>. | ||
'''Procedimiento''' | |||
<math> S | <math> S | ||
Línea 532: | Línea 568: | ||
</math>, para una sola <math> z | </math>, para una sola <math> z | ||
</math> | </math> | ||
'''Conclusión''' | |||
Con lo que se obtiene la función | Con lo que se obtiene la función | ||
Línea 538: | Línea 576: | ||
</math> | </math> | ||
---- | |||
Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:43 29 mayo 2015 (CDT) | Elaborado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:43 29 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 20=== | ===Ejercicio 20=== | ||
Determine un mapeo lineal que mapea el conjunto S en el conjunto | |||
S' | S' | ||
S es el cuadrado con vértices $1+i,-1+i,-1-i,\:y\:1-i.$S' es el cuadrado | S es el cuadrado con vértices $1+i,-1+i,-1-i,\:y\:1-i.$S' es el cuadrado | ||
con vértices $1,2+i,1+2i,\:e\:i$ | con vértices $1,2+i,1+2i,\:e\:i$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
primero trasladamos los ejes $1+i$ unidades, entonces tendremos la | primero trasladamos los ejes $1+i$ unidades, entonces tendremos la | ||
Línea 612: | Línea 652: | ||
como se quería,hemos encontrado que el mapeo lineal: | como se quería,hemos encontrado que el mapeo lineal: | ||
$f(z)=T_{2}\circ M\circ R\circ T_{1}(z)=(((z+1+i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i))(\frac{\sqrt{2}}{2}))+i=(z+1+i)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)+i=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}zi-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i^{2}+i=\frac{1}{2}z+1-\frac{1}{2}zi+i=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$ | $f(z)=T_{2}\circ M\circ R\circ T_{1}(z)=(((z+1+i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i))(\frac{\sqrt{2}}{2}))+i=$ | ||
$=(z+1+i)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)+i=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}zi-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i^{2}+i=\frac{1}{2}z+1-\frac{1}{2}zi+i=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$ | |||
entonces: | entonces: | ||
Línea 618: | Línea 661: | ||
$f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$ | $f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$ | ||
así | |||
$f(1+i)=\frac{1}{2}\left[(1+i+2)+(2-1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(3+i)+(1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[4+2i\right]=2+i$ | $f(1+i)=\frac{1}{2}\left[(1+i+2)+(2-1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(3+i)+(1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[4+2i\right]=2+i$ | ||
Línea 630: | Línea 673: | ||
como se quería. | como se quería. | ||
--[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 18:29 30 mayo 2015 (CDT) | '''Conclusión''' | ||
$f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$ | |||
$f(z)$ mapea $S$ en $S'$ | |||
---- | |||
Realizado por: [[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 18:29 30 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 21=== | ===Ejercicio 21=== | ||
Encuentra dos aplicaciones lineales diferentes que mapean el cuadrado | Encuentra dos aplicaciones lineales diferentes que mapean el cuadrado | ||
con vértices 0 , 1, 1 + i , i , | con vértices 0 , 1, 1 + i , i , al cuadrado con vértices: -1 , 0, i | ||
, -1 + i | , -1 + i | ||
'''Mapeo 1''' | |||
tenemos el cuadrado de | |||
tenemos el cuadrado de vértices 0 , 1, 1 + i , i y queremos mandarlo | |||
al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i | al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i | ||
podemos usar una | podemos usar una traslación | ||
traslación = -1 | |||
escrito como | escrito como | ||
$ | $To\left(0,1,1+i,i\right)=-1,0,i,-1+i$ | ||
$ | $f(z)=z-1$ dada | ||
'''Mapeo 2''' | |||
tenemos el cuadrado de | tenemos el cuadrado de vértices 0 , 1, 1 + i , i y queremos mandarlo | ||
al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i | al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i | ||
podemos usar la siguiente cadena: | podemos usar la siguiente cadena: | ||
rotación R = $e^{i\frac{\pi}{2}}$ | |||
Así los puntos: | |||
$(0,1,1+i,i) \to (0,i,-1,-1+i)$ | |||
$f(z)=z e^{i\frac{\pi}{2}}$ | |||
---- | |||
Realizado por:[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 19:05 21 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 25=== | |||
En las partes de $(a)\to(c)$ expresa la composición dada como un mapeo lineal de la forma <math>f(z)=az+b</math> | |||
a) rotacion <math>\frac{\pi}{4}</math>, magnificación de 2, y una translacion de 1+ i. | a) rotacion <math>\frac{\pi}{4}</math>, magnificación de 2, y una translacion de 1+ i. | ||
'''Inciso a''' | |||
La rotación vista desde forma polar es <math>R(z)= e^{i \rho} </math> tiene la ventaja que <math>\rho</math> es el ángulo que se desea rotar. La composición de función tiene la forma | La rotación vista desde forma polar es <math>R(z)= e^{i \rho} </math> tiene la ventaja que <math>\rho</math> es el ángulo que se desea rotar. La composición de función tiene la forma | ||
Línea 692: | Línea 740: | ||
<math>f_{1}(z)=T(M(R(z)))= T \circ M \circ R(z) = 2e^{i \frac{\pi}{4}} (z)+(1+i) </math> | <math>f_{1}(z)=T(M(R(z)))= T \circ M \circ R(z) = 2e^{i \frac{\pi}{4}} (z)+(1+i) </math> | ||
Donde primero rotamos, luego amplificamos y por último | Donde primero rotamos, luego amplificamos y por último trasladamos. | ||
Ahora tenemos primero que magnificar luego | b)magnificación por 2, trasladamos por <math>\sqrt{2}</math> y rotamos <math>\frac{\pi}{4}</math> | ||
'''Inciso b''' | |||
Ahora tenemos primero que magnificar luego trasladar y por último rotamos | |||
<math>f_{2}(z)= R(T(M(z)))= R \circ T \circ M(z)= e^\frac{i \pi}{4}((2(z))+\sqrt{2})</math> | <math>f_{2}(z)= R(T(M(z)))= R \circ T \circ M(z)= e^\frac{i \pi}{4}((2(z))+\sqrt{2})</math> | ||
c) | c) traslación de <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>, rotación de <math>\frac{\pi}{4}</math> y una amplificación de 2 | ||
'''Inciso c''' | |||
<math>f_{3}(z)= T(R(M(z)))= M \circ R \circ T(z)= 2(e^{\frac{\pi}{4}}((z)+ \frac{\sqrt{2}}{2}))</math> | <math>f_{3}(z)= T(R(M(z)))= M \circ R \circ T(z)= 2(e^{\frac{\pi}{4}}((z)+ \frac{\sqrt{2}}{2}))</math> | ||
d) ¿Qué puedes decir de (a)-(c)? | d) ¿Qué puedes decir de (a)-(c)? | ||
'''Inciso d''' | |||
Si cambiamos el <math>f_{1}(z)</math> a polares tenemos que | Si cambiamos el <math>f_{1}(z)</math> a polares tenemos que | ||
Línea 719: | Línea 772: | ||
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--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 19:24 29 mayo 2015 (CDT) | Realizado por: [[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 19:24 29 mayo 2015 (CDT) | ||
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=== Ejercicio 27 === | === Ejercicio 27 === | ||
(a) Demostrar que la composición de dos traslaciones $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$ es una traslación. ¿Importa el orden de la composición? | |||
(b) Demostrar que la composición de dos rotaciones $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1 $ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$ es una rotación. ¿Importa el orden de la composición? | |||
(c) Demostrar que la composición de dos "magnificaciones" $M_1(z)=a_1z; a_1>0 $ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>0$ es una "magnificación". ¿Importa el orden de la composición? | |||
Solución: | Solución: | ||
Línea 736: | Línea 788: | ||
(a) Sean: $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$. | (a) Sean: $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$. | ||
Entonces: | Entonces: | ||
'''Inciso a''' | |||
$(T_1\circ T_2)(z)=T_1(T_2(z))=T_1(z+b_2)=(z+b_2)+b_1=z+(b_2+b_1)$ | $(T_1\circ T_2)(z)=T_1(T_2(z))=T_1(z+b_2)=(z+b_2)+b_1=z+(b_2+b_1)$ | ||
Línea 749: | Línea 803: | ||
(b) Sean: $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1$ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$. Entonces: | (b) Sean: $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1$ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$. Entonces: | ||
'''Inciso b''' | |||
$(R_1\circ R_2)(z)=R_1(R_2(z))=R_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z$ (con $|a_1a_2|=|a_1||a_2|=1)$ | $(R_1\circ R_2)(z)=R_1(R_2(z))=R_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z$ (con $|a_1a_2|=|a_1||a_2|=1)$ | ||
Línea 759: | Línea 815: | ||
(c) Sean: $M_1(z)=a_1z; a_1>0$ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>$. Entonces: | (c) Sean: $M_1(z)=a_1z; a_1>0$ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>$. Entonces: | ||
'''Inciso c''' | |||
$(M_1\circ M_2)(z)=M_1(M_2(z))=M_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_1a_2>0)$\\ $(M_2\circ M_1)(z)=M_2(M_1(z))=M_2(a_1z)=a_2(a_1z)=(a_2a_1)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_2a_1>0)$ | $(M_1\circ M_2)(z)=M_1(M_2(z))=M_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_1a_2>0)$\\ $(M_2\circ M_1)(z)=M_2(M_1(z))=M_2(a_1z)=a_2(a_1z)=(a_2a_1)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_2a_1>0)$ | ||
Línea 766: | Línea 824: | ||
No importa el orden (de las composiciones), ya que que el producto es conmutativo en $\mathbb{C}$ | No importa el orden (de las composiciones), ya que que el producto es conmutativo en $\mathbb{C}$ | ||
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Realizado por:[[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 21:02 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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===Ejercicio 29=== | ===Ejercicio 29=== | ||
Línea 773: | Línea 833: | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Si $z=x+iy$, su conjugada es $\overline{z}=x-iy$. Con $f(z)=\overline{z}$, por lo que un mapeo de reflexión alrededor del eje imaginario está dado por: | Si $z=x+iy$, su conjugada es $\overline{z}=x-iy$. Con $f(z)=\overline{z}$, por lo que un mapeo de reflexión alrededor del eje imaginario está dado por: | ||
Línea 781: | Línea 841: | ||
$g(x+iy)=-x+iy$ | $g(x+iy)=-x+iy$ | ||
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[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 18:34 21 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 18:34 21 mayo 2015 (CDT) | ||
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Línea 787: | Línea 847: | ||
=== Ejercicio 30 === | === Ejercicio 30 === | ||
Describa cómo obtener la imagen $w_{0}=f(z_{0})$ de un punto $z_{0}$ | Describa cómo obtener la imagen $w_{0}=f(z_{0})$ de un punto $z_{0}$ | ||
bajo el mapeo $f(z_{0})=a\overline{z_{0}}+b$ en | bajo el mapeo $f(z_{0})=a\overline{z_{0}}+b$ en términos de traslacion, | ||
rotación y ampliación y reflexión. | |||
Dado un punto $z_{0}$ hacemos una | '''Conclusion''' | ||
Dado un punto $z_{0}$ hacemos una reflexión respecto al eje real, | |||
eje ``$x$'', si $a$ es una constante compleja al multiplicarla | eje ``$x$'', si $a$ es una constante compleja al multiplicarla | ||
por el punto $z_{0}$ esta lo rota un angulo $\phi$ y hace una homotecia, | por el punto $z_{0}$ esta lo rota un angulo $\phi$ y hace una homotecia, | ||
viéndolo como vector, es decir, lo agranda o lo hace pequeño, por | |||
ultimo sumamos una constante $b$ que dependiendo si es real o compleja | ultimo sumamos una constante $b$ que dependiendo si es real o compleja | ||
lo traslada en el eje real, imaginario o ambos. | lo traslada en el eje real, imaginario o ambos. | ||
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Realizado por:[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 19:44 29 mayo 2015 (CDT) | |||
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Revisión actual - 03:19 18 mar 2023
Ejercicios del capítulo 2, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 2.3
Ejercicio 1
(a) Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=z+3i$.
Inciso a
Para el caso de la suma de complejos, la transformación coincide con una traslación de 3 unidades hacia arriba. En la figura muestra la región inicial (en Azul) y el mapeo(en Rojo).
(b) Represente el mapeo lineal con una secuencia de puntos.
Inciso b
Los puntos se ilustran mediante flechas azules en la figura.
Gráfica
Realizado por:Tlacaelel Cruz (discusión) 19:22 22 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=3iz$.
Tenemos que:
Procedimiento
$x^2+y^2\leq 1$ $w=f(z)= 3iz$
$f(z)= 3i(x+iy)=(3xi-3y)=3(-y+xi)$
Donde
$Arg(\frac{3i}{3})=\frac{\pi}{4}$
y
$|3i|=3$
Por tanto podemos observar que al hacer el mapeo hay una rotación de $\frac{\pi}{4}$ con una amplificación de 3
Podemos concluir que al hacer el mapeo,la parte real de x pasó a ser imaginaria (al plano complejo) y la parte imaginaria de y pasó a los reales.
Gráfica
Realizado por: Samantha Martinez (discusión) 22:00 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ dentro del mapeo lineal $w=f(z)=(1+i)z$.
Procedimiento
Tenemos que:
$w=f(z)= (1+i)z$
Pero: $z=x+iy$
Entonces:
$f(z)=(1+i)(x+iy)=(x+ix+iy+i^2y)=x-y+i(x+y)$
Determinamos el argumento y el modulo de $(1+i)$
$Arg(\frac{1}{1})=45°$
Y
$|1+i|=\sqrt{2}$
Por lo tanto hay una rotación de $\frac{\pi}{4}$ y una ampliación de $\sqrt{2}$
Gráfica
Realizado por:Nancy Martínez Durán (discusión) 03:43 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Encontrar la imagen del disco cerrado $|z|\leq 1$ bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ y representar el mapeo lineal como una secuencia de puntos.
$f(z)=2z-i$
Inciso a
Como se puede apreciar:
$|2|=2$ y $Arg(2)=0$
Por lo tanto es unicamente un alargamiento del vector z (en este caso, del disco) y un desplazamiento en la dirección negativa del eje imaginario en una unidad. Por ello, la figura del disco original (azul) se transforma en el disco de color morado.
Gráfica
Nota: Solo se puso en la imagen el contorno del disco de color, pero tener en cuenta que realmente es el disco entero y no unicamente la frontera
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 18:29 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Encuentre la imagen del disco cerrado $|z|≤1$ dentro del mapeo lineal
$f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$
Procedimiento
$\left(a\right)$encuentre la imagen del disco cerrado $\left|z\right|\leqq1$bajo el mapeo lineal dado
$w=f\left(z\right)$
$\left(b\right)$represente el mapeo lineal con una secuencia de gráficas como en la figura 2.3.7
$\left(a\right)$:
Sea $S$ el disco cerrado $\left|z\right|\leqq1$ y sea $S\prime$ la imagen de $S$ bajo $f$ donde $z=x+iy$
El primer mapeo lineal se debe hacer con la expresión:
$f\left(z\right)=\left(6-5i\right)\left(x+iy\right)+1-3i=\left(6x+i6y-i5x+5y\right)+1-3i$
$f\left(z\right)=w=i\left(6y-5x-3\right)+6x+5y+1$
$\left|w\right|=36y^{2}-60xy-36y+25x^{2}+30x+9+36x^{2}+60xy+12x+25y^{2}+5y+1$
Por lo tanto $S\prime$será:
$\left|w\right|=61y^{2}+61x^{2}-31y+42x+10\leqq1$
$\left(b\right)$:
El mapeo lineal $f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$ se puede ver como la composición
de una rotación, una ampliación y una rotación:
Como en $f\left(z\right)=\left(6-5i\right)z+1-3i$ el $\arg[6-5i]=-\arctan[\frac{5}{6}]$ y $\left|6-5i\right|=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$
$f$ actúa girando un ángulo de $39.8$ grados alrededor del origen, ampliando por $\sqrt{61}$ y luego
trasladando por $1-3i$
Secuencia de mapeos
A continuación se mostrarán imágenes con esta secuencia de mapeos
1.-El círculo que se muestra a continuación se gira $39.8$ grados alrededor del origen, quedando exactamente igual.
2.-El círculo se amplía por $\sqrt{61}$
3.- Este último círculo se desplaza $1-3i$ en el plano complejo
Realizado por:Alejandro Juárez Toribio (discusión) 20:37 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Encontrar la imagen del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ y b) representar el mapeo lineal bajo la secuencias de gráficas.
Solución:
Solución
Siendo S el triángulo descrito y S' su imagen bajo el mapeo lineal $w=f(z)$ tenemos.
$f(z)=z+2i$
Que representa una traslación por lo que el triangulo conserva su orientación y tamaño, desplazándose 2 unidades hacia arriba en el plano complejo, para determinar la posición de los vértices bajo el mapeo se evalúa:
$f(0)=2i$
$f(1)=1+2i$
$f(3)=3i$
Gráfica
Los nuevos vértices del triángulo son:
$2i$,
$1+2i$,
$3i$.
Resuelto por: Luis Santos (discusión) 23:52 21 mayo 2015 (CDT)
ejercicio 8
Determine la imagen del triángulo con vértices 0,1 e i bajo el mapeo lineal $f(z)=3z$
Solución
vértice1 $f(0+0i)=3(0+0i)=0+0i$ {*}éste vértice no se mueve del origen (0,0)
vértice2 $f(1+0i)=3(1+0i)=3+0i$ {*}éste vértice se encuentra en el punto (3,0)
vértice3 $f(0+i)=3(0+i)=0+3i${*}éste vértice se encuentra en el punto (0,3)
el triángulo sólo sufrió una ampliación
Gráfica
Los vértices pasan:
$A=(0,0)$
$B'=(3,0)$
$C'=(0,3)$
En el plano $u,w$
Realizado por:Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 18:54 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Determine la imagen del triángulo con vértices 0,1 e i bajo el mapeo lineal
$f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}z$
Procedimiento
$z=re^{i\theta}= r(\cos\theta+i \sin \theta)$
$f(z)= e^{i\dfrac{\pi}{4}}= \cos( \dfrac{\pi}{4}) + i \sin (\dfrac{\pi}{4}) = (\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2})$
Un triangulo con vértices en$(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \dfrac{\sqrt{2}}{2})$
Gráfica
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 13:56 27 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 10
Determina la imagen del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo $w=f(z)$ y (b) Expresa el resultado del mapeo
Procedimiento
$f(z)=\frac{1}{2}iz$
Como nos dan los puntos del triangulo se sustituyen en la función $f(z)$
$f(0)=\frac{1}{2}i(0)=0$
$f(1)=\frac{1}{2}i(1)=\frac{1}{2}i$
$f(i)=\frac{1}{2}i(i)=\frac{1}{2}(i^2)=\frac{-1}{2}$
Gráfica
El mapeo del triangulo con vértices $0,1,i$ bajo la acción de la función $f(z)=\frac{1}{2}iz$ resulta en un triangulo rotado $\frac{\pi}{2}$ y se redujo ala mitad de su tamaño original
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 22:07 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Determine la imagen del triángulo con vértices $0,1,i$ bajo el mapeo lineal dado $w=f(z)$
$f(z)=-3z+i$
Procedimiento
Tendremos entonces que sustituir en cada z por el número predeterminado a ser.
$f(0)=-3(0)+i=i$
Y el siguiente sería:
$f(1)=-3(1)+i=-3+i$
Ahora el siguiente
$f(i)=-3(i)+i=-2i$
Gráfica
Realizado por:Francisco Medina Albino (discusión) 17:12 24 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Determine la imagen del triángulo con vértices en 0,1 e i bajo el mapeo $w=f\left(z\right)$
$f\left(z\right)=\left(1-i\right)z-2$
Procedimiento
Para resolver este problema solamente debemos sustituir z en las condiciones dadas
$f\left(0\right)=\left(1-i\right)0-2=-2$
$f\left(1\right)=\left(1-i\right)1-2=-1-i$
$f\left(i\right)=\left(1-i\right)i-2=i-i^{2}-2=i-\left(-1\right)-2=-1+i$
Lo cual nos da como resultado un triángulo con vértices:
$v\left(-2,-1-i,-1+i\right)$
El cual sufrió una rotación y un desplazamiento de -2 unidades en el eje de los reales
Gráfica
Resuelto porLuis Enrique Martínez Valverde (discusión) 18:47 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Exprese el mapeo lineal dado w=f(z) como una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. Luego describa la acción del mapeo lineal con palabras.
Procedimiento
Para poder expresar esta función como una rotación, una ampliación y una traslación sera necesario dejarla en la forma;
En donde se puede identificar cada etapa del mapeo, esto es;
amplitud bajo el mapeo
la rotacion de la imagen s bajo el mapeo
traslacion bajo el mapeo
Una vez especificado esto procederemos a identificar estas constantes en nuestra funcion, para esto pondremos la siguiente igualdad;
y asi de esta manera es claro identificar que;
nota;apesar de que aqui $Arctan(\frac{1}{0})$ no esta definido, el punto a=3i esta en el eje imaginario por lo cual $\theta=\frac{\pi}{2}$
Conclusión
podemos concluir que la imagen S de el conjunto de puntos en en plano complejo x-y serán mapeados de la siguiente forma al plano u-v
sea S la imagen estará sera trasladad 4 unidades en el eje real $u$--Traslación
S sera ampliada por un factor de 3 (sera 3 veces mas grande)--Ampliación
S sera rotada $\frac{\pi}{2}$ en contra de la manecillas del reloj--Rotación
Realizado por:Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 17:32 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Exprese el mapeo lineal dado como una composición de una rotación , una ampliación , y una traslación .después describa con palabras la acción del mapeo lineal.
Procedimiento
Ahora bien para poder expresar la función como rotación, ampliación y traslación mapeo vamos a considerar:
De donde tenemos;
amplitud
la rotacion
traslacion bajo
Ahora bien de nuestra función tenemos que
Conclusión
Ahora bien con lo anterior podemos observar que la imagen S en cuanto a la ampliación sera por 0.5 , pero de lo cual podemos ver que esta se reducirá, en cuanto a la rotación. esta sera indicada en contra a las manecillas del reloj y sera trasladado hacia el eje negativo.
Realizado por:Anahi Limas (discusión) 20:21 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Exprese el mapeo lineal dado $w=f(z)$ como una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. Luego describa la acción del mapeo lineal con palabras.
$f(z)=(3-2i)z+12$
Procedimiento
Vemos que cada mapeo lineal complejo no constante es una composición de una rotación, una ampliación y una traslación. En este caso tenemos una rotación $R(z)$ a través de $Arg(a)$ donde $a=3-2i$ por lo que $Arg(a)=tan^{-1}(\frac{-2}{3})$.
Tenemos también una ampliación $M(z)$ a través de $|a|$ es decir $|a|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{13}$ y una traslación $T(z)$ es una traslación por $b$ donde $b=12$ en este caso.
Entonces la composición $f(z)=T\circ M\circ R(z)=T(M(R(z)))$ es una función lineal compleja. Y se tiene que esta composición es un mapeo lineal siempre y cuando la forma básica no se vea comprometida por la transformación.
Conclusión
Por tanto la acción del mapeo lineal es una rotación de $-33.69$ aprox., una ampliación de $\sqrt{13}$ y una traslación de $12$ sobre el eje real.
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:02 25 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Determine un mapeo lineal que mapea el conjunto $S$ en el conjunto $S`$
$S$ es el triangulo con vértices $0$, $1$ y $1+i$.
$S`$ es el triangulo con vértices $2i$, $3i$, y $-1+3i$
Procedimiento
Si para una función $f(z=0)=2i$, entonces debe haber una función que cumpla que para $z=0$ haya una función $f(0)=2i$ la cual seria $f(z=0)=z+2i$
Ahora dicha funciona debe cumplir que $f(z=1)=3i$ entonces debe haber una función que cumpla que para $z=1$ haya una función $3i$ la cual seria $f(z=1)=zi+2i=3i$
Por ultimo, comprobamos estas relaciones con la ultima expresión de $z=1+i$
Si $f(z)=zi+2i$, entonces para $f(z=1+i)=i(1+i)+2i=i-1+2i=-1+3i$
Conclusión
Con lo que se cumple la relación, así concluimos que el mapeo lineal que mapea a $S$ en $S`$ es $f(z)=zi+2i$
Realizado por:Miguel Medina Armendariz (discusión) 01:38 22 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Determine un mapeo en lineal que mapea al conjunto en el conjunto .
Procedimiento
es el eje imaginario. es la recta que pasa por los puntos y
Sea y
Entonces
- , la función recta
- , la función recta ; hay periocidad.
Se propone para que tenga la solución de mapeo lineal donde
- , para una sola
Conclusión
Con lo que se obtiene la función
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:43 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Determine un mapeo lineal que mapea el conjunto S en el conjunto S'
S es el cuadrado con vértices $1+i,-1+i,-1-i,\:y\:1-i.$S' es el cuadrado con vértices $1,2+i,1+2i,\:e\:i$
Procedimiento
primero trasladamos los ejes $1+i$ unidades, entonces tendremos la función:
$T_{1}(z)=z+1+i$
así
$T_{1}(1+i)=(1+i)+1+i=2+2i$
$T_{1}(-1+i)=(-1+i)+1+i=0+2i$
$T_{1}(-1-i)=(-1-i)+1+i=0+0i$
$T_{1}(1-i)=(1-i)+1+i=2+0i$
después lo rotamos $\frac{\pi}{4}$ en la dirección de las manecillas del reloj quedándonos la función:
$R(z)=z(e^{-i\frac{\pi}{4}})=z(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)$
entonces
$R(2+2i)=(2+2i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i+\frac{2}{\sqrt{2}}i-\frac{2}{\sqrt{2}}i^{2}=\frac{4}{\sqrt{2}}+0i$
$R(0+2i)=(0+2i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\frac{2}{\sqrt{2}}i-\frac{2}{\sqrt{2}}i^{2}=\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i$
$R(0+0i)=(0+0i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=0+0i$
$R(2+0i)=(2+0i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i)=\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i$
sabiendo cual es el cuadrado en S' al que queremos mapear reducimos en un factor de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ los lados del cuadrado en S, la función es:
$M(z)=z(\frac{\sqrt{2}}{2})$
de aquí que:
$M(\frac{4}{\sqrt{2}}+0i)=(\frac{4}{\sqrt{2}}+0i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=2+0i$
$M(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i)=(\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=1+i$
$M(0+0i)=(0+0i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=0+0i$
$M(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i)=(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}i)(\frac{\sqrt{2}}{2})=1-i$
ademas lo trasladamos un factor de $i$
$T_{2}(z)=z+i$
de tal modo que:
$T_{2}(2+0i)=(2+0i)+i=2+i$
$T_{2}(1+i)=(1+i)+i=1+2i$
$T_{2}(0+0i)=(0+0i)+i=0+i$
$T_{2}(1-i)=(1-i)+i=1+0i$
como se quería,hemos encontrado que el mapeo lineal:
$f(z)=T_{2}\circ M\circ R\circ T_{1}(z)=(((z+1+i)(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i))(\frac{\sqrt{2}}{2}))+i=$
$=(z+1+i)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)+i=\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}zi-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i^{2}+i=\frac{1}{2}z+1-\frac{1}{2}zi+i=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$
entonces:
$f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$
así
$f(1+i)=\frac{1}{2}\left[(1+i+2)+(2-1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(3+i)+(1-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[4+2i\right]=2+i$
$f(-1+i)=\frac{1}{2}\left[(-1+i+2)+(2-(-1+i))i\right]=\frac{1}{2}\left[(1+i)+(3-i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(2+4i)\right]=1+2i$
$f(-1-i)=\frac{1}{2}\left[(-1-i+2)+(2-(-1-i))i\right]=\frac{1}{2}\left[(1-i)+(3+i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(1-i)+(3+i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(0+2i)\right]=i$
$f(1-i)=\frac{1}{2}\left[(1-i+2)+(2-(1-i))i\right]=\frac{1}{2}\left[(3-i)+(1+i)i\right]=\frac{1}{2}\left[(2+0i)\right]=1$
como se quería.
Conclusión
$f(z)=\frac{1}{2}\left[(z+2)+(2-z)i\right]$
$f(z)$ mapea $S$ en $S'$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:29 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Encuentra dos aplicaciones lineales diferentes que mapean el cuadrado con vértices 0 , 1, 1 + i , i , al cuadrado con vértices: -1 , 0, i , -1 + i
Mapeo 1
tenemos el cuadrado de vértices 0 , 1, 1 + i , i y queremos mandarlo al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i
podemos usar una traslación
traslación = -1
escrito como
$To\left(0,1,1+i,i\right)=-1,0,i,-1+i$
$f(z)=z-1$ dada
Mapeo 2
tenemos el cuadrado de vértices 0 , 1, 1 + i , i y queremos mandarlo
al siguiente cuadrado -1 , 0, i , -1 + i
podemos usar la siguiente cadena:
rotación R = $e^{i\frac{\pi}{2}}$
Así los puntos:
$(0,1,1+i,i) \to (0,i,-1,-1+i)$
$f(z)=z e^{i\frac{\pi}{2}}$
Realizado por:Martin Flores Molina (discusión) 19:05 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 25
En las partes de $(a)\to(c)$ expresa la composición dada como un mapeo lineal de la forma
a) rotacion , magnificación de 2, y una translacion de 1+ i.
Inciso a
La rotación vista desde forma polar es tiene la ventaja que es el ángulo que se desea rotar. La composición de función tiene la forma
Donde primero rotamos, luego amplificamos y por último trasladamos.
b)magnificación por 2, trasladamos por y rotamos
Inciso b
Ahora tenemos primero que magnificar luego trasladar y por último rotamos
c) traslación de , rotación de y una amplificación de 2
Inciso c
d) ¿Qué puedes decir de (a)-(c)?
Inciso d
Si cambiamos el a polares tenemos que
Ahora de podemos hacer
Por lo que decimos que si los incisos (a)=(b) y (b)=(c) por lo tanto (a)=(c).
Lo que podemos decir es que los incisos del (a)-(c) son iguales.
Realizado por: Pablo (discusión) 19:24 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 27
(a) Demostrar que la composición de dos traslaciones $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$ es una traslación. ¿Importa el orden de la composición?
(b) Demostrar que la composición de dos rotaciones $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1 $ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$ es una rotación. ¿Importa el orden de la composición?
(c) Demostrar que la composición de dos "magnificaciones" $M_1(z)=a_1z; a_1>0 $ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>0$ es una "magnificación". ¿Importa el orden de la composición?
Solución:
(a) Sean: $T_1(z)=z+b_1; b_1 \neq0$ y $ T_2(z)=z+b_2; b_2 \neq0$. Entonces:
Inciso a
$(T_1\circ T_2)(z)=T_1(T_2(z))=T_1(z+b_2)=(z+b_2)+b_1=z+(b_2+b_1)$
$(T_2\circ T_1)(z)=T_2(T_1(z))=T_2(z+b_1)=(z+b_1)+b_2=z+(b_1+b_2)$.
si $b_1=-b_2$ entonces $b_1+b_2=b_2+b_1=0$, ya no sería traslación.
Por lo tanto la composición de dos traslaciones es una traslación (por asociatividad y por la forma)
No importa el orden, ya que que la suma es conmutativa en $\mathbb{C}$
(b) Sean: $R_1(z)=a_1z; |a_1|=1$ y $ R_2(z)=a_2z; |a_2|=1$. Entonces:
Inciso b
$(R_1\circ R_2)(z)=R_1(R_2(z))=R_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z$ (con $|a_1a_2|=|a_1||a_2|=1)$
$(R_2\circ R_1)(z)=R_2(R_1(z))=R_2(a_1z)=a_2(a_1z)=(a_2a_1)z$ (con $|a_2a_1|=|a_2||a_1|=1)$.
Por lo tanto la composición de dos traslaciones es una traslación (por asociatividad,por la propiedad de la norma (producto) y por la forma)
No importa el orden, ya que que el producto es conmutativo en $\mathbb{C}$
(c) Sean: $M_1(z)=a_1z; a_1>0$ y $ M_2(z)=a_2z; a_2>$. Entonces:
Inciso c
$(M_1\circ M_2)(z)=M_1(M_2(z))=M_1(a_2z)=a_1(a_2z)=(a_1a_2)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_1a_2>0)$\\ $(M_2\circ M_1)(z)=M_2(M_1(z))=M_2(a_1z)=a_2(a_1z)=(a_2a_1)z ;(a_1>0\wedge a_2>0\rightarrow a_2a_1>0)$
Por lo tanto la composición de dos "magnificaciones" es una "magnificación" (por asociatividad, por la relación de orden de la multiplicación en $\mathbb{R}$ y por la forma).
No importa el orden (de las composiciones), ya que que el producto es conmutativo en $\mathbb{C}$
Realizado por:Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 21:02 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 29
Utilizando el mapeo $f(z)=\overline{z}$ y cualquier mapeo lineal, determinar un mapeo $g$ que refleje alrededor del eje imaginario. Es decir, exprese el mapeo $g(x+iy)=-x+iy$ en términos de constantes complejas y el símbolo $\overline{z}$.
Procedimiento
Si $z=x+iy$, su conjugada es $\overline{z}=x-iy$. Con $f(z)=\overline{z}$, por lo que un mapeo de reflexión alrededor del eje imaginario está dado por:
$g(z)=-f(z)=-\overline{z}=-(x-iy)=-x+iy$
$g(x+iy)=-x+iy$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 18:34 21 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 30
Describa cómo obtener la imagen $w_{0}=f(z_{0})$ de un punto $z_{0}$ bajo el mapeo $f(z_{0})=a\overline{z_{0}}+b$ en términos de traslacion, rotación y ampliación y reflexión.
Conclusion
Dado un punto $z_{0}$ hacemos una reflexión respecto al eje real, eje ``$x$, si $a$ es una constante compleja al multiplicarla por el punto $z_{0}$ esta lo rota un angulo $\phi$ y hace una homotecia, viéndolo como vector, es decir, lo agranda o lo hace pequeño, por ultimo sumamos una constante $b$ que dependiendo si es real o compleja lo traslada en el eje real, imaginario o ambos.
Realizado por:Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 19:44 29 mayo 2015 (CDT)