Compleja:Zill-Cap2.1

Ejercicios del capítulo 2, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 2.1

Ejercicio 1

Evalúa la función $f(z)=z^2 \bar{z} -2i$ en los puntos indicados.

a) $2i$

b) $1+i$

c) $ 3 - 2i$

Solución:

Sea $z=a+ib$, y bajo las operaciones definidas como:

Producto: \[z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2)+(a_2 b_1 +a_1 b_2)i\]

Conjugado: \[\bar{z}=a-ib\]

Cuadrado: \[z^2=a^2 - b^2 +2ab i\]

Evaluando la función en los puntos indicados se obtiene:

a) $f(2i)=(2i)^2(\bar {2i})-2i$

$f(2i)=(4i)(-2i)-2i =8i -2i =6i$

$f(2i)=6i$

b) $f(1+i)=(1+i)²(\bar {1+i}) -2i=(2i)(1-i) - 2i $

$f(1+i)=2+2i-2i =2$

$f(1+i)=2$

c) $f(3-2i)=(3-2i)^2 (\bar{3-2i} -2i$

$(9-4-12i)(3+2i) -2i =(5-12i)(3+2i)-2i=(15+24)+i(10-36)i -2i$

$39-26i -2i =39-28i$

$f(3-2i)=39-28i$

Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 00:30 19 mayo 2015 (CDT)

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muy buen trabajo luis, yo creo que si utilisas la forma exponencial para realisar el trabajo te podrias haorrar algunos pasos ademas de que en mi humilde opinion es una forma muy elegante de presentar resultados

Resuelto por: --Martin Flores Molina (discusión) 16:00 19 mayo 2015 (CDT)

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Creo que el ejercico puede mejorar, empleando las primeras relaciones que utilizaste para escribir la función en terminos de a y b solamente: \[ z^2=a^2 - b^2 +2ab i \] \[ \bar{z}=a - b i \] Entonces: \[ z^2 \bar{z}=(a - b i)(a^2 - b^2 +2ab i)=(a^3-a b^2)-(a^2 b - b^3)i+(2a^2 b)i-(2a b^2) \] \[ z^2 \bar{z}=(a^3-a b^2-2a b^2)+(-a^2 b + b^3)i=(a^3 -3 a b^2)+(-a^2 b + b^3)i \] Y: \[ z^2 \bar{z}-2i=(a^3 -3 a b^2)+(-a^2 b + b^3-2)i \]

Del mismo modo en el inciso (a) el cuadrado es $-4$ no 4i, pero los resultados están bien. --Tlacaelel Cruz (discusión) 20:21 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 1 (método alternativo)

Otra manera de especificar y realizar los pasos de este ejercicio es:

Evaluar en la función compleja $f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$ en el punto indicado

a)2i

b)1+i

c)3-2i

Solucion

a) Evaluamos del punto 2i en la funcion compleja

$f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$

$f(2i)=(2i)^{2}(-2i)-2i=(4i^{2})(-2i)-2i=8i-2i=6i$

b) Evaluamos del punto 1+i en la funcion compleja

$f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$

$f(1+i)=(1+i)^{2}(1-i)-2i=(2i)(1-i)-2i=2i-2i-2i^{2}=2$

c)Evaluamos del punto 3-2i en la funcion compleja

$f(z)=z^{2}{\bar {z}}-2i$

Evaluando, reduciendo terminos semejantes , se tiene que:

$f(3-2i)=(3-2i)^{2}(3+2i)-2i=(9-12i+4i^{2})(3+2i)-2i=39-28i$

Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:40 19 mayo 2015 (CDT)--

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Ejercicio 2

Evaluar la función compleja en los puntos dados.

             $f(z)=-z^{3}+2z+{\bar {z}}$ 

    $\left(a\right)z=i$

Sustituyo "z" y su conjugado:

     $f(i)=-(i)^{3}+2(i)+(-i)$

Realizo las operaciones correspondientes y obtengo:

     $f(i)=i+2i-i$

     $f(i)=2i$

     $\left(b\right)z=2-i$

Sustituyo los valores de "z" y su conjugado en la función:

     $f(2-i)=-(2-i)^{3}+2(2-i)+(2+i)$

Desarrollo las operaciones correspondientes obtengo:

     $f(2-i)=-(2-11i)+4-2i+2+i$

     $=-2+11i+4-2i+2+i$

     $f(2-i)=4+10i$

     $\left(c\right)z=1+2i$

Sustituyo los valores de "z" y su conjugado:

     $f(1+2i)=-(1+2i)^{3}+2(1+2i)+(1-2i)$

Efectuando las operaciones correspondientes obtengo:

     $f(1+2i)=-(-11+2i)+2+4i+1-2i$

     $=11-2i+2+4i+1-2i$

     $f(1+2i)=14$

Nancy Martínez Durán (discusión) 04:16 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

En los problemas 1-8, evaluar la función compleja dada en los puntos indicados.

$f(z)=\log _{e}|z|+iArg(z)$

a)$z=1$ b)$z=4i$ c)$z=(1+i)$

Para poder resolver este problema devemos saber que si z es un complejo de la forma $z=x+yi$ ;

$\log _{e}|z|=ln|z|=ln{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

y ademas $Arg(z)=\arctan{\frac{y}{x}}$

Una vez sabiendo esto podremos resolver los incisos de la siguiente manera;

inciso a)

como aqui $z=1$

$f(1)=ln|1|+iArg(0)=0+i(0)=0$

inciso b)

aqui tenemos que $z=4i$ pero antes de sustituir valores en esta función sera necesario darnos cuenta que Arg(z) aqui esta indefinido ya que x=0 pero podemos observar que el numero $4i$ esta en el eje imaginario positivo y por lo cual aqui en angulo es $\frac{\pi}{2}$ asi tendremos que;

$f(4i)=ln|4i|+i{\frac {\pi }{2}}=ln(16)+i{\frac {\pi }{2}}$

inciso c)

como $z=1+i$ y en analogia alos incisos anteriores;

$f(1+i)=ln|1+i|+iArg({\frac {1}{1}})=ln({\sqrt {2}})+i{\frac {\pi }{4}}$

Resuelto por --Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 23:12 24 mayo 2015 (CDT)

Ejercicio 4

En los problemas 1-8, evaluar la función compleja dada en los puntos indicados.

$f\left(z\right)=\left|z\right|^{2}-2Re\left(iz\right)+z$

.

$\left(a\right)$.- $3-4i$

$\left|3-4i\right|=\sqrt{9+16}=5$

$Re\left(iz\right)=4$

Por lo que:

$f\left(z\right)=25-2\left(4\right)+3-4i=20-4i$

$f\left(z\right)=20-4i$

.

$\left(b\right)$.- $2-i$

$\left|2-i\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$Re\left(iz\right)=1$

Por lo que:

$f\left(z\right)=5-2\left(1\right)+2-i=5-i$

.

$\left(c\right).1+2i$

$\left|1+2i\right|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

$Re\left(iz\right)=-2$

Por lo que:

$f\left(z\right)=5-2\left(-2\right)+1+2i=2+2i$

Resuelto por:

Alejandro Juárez Toribio (discusión) 22:17 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Evalúe la función compleja $f$ dada en los siguientes puntos indicados

$f(z)=(xy-x^2)+i(3x+y) $ , $ a) 3i$ , $ b) 4+i$ , $ c) 3-5i$

$Solución$

$a)3i$

$z=x+yi$ , Al igualar queda: $3i=x+yi$ , entonces: $x=0$ y $y=3$

Evaluando:

$f(3i)=((0)(3))-0^2)+i(3(0)+3)=3i$

$b)=4+i$

tenemos que: $4+i=x+yi$ , entonces: $x=4$ y $y=1$

Evaluando:

$f(4+i)=((4)(1))-4^2)+i(3(4)+1)=(4-16)+ i(12+1)=-12+13i$

$c)3-5i$

$3-5i=x+yi$, entonces $x=3$, $y=-5$

Evaluando:

$f(3-5i)=((3)(-5))-3^2)+i(3(3)+(-5))=-24+4i$

--Emmanuell Castro Flores (discusión) 23:37 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 6

Evalúa la función $f(z)=e{}^{z}$ en los puntos indicados.

a) $2-\pi i$

b) $\frac{\pi}{3}i$

c) $\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i$

a) $f(z)=e{}^{2-\pi i}$ \[ f(z)=e{}^{2}\,cis\left(-\pi\right)=-e{}^{2} \]

b) $f(z)=e{}^{\frac{\pi}{3}i}$ \[ f(z)=cis\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \]

c) $f(z)=e{}^{\ln(2)-\frac{5\pi}{6}i}$ \[ f(z)=e{}^{\ln(2)}\,cis\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=2\,cis\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \right)=-\sqrt{3}-i \]

--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:28 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

$f(z)=r+icos^{2}(\theta )$

a)$z_{1}=3$

Primero lo reinscribiremos en la forma polar

$r_{1}={\sqrt {3^{2}+0^{2}}}=3$

Como el número complejo a evaluar está en el eje de los reales positivos, deducimos que

$\theta _{1}=0$

Por lo que al evaluar en la función, tenemos que

$f(z_{1})=f(3)=(3)+icos^{2}(0)=3+i$

b)$z_{2}=-2i$

Pasándolo en su la forma polar

$r_{2}={\sqrt {0^{2}+(-2)^{2}}}=2$

Como el número complejo a evaluar está en el eje de los imaginarios negativos, deducimos que

$\theta _{2}=-{\frac {\pi }{2}}$

Por lo que al evaluar en la función, tenemos que

$f(z_{2})=f(-2i)=(2)+icos^{2}(-{\frac {\pi }{2}})=2+i(0)^{2}=2$

c)$z_{3}=2-i$

Pasándolo en su la forma polar

$r_{3}={\sqrt {2^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {5}}$

Encontrando el ángulo tenemos que

$\theta _{3}=arctan({\frac {-1}{2}})~-0.43$

Por lo que al evaluar en la función, tenemos que

$f(z_{3})=f(2-i)=({\sqrt {5}})+icos^{2}(-0.43)={\sqrt {5}}+i({\frac {4}{5}})$

--Pablo (discusión) 01:41 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Evaluar la siguiente función compleja $z=rsen(30)+icos(2\theta)$ en los puntos siguientes.

(a)$-2$

Tenemos entonces que obtener $r$ y $\theta$. Sabiendo que $r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ y $\theta=tan^{-1}(\frac{y}{x})$ donde $z=x+iy$ podemos decir:

$r=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=2$ y $\theta=tan^{-1}(\frac{0}{-2})=0$

Por tanto, substituyedo obtenemos:

$f(-2)=2sen(30)+icos(2(0))=2(\frac{1}{2})+i=1+i$

(b)$1+i$

$r=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}$ y $\theta=tan^{-1}(\frac{1}{1})=\frac{\pi}{4}$

Substituyendo:

$f(1+i)=\sqrt{2}sen(30)+icos(2(\frac{\pi}{4}))=2(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}+i$

(c)$-5i$

Aquí tendreo que usar otra función trigonométrica dado que $tan$ se indetermina:

$r=\sqrt{(0)+(-5)}=5$ y $\theta=sen^{-1}(\frac{-5}{5})=-\frac{\pi}{2}$

Por tanto:

$f(-5i)=5sen(30)+icos(2(-\frac{\pi}{2}))=5(\frac{1}{2})+i=\frac{5}{2}+i$

Elaborado por el buen --Francisco Medina Albino (discusión) 16:57 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 9

Encontrar la parte real y la parte imaginaria u y v de la función compleja dada como funcion de x y de y.

$f(z)=6z-5+9i$

Sabemos que :$z=x+iy$

Por lo cual sustituyendo tenemos la definición anterior en la ecuación tenemos: $f(x-iy)=6(x+iy)-5+9i$

Desarrollando y simplificando tenemos: $f(x-iy)=6x+6iy-5+9i$ $f(x-iy)=(6x-5)+(6y+9)i...(*)$

Ahora bien definimos a nuestra funcion como $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ , por lo cual de (*) podemos a escribir : $u(x,y)=6x-5$ $v(x,y)=6y+9$

--Anahi Limas (discusión) 16:04 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Encuentre la parte real e imaginaria de la función, en terminos de u y v.

         $f(z)=-3z+2{\bar {z}}-i$ 

Si: $z=x+iy$ Y el conjugado de z: $z=x-iy$

Sustituimos "z" y "z" conjugada en la función y realizamos las operaciones correspondientes:

$f(z)=-3(x+iy)+2(x-iy)-i=-3x-3xyi+2x-2xyi-i$

Con lo anterior se obtuvo la parte real e imaginaria de la fuuncion, es decir:

$f(z)=u(x,y)+vi(x,y)$

$u(x,y)=-x$

$v(x,y)=-5xy-1$

Nancy Martínez Durán (discusión) 02:41 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Encuentre la parte real e imaginaria de la funcion compleja $f(z)=z^{3}-2z+6$

Solución

Se tiene la forma de un numero complejo $z=x+iy...(1)$

sustituimos (1) en la funcion compleja y se tiene:

$f(x+iy)=(x+iy)^{3}-2(x+iy)+6=x^{3}+3x^{2}yi+3xy^{2}i^{2}+i^{3}y^{3}-2x-2yi+6$

Realizando reducción de terminos semejantes, simplificando ,agrupando terminos y factorizando se tiene

$f(x+iy)=(x^{3}-3xy^{2}-2x+6)-(-3x^{2}y+y^{3}+2y)i$

donde se tiene la parte real e imaginaria de la función compleja en terminos de “x” y “y”, y teniendo que

$f(z)=u(x,y)+vi(x,y)$

$u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}-2x+6$

$v(x,y)=-(-3x^{2}y+y^{3}+2y)$

Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:58 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Find the real and imaginary parts u and v of the given complex function f as functions of x and y.

12.- $F(z)=z^{2}+\bar{z}^{2}$

Entonces resolviendo

$F(z)=(x+iy)^{2}+(x-iy)^{2}$

$F(z)=(x^{2}-y^{2}+2ixy)+(x^{2}-y^{2}-2ixy)$

$F(z)=(2x^{2}-2y^{2})+i0$

Por lo tanto tenemos que

$u(x,y)=2(x^{2}-y^{2})$

$v(x,y)=0$

--Fernando Vazquez V. (discusión) 00:36 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Encuentra la parte real e imaginaria como función de $x$ y $y$ de las siguientes finciones.

$f(z)= \frac{\bar{z}}{z+1} .....(1)$

Solución: siendo $z=x+iy$ y a partir de las operaciones:

Conjugado \[\bar{z}=x+iy\]

División \[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a^2 - b^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2} {a^2 - b^2}i\]

Se tiene que la función (1) puede escribirse como

$f(z)=\frac{z-iy}{(x+1)+iy}=\frac{x(x+1)-y^2}{(x+1)+y^2}+\frac{(-xy-y)-xy}{(x+1)^2+y^2}i$

Realizando productos y simplificando se tiene:

$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$

Donde la parte real e imaginaria son respectivamente:

$u(x,y)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2}$

$v(x,y)=\frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}$

Resulto por: --Luis Santos (discusión) 13:45 20 mayo 2015 (CDT)

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El conjugado es: $\bar{z}=x-iy$ no $\bar{z}=x+iy$ --Tlacaelel Cruz (discusión) 20:28 23 mayo 2015 (CDT)

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me pareció muy bueno como te ahorraste operaciones poniendo

\[ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a^2 - b^2} + \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2} {a^2 - b^2}i\]

pero luego igualas

$f(z)=\frac{x^2 +x -y^2}{(x+1)^2 +y^2} - \frac{2xy +y}{(x + i)^2+y^2}i$

cuando debiste igualarlo a f(x,y), en fin, sólo es notación

--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 19:38 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 14

find the real and imaginary parts u and v of the given complex function f as functions of x and y.

$f(z)=z+\frac{1}{z}$

tomamos en cuenta que $z=x+iy$

$f(x,,y)=(x+iy)+\frac{1}{x+iy}$

para $\frac{1}{x+iy}$ ponerlo de la forma $x+iy$ tenemos que multiplicarlo por el conjugado del número complejo que tenemos

$\frac{1}{x+iy}\left(\frac{x-iy}{x-iy}\right)=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$

y entonces tenemos

$x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$

lo haré paso por paso para que se pueda observar de mejor forma como se simplifica y se puedan notar mejor si tengo algún error

$f(x,y)=x+iy+\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(x+iy)(x^{2}+y^{2})+(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+iyx^{2}+iy^{2}+x+iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{2}}+i\left(\frac{yx^{2}+y^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}\right)$

ya tenemos nuestra parte real e imaginaria de nuestro número complejo en funcion de x,y

$u(x,y)=\frac{x^{3}+xy^{2}+x}{x^{2}+y^{2}}$

$v(x,y)=\frac{yx^{2}+y^{2}-y}{x^{2}+y^{2}}$

--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 19:29 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Determine las partes real e imaginaria $u(x,y)$ y $v(x,y)$ de la función compleja $f$ dada como funciones de $x$ y $y$:

$f(z)=e^{2z+i}$

Solución.

Sustituimos $z=x+yi$

$f(x+yi)=e^{2(x+yi)+i} = e^{2x+(2y+1)i}$

o bien $f(x+yi)=e^{2x}[\cos(2y+1)+i\sin(2y+1)]$

Por lo que

$u(x,y)$ y $v(x,y)$ son las partes real e imaginaria respectivamente

$u(x,y)=e^{2x}[\cos(2y+1)]$

$v(x,y)=e^{2x}[\sin(2y+1)]$

Miguel Medina Armendariz (discusión) 21:46 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 16

Dar las partes real e imaginaria ($u(x,y)$, $v(x,y)$) de:

$f(z)=e^{z^2}$

Sol. Con $z=x+iy$, lo elevamos al cuadrado:

$z^2=(x+iy)^2=x^2+ixy+ixy-y^2=(x^2-y^2)+i2xy$

sustituyendo:

$f(z)=e^{[(x^2-y^2)+i2xy]}$, la exponencial comleja es $e^z=e^{X+iY}=e^X(\cos Y+i\sin Y)$

$f(z)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy+ie^{x^2-y^2}\sin 2xy$

Por lo tanto, las partes real e imaginaria de la función son:

$u(x,y)=e^{x^2-y^2}\cos 2xy$, $v(x,y)=e^{x^2-y^2}\sin 2xy$

Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 16:46 20 mayo 2015 (CDT)

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Una forma alternativa es usar $z$ en la forma exponencial $z=r e^{i\theta}$, de este modo, la funci[on se describe del siguiente modo \[ f(z)=e^{\left(r e^{i\theta}\right)^{2}}=e^{r^2 e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{e^{2i\theta}}=e^{r^2} e^{cos(2\theta)}e^{i sin(2\theta)}=e^{r^2 \cos(2\theta)}\left[ cos(sin(2\theta))+ i sin(sin(2\theta)) \right] \] Por lo tanto: \[ u(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \cos(\sin(2\theta)), \; v(r,\theta)=e^{r^2 \cos(2\theta)} \sin(\sin(2\theta)) \] Puede recuperarse la definición anterior usando $r=\sqrt{x^2+y^2}\;$ y $\;\theta=arctan(y/x)-\pi \, sign(y) \,\mathcal{U}(x)$, donde $\;\mathcal{U}(x)$ es la función escalón (vale 1 para cuando su argumento es mayor a 0 y 0 de lo contrario). --Tlacaelel Cruz (discusión) 21:45 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $r,\theta$

$f(z)={\overline {z}}$

Solucion

Si tenemos que el conjugado de ${\overline {z}}$ es:

$f(z)={\overline {z}}=(rcos\theta -irsen\theta )=r(cos\theta -isen\theta )=rcos\theta -irsen\theta$

se obtuvo la solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares, y teniendo la expresión:

$f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$

se tiene que

$u(r,\theta )=rcos\theta ,v(r,\theta )=-rsen\theta$

Elaborado por--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:06 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Find the real and imaginary parts $u$ and $v$ of the given complex function $f$ as functions of $r$ and $\theta$.

$f(z) = |z|$

Solución:

Tenemos que $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

y $|z| = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2}$

= $\sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}$ = $\sqrt{r^2}$ = $r$

 Por lo tanto,
 $u(r,\theta) = r$ ; $v(r,\theta) = 0$

--Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 22:01 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 19

In Problems 17\textendash 22, find the real and imaginary parts u and v of the given complex function f as functions of r and \textgreek{j}.

traduccion

En los problemas 17 a 22 , encontrará las partes real e imaginaria de U y V de la función f compleja en función de r y \textgreek{j} .

$19.f(z)=z4$

savemos que un complejo puede escrivirse de 3 maneras

binomial

$z=a+bi$

polar

$z=R\left(cos\left(\theta\right)+isen\left(\theta\right)\right)$

exponencial

$e^{\left(a+bi\right)}=e^{a}\left(cos\left(b\right)+isen\left(b\right)\right)=Re^{i\theta}.$

entonces tenemos en el ejercicio:

$z^{4}=\left(R\left(cos\left(\theta\right)+isen\left(\theta\right)\right)\right)^{4}=\left(Re^{i\theta}\right)^{4}$

aplicamos la siguiente propiedad:

$\left(Re^{i\theta}\right)^{n}=R^{n}e^{ni\theta}$ para n=0 y todos los enteros

entonces el ejercicio queda:

$z^{4}=R^{4}e^{4i\theta}$

DONE

U parte real $R^{4}$

V parte imaginaria $e^{4i\theta}$

Resuelto por: --Martin Flores Molina (discusión) 16:00 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 19(método alternativo)

Esta es otra forma mas sencilla y directa de hacer este ejercicio

Encuentre la parte real y la parte imaginaria de u y v de la siguiente función compleja “f” en términos de $r,\theta$

$f(z)=z^{4}$

Solución

Partiendo de la formula de Moivre tenemos que $z=r(cos\theta +irsen\theta )$ es:

$f(z)=z^{4}=\left[rcos\theta +rsen\theta i\right]^{4}=\left[r(cos\theta +isen\theta )\right]^{4}=r^{4}(cos4\theta +isen4\theta )=r^{4}cos\theta +r^{4}sen\theta i$

se obtuvo las solución de la parte real e imaginaria en coordenadas polares , y teniendo la expresión:

$f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$

se tiene que

$u(r,\theta )=r^{4}cos4\theta$

$v(r,\theta )=r^{4}sen4\theta$

Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:48 19 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 20

Encuentra la parte real $u$ e imaginaria $v$ del numero complejo dado en funcion de $r$ y $\theta$

$f(z)=z+\frac{1}{z}$

Como queremos conocer la parte real e imaginaria de la función en su forma polar, sabemos que el numero $z$ en su forma polar es:

$z=r[cos\theta + isen\theta]$

Sustituyendo $z$ en la función dada

$f(z)=r[cos\theta + isen\theta] + \frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]}$

Como podemos ver el segundo miembro de la suma puede verse como un cociente de números complejos donde el numerador es el numero complejo $1+0i$ , por lo que podemos verlo como:

$ \frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]}=\frac{1}{r[cos\theta + isen\theta]} . \frac{r[cos\theta - isen\theta]}{r[cos\theta - isen\theta]}=\frac{r[cos\theta - isen\theta]}{r^2[cos^{2}\theta + sen^{2}\theta]}$

$=\frac{cos\theta}{r} - i \frac{sen\theta}{r}$

Sustituyendo este valor en la función

$f(z)=r[cos\theta + isen\theta] + (\frac{cos\theta}{r} - i \frac{sen\theta}{r})$

$f(z)=(rcos\theta + \frac{cos\theta}{r} + i(rsen\theta - \frac{sen\theta}{r})$

$f(z)=cos\theta(r+\frac{1}{r}) + i sen\theta(r-\frac{1}{r})$

Entonces:

$u(r,\theta)=cos\theta (r+\frac{1}{r})$

$v(r,\theta)=sen\theta (r-\frac{1}{r})$

Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 19:04 23 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Encuentre la parte real e imaginaria como función de $r$ y $\theta$ de

$f(z)=e^z $

Solución:

Sustituyendo $z =x+iy$ en $f(z)$ se abtine:

$f(z)=e^{x+iy} =e^x e^{iy}$

Empleando

$e^{i\theta}=cos\theta +isen\theta$

Se tiene

$ =e^x(cosy +i seny)$

Donde:

$x = r cos\theta$

$y= rsen\theta$

Por lo que:

$f(x)=e^{rcos \theta} cos(rsen\theta) +i e^{r cos\theta} sen(rsen\theta) $

Finalmente se tienen la parte real e imaginaria como:

$u(r,\theta)=e^{rcos\theta} cos(rsen\theta)$

$v(r,\theta)=e^{rcos\theta} sen(rsen\theta)$

Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:00 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 22

Encuentrar la parte real e imaginaria u y v como función de $r$ y $\theta$ de f(z)=$x^2+y^2-yi$

Tomamos a x & y en términos de $r$ y $\theta$

$ x = rcos\theta $

$ y= rsen\theta $

Sustituyendo en la función f(z)

$ f(z) = (rcos\theta)^2 + (rsen\theta)^2 - (rsen\theta)i $

$ f(z) = r^2 cos^2\theta + r^2 sen^2\theta -rsen\theta i $

$ f(z) = r^2(cos^2\theta + sen^2\theta) -rsen\theta i $

$ f(z) = r^2 - rsen\theta i $

pero

$ f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta) $

Por tanto

$ u(r,\theta) = r^2 $

$ v(r,\theta) = rsen\theta $

Resuelto por: --Samantha Martinez (discusión) 21:58:00 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 23

Encontrar el dominio de:

$f\left(z\right)=2Re\left(z\right)-iz^{2}$

Solución

Sean $z=a+bi$ e $i^{2}=-1$

Entonces por la función dada tenemos que:

$2Re\left(z\right)=2a$

Por otro lado sabemos que

$z^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$

Además la función nos pide:

$-iz^{2}=\left(\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi\right)\left(-i\right)=2ab+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$

Por lo tanto obtenemos

$2Re\left(z\right)-iz^{2}=2a\left(1+b\right)+\left(b^{2}-a^{2}\right)i$

Y así finalmente podemos decir que el dominio esta en todos los complejos ya que a y b pueden tomar cualquier valor. \end{document}

Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:03 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 24

Encuentra el dominio de:

$f(z)=\frac{3z +2i}{z^3+4z^2+z}$

Solución:

Por tratarse de una función racional el denominador no puede ser cero.

$ z^3+4z^2+z \neq 0$

Ahora solo falta resolver esta ecuación

$z(z^2+4z+1) \neq o$

Tenemos que

$z_1 \neq o$

Nos queda resolver:

$z^2+4z+1 \neq 0$

Por formula general:

$z \neq \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4}}{2} = \frac{-4 \pm2 \sqrt{3}}{2}$

Por tanto tenemos que:

$z_1 \neq o$

$z_2 \neq  -2+\sqrt{3}$

$z_3 \neq -2 - \sqrt{3}$

Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 14:16 20 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 32

Suponer que $z=x+yi$. Determine como expresar $x$ y $y$ en término de $z$ y $\overline{z}$. Entonces escriba las siguientes funciones en términos de $z$ y $\overline{z}$.

(a)$f(z)=x^{2}+y^{2}$

Por definición sabemos que $z\overline{z}=x^{2}+y^{2}$ Pero podemos desarrollar:

donde $\overline{z}=x-yi$ tenemos

$(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}=z\overline{z}$

Y así, la fución queda de la forma:

\[ f(z)=z\overline{z} \]

(b)$f(z)=x-2y+2+(6x+y)i$

Identificamos cada elemento de la función individualmente y jugamos con las definiciones.

Para $x$:

$z+\overline{z}=(x+yi)+(x-yi)=2x$ por lo tanto $\frac{z+\overline{z}}{2}=x$

Para $-2y$ hacemos:

$2Im[\overline{z}]=-2y$

Para $2$ tenemos:

$z+\overline{z}=(x+yi)+(x-yi)=2x$ entonces dividimos: $\frac{2x}{Re[z]}$ o lo que es igual $\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}$

Para $6xi$ aplicamos definición de $z^{2}$ y $\overline{z}^{2}$ y hacemos:

$\frac{3}{2}(z^{2}-\overline{z}^{2})=6xyi$ y dividimos $\frac{6xyi}{Im[z]}=6xi=\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}$

Y finalmente para $yi$

$z-\overline{z}=2yi$ y dividimos para obtener $\frac{2yi}{2}=\frac{z-\overline{z}}{2}$

Por lo tanto la función queda de la forma:

\[ f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}+2Im[\overline{z}]+\frac{z+\overline{z}}{Re[z]}+\frac{3(z^{2}-\overline{z}^{2})}{2Im[z]}+\frac{z-\overline{z}}{2} \]

(c)$f(z)=x^{2}-y^{2}-(5xy)i$

Identificamos que $x^{2}-y^{2}=Re[z^{2}]$

Y con $z^{2}-\overline{z}^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi-x^{2}-+y+2xyi=4xyi$ obtenemos $-(5xy)i$ al hacer $-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2})$

Por tanto la función queda de la forma:

\[ f(z)=Re[z^{2}]-\frac{5}{4}(z^{2}-\overline{z}^{2}) \]

Elaborado por --A. Martín R. Rabelo (discusión) 13:20 24 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 33

In this problem we examin some properties of the complex exponential

(A) If $z=x +i y$ show that $| e^{z}| = e^{x}$

Definimos a $z=x+iy$ entonces

$$e^{x + iy}$$ por propiedades de la función exponencial esto se puede escribir como

$$e^{x}e^{iy}$$ La función se puede escribir como:

$$e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y))$$

o $$e^{x}(\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)$$

Vamos a calcular el modulo para $e^{yi}$

$$\sqrt{\cos^{2}(y) +i\sin^{2}(y)} = 1$$

EL modulo resulto ser 1 debido a que es un exponente imaginario puro.

$$| e^{z}|= e^{x}(1) =| e^{z}|= e^{x}$$

--Esther Sarai (discusión) 18:53 21 mayo 2015 (CDT)esther Sarai

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Ejercicio 33 (continuación)

(b) Are there any complex numbers z with the property that $e^{z}=0$?

Considerando a $z=x+iy$ y usando el resultado anterior tenemos que

$|e^{z}|=|0|\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}|e^{z}|=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}e^{x}=0$

Donde se uso $|e^{z}|=e^{x}$

Supongamos que hay una $x$ tal que se cumple la condicion $e^{x}=0$

\[ e^{x}=0\hspace{1em}\Rightarrow\hspace{1em}x=ln(0) \]

Como sabemos la funcion logaritmo se define asi $lnx=\intop_{0}^{x}\frac{1}{t}dt$

Asi que para este caso tendriamos lo siguiente

\[ ln(0)=\int_{0}^{0}\frac{1}{t}dt=0 \]

\[ \Rightarrow0=e^{0} \]

\[ 0=1 \]

Con lo cual obtenemos una contradicción, lo que significa que lo que supusimos desde un principio esta erroneo, por lo tanto no hay un numero complejo tal que $e^{z}=0$

(c) Show that $f(z)=e^{z}$ is a function that is periodic with pure imaginary period $2\pi i$. That is, show that $e^{z+2\pi i}=e^{z}$ for all complex numbers z.

Considerando a $z=x+iy$ tenemos que

\[ e^{z+2\pi i}=e^{x+i(y+2\pi)} \]

Por la definicion de la exponencial compleja

\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi) \]

Pero como sabemos las funciones seno y coseno son $Mod\hspace{1em}2\pi$ por lo tanto

\[ e^{x+i(y+2\pi)}=e^{x}\cos(y+2\pi)+ie^{x}\sin(y+2\pi)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y=e^{x+iy}=e^{z} \]

Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:14 21 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 34

34. Utilizar $e^z=e^xcosy+ie^xseny$ para demostrar que $e^{\bar{z}}=\barPlantilla:E^z$ para todo $z$ en los complejos.

Solución:

Sea $z=x+iy$ arbitrario en los complejos. Entonces:

$   e^{\bar{z}}=e^{x-iy}= e^x(cos(-y)+isen(-y))   = e^x(cosy-iseny)...(1)$.

Por otro lado $\overline{e^z}=\overline{e^{x+iy}}=\overline{e^x(cosy+iseny)}=(e^x) \overline{(cosy+iseny)}=e^x(cosy-iseny)...(2)$

De $(1)$ y $(2)$ se concluye que $ e^{\bar{z}} = \barPlantilla:E^z $

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 22:31 21 mayo 2015 (CDT)

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