Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap1.2»
(No se muestran 94 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 9: | Línea 9: | ||
== Sección 1.2 == | == Sección 1.2 == | ||
=== Ejercicio 1 === | === Ejercicio 1 === | ||
Línea 90: | Línea 33: | ||
}, Frame -> True] | }, Frame -> True] | ||
''' | '''Solución''' | ||
<gallery> | <gallery> | ||
Línea 118: | Línea 61: | ||
}, Frame -> True] | }, Frame -> True] | ||
''' | '''Solución''' | ||
<gallery> | <gallery> | ||
Línea 146: | Línea 89: | ||
$z_{1}+z_{2} = (1-i)+(1+i) = (1+1)+(-1+1)i = 2+0i$ | $z_{1}+z_{2} = (1-i)+(1+i) = (1+1)+(-1+1)i = 2+0i$ | ||
''' | '''Solución''' | ||
[[Archivo:1eje.png]] | [[Archivo:1eje.png]] | ||
Línea 155: | Línea 98: | ||
$z_{1}-z_{2} = (1-i)-(1+i) = (1-1)+(-1-1)i = 0-2i$ | $z_{1}-z_{2} = (1-i)-(1+i) = (1-1)+(-1-1)i = 0-2i$ | ||
''' | '''Solución''' | ||
[[Archivo:2eje.png]] | [[Archivo:2eje.png]] | ||
Línea 176: | Línea 119: | ||
<center>$4(z_{1}+z_{2})=4(4-3i)=16-12i$</center> | <center>$4(z_{1}+z_{2})=4(4-3i)=16-12i$</center> | ||
''' | '''Solución''' | ||
<center>$4(z_3)= 16-12i$</center> | <center>$4(z_3)= 16-12i$</center> | ||
Línea 226: | Línea 169: | ||
Por lo que tenemos una interpretación geométrica de módulos de los complejos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$,que corresponden a las distancias entre los puntos. | Por lo que tenemos una interpretación geométrica de módulos de los complejos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$,que corresponden a las distancias entre los puntos. | ||
''' | '''Solución''' | ||
Entonces A,B,C, forman los segmentos de los vértices $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, formando un triángulo rectángulo. | Entonces A,B,C, forman los segmentos de los vértices $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, formando un triángulo rectángulo. | ||
Línea 254: | Línea 197: | ||
$|(1-i)|^{2}=(\sqrt{1+1})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$ | $|(1-i)|^{2}=(\sqrt{1+1})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$ | ||
''' | '''Solución''' | ||
$|(1-i)|^{2}=2$ | $|(1-i)|^{2}=2$ | ||
Línea 282: | Línea 225: | ||
$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $ | $\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $ | ||
''' | '''Solución''' | ||
$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $ | $\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $ | ||
Línea 314: | Línea 257: | ||
Por tanto: $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$ | Por tanto: $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$ | ||
''' | '''Solución''' | ||
$|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$ | $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$ | ||
Línea 339: | Línea 282: | ||
$|z|=|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$ | $|z|=|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$ | ||
''' | '''Solución''' | ||
$|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$ | $|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$ | ||
Línea 377: | Línea 320: | ||
$|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}= (1-2x+x^{2})+ (9-6y+y^{2})= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $ | $|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}= (1-2x+x^{2})+ (9-6y+y^{2})= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $ | ||
''' | '''Solución''' | ||
$ z= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $ | $ z= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $ | ||
Línea 391: | Línea 334: | ||
===Ejercicio 14=== | ===Ejercicio 14=== | ||
'''Expresa $|z+5\bar{z}|$ en términos de $x$ e $y$ si $z=x+ | '''Expresa $|z+5\bar{z}|$ en términos de $x$ e $y$ si $z=x+y i$''' | ||
'''Procedimiento''' | '''Procedimiento''' | ||
Línea 407: | Línea 350: | ||
Ahora tenemos un nuevo numero complejo $z_1$ y es a este al que se le sacara el modulo | Ahora tenemos un nuevo numero complejo $z_1$ y es a este al que se le sacara el modulo | ||
$|z_{1}|=\sqrt{(z_{1})(z_{1}*)}=\sqrt{(6x-4iy)(6x+4iy)}=\sqrt{(36( | $|z_{1}|=\sqrt{(z_{1})(z_{1}*)}=\sqrt{(6x-4iy)(6x+4iy)}=\sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)}$ | ||
'''Solución''' | |||
$|z_{1}|= \sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)} $ | |||
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Realizado por: [[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 09:56 15 mayo 2015 (CDT) | Realizado por: [[Usuario:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|Angelina Nohemi Mendoza Tavera]] ([[Usuario discusión:Angelina Nohemi Mendoza Tavera|discusión]]) 09:56 15 mayo 2015 (CDT) | ||
Línea 416: | Línea 362: | ||
===Ejercicio 15=== | ===Ejercicio 15=== | ||
Determinar cual de los dos números complejos dados es mas cercano al origen. | '''Determinar cual de los dos números complejos dados es mas cercano al origen. ¿Cuál es más cercano a <math>1+i</math>?:''' | ||
<center><math>10+8i</math></center> | <center><math>10+8i</math></center> | ||
<center><math>11-6i</math></center> | <center><math>11-6i</math></center> | ||
'''a) ¿Cuál es el más cercano al origen?''' | |||
Primeramente definimos: | |||
<center><math>z_0 = 0+ 0i</math> | '''Procedimiento''' | ||
Primeramente definimos el origen como: | |||
<center><math>z_0 = 0+ 0i </math> </center> | |||
Además. | |||
<center><math>z_1= 10+8i</math></center> | <center><math>z_1= 10+8i</math></center> | ||
Línea 432: | Línea 384: | ||
Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos: | Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos: | ||
$|z_1|= |10+8i|= \sqrt{10² + 8²}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx{12.8}$ | |||
$|z_2|= |11-6i|= \sqrt{11² + 6²}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}\approx{12.5}$ | |||
Por lo anterior tenemos que: | Por lo anterior tenemos que: | ||
$|z_2|<|z_1|$ | |||
Por lo que $z_1$ es mas cercano al origen. | |||
'''Solución''' | |||
$z_1$ es mas cercano al origen. | |||
'''b) ¿Cuál es más cercano a <math>1+i</math>?''' | |||
'''Procedimiento''' | |||
Ahora bien para conocer cual de los dos números es mas cercano a <math>z'</math> procedemos a sacar la diferencia de <math>z_1</math> con <math>z'</math> y <math>z_2</math> con <math>z'</math>. | Ahora bien para conocer cual de los dos números es mas cercano a <math>z'</math> procedemos a sacar la diferencia de <math>z_1</math> con <math>z'</math> y <math>z_2</math> con <math>z'</math>. | ||
Con lo cual tenemos: | Con lo cual tenemos: | ||
$|z_1 - z'|=\sqrt {(10-1)²+(8-1)²}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx{11.4}$ | |||
$|z_2 - z'|=\sqrt {(11-1)²+(-6-1)²}=\sqrt{100+49}=\sqrt{149}\approx{12.2}$ | |||
Por lo anterior tenemos que: | Por lo anterior tenemos que: | ||
<math>|z_2 - z'|>|z_1 - z'| | <math>|z_2 - z'|>|z_1 - z'| </math> . | ||
Por lo que $z_1$ es más cercano a $1+i$ | |||
'''Solución''' | |||
$z_1$ es más cercano a $1+i$ | |||
--[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 22:36 14 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 22:36 14 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 16=== | ===Ejercicio 16=== | ||
'''Determine cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen. ¿Cuál está más cerca de 1+i?''' | |||
'''$z{_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i $''' | |||
'''$z_2=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}i$''' | |||
'''a) ¿Cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen?''' | |||
'''Procedimiento''' | |||
Analicemos cuál de los números es más cercano al origen. | |||
La distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ cualesquiera es: | |||
$ \left | z_2-z_1 \right |= \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $ | |||
La distancia al origen de $z_1$ es: | |||
$ \left | z_1-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-0 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0.559$ | |||
$ | |||
$ | La distancia al origen del $z_2$ es: | ||
$\left| | $ \left | z_2-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-0 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0.687$ | ||
'''Solución''' | |||
$z_1$ Es el más cercano al origen. | |||
$\left| | '''b) ¿Cuál está más cerca de 1+i?''' | ||
'''Procedimiento''' | |||
La distancia de 1+i a $z_1$ es: | |||
$ \left | z_1-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-1 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{4} \approx 1.346$ | |||
La distancia de 1+i a $z_2$ es: | |||
$ \left | z_2-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{6} \approx 0.8975$ | |||
'''Solución''' | |||
$ \left | z_2-(1+i) \right | $ < $ \left | z_1-(1+i) \right |$ | |||
Por lo que $z_2$ Está más cerca de $1+i$ | |||
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Realizado por: | |||
****[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 13:08 15 mayo 2015 (CDT)*** | |||
****[[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 17:51 15 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 17=== | ===Ejercicio 17=== | ||
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen la ecuación dada. | |||
---- | |||
Desarrollando el producto | '''Procedimiento''' | ||
$ | ---- | ||
$ Re\left [ (1+i)z-1 \right ]=0 $ | |||
Sea $z=x+iy$ y despejando en la ecuación anterior. | |||
$ | $ Re\left [ (1+i)(x+iy)-1 \right ]=0 $ | ||
Desarrollando el producto y ordenando en la parte real e imaginaria. | |||
$ Re\left [ (x-y-1)+i(x+y) \right ]=0 $ | |||
Por lo que la parte real de la anterior igualdad es: | |||
$ x-y-1=0 $ | |||
'''Resultado''' | |||
$ y=x-1 $ | |||
La cual es la recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 18=== | ===Ejercicio 18=== | ||
$ | '''Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.''' | ||
$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Tenemos que $z = | Tenemos que $z = x+y i$ y $\bar{z} = x - y i$ | ||
Entonces podemos escribir, | Entonces podemos escribir, | ||
$[Im (i ( | $[Im (i (x - y i)]^2 = 2$ | ||
Multiplicando i por el binomio tenemos, | Multiplicando i por el binomio tenemos, | ||
$[Im ( | $[Im (x i - y i^2)]^2 = 2$ | ||
Recordando que $i^2 = -1$, podemos escribir de manera equivalente, | Recordando que $i^2 = -1$, podemos escribir de manera equivalente, | ||
$[Im ( | $[Im (xi + y)]^2 = 2$ | ||
Donde: | |||
$Im (xi + y)= x $ | |||
Entonces: | |||
$[Im (xi + y)]^2 = x^2$ | |||
Por lo que la expresión inicial: | |||
$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $ | |||
Es: | |||
$x^2=2$ | |||
$ | Las dos raíces de esta ecuación son en $x_1=\sqrt{2}$ y $x_2=-\sqrt{2}$ | ||
'''Solución''' | |||
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=\pm \sqrt{2}\right \} $ | |||
Esto corresponde a dos rectas verticales en $ x= \pm \sqrt{2} $ | |||
---- | |||
Realizado por: ****[[Usuario:Arnold B. Herrera Rubert|Arnold B. Herrera Rubert]] ([[Usuario discusión:Arnold B. Herrera Rubert|discusión]]) 21:01 15 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
=== Ejercicio 19 === | === Ejercicio 19 === | ||
'''Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.''' | |||
'''$\arrowvert z-i\arrowvert=\arrowvert z-1\arrowvert$''' | |||
'''Procedimiento''' | |||
Considerando $z=x+y i$ tenemos lo siguiente: | |||
$\left | x+(y-1)i \right |=\left | (x-1)+y i \right |$ | |||
Haciendo el modulo del numero complejo: $\left | x+y i \right |= \sqrt{(x)^{2}+(y)^{2}} $ | |||
Esto es: | |||
\ | $ \sqrt{(x)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y)^{2}} $ | ||
Elevando ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios al cuadrado internos, se obtiene que: | |||
$ x^{2}+y^{2}-2y+1=x^{2}-2x+1+y^{2} $ | |||
Simplificando: | |||
$x=y $ | |||
'''Solución''' | |||
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=Im(z) \right \} $ | |||
Esta ecuación es la de una recta que pasa por el origen y que forma un angulo de $\pi/4$ con el eje real, haciendo una analogía con una función en los reales seria $f(x)=x$. | |||
de $\pi/4$ | |||
en los reales seria $f(x)=x$. | |||
[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 20:45 14 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 20:45 14 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
=== Ejercicio 21=== | === Ejercicio 21=== | ||
''' | '''Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.''' | ||
'''Procedimiento''' | |||
'''$Im (z^{2})= 2$''' | |||
$ | Definimos a $z = x + y i$ y tenemos: | ||
$ | $(x+ y i )^{2}=x^{2}+2xyi-y^{2}$ | ||
$$ | Por lo que su parte imaginaria es: $2xy$ | ||
Con esto, la ecuación original quedaría: | |||
$2xy= 2 $ | |||
$x=\frac{1}{y} $ | |||
'''Solución''' | |||
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)= \frac{1}{Im(z)} \right \} $ | |||
El conjunto de puntos se describe como una hipérbola | El conjunto de puntos se describe como una hipérbola | ||
---- | |||
Realizado por: [[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:29 14 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai | |||
---- | |||
=== Ejercicio 23 === | |||
'''Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.''' | |||
'''$\left|z-1\right|=1$''' | |||
'''Procedimiento''' | |||
El conjunto de puntos $\left|z-a\right|=b^{2}$ Se representan en el plano complejo, como una circunferencia de radio b y centro en a. | |||
Esto es claro si hacemos: $z=x+y i$ | |||
$\left|x+yi-1\right|=1$ | |||
Ordenando las partes real e imaginaria: | |||
== | $\left|(x-1)-y i\right|=1$ | ||
Realizando el modulo: | |||
$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=1$ | |||
Y finalmente elevando al cuadrado ambos lados. | |||
$(x-1)^{2}+y^{2}=1$ | |||
Por lo tanto el conjunto de puntos buscado se puede representar por medio de la función: | |||
$(x-1)^{2}+y^{2}=1$ | |||
'''Solución''' | |||
$ | Estos puntos corresponden a una circunferencia centrada en $1+0i$, de radio 1 | ||
[[Usuario: | ---- | ||
Corregido, aclarado por: [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 21:10 14 mayo 2015 (CDT) | |||
****[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 18:18 13 mayo 2015 (CDT) | |||
[[Usuario: | |||
---- | ---- | ||
=== Ejercicios 29 === | === Ejercicios 29 === | ||
Encuentra el límite superior para el módulo <math> 3z^{2}+2z+1;\mid z\mid\leq1 </math>. | |||
'''Procedimiento''' | |||
Se tiene que <math> 3z^{2}+2z+1\leq M | Se tiene que <math> 3z^{2}+2z+1\leq M | ||
Línea 646: | Línea 703: | ||
:<math> \therefore\mid3z^{2}+2z+1\mid\leq6 | :<math> \therefore\mid3z^{2}+2z+1\mid\leq6 | ||
</math> | </math> | ||
'''Solución''' | |||
:<math> \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq6 | |||
</math> | |||
---- | |||
Realizado por --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:21 15 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
=== Ejercicio 30 === | === Ejercicio 30 === | ||
Encontrar el límite superior para el recíproco del módulo de <math> z^{4}-5z+6;\mid z\mid=2 | |||
</math>. | </math>. | ||
'''Procedimiento''' | |||
Se tiene <math> z^{4}-5z+6=\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right), | Se tiene <math> z^{4}-5z+6=\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right), | ||
</math> | </math> | ||
Línea 663: | Línea 727: | ||
Usando la propiedad <math> \mid z_{1}z_{2}\mid=\mid z_{1}\mid\cdot\mid z_{2}\mid | Usando la propiedad <math> \mid z_{1}z_{2}\mid=\mid z_{1}\mid\cdot\mid z_{2}\mid | ||
</math> y | </math> y $ \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leq\mid z_{1}-z_{2}\mid$ | ||
: | : $\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid=\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid$ | ||
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid\mid z^{2}\mid-3\mid\cdotp\mid\mid z^{2}\mid-2\mid$ | |||
sustituyendo y simplificando se tiene | sustituyendo y simplificando se tiene | ||
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid4-3\mid\cdotp\mid4-2\mid$ | |||
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq2$ | |||
Entonces si $M=\frac{1}{2}$y $z=2$ | |||
$\therefore\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}.$ | |||
'''Solución''' | |||
$\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}$ | |||
---- | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:36 15 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
=== Ejercicio 31 === | |||
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada. | |||
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$ | |||
''' Procedimiento ''' | |||
Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como: | Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como: | ||
Línea 705: | Línea 769: | ||
cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos: | cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos: | ||
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$ | $\bigl|z\bigr|-z=2+i$ | ||
Línea 728: | Línea 791: | ||
$a=-\frac{3}{4}$ | $a=-\frac{3}{4}$ | ||
'''Solución ''' | |||
Por lo tanto la solución de la ecuación es: | Por lo tanto la solución de la ecuación es: | ||
Línea 733: | Línea 798: | ||
$z=-\frac{3}{4}-i$ | $z=-\frac{3}{4}-i$ | ||
32. | ---- | ||
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:15 12 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
=== Ejercicio 32 === | |||
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada. | |||
$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$ | $\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
$a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$ | $a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$ | ||
Línea 751: | Línea 825: | ||
$a^{2}-6a+5=0$ | $a^{2}-6a+5=0$ | ||
Se tienen las | Se tienen las soluciones | ||
$a=5$ | $a=5$ | ||
Línea 759: | Línea 833: | ||
$a=1$ | $a=1$ | ||
Por lo que hay dos | '''Solución''' | ||
Por lo que hay dos soluciones a la ecuación planteada, estas son: | |||
$z_{1}=5+2i$ | $z_{1}=5+2i$ | ||
$z_{2}=1+2i$ | $z_{2}=1+2i$ | ||
---- | |||
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:15 12 mayo 2015 (CDT) | Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:15 12 mayo 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 36=== | ===Ejercicio 36=== | ||
'''¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?''' | '''¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?''' | ||
Definimos a <math>z \epsilon C</math> en donde <math>z= a+ bi</math> con <math>a, b \epsilon R</math>, donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z. | '''Procedimiento''' | ||
Definimos a <math> z \epsilon C</math> en donde <math>z= a+ bi</math> con <math>a, b \epsilon R</math>, donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z. | |||
<math>|z|= \sqrt{a^2 + b^2}</math> | <math>|z|= \sqrt{a^2 + b^2}</math> | ||
Línea 798: | Línea 878: | ||
<math>|z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0</math> | <math>|z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0</math> | ||
'''Solución''' | |||
$ |z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0 $ | |||
El único numero con modulo 0 es el numero 0+0i | |||
---- | |||
Realizado por: [[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:14 15 mayo 2015 (CDT) | |||
---- | |||
=== Ejercicio 37=== | === Ejercicio 37=== | ||
'''Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.''' | '''Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.''' | ||
'''Procedimiento''' | |||
Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son: | Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son: | ||
Línea 828: | Línea 914: | ||
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$ | $\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones: | Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones: | ||
Línea 837: | Línea 925: | ||
O cualquier combinación como la anterior. | O cualquier combinación como la anterior. | ||
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] 22:57 12 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Resuelto por: [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] 22:57 12 mayo 2015 (CDT) | |||
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=== Ejercicio 44 === | === Ejercicio 44 === | ||
Suponga que $z_1 \neq z_2$ | |||
Interpretar $Re(z_1 \bar{z_2})=0$ gráficamente en términos del vector $z_1$ y $z_2$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Sea $z_1=x_1+iy_1$ | |||
$z_2=x_2+i y_2$ $\rightarrow$ $\bar{z_2} = x_2- i y_2$ | |||
El producto de $z_1$ con el complejo conjugado de $z_2$ da como resultado: | |||
$(z_1 \bar{z_2})= (x_1+ i y_1)(x_2-i y_2)=(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2) $ | |||
Con esto y con la ecuación planteada se tiene: | |||
$Re(z_1 \bar{z_2})=Re((x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)) \rightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2=0$ | |||
Ordenando las partes de cada vector en cada lado, se tiene: | |||
$\frac{x_1}{y_1}=-\frac{y_2}{x_2}$ | |||
Identificando esto como la pendiente de cada vector: | |||
$m_1=-\frac{1}{m_2}$ | |||
o | |||
$m_1 m_2 = -1$ | |||
'''Solución''' | |||
Por lo que gráficamente, esto nos indica que los vectores son perpendiculares entre si. | |||
=== Ejercicio 47=== | === Ejercicio 47=== | ||
Demostrar: | |||
a) |z|=|−z| | |||
'''Procedimiento''' | |||
Suponer que z=a+bi y -z=-(a+bi) | |||
Y sabemos la definición de modulo: | |||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Entonces | |||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces: | Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces: | ||
Línea 870: | Línea 991: | ||
Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
|z|=|-z| | |||
b)|z|=|z*| | |||
Suponer que z=a+bi y z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la | |||
'''Procedimiento''' | |||
Suponer que z=a+bi y z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la definición de modulo, tenemos: | |||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Por la razón anterior, no es necesario poner el signo menos en la siguiente igualdad. | |||
$|z*|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Por lo tanto: | |||
|z|=|z*| | |||
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[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 19:38 15 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 19:38 15 mayo 2015 (CDT) | ||
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Revisión actual - 07:23 23 feb 2023
Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 2 El Plano Complejo del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Clasificación CL: QA331.7 .Z55 2003 [1].
Sección 1.2
Ejercicio 1
Interpreta $z_{1}$ y $z_{2}$ como vectores. Gráfica $z_{1}$, $z_{2}$ e indica cual es la suma y diferencia como vectores
$z_{1} = 4+2i, z_{2} = -2+5i; z_{1}+z_{2}, z_{1}-z_{2}$
a) Suma de vectores
Procedimiento
Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:
Graphics[{ Thick, Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}], Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}], Blue, Arrow[{{0, 0}, {2, 7}}], Gray, Dashed, Arrow[{{0 + 4, 0 + 2}, {2, 7}}], Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {2, 7}}] }, Frame -> True]
Solución
La suma es:
$z_{1}+z_{2} = (4+2i)+(-2+5i) = (4-2)+i(2+5) = 2+7i$
b) Diferencia de vectores
Procedimiento
Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:
Graphics[{ Thick, Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}], Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}], Blue, Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {4, 2}}] }, Frame -> True]
Solución
La diferencia es:
$z_{1}-z_{2} = (4+2i)-(-2+5i) = (4+2)+i(2-5) = 6-3i$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:11 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Interpreta z1 y z2 como vectores. Gráfica z1, z2 e indica cual es la suma y diferencia como vectores
$z_{1} = 1-i$ , $z_{2} = 1+i$ ; $z_{1}+z_{2}$ , $z_{1}-z_{2}$
a) Suma de Vectores:
Procedimiento
$z_{1}+z_{2} = (1-i)+(1+i) = (1+1)+(-1+1)i = 2+0i$
Solución
b)Diferencia de vectores:
Procedimiento
$z_{1}-z_{2} = (1-i)-(1+i) = (1-1)+(-1-1)i = 0-2i$
Solución
Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:27 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Dado que $z_{1}=5-2i$ y $z_{2}=-1-i$, encuentre el vector $z_{3}$ en la misma dirección que $z_{1}+z_{2}$ pero 4 veces más largo
Procedimiento
Primeramente debemos calcular la suma $z_{1}+z_{2}$
A continuación multiplicamos por 4 para cuadriplicar el tamaño
Solución
Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:10 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Determinar si los puntos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$ son los vértices de un triángulo rectángulo.
Tenemos que :
Graficando $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$.
Procedimiento
FALTA IMAGEN
Se observa que se a construido un triángulo rectángulo, con segmentos de rectas A,B,C. Si utilizamos el teorema de Pitágoras encontraremos la hipotenusa C. donde
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): c = \sqrt{a^2 + b^2}
Por tanto es igual al módulo del número complejo Z.
Por tanto tomamos que :
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac {|Z_{2}-Z_{1}|} {|Z_{3}-Z_{1}|} = \frac {|Z_{1}-Z_{3}|} {|Z_{2}-Z_{3}|}
Entonces podemos construir los tres segmentos de rectas :
Por lo que tenemos una interpretación geométrica de módulos de los complejos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$,que corresponden a las distancias entre los puntos.
Solución
Entonces A,B,C, forman los segmentos de los vértices $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, formando un triángulo rectángulo.
Realizado por: Samantha Martínez (Usuario discusión:Samantha Martínez) 23:13 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Encuentra el módulo de: $(1-i)^{2}$
Procedimiento
desarrollando el cuadrado se tiene :
$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i$
Entonces:
$|-2i|=\sqrt{4}=2$
Así:
$|(1-i)^{2}|=2$
Además:
$|(1-i)|^{2}=(\sqrt{1+1})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$
Solución
$|(1-i)|^{2}=2$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:01 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Encuentra el módulo de: $i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right )$:
Procedimiento
Para solucionar este problema debemos de realizar primeramente el producto para obtener:
Después se realizaran la sumas y la restas correspondientes obteniendo:
Así para sacar el valor absoluto de este numero bastara con sumar los cuadrados de la parte real y la parte que a acompaña ala unidad imaginaria y a esto sacarle la raíz cuadrada así tendremos:
finalmente:
$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $
Solución
$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $
Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:49 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Encontrar el módulo de: $\frac{2i}{3-4i}$
Procedimiento
Primero se expresa el número de la forma $a+bi$ luego entonces:
Se multiplica por el conjugado
\[ \frac{2i}{3-4i}=(\frac{2i}{3-4i})(\frac{3+4i}{3+4i})=\frac{-8+6i}{9+16}=\frac{-8+6i}{25}=-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i \]
Ahora, esto implica que:
\[ |-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i|=\sqrt{\frac{64}{625}+\frac{36}{625}}=\sqrt{\frac{100}{625}}=\frac{10}{25} \]
Por tanto: $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$
Solución
$|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:54 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Encuentra el modulo de $\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$
Procedimiento
Sea $z=\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$ lo reescibo de manera $z=a+ib$, para ello multiplico por su conjugado en cada parte y resuelvo
$z=(\frac{1-2i}{1+i})(\frac{1-i}{1-i})+(\frac{2-i}{1-i})(\frac{1+i}{1+i})=\frac{3-3i}{2}+\frac{3+i}{2}=\frac{3-3i+3+i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$
Ahora solo falta obtener el modulo
$|z|=|3-i|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
Por lo tanto
$|z|=|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$
Solución
$|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 01:32 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Dado z = x + iy. Expresar la cantidad en términos de x e y.
$|z-1-3i|^{2}$
Procedimiento
Sustituimos "z" por la expresión que se nos dio
$|(x+yi)-1-3i|^{2}$
agrupamos las partes reales y las partes imaginarias y factorizamos la unidad imaginaria "i"
$|(-1+x)+(-3i+yi)|^{2}$=$|(-1+x)+(-3+y)i|^{2}$
podemos hacer un cambio de variable para ilustrar de una forma óptima
$\alpha=-1+x$ ; $\beta=-3+y$
$|\alpha+\beta i|^{2}$
sabemos que $|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}$, donde $z=\alpha+\beta i$
sustituimos, desarrollamos y simplificamos
$|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}= (1-2x+x^{2})+ (9-6y+y^{2})= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $
Solución
$ z= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $
Realizado por: *Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 14:23 15 mayo 2015 (CDT)
Nota:
Corregido por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:35 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 14
Expresa $|z+5\bar{z}|$ en términos de $x$ e $y$ si $z=x+y i$
Procedimiento
Para poder obtener el modulo de la expresión es necesario determinar a $z$ y $\bar{z}$
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{z}=x-y i}
Se multiplica $\bar{z}$ por 5 y se realiza la suma de los numero complejos
Ahora tenemos un nuevo numero complejo $z_1$ y es a este al que se le sacara el modulo
$|z_{1}|=\sqrt{(z_{1})(z_{1}*)}=\sqrt{(6x-4iy)(6x+4iy)}=\sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)}$
Solución
$|z_{1}|= \sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)} $
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 09:56 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determinar cual de los dos números complejos dados es mas cercano al origen. ¿Cuál es más cercano a ?:
a) ¿Cuál es el más cercano al origen?
Procedimiento
Primeramente definimos el origen como:
Además.
Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos:
$|z_1|= |10+8i|= \sqrt{10² + 8²}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx{12.8}$
$|z_2|= |11-6i|= \sqrt{11² + 6²}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}\approx{12.5}$
Por lo anterior tenemos que:
$|z_2|<|z_1|$
Por lo que $z_1$ es mas cercano al origen.
Solución
$z_1$ es mas cercano al origen.
b) ¿Cuál es más cercano a ?
Procedimiento
Ahora bien para conocer cual de los dos números es mas cercano a procedemos a sacar la diferencia de con y con .
Con lo cual tenemos: $|z_1 - z'|=\sqrt {(10-1)²+(8-1)²}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx{11.4}$
$|z_2 - z'|=\sqrt {(11-1)²+(-6-1)²}=\sqrt{100+49}=\sqrt{149}\approx{12.2}$
Por lo anterior tenemos que:
.
Por lo que $z_1$ es más cercano a $1+i$
Solución
$z_1$ es más cercano a $1+i$
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 22:36 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Determine cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen. ¿Cuál está más cerca de 1+i?
$z{_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i $
$z_2=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}i$
a) ¿Cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen?
Procedimiento
Analicemos cuál de los números es más cercano al origen.
La distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ cualesquiera es:
$ \left | z_2-z_1 \right |= \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $
La distancia al origen de $z_1$ es:
$ \left | z_1-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-0 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0.559$
La distancia al origen del $z_2$ es:
$ \left | z_2-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-0 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0.687$
Solución
$z_1$ Es el más cercano al origen.
b) ¿Cuál está más cerca de 1+i?
Procedimiento
La distancia de 1+i a $z_1$ es:
$ \left | z_1-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-1 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{4} \approx 1.346$
La distancia de 1+i a $z_2$ es:
$ \left | z_2-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{6} \approx 0.8975$
Solución
$ \left | z_2-(1+i) \right | $ < $ \left | z_1-(1+i) \right |$
Por lo que $z_2$ Está más cerca de $1+i$
Realizado por:
- Martin Flores Molina (discusión) 13:08 15 mayo 2015 (CDT)***
- Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:51 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen la ecuación dada.
Procedimiento
$ Re\left [ (1+i)z-1 \right ]=0 $
Sea $z=x+iy$ y despejando en la ecuación anterior.
$ Re\left [ (1+i)(x+iy)-1 \right ]=0 $
Desarrollando el producto y ordenando en la parte real e imaginaria.
$ Re\left [ (x-y-1)+i(x+y) \right ]=0 $
Por lo que la parte real de la anterior igualdad es:
$ x-y-1=0 $
Resultado
$ y=x-1 $
La cual es la recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0)
Ejercicio 18
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $
Procedimiento
Tenemos que $z = x+y i$ y $\bar{z} = x - y i$
Entonces podemos escribir,
$[Im (i (x - y i)]^2 = 2$
Multiplicando i por el binomio tenemos,
$[Im (x i - y i^2)]^2 = 2$
Recordando que $i^2 = -1$, podemos escribir de manera equivalente,
$[Im (xi + y)]^2 = 2$
Donde:
$Im (xi + y)= x $
Entonces:
$[Im (xi + y)]^2 = x^2$
Por lo que la expresión inicial:
$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $
Es:
$x^2=2$
Las dos raíces de esta ecuación son en $x_1=\sqrt{2}$ y $x_2=-\sqrt{2}$
Solución
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=\pm \sqrt{2}\right \} $
Esto corresponde a dos rectas verticales en $ x= \pm \sqrt{2} $
Realizado por: ****Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 21:01 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
$\arrowvert z-i\arrowvert=\arrowvert z-1\arrowvert$
Procedimiento
Considerando $z=x+y i$ tenemos lo siguiente:
$\left | x+(y-1)i \right |=\left | (x-1)+y i \right |$
Haciendo el modulo del numero complejo: $\left | x+y i \right |= \sqrt{(x)^{2}+(y)^{2}} $
Esto es:
$ \sqrt{(x)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y)^{2}} $
Elevando ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios al cuadrado internos, se obtiene que:
$ x^{2}+y^{2}-2y+1=x^{2}-2x+1+y^{2} $
Simplificando:
$x=y $
Solución
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=Im(z) \right \} $
Esta ecuación es la de una recta que pasa por el origen y que forma un angulo de $\pi/4$ con el eje real, haciendo una analogía con una función en los reales seria $f(x)=x$.
Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 20:45 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
Procedimiento
$Im (z^{2})= 2$
Definimos a $z = x + y i$ y tenemos:
$(x+ y i )^{2}=x^{2}+2xyi-y^{2}$
Por lo que su parte imaginaria es: $2xy$
Con esto, la ecuación original quedaría:
$2xy= 2 $
$x=\frac{1}{y} $
Solución
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)= \frac{1}{Im(z)} \right \} $
El conjunto de puntos se describe como una hipérbola
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 22:29 14 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 23
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
$\left|z-1\right|=1$
Procedimiento
El conjunto de puntos $\left|z-a\right|=b^{2}$ Se representan en el plano complejo, como una circunferencia de radio b y centro en a.
Esto es claro si hacemos: $z=x+y i$
$\left|x+yi-1\right|=1$
Ordenando las partes real e imaginaria:
$\left|(x-1)-y i\right|=1$
Realizando el modulo:
$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=1$
Y finalmente elevando al cuadrado ambos lados.
$(x-1)^{2}+y^{2}=1$
Por lo tanto el conjunto de puntos buscado se puede representar por medio de la función:
$(x-1)^{2}+y^{2}=1$
Solución
Estos puntos corresponden a una circunferencia centrada en $1+0i$, de radio 1
Corregido, aclarado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 21:10 14 mayo 2015 (CDT)
- Alejandro Juárez Toribio (discusión) 18:18 13 mayo 2015 (CDT)
Ejercicios 29
Encuentra el límite superior para el módulo .
Procedimiento
Se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 3z^{2}+2z+1\leq M , entonces
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid3z^{2}\mid+\mid2z+1\mid;\mid2z\mid+\mid1\mid\geq0
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid3z^{2}\mid+(\mid2z\mid+\mid1\mid),
Sustituyendo y simplificando
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid3z^{2}+2z+1\mid\leq\mid6\mid
Entonces y
Solución
Realizado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 22:21 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 30
Encontrar el límite superior para el recíproco del módulo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^{4}-5z+6;\mid z\mid=2 .
Procedimiento
Se tiene
Entonces
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq M
Usando la propiedad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mid z_{1}z_{2}\mid=\mid z_{1}\mid\cdot\mid z_{2}\mid y $ \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leq\mid z_{1}-z_{2}\mid$
- $\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid=\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid$
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid\mid z^{2}\mid-3\mid\cdotp\mid\mid z^{2}\mid-2\mid$
sustituyendo y simplificando se tiene
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid4-3\mid\cdotp\mid4-2\mid$
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq2$
Entonces si $M=\frac{1}{2}$y $z=2$
$\therefore\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}.$
Solución
$\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}$
Realizado por: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 20:36 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 31
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada.
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$
Procedimiento
Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como:
$\bigl|z\bigr|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Además sean $z_{1}=a+ib$ y $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$, tenemos que $z_{1}=z_{2}$sólo cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos:
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}-(a+ib)=2+i$
$\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\right)-ib=2+i$
Por lo que
$b=-1$
Ahora
$\sqrt{a^{2}+1}-a=2$
Resolviendo para $a$
$a^{2}+1=4+4a+a^{2}$
$4a+3=0$
$a=-\frac{3}{4}$
Solución
Por lo tanto la solución de la ecuación es:
$z=-\frac{3}{4}-i$
Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 16:15 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 32
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada.
$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$
Procedimiento
$a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$
$\left(a^{2}+b^{2}+1\right)+12i=6(a+ib)$
Igualando parte real e imaginaria se llega a:
$b=2$
y
$a^{2}+2^{2}+1=6a$
$a^{2}-6a+5=0$
Se tienen las soluciones
$a=5$
y
$a=1$
Solución
Por lo que hay dos soluciones a la ecuación planteada, estas son:
$z_{1}=5+2i$
$z_{2}=1+2i$
Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 16:15 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 36
¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?
Procedimiento
Definimos a en donde con , donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z.
Como buscamos un número cuya magnitud sea cero Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |z|=0
Por lo que, igualando las expresiones para en encontrar a y b.
Desarrollando
Donde podemos ver que
Donde el único número real que cumple esta condición última, es el cero.
comprobando
Solución
$ |z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0 $
El único numero con modulo 0 es el numero 0+0i
Realizado por: Pablo (discusión) 01:14 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 37
Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.
Procedimiento
Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son:
$|z_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$
$|z_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$
Su suma
$|z_1|+|z_2|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}$
Por otro lado, sumando los numeros:
$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$
$|z_1+z_2|=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}=\sqrt{a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+b_1^2+2b_1b_2+b_2^2}$
$|z_1+z_2|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$
Igualando expresiones;
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$
Solución
Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones:
$a_1=a_2=b_1=b_2=0$
$a_1 \neq 0, a_2=b_1=b_2=0$
O cualquier combinación como la anterior.
Resuelto por: Oscar Javier Gutierrez Varela 22:57 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 44
Suponga que $z_1 \neq z_2$
Interpretar $Re(z_1 \bar{z_2})=0$ gráficamente en términos del vector $z_1$ y $z_2$
Procedimiento
Sea $z_1=x_1+iy_1$
$z_2=x_2+i y_2$ $\rightarrow$ $\bar{z_2} = x_2- i y_2$
El producto de $z_1$ con el complejo conjugado de $z_2$ da como resultado:
$(z_1 \bar{z_2})= (x_1+ i y_1)(x_2-i y_2)=(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2) $
Con esto y con la ecuación planteada se tiene:
$Re(z_1 \bar{z_2})=Re((x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)) \rightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2=0$
Ordenando las partes de cada vector en cada lado, se tiene:
$\frac{x_1}{y_1}=-\frac{y_2}{x_2}$
Identificando esto como la pendiente de cada vector:
$m_1=-\frac{1}{m_2}$
o
$m_1 m_2 = -1$
Solución
Por lo que gráficamente, esto nos indica que los vectores son perpendiculares entre si.
Ejercicio 47
Demostrar:
a) |z|=|−z|
Procedimiento
Suponer que z=a+bi y -z=-(a+bi)
Y sabemos la definición de modulo:
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Entonces
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces:
$|-z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Por lo tanto:
|z|=|-z|
b)|z|=|z*|
Procedimiento
Suponer que z=a+bi y z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la definición de modulo, tenemos:
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Por la razón anterior, no es necesario poner el signo menos en la siguiente igualdad.
$|z*|=\sqrt{a^2+b^2}$
Por lo tanto:
|z|=|z*|
Nancy Martínez Durán (discusión) 19:38 15 mayo 2015 (CDT)