Compleja:Zill-Cap2.6
Ejercicios del capítulo 2, sección 6 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 2.6
Ejercicio 1
Calcular el limite con las propiedades y teorema 2.6.1
$\underset{z\rightarrow2i}{lim}\left(z^{2}-\bar{z}\right)$
Procedimiento
Sean $z=x+iy$ donde $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ y $\bar{z}=x-iy$ e $i^{2}=-1$
Entonces tenemos
$f\left(z\right)=x^{2}-x-y^{2}+2ixy+iy$
Solución
Calculando el limite tenemos
$\underset{x,y\rightarrow0,2}{lim}x^{2}-x-y^{2}+i(2xy+y)=-\left(2\right)^{2}+i\left(2\right)=-4+2i$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 20:01 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Calcular el limite con las propiedades y teorema 2.6.1.
$\lim_{z\rightarrow1+i}(\frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}})$
Procedimiento
Utilizando los teoremas lo podemos reescribir como:
$(\frac{\lim_{z\rightarrow1+i}z-\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}}{\lim_{z\rightarrow1+i}z+\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}})$
Solución
Y finalmente resolviendo:
$(\frac{\lim_{z\rightarrow1+i}z-\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}}{\lim_{z\rightarrow1+i}z+\lim_{z\rightarrow1+i}\bar{z}})=\frac{1+i-1-i}{1+i+1-i}=\frac{2i}{2}=i$
Fernando Vazquez V. (discusión) 20:08 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Utilizar el teorema 2.6.1 y las propiedades de los limites reales de la página 104 para calcular el límite complejo dado.
$lim_{z\longrightarrow1-i}(|z|^{2}-i\bar{z})$
Procedimiento
primero tomamos en cuenta que $z=x+iy$ , entonces hacemos:
$|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$|z|^{2}=x^{2}+y^{2}$
$i\bar{z}=i(x-iy)=xi-i^{2}y=y+xi$
por lo tanto tenemos que
$|z|^{2}-i\bar{z}=(x^{2}+y^{2})-(y+xi)=(x^{2}+y^{2}-y)-i(x)$
$u(x,y)=x^{2}+y^{2}-y$
$v(x,y)=x$
por propiedades de los límites podemos hacer esto
$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}u(x,y)=(x^{2}+y^{2}-y)-lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}v(x,y)=(x)$
$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}(x^{2}+y^{2}-y)=1+1-(-1)=1+1+1=3$
$lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}(x)=1$
por lo tanto
$[lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}u(x,y)=(x^{2}+y^{2}-y)-lim_{(x,y)\longrightarrow(1,-1)}v(x,y)=(x)]=3-i$
Solución
entonces
$lim_{z\longrightarrow1-i}(|z|^{2}-i\bar{z})=3-i$
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:01 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Utilizar el teorema 2.6.1 y las propiedades de los límites reales para calcular el límite complejo dado.
$\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{Im(z^{2})}{z+Re(z)}$
Procedimiento
Primero hacemos $z=x+yi$ y resolvemos para que quede de la forma. $a+bi$
$\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{Im(z^{2})}{z+Re(z)}=\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{2xyi}{2x+yi}=\underset{z\rightarrow3i}{lim}(\frac{2xyi}{2x+yi})(\frac{2x-yi}{2x-yi})=\underset{z\rightarrow3i}{lim}\frac{4x^{2}yi+2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}$
Ahora identificamos $u(x,y)=\frac{2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}$ y $v(x,y)=\frac{4x^{2}y}{4x^{2}+y^{2}}$ y hacemos límite por separado, como sigue:
$u_{0=}\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{2xy^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{2(0)(3)^{2}}{4x^{2}+y^{2}}=0$
$v_{0}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{4x^{2}y}{4x^{2}+y^{2}}=\underset{(x,y)\rightarrow(0,3)}{lim}\frac{4(0)^{2}(3)}{4(0)^{2}+(3)^{2}}=0$
Solución
Por lo tanto, de la definición tenemos que $L=u_{0}+iv_{0}$ . Entonces:
$L=0+i0=0$
A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:28 29 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Use el teorema 2.1 y las propiedades de los límites reales de la página 115 a calcular el límite complejo dado.
$lim_{z\longrightarrow i\pi}\left (e^z \right )$
Procedimiento
Usando la expansión de la exponencial compleja, tenemos:
$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\left [ \cos y+i \sin y \right ]$
Solución
Aplicando esto a el limite requerido tenemos:
$\lim_{(x,y)\longrightarrow (0,\pi)}e^{x}\left [ \cos y +i \sin y \right ]=e^{0}\left [ \cos(\pi)+i\sin(\pi) \right ]=e^{0}(-1+i0)=-1$
Martin Flores Molina (discusión) 13:10 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Calcule el limite complejo dado
$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)$
Procedimiento
$\underset{z\rightarrow2-i}{lim}(z^{2}-z)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$
Ademas para $z_{0}=2-i$
Solución
$f(z_{0})=f(2-i)=(2-i)^{2}-(2-i)=4-4i-1-2+i=1-3i$
$\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=1-3i$
Ya que $\underset{z\rightarrow{z_{0}}}{lim}f(z)=f(z_{0})$
Concluimos que $f(z)=z^{2}-z$ es continua el punto $2-i$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 03:07 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Calcule el limite complejo $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}(z^{5}-z^{2}+z)$
Para calcular este limite es necesario saber que $\underset{z\rightarrow{z0}}{lim}z=z0)$
Así utilizando las propiedades de limites, tenemos que;
Así calculando el limite $\underset{z\rightarrow{i}}{lim}z=i$ obtendremos que;
Así resolviendo tendremos finalmente que;
Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 22:25 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Evaluando el límite
Lo cual no es una indeterminación pero podría existir algún límite, por lo tanto descompondremos la ecuación para encontrar el límite
Por lo tanto el límite de esta función está dado por
--Pablo (discusión) 09:50 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
19.- considere el limite $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2},$donde $z^{c}$es $z$ conjugado
a)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo del eje real?
b)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo del eje imaginario?
c)¿Las respuestas a) y b) implican que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe? Explique.
d)¿A que valor tiende el limite conforme $z\rightarrow0$ a lo largo de la recta $y=x$ ?
e) ¿Que puede decir acerca de $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}?$
suponga que $z=x+iy=(x,y)$ (en el plano complejo) entonces $z^{c}=x-iy=(x,-y)$
asi
a) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0))}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(x,0)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$
b) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\left(x+iy\right)^{2}}{\left(x-iy^{c}\right)^{2}}=\lim_{(0,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=1$
c) esto no quiere decir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}$existe ya que solo hemos comprovado que existe aproximandose por 2 trayectorias.
d) $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}(\frac{x+iy}{x-iy^{c}})^{2}=\lim_{(x,x)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\lim_{(y,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}+2xyi}{x^{2}-y^{2}-2xyi}=\frac{2}{-2}=-1$
e) así podemos concluir que $\lim_{z\rightarrow0}(\frac{z}{z^{c}})^{2}=no\;existe$
ya que si $f$ tiende a dos números complejos $l_{1}=l_{2}$a lo largo de 2 diferentes curvas o trayectorias que pasan por $z_{0}$, entonces$\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z_{0})$ no existe.
--Francisco Medina Albino (discusión) 00:03 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Calcule el siguiente límite complejo .
Solución
Por medio de , entonces
factorizando y reduciendo términos se tiene
evaluando el valor del límite se tiene
Por lo tanto, el .
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 12:53 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 22
Encontrar el limite al infinito dado haciendo uso del teorema 2.2
$\lim_{z \to \infty}\frac{iz+1}{2z-i}$
Para resolver el limite es necesario hacer uso de la definición:
$\lim_{z \to \infty} f(z) = L$ $\leftrightarrow$ $\lim_{z \to 0} f(\frac{1}{z}) = L$
Entonces al aplicar la definición al limite tenemos
$\lim_{z \to 0} \frac{\frac{i}{z} + 1}{\frac{2}{z}-i}$
multiplicamos el segundo miembro de cada parte de la función por un uno, así tenemos la siguiente expresión
$=\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i}{z} + \frac{z}{z}}{\frac{2}{z} - \frac{iz}{z}} =\lim_{z \to 0}\frac{\frac{i+z}{z}}{\frac{2-iz}{z}}$
Desarrollando
$=\lim_{z \to 0}\frac{z(i+z)}{z(2-iz)}=\lim_{z \to 0}\frac{i+z}{2-iz}=\frac{\lim_{z \to 0}(i+z)}{\lim_{z \to 0}(2-iz)} = \frac{i}{2}$
Al evaluar el limite nos da un valor complejo final
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 00:38 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Calcule el siguiente límite complejo .
Solución
Por medio de , entonces
reduciendo se tiene
Por lo que
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 12:56 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 26
26.- $\lim_{z\rightarrow\infty}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}$
Para poder reolver este límite se usa la definición:
$lim_{z\rightarrow\infty}f\left(z\right)=L$ si y sólo si $lim_{z\rightarrow0}f\left(\frac{1}{z}\right)=L$
Así te tiene lo siguiente:
$\lim_{z\rightarrow0}\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^{2}+1}{\left(\frac{1}{z}\right)^{2}+\frac{1}{z}+1-i}=\lim_{z\rightarrow0}\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^{2}+1}{\left(\frac{1}{z}\right)^{2}+\frac{1}{z}+1-i}=\lim_{z\rightarrow0}\frac{\frac{1+z^{2}}{z^{2}}}{\frac{1+z+z^{2}=iz^{2}}{z^{2}}}$
$=\lim_{z\rightarrow0}\frac{1+z^{2}}{1+z+z^{2}-iz^{2}}=1$
Por lo tanto:
$\lim_{z\rightarrow\infty}\frac{z^{2}+1}{z^{2}+z+1-i}=1$
--Alejandro Juárez Toribio (discusión) 18:51 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 27
Demuestre que la función es continua en el punto dado.
Error al representar (error de sintaxis): f(z)= z²-iz+3-2i ; z_0 = 2-i
Para saber si es continua debemos encontrar los valores para $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ y $ f(z_0)$, y comprobar que ambos valores son iguales.
por lo cual tenemos:
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow 2-i} (z²-iz+3-2i)$= $(2-i)² - i (2-i)+3-2i$ =$ 4-2i-1-3+3-2i$= $4-4i$
Ademas, para $z_0=2-i$ tenemos:
$f(z_0)=f(2-i)$=$(2-i)² - i (2-i)+3-2i$=$ 4-2i-1-3+3-2i$= $4-4i$
Al comparar ambos resultados vemos que son iguales, por lo cual conluimos que la funcion en el punto $z_0=2-i$ es continua.
--Anahi Limas (discusión) 23:25 28 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 29
Demostrar que la funcion $ f $ es continua en el punto dado.
$ f(z)=\frac{z^3}{z^3+3z^2+z} $
Y $ z_{0}=i $
Para que una función sea continua en un punto ($ z_{o} $), tiene que cumplir con el siguiente criterio:
(i) = $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)$ Exista
(ii) = $f(z_0)$ Este definida
(iii) = $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z)=f(z_0)$
Entonces:
$\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)$ =$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{z^3}{z^3+3z^2+z}$
=$\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\lim\limits_{z\rightarrow i} \frac{-i}{-i-3+i}$ =$\frac{i}{3}$
Ademas la función evaluada:
$f(z_0)=f(i)$=$\frac{i^3}{i^3+3(i)^2+i}$= $\frac{i}{3}$
Como:
$\lim\limits_{z\rightarrow i} f(z)=f(i)=\frac{i}{3}$
Por lo tanto la función es continua en el punto $ z_{0}=i $
Nancy Martínez Durán (discusión) 08:40 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 33
Demuestre que la función “f” es continua en el punto dado.
Solución
ya que , concluímos que es continua en el punto .
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:59 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 45
Utilice el teorema 2.6.1 para demostrar que:
a) $lím_{z\rightarrow z_0} c=c$ donde $c$ es una constante
b) $lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$
Sol. a) Definimos la función de variable compleja $f(z)=c$ con $c=a+ib$ como una constante compleja, entonces su parte real e imaginaria evaluada en $z_0=x_0+iy_0$ es:
$u(x_0,y_0)=a$, $v(x_0,y_0)=b$
Por otro lado, tenemos que $f(z)=c=a+ib$ con $u(x,y)=a$ y $v(x,y)=b$ como su parte real e imaginaria respectivamente, entonces al aplicar límite a $z_0=x_0+iy_0$:
$lím_{z\rightarrow z_0}f(z)=lím_{z\rightarrow z_0}c=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}[u(x,y)+iv(x,y)]$
Evaluando límites en su parte real e imaginaria:
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}a=a$
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}b=b$
Dado que $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=a$ y $lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=b$, por el teorema 2.6.1 podemos concluir que:
$lím_{z\rightarrow z_0}c=c$
b) Si escogemos la variable compleja $z=x+iy$ y definimos la función de variable compleja $f(z)=z$ con $u(x,y)=x$ y $v(x,y)=y$, su parte real e imaginaria evaluadas en $z_0=x_0+iy_0$ son:
$u(x_0,y_0)=x_0$, $v(x_0,y_0)=y_0$
Si $f(z)=z$, al aplicar límite a $z_0=x_0+iy_0$:
$lím_{z\rightarrow z_0}f(z)=lím_{z\rightarrow z_0}z=lím_{z\rightarrow z_0}(x+iy)$
Evaluando límites en las partes real e imaginaria:
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}x=x_0$
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}y=y_0$
por lo que de igual manera, al igualar:
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0)=x_0$
$lím_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0)=y_0$
por el teorema 2.6.1 podemos concluir que:
$lím_{z\rightarrow z_0}z=z_0$
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 01:25 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 46
Utilice el Teorema 2.6.1 para demostrar que $\lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}} $
Teorema 2.6.1
Suponga que $f(z) = u(x,y) + i v(x,y),z_{0} = x_{0} + iy_{0} y L = u_{0} + i v_{0}. Entonces \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} f(z) = L$ Si y solo si \[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y{0})} u(x.y) = u_{0} y \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} v(x,y) = v_{0}\]
Sabemos que $\overline {z} = ( x -iy)$ tomando un punto $\overline {z_{0}}$ = $(x_{0} + iy{0})$
De acuerdo con la función \[ f(z) = u(x,y) + i v(x,y)\]
separamos a \[ \overline {z}\]
\[ u(x,y)= x \]
\[ v(x,y) = y\]
Calculando sus limites
\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} x= x{0}\]
\[ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_{0}, y_{0})} -y= -iy_{0}\]
Entonces \[ \lim\limits_{z\rightarrow z_{0}} \overline {z} = \overline {z_{0}}\]
--Esther Sarai (discusión) 21:25 28 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 47
Utilice el Teorema 2.6.1 y el problema 46 para demostrar que
(a)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)=Re(z_{0})}$
(b)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)}=Im(z_{0})$
(c)${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|=|z_{0}|}$
Considerando a $z=x+iy$ tenemos que el${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Re(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}x=}}{\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}x}$
Como el limite solo depende de la variable x tenemos lo siguiente
\[ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}}=x_{0}=Re(z_{0}) \]
b) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}Im(z)={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}y={\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}y}}}$
Como el limite solo depende de y, tenemos que
\[ {\displaystyle \lim_{y\rightarrow y_{0}}y=y_{0}}=Im(z_{0}) \]
c) Tenemos que el ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}|z|={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}={\displaystyle \lim_{(x,z)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}$
Asi, tenemos que
${\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=|z_{0}|}$
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:55 31 mayo 2015 (CDT)