Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap6.1»
Línea 610: | Línea 610: | ||
Sacando el radio de convergencia usando: | Sacando el radio de convergencia usando: | ||
$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{z_n | $\lim_{n\to\infty}\left | \frac{z_n {n+1}}{z_n} \right |=L$ | ||
Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$ | Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$ |
Revisión del 07:38 12 feb 2023
Ejercicios del capítulo 6, sección 1 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 6.1
Ejercicio 1
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada
${5i^{n}}$
Procedimiento
Si $z_{n}=5i^{n}$
Entonces para $n=1,2,3,4,5.$, tenemos los siguientes resultados
Para $z_{1}=5i$
Para $z_{2}=-5$
Para $z_{3}=-5i$
Para $z_{4}=5$
Para $z_{5}=5i$
Por lo tanto la sucesión $z_{n}=5i^{n}$ converge ya que
$\lim_{n\to\infty}{\left\{5i^{n}\right\}}=0$
como vemos en
Solución
$\left \{ 5i, -5, -5i, 5, 5i \right \}$
Comentario por:Tlacaelel Cruz (discusión) 17:53 2 jul 2015 (CDT) El límite como tal no tiende a 0, pero la sucesión no diverge; en todo caso se dice que esta acotado pero no por eso es 0
Elaborado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:27 26 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada.
$2+(-i)^{n}$
Procedimiento
Para $n=1$
$2+(-i)^{1}=2-i$
Para $n=2$
$2+(-i)^{2}=1$
Para $n=3$
$2+(-i)^{3}=2+i$
Para $n=4$
$2+(-i)^{4}=3$
Para $n=5$
$2+(-i)^{5}=2-i$
Solución
Finalmente para $n=1,2,3,4,5$ tenemos los resultados $\left \{ 2-i,1,2+i,3,2-i \right \}$ respectivamente.
Elaborado porFernando Vazquez V. (discusión) 18:06 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada
${1 + e ^{n\pi i}}$
Procedimiento
Si $z_{n}= {1 + e ^{n\pi i}} $
Sustituimos $n=1,2,3,4,5.$ en $z_{n}$:
$n=1$
$z_{1}= {1 + e ^{ \pi i}} = 1 + (cos \pi + isen \pi) = 1+(-1)=0$
$n=2$
$z_{2}= {1 + e ^{2 \pi i}} = 1 + (cos 2\pi + isen 2\pi) = 1+(1)=2$
$n=3$
$z_{3}= {1 + e ^{ 3\pi i}} = 1 + (cos 3\pi + isen 3\pi) = 1+(-1)=0$
$n=4$
$z_{4}= {1 + e ^{ 4\pi i}} = 1 + (cos 4\pi + isen 4\pi) = 1+(1)=2$
$n=5$
$z_{5}= {1 + e ^{ 5\pi i}} = 1 + (cos 5\pi + isen 5\pi) = 1+(-1)=0$
Solución
Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ {1 + e ^{n\pi i}} $ son:
$\left \{ 0,2,0,2,0 \right \}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 23:48 26 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada
$\left \{(1+i)^{n}\right \}$
Procedimiento
Sea $z=i+i$
Escribiendo en su forma polar, se tiene que:
$\left |z \right |=\sqrt{1+1}=\sqrt2$
Y el $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$
Por lo que
$z=\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}}$
Por lo que la sucesión, se puede escribir, como:
$\left \{ \left (\sqrt2 e^{i\frac{\pi}{4}} \right )^{n} \right \}$
Para:
$n=1$
$z_{1}=\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}=(1+i)$
$n=2$
$z_{2}=\sqrt{2}^{2} e^{i\frac{2\pi}{4}}=2i$
$n=3$
$z_{3}=\sqrt{2}^{3} e^{i\frac{3\pi}{4}}=2(-1+i)$
$n=4$
$z_{4}= \sqrt{2}^{4} e^{i\frac{4\pi}{4}}=-4$
$n=5$
$z_{5}= \sqrt{2}^{5} e^{i\frac{5\pi}{4}}=4(-1-i)$
En el ultimo paso se utilizo la forma trigonométrica del numero polar.
Solución
Por lo tanto los primeros cinco términos la sucesión $ \left \{(1+i)^{n}\right \}$ son:
$\left \{ (1+i),2i,2(-1+i),-4,4(-1-i) \right \}$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 5
Determine si $\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}$ converge o no.
Procedimiento
Si la sucesión converge: \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=L=a+ib \] \[ \lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(3ni+2)(1-i)}{n(1+i)(1-i)}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(2+3n)+i(-2+3n)}{2n}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\left(\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right)+i\left(-\frac{1}{n}+\frac{3}{2} \right)\right\}} \] \[ =\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}+i\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{n}+\frac{3}{2}\right\}}=\frac{3}{2}+i\frac{3}{2}=L=a+ib \]
Solución
\[ \therefore \left\{\frac{3ni+2}{n+ni}\right\} \; es \, convergente \]
Tlacaelel Cruz (discusión) 20:23 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Determine si la sucesión $\left\{\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}\right\}$ converge o diverge.
Teorema 6.1.1. Criterio para la convergencia
Una sucesión $\left\{z_{n}\right\}$ converge a un número complejo $L=a+ib$ si y sólo si $Re(z_{n})$ converge a $Re(L)=a$ e $Im(L)=b$.
Procedimiento
De
\[
z_{n}=\frac{ni+2^n}{3ni+5^n}=\frac{(ni+2^n)(3ni-5^n)}{(3ni+5^n)(3ni-5^n)}=\frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 }-i \frac{2^n \;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2}
\]
vemos que
\[ Re(z_{n})= \frac{10^n +3n^2}{5^{2n} +9n^2 } \rightarrow 0 \]
\[
Im(z_{n})= -\frac{2^n\;3 -5^n}{5^{2n} +9n^2} \rightarrow 0
\]
Solución
Conforme $n\rightarrow{}\infty$. Del teorema 6.1.1, los últimos resultados son suficientes para concluir que la sucesión dada converge a $a+ib=0+i0$.
Emmanuell Castro Flores (discusión) 17:11 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Determine si la sucesión dada diverge o converge.
${\frac{(ni+2)²}{n²i}}$
Procedimiento
Conocemos que:
$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=L=a+ib$
Desarrollando:
$\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{(ni+2)²}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{\frac{-n²+4ni+4}{n²i}\right\}}=\lim_{n\to\infty}{\left\{-\frac{1}{i}+\frac{4}{n}+\frac{4}{n²i}\right\}}=-\frac{1}{i}$
Por lo cual la sucesión converge.
Anahi Limas (discusión) 22:58 26 jun 2015 (CDT)
ejercicio 8
Determinar si la sucesión dada diverge o converge
$\left\{ \frac{n\left(1+i^{n}\right)}{n+1}\right\} $
Procedimiento
desarrollamos y tenemos
$\frac{n}{n+1}+\frac{ni^{n}}{n+1}$
lo multiplicamos todo por $\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$ y nos da
$\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$
sabemos que al resolver el límite lo podemos separar
Solución
$lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$
en el segundo termino $\frac{i^{n}}{1+\frac{1}{n}}$ no se aproxima a un número complejo fijo, va variando por lo tanto nuestra sucesión diverge
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:59 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Determinar si la sucesión dada diverge o converge
e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$...$\left(1\right)$
Procedimiento
Si:
$z_{n}=e^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$es una sucesión, converge a un número complejo $L=a+ib$
si y sólo si $Re\left(z_{n}\right)$converge a $Re\left(L\right)=a$ e $Im\left(z_{n}\right)$converge a $Im\left(L\right)=b$
Así, de la ecuación $\left(1\right)$se puede obervar que:
$Re\left(z_{n}\right)=e^{\frac{1}{n}}$
$Im\left(z_{n}\right)=2\left[\arctan\left(n\right)\right]$
Cuando $n\rightarrow\infty$
$e^{\frac{1}{n}}\rightarrow$1
$2\left[\arctan\left(n\right)\right]\rightarrow2\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi$
Por lo tanto la sucesión:
e$^{\frac{1}{n}}+2\left[\arctan\left(n\right)i\right]$
Solución
Es convergente y converge a:
$L=a+ib=1+\pi i$
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 15:29 26 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
En los problemas 11 y 12, muestran que la secuencia dada ${z_n}$ converge a un número complejo $L$ mediante el cálculo de $\lim_{n\to\infty}$ $Re_(z_n)$ y $\lim_{n\to\infty}$ $Im_(z_n)$
${\frac{4n+3ni}{2n+i} } $
Procedimiento
Entonces:
Desarrollando:
$\lim_{n\to\infty}{\frac{8n^2+3n}{4n^2+1} + i \lim_{n\to\infty}\frac {6n^2-4n} {4n^2+1}} = 2 + i\frac {3}{2}$
Solución
Por lo tanto.
$\lim_{n\to\infty} Re_(z_n) = 2$ y $\lim_{n\to\infty} Im_(z_n)= i\frac {3}{2}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 01:04 27 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Utilice la secuencia de sumas parciales para demostrar que la serie dada es convergente,
Procedimiento
\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]\]
Para poder demostrar la convergencia de esta suma, bastara con darle algunos valores que nos dejen ver de manera clara la convergencia, y para esto descompondremos la suma en dos sumas, así tendremos;
dando algunos valores ala primera suma tendremos;
dando valores ala segunda suma;
Ahora restando la segunda suma a la primera, nos daremos cuenta que todos los términos se cancelan a excepción del primero y el ultimo, así obtendremos;
\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2i}-\frac{1}{n+1+2i}\]
de donde es evidente que $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1+2i}=0$ (incluso se puede usar la regla de "L'Hôpital")
asi;
\[\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+2i}=\frac{1}{1+2i}\]
Expresando este ultimo termino en la forma $z=a+bi$ esto es multiplicando y dividiendo por su conjugado tendremos;
\[\frac{1}{1+2i}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]
Conclusión
La serie
$\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{1}{k+2i}-\frac{1}{k+1+2i}]$ es convergente y converge a $\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$
Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 02:37 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determine si la serie geométrica dada converge o diverge. Si converge, encuentre sus sumas
$\sum_{k=0}^{\infty} (1-i)^{k}$
Procedimiento
Haciendo uso del criterio de la raíz N-esima
$\sum_{k=0}^{\infty} (a_n) $ tal que $a_n \neq 0$ $\forall n$ y sea $\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|} = l$
Donde
$l = \begin{cases} <1 & \text{ la serie converge } \\
>1 & \text{ la serie diverge }\\
= 1 & \text{ la serie puede o no converger }\end{cases}$
Entonces aplicando este criterio a nuestra serie geométrica tenemos :
$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|a_n|}$
Con $a_n = {|1 - i|}^k$
$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{({|1 - i|}^k)} = \lim_{k \rightarrow \infty} {[{(\sqrt{2})}^k}]^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \rightarrow \infty}\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Conclusión
En este caso $l = \sqrt{2}$ como $l > 1$ la serie es divergente
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 21:52 27 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre su suma.
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}$
Procedimiento
Sabemos que es una serie geométrica, osea es de la forma:
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=a+az+az^{2}+\cdots$
Entonces, primero encontramos las partes de la serie
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=4i+4i(\frac{1}{3})+4i(\frac{1}{3})^{2}+\cdots$
$a=4i$
$z=\frac{1}{3}$ $\Longrightarrow$ $|z|=\frac{1}{3}<1$
Por el ultimo argumento sabemos que la serie converge y se puede escribir como
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}az^{k-1}=\frac{a}{1-z}$
En nuestro caso
\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i(\frac{1}{3})^{k-1}=\frac{4i}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4i}{\frac{2}{3}}=6i \]
Conclusión
Así, la serie es convergente y converge a:
\[ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}4i\left (\frac{1}{3} \right )^{k-1}=6i \]
Fernando Vazquez V. (discusión) 20:02 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Sí es convergente, encuentre sus suma.
Procedimiento
La serie infinita la escribimos como
y tiene la forma de una serie geométrica
comparamos (2) con (1) y observamos que:
- donde vemos que
en el cuál “z” es menor que uno, lo que nos dice que la serie es convergente , y la suma de una serie geométrica esta dada por:
Observando el detalle que es el equivalente de (2).
Entonces sustituyendo , y simplificando se tiene finalmente que
Conclusión
por lo tanto la serie geométrica converge en
Elaborado por Ricardo García Hernández --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:31 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 18
Determine si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, hallar su suma .
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}i^{k}$
Procedimiento
Expandiendo la serie, se tiene que:
$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2}i^{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+\frac{1}{2}i^{2}+\frac{1}{2}i^{3}+...$
Esta serie, es una serie geométrica, en la que se sabe que diverge, si $\left |z \right |\geqslant 1$
Sacando el radio de convergencia usando:
$\lim_{n\to\infty}\left | \frac{z_n {n+1}}{z_n} \right |=L$
Donde $z_n=\frac{1}{2}i^{n}$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 19
Determinar si la serie geométrica dada es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su suma.
$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}$
Procedimiento
Para determinar si el convergente usamos el criterio de la convergencia para series geométricas de la forma:
$S_{n}=a+az+az^{2}+az^{3}.....$ de la cual siempre es posible encontrar una fórmula que la determine y la cual converge si
$S_{n}=L$ cuando $n\rightarrow\infty$ .
Para $S{}_{n}=\frac{a(1-z^{n})}{1-z}$
Tenemos que si $z^{n}\rightarrow o$ conforme $n\rightarrow\infty$ siempre que $|z|<1,$ y así ...
$\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$ .......(1)
Entonces analizando nuestra ecuación, vemos que está de la forma (1) identificando a:
$a=3$
$z=\frac{2}{1+2i}$
Entonces para obtener $|z|$ primero :
$z=\frac{2}{1+2i}(\frac{1-2i}{1-2i})=\frac{2(1-2i)}{5}=\frac{2}{5}-i\frac{4}{5}$
$\Longrightarrow|z|=\sqrt{(\frac{2}{5})^{2}+(-\frac{4}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{20}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\Longrightarrow|z|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Por tanto, como $|z|<1,$ la serie es convergente y su suma está dada por $\frac{a}{1-z}=a+az+az^{2}+.....$
donde:
$\frac{3}{1-\frac{2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3}{\frac{1+2i-2}{1+2i}}=\frac{3+6i}{-1+2i}=\frac{(3+6i)(-1-2i)}{1+4}=\frac{-3+12-6i-6i}{5}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$
Conclusión
Por lo tanto, la serie converge a:
$\sum_{k=0}^{\infty}3\left (\frac{2}{1+i} \right )^{k}=\frac{9}{5}-i\frac{12}{5}$
A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:12 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias.
$ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-2i)^k+1}(z-2i)^k $
Procedimiento
De la serie se tiene que:
Resolviendo por la prueba de la raíz :
Por tanto de la prueba de la razón:
Donde el radio de convergencia está definido como :
Conclusión
Por tanto el círculo de convergencia es:
El circulo de convergencia esta centrado en 2i y tiene un radio de $\sqrt5$
Samantha Martinez (discusión) 23:27 27 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 23
Encuentre el círculo y radio de convergencia de la serie de potencias
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k2^{k}}\left(z-1-i\right)^{k}$
Procedimiento
Resolveremos este problema con la prueba de razón dada por:
$\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left|\frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right|=L$ ...(1)
ademas sabemos que el radio es:
$R=\frac{1}{L}$ ... (2)
Sacamos los $a_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}$
Ahora usaremos (1) para resolver la potencia
$\underset{n\rightarrow\prime}{lim}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}}{\frac{\left(-1\right)^{n}}{n2^{n}}}\right|=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n2^{n}}{\left(n+1\right)2^{n+1}}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n}{2n+2}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{1}{2+\frac{2}{n}}$
Aplicando el limite tenemos $L=\frac{1}{2}$
De (2) tenemos que
$R=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
Conclusión
Por lo tanto $\left|z-1-i\right|=2$ y
El circulo esta centrado en $z_0=1+i$ y tiene radio$R=2$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:25 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Encuentre el circulo y el radio de convergencia de la serie de potencias
Procedimiento
Identificamos en la serie que:
Entonces aplicando el teorema de la prueba de la raíz en la forma
donde
y sabemos
- el radio de convergencia es
Entonces el radio de convergencia de la serie es
La serie de potencias converge absolutamente para
Conclusión
El circulo de convergencia es
Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:49 25 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 27
Identifique el radio de convergencia y el círculo de convergencia de
Procedimiento
Identificamos que a serie tiene la forma de , por lo que identificando a y
y
Por lo que el límite se obtiene como
Por lo que resolviendo para a tenemos que
El radio de convergencia está dado por y el círculo de convergencia está dado por
Por lo que concluimos que
y
Conclusión
Por lo que la serie converge absolutamente cuando
El circulo de convergencia esta centrado en $z_0=4+3i$ y tiene un radio de convergencia de 25
Pablo (discusión) 14:35 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 32
Demuestre que la serie de potencias $\sum_{k=1}^\infty\dfrac{z^k}{k^{2}}$ Converge en cada punto de su radio de convergencia
Procedimiento
Donde $|z^{k}/k^{2}| = 1/k^{2}$
\[
\sum_{k=1}^\infty |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}| = \sum_{k=1}^\infty |\dfrac{1}{n^{2}}| \]
Aplicando el criterio del cociente
\[
\lim_{n\rightarrow \infty} |\dfrac{z^{n}}{n^{2}}|= \lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{z^{n^{2}+1}/(n^{2}+1)}{z^{n}/n^{2}} =|z| \]
Convergencia absoluta en si $ |z=1|$
Por lo tanto
\[ |z|<1 converge\]
\[
|z|>1 diverge\]
Conclusión
Para $ |z=1|$ La serie converge absolutamente dentro de su radio de convergencia
Esther Sarai (discusión) 23:43 27 jun 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 35
Considerando la serie $\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta},0<r<1,$ demuestre que:
$\sum_{k=0}^{\infty}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}\;y\;\sum_{k=0}^{\infty}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2rcos\theta+r^{2}}$
Procedimiento
si desarrollamos la serie :
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots$
si a esta serie la llamamos $f{}_{m}$ entonces:
$f{}_{m}=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}...(1)$
si la multiplicamos por $re^{i\theta}$
$re^{i\theta}f{}_{m}=re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n}e^{in\theta}...(2)$
restando la serie $1$ de $2$
$f{}_{m}-re^{i\theta}f{}_{m}=1-r^{n}e^{in\theta}\Longleftrightarrow f{}_{m}=\frac{1-r^{n}e^{in\theta}}{1-re^{i\theta}}$
escribiendo $f{}_{m}$ en su forma trigonométrica
$f{}_{m}=\frac{1-r^{n}\left[\cos n\theta+i\sin n\theta\right]}{1-r\left[\cos\theta+i\sin\theta\right]}=\frac{1-r^{n}\cos n\theta-ir^{n}\sin n\theta}{1-r\cos\theta-ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}$
multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador:
$f{}_{m}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)-i(r^{n}\sin n\theta)}{(1-r\cos\theta)-ir\sin\theta}.\frac{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}{(1-r\cos\theta)+ir\sin\theta}=\frac{(1-r^{n}\cos n\theta)(1-r\cos\theta)+(r^{n}\sin n\theta)(r\sin\theta)+i\left[(1-r^{n}\cos n\theta)(r\sin\theta)+(1-r\cos\theta)(-r^{n}\sin n\theta)\right]}{(1-r\cos\theta)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta}=$
$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}\cos n\theta\cos\theta+r^{n+1}\sin n\theta\sin\theta+i\left[r\sin\theta-r^{n+1}\cos n\theta\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}\sin n\theta\cos\theta\right]}{1+r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}$
$=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)+i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
de esto podemos ver que hay dos partes, la real y la imaginaria:
$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta-r^{n}\cos n\theta+r^{n+1}(\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta)}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta-r^{n}\sin n\theta+r^{n+1}(\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta)\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
$como\;0<r<1,\;entonces\;r^{n}\rightarrow0\;conforme\;n\rightarrow\infty$
así
$Re(f{}_{m})=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
y
$Im(f{}_{m})=\frac{i\left[r\sin\theta\right]}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
de aquí que:
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\left[\cos k\theta+i\sin k\theta\right]=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta+\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=1+re^{i\theta}+r^{2}e^{i2\theta}+\cdots+r^{n-1}e^{i(n-1)\theta}+\cdots=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}+i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
Conclusión
Al separar la parte real de la imaginaria tenemos:
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\cos k\theta=\frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
$\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}i\sin k\theta=i\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}\Longleftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}\sin k\theta=\frac{r\sin\theta}{1-2r\cos\theta+r^{2}}$
como se quería.
Francisco Medina Albino (discusión) 12:29 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 36
Supongamos que $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ converge. Analice: ¿Se deduce que al menos una de las sucesiones $\left\{ z_{n}\right\} \hspace{1em}o\hspace{1em}\left\{ w_{n}\right\} $ converge?
No necesariamente si $z_n$ converge y $w_n$ converge $z_n + w_n$ convergerá, pero que la suma converja no implica que cada una lo haga, por ejemplo:
\[ z_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}=1-z+\frac{z^2}{2!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^5}{5!}+\ldots \] Es una serie que diverge para $1\leq |z|$ y: \[ w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=-1+z-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}-\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}-\ldots \] También diverge para $1\leq |z|$ \[ z_n + w_n=\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \, z^n}+\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n+1} \, z^n}=\sum_{n=0}^{\infty} {[(-1)^n +(-1)^{n+1}]\, z^n}=0 \] que evidentemente no diverge
Conclusión
Por lo que si la suma converge $\left\{ z_{n}+w_{n}\right\} $ no lo hace necesariamente $\left \{ z_n \right \} \left \{ w_n \right \}$ alguna de ellas converge.
Tlacaelel Cruz (discusión) 18:10 2 jul 2015 (CDT)
Ejercicio 37
37. Una sucesión $\{z_n\} $ se dice que está acotada si el conjunto $S$ de todos los términos de la sucesión es un conjunto acotado:
a) Pruebe que la sucesión del ejemplo 2 está acotada. b) De otro ejemplo de sucesión compleja que esté acotada. c) De ejemplo de una sucesión que no esté acotada.
Solución:
a) La sucesión del ejemplo 2 es: $\{ \frac{3+ni}{n+2ni} \} $.
Ahora: $z_n=\frac{3+ni}{n+2ni}=\frac{3+ni}{n(1+2i)} \cdot \frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(3+2n)+(n-6)i}{5n} \Longrightarrow |z_n|=\frac{1}{5n}\sqrt{(3+2n)^2+(n-6)^2}=\frac{1}{5n}\sqrt{9+12n+4n^2+n^2-12n-36}=\frac{1}{5n}\sqrt{5n^2+45}=\frac{\sqrt{5}}{n}\sqrt{n^2+9}$.
Notemos ademas: $ (\forall n\in \mathbb{N}): 1\leq n^2 \Longleftrightarrow 9\leq 9n^2 \Longleftrightarrow n^2+9\leq 10n^2 \Longleftrightarrow \frac{1}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{10} \Longleftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{n} \sqrt{n^2+9}\leq \sqrt{50} \Longleftrightarrow |z_n|\leq \sqrt{50} $
Se ha exhibido un número real positivo que es mayor (ó igual) al módulo de cualquier término de la sucesión, por lo tanto la sucesión está acotada.
b) La sucesión: $\{\frac{n-i}{n+1}\}$ está acotada. En efecto, $\ |z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}$. Note además que $|z_n|=\frac{1}{n+1}\sqrt{n^2+1}\leq 1 \Longleftrightarrow n^2+1 \leq n^2+2n+1 \Longleftrightarrow 0\leq 2n $.
c) Un ejemplo de sucesión no acotada es $\{n+ni\}$.
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:02 28 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 39
¿La sucesión {$i^{1/n}$}, donde $i^{1/n}$ denota la $n$-ésima vez raíz principal de $i$, converge?
Procedimiento
Si $lím_{n\longrightarrow \infty}z_n=L$, se dice que la sucesión {$z_n$} es convergente.
El problema menciona que {$i^{1/n}$} es la $n$-ésima raíz principal de $i$. Sea $z=i$ y $w=i^{1/n}$. De la fórmula para las raíces
$w_k=^n\sqrt{r}[\cos (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})+i\sin (\dfrac{\theta +2k\pi}{n})]$
Con $|z|=1$ y $\theta = \frac{\pi}{2}$. Se busca la raíz principal, por lo que $k=0$. Así
$w_0=^n\sqrt{1}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]$
Hacemos tender al límite
$lím_{n\longrightarrow \infty}w_0=lím_{n\longrightarrow \infty} 1^{1/n}[\cos (\dfrac{\pi}{2n})+i\sin (\dfrac{\pi}{2n})]=1^0[\cos 0 +i\sin 0]=1$
Conclusión
Dado que $L=1$ concluimos que la sucesión converge.
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:56 3 jul 2015 (CDT)