La topología del plano complejo
1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1
y
Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si
![z^n=1](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fb31edf665701c275c44a5be8b82a95509888d)
i escribimos en la forma polar
![z^n=r^ne^{in\theta}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7d28a001955d43fc5676cb6b03cc130560e730)
Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse
y ![(\exists k\in Z)n\theta=2k\pi](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f96eb7bf1cb0f916b6decdbb22fc197934e633)
Como
es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre
es:
![(\exists k\in Z)\theta=\frac{2k\pi}{n}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d77928db5d40312e71ce0fb07b376eb50f15b75)
Obtenemos que todos los complejos de la forma
son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos
{0,1,...,n-1),
con
. Entonces
![e^{i\frac{2k\pi}{n}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}+{2l\pi}} = e^{i\frac{2k\pi}{n}}*1 = e^{i\frac{2k\pi}{n}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c47048e38fa70508aec0f7522acb6640ddae90)
Así, todos los posibles valores de
dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son
(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\
)
Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad.
Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma
=
Como multiplicar por w es un giro de amplitud
, deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal,
(con
=1), con giros sucesivos de amplitud
cuando
, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos
vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente
- 1,
,
,...,![w_{n}^{n-1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024715b05a3b83747fac0ccb112bf49ba230615e)
1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica:
- Demostración
Sea
, se observa que:
entonces:
Si tomamos a u como la raíz n-ésimas de 1, excepto
, se tiene que
&
Por lo tanto:
--Sabino (discusión) 20:58 13 nov 2012 (UTC)
1.16.- Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto.
Demostrar
Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle Sea P_{0} \in B , y_{0}>0. Elegimos r = y_{0} <\math> 1.17.- ''' Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado ''' Demostración Si <math> v_{0} = (x_{0},y_{0})\in V \qquad \therefore \qquad y_{0}\geq 0 }
Entonces se debe mostrar que hay una bola abierta
contenida en el plano superior.
Sea
se tiene entonces que
. Elegimos
consideremos la bola abierta
, sea
se tiene entonces que
. Es decir
y queremos ver que
, procederemos por contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
![|x-x_{0}|+|y-y_{0}| = |x-x_{0}|+(-y)+y_{0}\geq y_{0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321ff0181f1d80f482b507f1dc172ef13e2bdcd2)
Esto es una contradicción
y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)
1.18 Describa los siguientes subconjuntos de
a)
Solución
Sea
, z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0.
la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0
b)
Solución
Sea
, z=a+ib. Si la parte
, entonces
la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical
c)
Solución
Sea
y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|
|
|
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
![(a-1)^2+b^2](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56eeb62c9956f3cf9773e8358544c4c545785161)
Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2
d)
Solución
Sea
y z=a+ib, entonces
|z-1|=|a+ib-1|>2
|
|>2
![\Rightarrow](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100)
> 4
Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2
e)
Solución
Sea
y z=a+ib, como
b>0 y
![\therefore](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb8b7f072bd54b28a08d8f7ad207f9df1bf9f22)
f)
,
Solución
Sea
y z=a+ib, como
b>0 y
,
, entonces
hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1
![\therefore](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb8b7f072bd54b28a08d8f7ad207f9df1bf9f22)
![z\in](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883e920129e61d5b3db0492d25958399cd33043f)
![(-\infty,-1)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eecbbaf03fa846f2e0c57bf5f65e760d2f7e484d)
Cesar (discusión)
1.19 Sea
. Demuestre que:
(a)
es abierto si y sólo si
.
(b)
es cerrado si y sólo si
.
(a) Si
es abierto, entonces para cada z ∈
existe un
tal que
. Vemos que la unión de todas las bolas
es
. Además, esta unión es igual al interior de
a saber,
, puesto que para cualquier subconjunto abierto
de
se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego
.
Por otro lado, si
, entonces
es abierto por que
es abierto.
(b) Si
es cerrado, entonces
, por que
es el superconjunto cerrado más pequeño de
.
Por otra parte, si
entonces
es cerrado debido a que
es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea
. Demuestre que:
(a)
.
(b)
.
(c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0}
.
(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
.
(a)
- P.D.
![\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54edcdd5c8032fcfc3100e26dd24a601131d374a)
Sabemos que
Entonces
y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que
, pues el interior de un conjunto (
) es el mayor abierto contenido en ese conjunto (
)
- P.D.
![\Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57516c475fabab3578930263143278dad4f0a8e)
Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
, entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
por que
.
Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega
y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0}
ya que
.
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}
, es decir, al complemento del interior de
.
Tenemos entonces que
, de donde
.
- Ya que
y
, podemos decir que
.
(b)
Sabemos que
.
Ahora, del inciso anterior,
, si
. Sea
,
entonces:
.
Y así
.
(c)
Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ]
.
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ]
(puesto que
)
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0}
(por el inciso anterior)
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} )
.
(d)
Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega
como el conjunto de puntos que NO están en el interior
ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con
, es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en
). El exterior de
es el interior de
, o sea el conjunto
.
Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}
Sabemos del inciso (a) que
y del inciso (b) que
.
De tal forma que
.
--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)
1.21 Sea
. Demuestre que:
(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
si y sólo si existe
tal que
.
Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
entonces existe un
tal que
, por que
es abierto. Como
, resulta que
. En la otra dirección, si
para algún
, entonces por ser
un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0}
, por que
es la unión de todos los subconjuntos abiertos de
(b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-}
si y sólo si para todo
se tiene que
Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-}
, por 1.20 (b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0})
y de este modo
. Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada
,
. De esta forma, para cada
hay un punto
que no pertenece a
, con lo cual
, y así
. Ahora supóngase que
, entonces
, y por el inciso anterior existe un
tal que
. De esto se obtiene que
.
--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)
1.22 Sea
cualquier conjunto de muestre que:
y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Φ}
son abiertos relativos en
.
Tenemos
es abierto relativo en
, por lo que hay un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Á\subseteq\mathfrak{C}}
tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Omega_1=Á\cap\Omega}
. Lo mismo para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Φ}
Si
,.....,
son abiertos relativos,
es abierto relativo.
Si
entonces es abierto relativo por
. Si existe un
, entonces
, para todo K y como
es abkerto relativo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^left(c\right)}
Si Error al representar (función desconocida «\l»): {\displaystyle \l`race{A_k\rbrace}}
es cualsuier familia de"subconjuntos de"
que son abigrtos relativos,"entonces
también es abierto relativo.
Si"Error al representar (función desconocida «\bigaup»): {\displaystyle Z\in \bigaup_k A_k}
", entonces existe un
tal que
, y por lo talto existe un diqco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\left*Z:ε\rigjt)\subseteq A_k \subseteq\cup A]k,}
ya heoos mostrado que
es abierto relavivo enError al representar (función desconocida «\ledt»): {\displaystyle \ledt(b\right)}
.
Error al representar (función desconocida «\pight»): {\displaystyle \left(2\pight)}
�
y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Φ}
son cerrados relativms en Error al representar (función desconocida «\Omeea»): {\displaystyle \Omeea}
.
�
Tenemos
, pop lo que hay un aonjunto cerrado"Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Á\subseteq\mathfrak{C}}
tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Omega_1=Á\cap\Omega}
. Lo mismo para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Φ}
Si
,.....,
son cerrados relativos,
es cerrado relativo.
Si
entonces es cerrado relativo por
. Si existe un
, entonces
, para todo K y como
es cerrado relativo
Si
es cualquier familia de subconjuntos de
que son cerrados relativos, entonces
también es cerrado relativo.
Si
, entonces existe un
tal que
, y como ya hemos mostrado que
es cerrado relativo, se tine
es cerrado relativo.
--FARFAN ALTAMIRANO LUIS ANTONIOLuis Antonio (discusión) 05:17 12 nov 2012 (UTC)
1.23 Si
es abierto relativo, demuestre que
es cerrado relativo. Demuestre también que si
es cerrado relativo, entonces
es abierto relativo
* Se dice que un subconjunto abierto
es abierto relativo en
si existe un conjunto abierto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Á\subseteq\mathfrak{C}}
tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=Á\cap\Omega}
.
* Se dice que un subconjunto cerrado
es cerrado relativo en
si existe un conjunto cerrado Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Ã\subseteq\mathfrak{C}}
tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=Ã\cap\Omega}
.
También sabemos que los conjuntos cerrados son complementarios de los abiertos, y reciprocamente; es decir para cualquiera que sea
, se verifica que (nótese que las dos relaciones siguientes son, en realidad una sola):
es abierto
es cerrado
es cerrado
es abierto
Por lo tanto de lo anterior si A es abierto relativo, entonces
es cerrado relativo
Demuestre también que si Error al representar (función desconocida «\F»): {\displaystyle \F\subseteq\Omega}
es cerrado relativo, entonces
es abierto relativo.
Se demuestra de manera similar a lo anterior.
--Farfan altamirano Luis AntonioLuis Antonio (discusión) 22:26 11 nov 2012 (UTC)
1.24 Demuestre que
es conexo si y sólo si
es un intervalo.
Sea
, y sea
un subconjunto abierto de
tal que
y
(como
,
no es abierto en
, pero si en
, es decir,
es abierto relativo a
). Si se prueba que
no es también cerrado, entonces se habrá probado que
es conexo.
Puesto que
es abierto, existe un
tal que
. Sea
el mayor
para el cual
, es decir
. De este modo se tiene que
, pero
, por que de lo contrario, puesto que
es abierto, habría un
tal que
, contradiciendo la definición de
. Luego
, y por tanto
. Si
es también cerrado, entonces
es abierto, y por tanto se puede encontrar un
tal que
, lo cual contradice el hecho de que
. Por lo tanto,
no puede ser cerrado.
Ahora supóngase que
no es un intervalo, entonces existen dos puntos
, tal que
(un teorema afirma que
es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos
, con
se tiene que
). Entonces, existe un punto
tal que
. Como
y
se tiene que
, donde
y
son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto,
no es conexo.
--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)
1.27 Si
es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.
Tomemos una componente
y un punto
, como
y
es abierto, existe un disco
. Recordando que un subconjunto
no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos,tenemos que la unión
por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a
. Con esto se entiende que
y por tanto
es abierto.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)
FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):
LEYES DE MORGAN