Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap5.2»
(No se muestran 34 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 473: | Línea 473: | ||
'''Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:''' | '''Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:''' | ||
[[Archivo:P5.2.21.png|center]] | [[Archivo:P5.2.21.png|center]] | ||
'''Procedimiento''' | |||
Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que: | Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que: | ||
\[ | \[ | ||
z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i | z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i | ||
Línea 489: | Línea 493: | ||
Se puede escribir la integral como: | Se puede escribir la integral como: | ||
\[ | \[ | ||
\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right]=(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right] | \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right] | ||
=(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right]= | |||
\] | \] | ||
\[ | \[ | ||
Línea 501: | Línea 507: | ||
=== ejercicio 22 === | === ejercicio 22 === | ||
Evalúe $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz$ de i a 1 a lo largo del | |||
contorno C dado en la figura | contorno C dado en la figura | ||
[[Archivo: | [[Archivo:Zill 5.2 problema 22 (2).svg|200px|thumb|left|Curva del problema 22 Capitulo 5.2 del Zill]] | ||
primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones | primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones | ||
Línea 514: | Línea 521: | ||
$-z=-x-yi$ | $-z=-x-yi$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sustituimos y simplificamos la expresión | |||
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | $\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | ||
por propiedades de la | por propiedades de la integral sabemos que | ||
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | $\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | ||
Línea 524: | Línea 533: | ||
parametrizamos de la siguiente forma | parametrizamos de la siguiente forma | ||
$y= | $y=1$ , $0\leq x\leq1$ | ||
obtenemos que | obtenemos que | ||
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi | $\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dz$ | ||
$z(x)=x+ | $z(x)=x+i=x+i$ | ||
$z'(x)=dx$ | $z'(x)=dx$ | ||
Entonces nuestra primera integral nos queda | |||
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi | $\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx$ | ||
$\intop_{ | $\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx=\frac{1}{3}+i-\frac{1}{2}-i+1= \frac{5}{6}$ | ||
Ahora haremos la segunda integral: | |||
$\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | $\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$ | ||
Línea 558: | Línea 567: | ||
lo cual nos da como resultado al calcularla | lo cual nos da como resultado al calcularla | ||
$-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i | $-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i\right]=\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i$ | ||
por lo tanto nos queda | por lo tanto nos queda: | ||
'''Solución''' | |||
-- | $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz= \frac{5}{6} + \frac{1}{2}-\frac{5}{3}i=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i$ | ||
---- | |||
Re elaborado por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]] | |||
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 23:01 14 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 578: | Línea 590: | ||
[[Archivo:Eje23.5.2.png|thumb|Figura 5.2.10 figura para el problema 23]] | [[Archivo:Eje23.5.2.png|thumb|Figura 5.2.10 figura para el problema 23]] | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para parametrizar $y=-x^2+1$ | Para parametrizar $y=-x^2+1$ | ||
Línea 612: | Línea 622: | ||
\[ | \[ | ||
\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= | \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= | ||
\] | \] | ||
\[ | |||
=(1-i) \int_{0}^{1} \! 1 \, dt - 3\int_{0}^{1} \! t \, dt + (7+3i) \int_{0}^{1} \! t^{2} \, dt + (2-8i) \int_{0}^{1} \! t^{3} \,dt - 5 \int_{0}^{1} \! t^{4} \,dt +2i \int_{0}^{1} \! t^{5} \,dt | |||
\] | |||
'''Solución''' | |||
\[ | \[ | ||
Línea 622: | Línea 638: | ||
--[[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 20:13 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 20:13 14 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 629: | Línea 646: | ||
=== Ejercicio 24 === | === Ejercicio 24 === | ||
Evalué ${\displaystyle \int_{c}(z^{2}-z+2)dz}$ donde $c$ es el cuarto | |||
de circulo en el primer cuadrante con | de circulo en el primer cuadrante con orientación negativa | ||
'''Procedimiento''' | |||
Proponemos la | Proponemos la parametrización de $c=e^{it}$ con $\frac{\pi}{2}\leq t\leq0$ | ||
Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$ | Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$ | ||
Así, tendríamos que calcular | |||
\[ | \[ | ||
{\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+ | {\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+2)ie^{it}dt}} | ||
\] | \] | ||
Línea 652: | Línea 671: | ||
\] | \] | ||
'''Solución''' | |||
\[ | \[ | ||
Línea 657: | Línea 677: | ||
\] | \] | ||
[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 18:47 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 18:47 14 jun 2015 (CDT) | |||
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Línea 668: | Línea 689: | ||
</math> | </math> | ||
'''Procedimiento''' | |||
El teorema de acotamiento nos dice <math> \mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML | El teorema de acotamiento nos dice <math> \mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML | ||
</math>, donde L es la longitud de la | </math>, donde L es la longitud de la circunferencia(perímetro), | ||
entonces: | entonces: | ||
Línea 731: | Línea 752: | ||
</math> | </math> | ||
Juntando los resultados obtenidos se tiene finalmente: | |||
'''Solución''' | |||
: <math>\mid\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz\mid\leq\frac{10\pi e^{5}}{24} | : <math>\mid\oint\frac{e^{z}}{z^{2}+1}dz\mid\leq\frac{10\pi e^{5}}{24} | ||
Línea 739: | Línea 762: | ||
</math> | </math> | ||
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Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 13:02 14 jun 2015 (CDT) | Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 13:02 14 jun 2015 (CDT) | ||
---- | |||
===Ejercicio 26=== | |||
'''Encontrar un límite superior para el valor absoluto de la integral dada a lo largo del contorno indicado.''' | |||
$\oint_{c} \frac{1}{z^2-2i}dz $ | |||
donde C es la mitad derecha del círculo |z|=6 , de z=-6i a z=6i | |||
'''Procedimiento''' | |||
Tenemos una circunferencia con r=3 | |||
Tomamos el teorema de acotamiento | |||
$ |\oint_{c}f(z)dz|\leq ML ....(1) $ | |||
Donde L es la longitud de la curva, por tanto | |||
$ L=2\pi r=2\pi(3)=6\pi ....(2) $ | |||
Para encontrar el valor de la cota, tomamos el valor absoluto de la integral,donde | |||
$ |\frac{1}{z^2-2i}|=\frac{|1|}{|z^2-2i|} ....(3) $ | |||
pero | |||
$ |z_{1}+z_{2}|\geq |z_{1}|-|z_{2}| $ | |||
$ |z^2-2i|\geq |z^2|-|-2i| $ | |||
$ |z^2|-|-2i|\leq |z^2-2i| $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|z^2|-|-2i|} $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|36|-|-2i|} $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-\sqrt{4}\sqrt{i^2}} $ | |||
$ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-2i} $ | |||
$ \therefore \frac{1}{36-2i}=M=(máximo)....(4)$ | |||
'''Solución''' | |||
$ \therefore |\oint_{-6i}^{6i} \frac{1}{z^2-2i}dz|\leq \frac{6\pi}{36-2i} $ | |||
---- | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Samantha Martinez|Samantha Martinez]] ([[Usuario discusión:Samantha Martinez|discusión]]) 18:50 14 junio 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 27=== | ===Ejercicio 27=== | ||
Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral | |||
a lo largo del contorno indicado. | a lo largo del contorno indicado. | ||
$\int_{c}(z^{2}+4)dz$, donde$C$ es el segmento de recta $z=0\:a\:z=1+i$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
'''por el teorema de acotamiento''' | '''por el teorema de acotamiento''' | ||
Línea 762: | Línea 829: | ||
$L=\sqrt{2}$ | $L=\sqrt{2}$ | ||
podemos ver que el valor | podemos ver que el valor máximo que puede alcanzar $z$ es: | ||
$\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ | $\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ | ||
Línea 773: | Línea 840: | ||
$\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$ | $\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$ | ||
'''Conclusión''' | |||
por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de | por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de | ||
Línea 778: | Línea 848: | ||
--[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 18:02 14 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 18:02 14 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 786: | Línea 857: | ||
$\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$ | $\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para resolver el problema necesitaremos usar | Para resolver el problema necesitaremos usar | ||
Línea 801: | Línea 874: | ||
Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3) | Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3) | ||
Lo primero que se | Lo primero que se resolverá va a ser L pero antes de eso sabemos que | ||
la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de | la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de | ||
4i a 4. Ahora resolvemos usando (2) | 4i a 4. Ahora resolvemos usando (2) | ||
Línea 821: | Línea 894: | ||
pero nos enfocaremos en $z^{3}$ | pero nos enfocaremos en $z^{3}$ | ||
$\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}= | $\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}=4(16)=64$ | ||
esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3) | esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3) | ||
Línea 833: | Línea 906: | ||
Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema | Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema | ||
'''Conclusión''' | |||
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$ | $\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$ | ||
Nota: Salvo por el signo el ejercicio es correcto | |||
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq+\frac{\pi}{32}$ | |||
---- | |||
Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 15:56 14 jun 2015 (CDT) | Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 15:56 14 jun 2015 (CDT) | ||
----- | ----- | ||
===Ejercicio 29=== | |||
(a) utilice la definición 5.2.1 para demostrar que para cualquier curva suave C entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_{c} dz = z_{n} - z_{n}$ | |||
'''Inciso a''' | |||
Si $f$ es continua en una | Si $f$ es continua en una curva suave C dada por la parametrización $z(t) = x(t) iy(t), a \leq t \leq b$ , entonces | ||
Línea 865: | Línea 942: | ||
De acuerdo con el problema: | |||
Línea 873: | Línea 950: | ||
z_{n} - z_{0}\] | z_{n} - z_{0}\] | ||
b)Usar los resultados en la parte (a) para verificar la respuesta del problema 14. | |||
'''Inciso b''' | |||
$z_0=2i$ | |||
$z_n=-2i$ | |||
$\int _c dz=-4i$ | |||
Que es el mismo resultado que el problema 14. | |||
c) Cual es $\int _c dz $ si C es una curva simple cerrada. | |||
'''Inciso c''' | |||
Si es simple y cerrada: | |||
$z_n = z_0$ | |||
Por lo que | |||
$\int _c dz=0$ | |||
---- | |||
Realizado por: [[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 11:45 13 jun 2015 (CDT)Esther Sarai | |||
---- | ---- | ||
Línea 887: | Línea 983: | ||
'''Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.''' | '''Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.''' | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Sustituimos en la | '''Sol.''' La definición de la integral compleja es $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt$, para nuestro problema $f(z)=z$ con $z=z(t)=x(t)+iy(t)$ donde $x$ e $y$ están parametrizadas en $t:[a,b]$ y definamos $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ con $t_0=a$ y $t_n=b$. | ||
Sustituimos en la definición: | |||
$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$ | $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$ | ||
Línea 959: | Línea 1057: | ||
Por lo que hemos demostrado que: | Por lo que hemos demostrado que: | ||
'''Conclusión''' | |||
$\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$ | $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$ | ||
Línea 966: | Línea 1065: | ||
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 20:20 13 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 20:20 13 jun 2015 (CDT) | |||
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Revisión actual - 09:43 12 mar 2023
Ejercicios del capítulo 5, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 5.2
Ejercicio 1
Evalué la integral a lo largo del contorno indicado
Procedimiento
$\int_{c}\left(z+3\right)dz$ donde $C$ esta dada por $x=2t:y=4t-1;1\leq t\leq3$
para evaluar la integral de contorno sabemos que
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
Si $z(t)=x+yi=2t+(4t-1)i$
$z(t)^{\prime}=2+4i$
y
$f(z(t))=(2t+3)+(4t-1)i$
por lo tanto
$\intop_{1}^{3} [(2t+3)+(4t-1)i](2+4i)dt$
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt$
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt = -6t^{2}+10t+i8t^{2}+i10t \mid_{1}^{3}$
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt = (-24+102i)-(4+18i)$
y para finalizar simplificamos
Conclusión
$\intop_{1}^{3} [(-12t+10)+i(16t+10)]dt= -28+84i$
Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 17:28 13 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Evaluar la integral dada, a lo largo del contorno indicado.
Procedimiento
$\int_{c}\left(2\bar{z}-z\right)dz:donde$ c esta dada por $x=-t:y=t^{2}+2;0\leq t\geq2$
utilizamos la siguiente relación para curvas parametrizadas:
$\int_{c}f\left(z\right)dz=\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
Que cumple con la forma de calcular trabajo en funciones vectoriales sobre curvas paramétricas
Entonces si utilizamos esta relación podremos resolver la integral compleja como sigue:
$f\left(z\right)=2\bar{z}-z=2\left(x-iy\right)-\left(x+iy\right)=2x-2iy-x-iy=x-3iy$
$f\left(z\left(t\right)\right)=-t-3i\left(t^{2}+2\right)$
$z=x+iy$ entonces $z\left(t\right)=-t+i\left(t^{2}+2\right)$
$z^{\prime}\left(t\right)=-1+2it$
Usando estos resultados podemos escribir la integral de este modo:
Conclusión
$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{0}^{2}\left(-t-3i\left(t^{2}+2\right)\right)\left(-1+2it\right)dt=\int_{0}^{2}\left(6t^{3}+13t\right)dt+i\int_{0}^{2}\left(t^{2}+6\right)dt=\left[\frac{6}{4}t^{4}+\frac{13}{2}t^{2}\right]_{0}^{2}+i\left[\frac{1}{3}t^{3}+6t\right]_{0}^{2}=50+i14.666$
Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----
Ejercicio 3
Evalué la integral $\int_{c}(z^{2})dz$ a lo largo del contorno C dado $z(t) = 3t+2it$ con $-2\leq t\leq2$
Para resolver esta integral es necesario hacer uso de la expresión:
Procedimiento
$\int_{c}f\left(z\right)dz = \int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt$
donde:
$z(t) = 3t+2it$
$z^{\prime} (t) = 3 + 2i$
Sustituyendo estos valores en nuestra expresión para resolver la integral
$\int_{a}^{b}f\left(z\left(t\right)\right)z^{\prime}\left(t\right)dt=\int_{-2}^{2} (3t + 2it)^2 (3 + 2i)dt $
$= \int_{-2}^{2} (9t^2 + 2(6it^2) - 4t^2) (3 +2i)dt$
$= \int_{-2}^{2} (27t^2 + 36it^2 - 12t^2 + 18it^2 - 24t^2 - 8it^2)dt$
$= \int_{-2}^{2} (-9t^2 + 46it^2)dt$
$= -\int_{-2}^{2} 9t^2 dt + i\int_{-2}^{2} 46t^2 dt$
Evaluando la integral
$= -\frac{9}{3} [t^3]_{-2}^{2} + i\frac{46}{3} [t^3]_{-2}^{2}$
$= -3 (2^3 - (-2)^3) + i \frac{46}{3} (2^3 - (-2)^3)$
Conclusión
$\int_{c}f\left(z\right)dz= -48 + i \frac{736}{3}$
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 00:24 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Evaluar la integral a lo largo del contorno dado'
$\int_{c}(3z^{2}-2z)dz$ donde C es $z(t)=t+it^{2}$ con $0\leq t\leq1$
Procedimiento
Como ya nos dan la parametrización sólo debemos derivar respecto a t y substituir en la integral.
$dz=1+2it$
$\Longrightarrow\int_{c}(3z^{2}-2z)dz=\int_{0}^{1}[3(t+it^{2})^{2}-2(t+it^{2})][1+2it]dt$
$=\int_{0}^{1}[3(t^{2}+2it^{3}-t^{4})-2t-2it^{2})][1+2it]dt$
$=\int_{0}^{1}[3t^{2}+6it^{3}-3t^{4}-2t-2it^{2}][1+2it]dt$
$=\int_{0}^{1}[3t^{2}+6it^{3}-3t^{4}-2t-2it^{2}+6it^{3}-12t^{4}-6it^{5}-4it^{2}+4t^{3}]dt$
$=\int_{0}^{1}[6it^{5}+12it^{3}-6it^{2}-15t^{4}+4t^{3}+3t^{2}-2t]dt$
Y haciendo la integral queda de la forma:
Solución
$=(it^{6}+3it^{4}-2it^{3}-3t^{5}+t^{4}+t^{3}-2)|_{0}^{1}$$=(i+3i-2i-3+1+1-2)=-3+2i$
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 20:36 12 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Evalué la integral a lo largo del contorno indicado.
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz$ , donde $C$ es la mitad derecha de la circunferencia $\left|z\right|=1$ de
$z=-i$ a $z=i$
Procedimiento
$\left|z\right|=1$... $\left(1\right)$
Si $z=x+iy$...$\left(2\right)$ entonces
$x^{2}+y^{2}=1$... $\left(3\right)$
La ecuación $\left(2\right)$se puede parametrizar como :
$x=\cos\left(t\right)$ , $y=\sin\left(t\right)$, $-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}$
entonces:
$z\left(t\right)=\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)$
De modo que por el Teorema 5.2.1 :
$f\left(z\right)=\frac{z+1}{z}=\frac{\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+\sin\left(t\right)}$
y además $z\prime\left(t\right)=-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)$
Entonces:
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)}\right]\left[-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)\right]dt$
multiplicando la integral por:
$\frac{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}$
se obtiene:
$\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)}\right]\left[-\sin\left(t\right)+i\cos\left(t\right)\right]\left[\frac{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}{\cos\left(t\right)-i\sin\left(t\right)}\right]dt$
$=\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\cos\left(t\right)+i\sin\left(t\right)+1}{1}\right]\left[i\right]dt$
$=i\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\cos\left(t\right)+1\right]dt-\intop_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\left(t\right)dt$
$=i\left[\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\pi\right]-\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right]$
$=i\left[2+\pi\right]-\left[0-0\right]$
Solución
Por lo tanto:
$\intop_{C}\frac{z+1}{z}dz=\left[2+\pi\right]i$
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 01:50 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado
$\int_{c}|z|^{2}dz$ donde C es $x=t^{2}$, $y=\frac{1}{t}$, $1\leq t\leq2$
Procedimiento
Por las condiciones tenemos que:
$z(t)=t^{2}+i\frac{1}{t}$
$z'(t)=2t-i\frac{1}{t^{2}}$
Por otra parte, se observa que $|z|>0$, entonces
$\int_{c}|z|^{2}dz=\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(t^{4}+it-\frac{1}{t^{2}})(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-it^{2}-\frac{2}{t}+i\frac{1}{t^{4}}+2it^{2}+\frac{1}{t})dt$
$=\intop_{1}^{2}(2t^{5}-\frac{1}{t})dt+i\intop_{1}^{2}(\frac{1}{t^{4}}+t^{2})dt=(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}$
Evaluando
$(\frac{1}{3}t^{5}-lnt)_{1}^{2}+i(\frac{-1}{3t^{3}}+2t)_{1}^{2}=\frac{32}{3}-ln2-(\frac{1}{3}-ln1)+i[\frac{-1}{24}+4-(-\frac{1}{3}+2)]=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$
Solución
$\intop_{1}^{2}(t^{2}+i\frac{1}{t})^{2}(2t-i\frac{1}{t^{2}})dt=\frac{31}{3}-ln2+i\frac{55}{24}$
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 16:06 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Evalúe la integral a lo largo del contorno indicado.
$\oint_{c} Re(z) dz$ donde C es la circunferencia $|z|=1$
Procedimiento
Para nuestro caso la curva esta dada por $|z|=1$, pero sabemos que $z=x+iy$, por lo cual $x²+y²=1$. por lo cual podemos parametrizar de la siguiente manera.
$x(t)= \cos(t)$
$y(t)= \sin(t)$
$0\leq t\leq2\pi$
Ahora sustituimos a $z$ poniéndolo en términos de la parametrización propuesta.
$z(t)= \cos(t)+i \sin(t)$
$z'(t)= -\sin(t) + i \cos(t)$
como la integral solo nos la pide en la parte real de $z$tenemos:
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt$
$\intop_{0}^{2\pi}-cos(t)sen(t) dt+i\intop_{0}^{2\pi}cos²(t)dt$
Integrando tenemos que
$\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt= \frac{sen²(t)}{2}+\frac{t + sen(t)cos(t)}{2}|_{0}^{2\pi}$
evaluando tenemos: $\intop_{0}^{2\pi}[cos(t)(-sen(t)+icos(t))]dt=\frac{sen²(2\pi)}{2}+\frac{2\pi + sen(2\pi)cos(2\pi)}{2}-\frac{sen²(0)}{2}+\frac{0 + sen(t)cos(0)}{2}$
por lo cual para $c$ definida por $ |z|=1$
Conclusión
$\oint_{c} Re(z) dz= i\pi$
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 20:10 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Evalua la siguiente integral definida
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz$
Procedimiento
Donde $C$ es la línea recta $1<t<i$
$z=(1+i)t$ y $dz=(1+i)$
Sustituyendo los valores anteriores en la integral, tenemos:
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz=\intop_{C}(t^2-i(it)^3)(1+i)dt= \intop_{C}(t^2+t^3(1+i)dt=$
$ \intop_{1}^{i}(t^2+t^3+it^2+it^3dt= \frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$
Conclusión
Por lo tanto:
$\intop_{C}(x^2-iy^3)dz=\frac{-7}{12}+\frac{1}{12}i$
Nancy Martínez Durán (discusión) 16:07 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 14
Encuentra el valor de la integral, sobre el contorno dado. $\int_{C} dz$, donde C es la mitad izquierda de la elipse: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$, desde:$z=2i$, hasta $z=-2i$.
Procedimiento
Usando el hecho de que: $\int_{C}f(z)dz=\int_{C}(udx-vdy)+i\int_{C}(vdx+udy)$; donde $f(z)=u(x,y)+iv(x,y); x,y\in\mathbb{R}$, se tiene:
$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy$...(1)
Por otra parte: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1 \Longleftrightarrow x^2+9y^2=36\Longleftrightarrow x^2=36-9y^2\Longleftrightarrow |x|=\sqrt{36-9y^2} \Longrightarrow x=-\sqrt{36-9y^2}$. Como es la mitad izquierda de la elipse se toman las x's negativas.
de lo anterior: $x=-\sqrt{36-9y^2} \Longrightarrow dx=\frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}$.
Regresando a (1):
Conclusión
$\int_{C} dz=\int_{C}dx+i\int_{C}dy=\int_{2}^{-2} \frac{9ydy}{\sqrt{1-9y^2}}+i\int_{2}^{-2}dy=0+i(-2-2)=-4i$.
Por lo tanto: $\int_{C} dz=-4i$
Realizado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 19:55 19 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Evale la integral a lo largo del contorno C dado en la figura
Procedimiento
Como C es suave por tramos, integraremos sobre los tres tramos suaves
Primero tomaremos a la parte del contorno que va del punto z= 0+ i0 al punto z= 1+ 0i, Por lo que su parametrización es, con
además
además
Por lo que para la primera curva suave tenemos que
Ahora para que va desde el punto z=1+0i al punto z= 1+i, tenemos que su parametrización es, con
además
además
Por lo que para la segunda curva tenemos que la integral cumple
Para que va desde el punto z=1+i al punto z= 0+0i, tenemos que su parametrización es, con
además
además
Por lo que para la tercera integración
Por lo que resolviendo, tenemos que
Conclusión
Al sumar todas las partes tenemos que
Realizado por: Pablo (discusión) 18:05 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Evalue $\int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz $, e el contorno ilustrado en la figura siguiente:
Procedimiento
Primeramente se encuentra la parametrización de ese contorno, la más evidente es que:
\[ z(t)=i+(1-i)t \;\;\;\;0\leqq t\leqq 1 \;\;\;\;\;\; y \;\;\;\;\;z'(t)=1-i \] Entonces: \[ z^2=(i+(1-i)t)^2=i^2+2i(1-i)t+(1-i)^2 t^2=-1+2(1+i)t-2it^2 \] \[ z(t)=i+(1-i)t \] \[ z^2-z+2=(-2i)t^2+(2+2i+i)t+(-1-1-i)=-(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \] Se puede escribir la integral como: \[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ -(2i)t^2+(1+3i)t+(1-i) \right] \, (1-i)\,dt =(1-i) \left[ -2i\int_{0}^{1} \! t^2 \, dt +(1+3i)\int_{0}^{1} \! t \, dt+(1-i)\int_{0}^{1} \! 1 \, dt\right] ='"`UNIQ--h-12--QINU`"'(1-i) \left[ -2i\frac{(1^3-0^3)}{3} +(1+3i)\frac{(1^2-0^2)}{2}+(1-i)(1-0)\right]= \] \[ =(1-i) \left[ -2i\frac{1}{3} +(1+3i)\frac{1}{2}+(1-i)\right]=(1-i) \left[\frac{1}{2}+1+i\left(-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-1\right)\right]=(1-i)\left( \frac{3}{2}-i\frac{1}{6} \right)=\frac{4-5i}{3} \]
--Tlacaelel Cruz (discusión) 15:30 12 jun 2015 (CDT)
ejercicio 22
Evalúe $\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz$ de i a 1 a lo largo del contorno C dado en la figura
primero definimos y desarrollamos las siguientes expresiones
$z=x+yi$
$z^{2}=x^{2}+2xiy-y^{2}$
$-z=-x-yi$
Procedimiento
Sustituimos y simplificamos la expresión
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$
por propiedades de la integral sabemos que
$\intop_{c}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz=\intop_{c_{1}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz+\intop_{c2}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$
parametrizamos de la siguiente forma
$y=1$ , $0\leq x\leq1$
obtenemos que
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dz$
$z(x)=x+i=x+i$
$z'(x)=dx$
Entonces nuestra primera integral nos queda
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx$
$\intop_{c_{1}}(x^{2}+2xi-x-i+1)dx=\frac{1}{3}+i-\frac{1}{2}-i+1= \frac{5}{6}$
Ahora haremos la segunda integral:
$\intop_{c_{2}}\left(x^{2}+2xiy-y^{2}-x-yi+2\right)dz$
parametrizamos de la siguiente forma
$x=1$ , $1\leq y\leq0$
$z(y)=1+yi$
$z'(y)=idy$
por los tanto nuestra integral nos queda
$\intop_{1}^{0}\left(1^{2}+2iy-y^{2}-1-iy+2\right)idy=\intop_{1}^{0}\left(-y^{2}+iy+2\right)idy=-\intop_{0}^{1}\left(-y^{2}i-y+2i\right)dy$
lo cual nos da como resultado al calcularla
$-\left[-\frac{y^{3}i}{3}-\frac{y^{2}}{2}+2iy\right]|_{0}^{1}=-\left[-\frac{i}{3}-\frac{1}{2}+2i\right]=\frac{1}{2}-\frac{5}{3}i$
por lo tanto nos queda:
Solución
$\intop_{c}\left(z^{2}-z+2\right)dz= \frac{5}{6} + \frac{1}{2}-\frac{5}{3}i=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:01 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 23
Evalúe $\int_C (z^2-z+2)dz$ de $i$ a $1$ a lo largo del contorno $C$ dado en la figura.
Procedimiento
Para parametrizar $y=-x^2+1$
Digo que: $x=t$ , $y=1-t^2$
Entonces : $\vec{z}(t)=<t,(1-t^2)>$ , $t\in[0,1]$
Si $z=x+iy$
$C:$ queda parametrizado por
$z(t)=t+i(1-t^2)$, $t[0,1]$
y $dz= (1-2it)dt$
Ahora: $z^{2}=\left(t+i(1-t)^{2}\right)^{2}$
y sustituyendo en mi función:
$z^2-z+2=(t+i(1-t^2))^{2}-\left(t+i(1-t^2)\right)+2=\left(1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right)$
La integral queda: \[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3} -t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= \frac{4}{3}-\frac{5}{3}i \]
Por que:
\[ \int_{C} \! \left( z^2-z+2 \right) \, dz =\int_{0}^{1} \! \left[ (1-i)-(1-2i)t+(3+i)t^{2}-2it^{3}-t^{4}\right] \, (1-2it)\,dt= \]
\[ =(1-i) \int_{0}^{1} \! 1 \, dt - 3\int_{0}^{1} \! t \, dt + (7+3i) \int_{0}^{1} \! t^{2} \, dt + (2-8i) \int_{0}^{1} \! t^{3} \,dt - 5 \int_{0}^{1} \! t^{4} \,dt +2i \int_{0}^{1} \! t^{5} \,dt \]
Solución
\[ =1-i-\frac{3}{2}+\frac{7}{3}+i+\frac{1}{2}-2i-1+\frac{i}{3}=\frac{4}{3}-\frac{5}{3}i \]
Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 20:13 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 24
Evalué ${\displaystyle \int_{c}(z^{2}-z+2)dz}$ donde $c$ es el cuarto de circulo en el primer cuadrante con orientación negativa
Procedimiento
Proponemos la parametrización de $c=e^{it}$ con $\frac{\pi}{2}\leq t\leq0$
Sabemos que la integral esta dada por ${\displaystyle \int_{c}f(z)dz={\displaystyle \int_{a}^{b}f(z(t))z^{\prime}(t)dt}}$
Así, tendríamos que calcular
\[ {\displaystyle \int_{\pi/2}^{0}(z(t)^{2}-z(t)+2)z(t)^{\prime}dt=-{\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(e^{2it}-e^{it}+2)ie^{it}dt}} \]
\[
\Rightarrow-{\displaystyle i\int_{0}^{\pi/2}(e^{3it}-e^{2it}+2e^{it})dt=-i\left({\displaystyle \frac{e^{3it}}{3i}-{\displaystyle \frac{e^{2it}}{2i}+{\displaystyle \frac{2e^{it}}{i}}}}\right)|_{0}^{\pi/2}=\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}}
\]
\[
\Rightarrow\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}=\left({\displaystyle \frac{-\cos3t}{3}}+{\displaystyle \frac{\cos2t}{2}-2\cos t}\right)|_{0}^{\pi/2}+i\left({\displaystyle \frac{-\sin3t}{3}+{\displaystyle \frac{\sin2t}{2}-2\sin t}}\right)|_{0}^{\pi/2}
\]
Solución
\[ \Rightarrow\left({\displaystyle \frac{-e^{3it}}{3}+\frac{e^{2it}}{2}-2e^{it}}\right)|_{0}^{\pi/2}={\displaystyle \frac{4}{3}+i{\displaystyle \frac{5}{2}}} \]
Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 18:47 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 25
Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral a lo largo del contorno indicado
- donde C es la circuferencia :
Procedimiento
El teorema de acotamiento nos dice , donde L es la longitud de la circunferencia(perímetro),
entonces:
- y
Ahora:
analizamos el denominador:
La desiguealdad del triangulo nos dice que:
- , entonces
Por otro lado, la definición de una función exponencial compleja es:
sacando la magnitud(módulo)de ambos miembros de la ecuación, factorizando se tiene:
Juntando los resultados obtenidos se tiene finalmente:
Solución
Elaborado por Ricardo Garcia Hernandez--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 13:02 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 26
Encontrar un límite superior para el valor absoluto de la integral dada a lo largo del contorno indicado.
$\oint_{c} \frac{1}{z^2-2i}dz $
donde C es la mitad derecha del círculo |z|=6 , de z=-6i a z=6i
Procedimiento
Tenemos una circunferencia con r=3
Tomamos el teorema de acotamiento
$ |\oint_{c}f(z)dz|\leq ML ....(1) $
Donde L es la longitud de la curva, por tanto
$ L=2\pi r=2\pi(3)=6\pi ....(2) $
Para encontrar el valor de la cota, tomamos el valor absoluto de la integral,donde
$ |\frac{1}{z^2-2i}|=\frac{|1|}{|z^2-2i|} ....(3) $
pero
$ |z_{1}+z_{2}|\geq |z_{1}|-|z_{2}| $ $ |z^2-2i|\geq |z^2|-|-2i| $ $ |z^2|-|-2i|\leq |z^2-2i| $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|z^2|-|-2i|} $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{|36|-|-2i|} $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-\sqrt{4}\sqrt{i^2}} $ $ \frac{1}{|z^2-2i|}\leq \frac{1}{36-2i} $ $ \therefore \frac{1}{36-2i}=M=(máximo)....(4)$
Solución
$ \therefore |\oint_{-6i}^{6i} \frac{1}{z^2-2i}dz|\leq \frac{6\pi}{36-2i} $
Realizado por: Samantha Martinez (discusión) 18:50 14 junio 2015 (CDT)
Ejercicio 27
Determine una cota superior para el valor absoluto de la integral a lo largo del contorno indicado.
$\int_{c}(z^{2}+4)dz$, donde$C$ es el segmento de recta $z=0\:a\:z=1+i$
Procedimiento
por el teorema de acotamiento
si $f$ es continua sobre una curva suave $C$y si $\mid f(z)\mid\leq M\;\forall,z\epsilon C$, entonces $\mid\int_{c}f(z)dz\mid\leq ML$, donde $L$ es la longitud de $C$
la longitud $L$ de $z=0\:a\:z=1+i$ utilizando el teorema de pitagoras
$L=\sqrt{2}$
podemos ver que el valor máximo que puede alcanzar $z$ es:
$\mid z\mid=\mid1+i\mid=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
ademas:
$\mid z^{2}+4\mid\leq\mid z^{2}\mid+\mid4\mid=\mid z^{2}\mid+4=\mid z\mid^{2}+4=\sqrt{2}^{2}+4=2+4=6$
por el teorema de acotamiento tenemos:
$\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid\leq6\sqrt{2}$
Conclusión
por lo tanto podemos decir que $6\sqrt{2}$es una cota superior de $\mid\int_{c}(z^{2}+4)dz\mid$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:02 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 28
Determinar una cota superior para el valor absoluto de la integral $\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz$ donde c va de $z=4i$ a $z=4$ y $\left|z\right|=4$
Procedimiento
Para resolver el problema necesitaremos usar
$\left|\int_{c}f\left(z\right)dz\right|\leq ML$ ...(1)
Donde L es la longitud de arco dado por
$L=\int_{c}\sqrt{\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{d\psi}{dt}\right)^{2}}dt$ ...(2)
y M es una constante real
Tambien $\left|z\right|^{2}=16$ ...(3)
Lo primero que se resolverá va a ser L pero antes de eso sabemos que la integral es un cuarto de circulo con signo negativo ya que va de 4i a 4. Ahora resolvemos usando (2)
Antes definiremos las variables y sus derivadas
$x=\phi\left(t\right)=4cost\implies\frac{dx}{dt}=-4sent$ , $y=\psi\left(t\right)=4sent\Longrightarrow\frac{dy}{dt}=4cost$
Ya tenemos todo lo necesario para usar (2)
$L=\int\sqrt{\left(-4sent\right)^{2}+\left(4cost\right)^{2}}dt=\int\sqrt{16sen^{t}+16cos^{2}t}dt=\int\sqrt{\left(16\right)\left(sen^{2}t+cos^{2}t\right)}dt=\int\sqrt{16}=\int4dt$
Poniendo los limites de integracion adecuados tenemos que:
$L=4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}dt=4t\mid_{\frac{\pi}{2}}^{0}=4t\left(o-\frac{\pi}{2}\right)=-2\pi$ Recordando que el signo negativo nos da por la dirección.
Ahora sacaremos M y para hacerlo necesitamos tomar la norma de $\frac{1}{z^{3}}$ pero nos enfocaremos en $z^{3}$
$\left|z^{3}\right|=\left|z^{2}z\right|=\left|z^{2}\right|\left|z\right|=z^{2}\left|z\right|=4z^{2}=4(16)=64$ esto es posible gracias al dato de $\left|z\right|=4$ y a (3)
por lo tanto tenemos que
$\left|\frac{1}{z^{3}}\right|=\frac{1}{64}$
Multiplicamos Lpor M
$LM=-2\pi\left(\frac{1}{64}\right)=-\frac{\pi}{32}$
Ahora usando (1) obtenemos la solución del problema
Conclusión
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq-\frac{\pi}{32}$
Nota: Salvo por el signo el ejercicio es correcto
$\left|\int_{c}\frac{1}{z^{3}}dz\right|\leq+\frac{\pi}{32}$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:56 14 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 29
(a) utilice la definición 5.2.1 para demostrar que para cualquier curva suave C entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_{c} dz = z_{n} - z_{n}$
Inciso a
Si $f$ es continua en una curva suave C dada por la parametrización $z(t) = x(t) iy(t), a \leq t \leq b$ , entonces
\[
\int_{c} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) z' (t) dt\]
Tenemos
\[
\int_{z_{0}}^{z_{n}} dz = \int_{a}^{b} z' (t) dt\]
Entonces
\[
\int_{a}^{b}[x'(t) + i y'(t)] dt = z\]
De acuerdo con el problema:
$b= z_{n} a= z_{0}$
\[ z_{n} - z_{0}\]
b)Usar los resultados en la parte (a) para verificar la respuesta del problema 14.
Inciso b
$z_0=2i$
$z_n=-2i$
$\int _c dz=-4i$
Que es el mismo resultado que el problema 14.
c) Cual es $\int _c dz $ si C es una curva simple cerrada.
Inciso c
Si es simple y cerrada:
$z_n = z_0$
Por lo que
$\int _c dz=0$
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 11:45 13 jun 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 30
Use la definición de la integral compleja para demostrar que para cualquier curva suave $C$ entre $z_0$ y $z_n$ se tiene que $\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$.
Procedimiento
Sol. La definición de la integral compleja es $\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt$, para nuestro problema $f(z)=z$ con $z=z(t)=x(t)+iy(t)$ donde $x$ e $y$ están parametrizadas en $t:[a,b]$ y definamos $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ con $t_0=a$ y $t_n=b$.
Sustituimos en la definición:
$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt$
Si $z(t)=x(t)+iy(t)$ entonces $z'(t)=x'(t)+iy'(t)$. Por comodidad se omitirá la notación $x(t)$ y demás considerándose que todas las variables son funciones implícitas de $t$.
Sustituyendo:
$\int_Cf(z)dz=\int_{t_0}^{t_n}z(t)z'(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}(x+iy)(x'+iy')dt=\int_{t_0}^{t_n}[xx'+ixy'+iyx'-yy']dt$
$\int_Czdz=\int_{t_0}^{t_n}[(xx'-yy')+i(xy'+x'y)]dt=\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt+i\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$
e identificamos las partes de la integral
$\int_{a}^{b}f_1(t)dt=\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt$ y $\int_{a}^{b}f_2(t)=\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$
las cuales son integrales reales. Del teorema fundamental del cálculo se tiene que si $F(t)$ es una anti-derivada de una función continua (las cuales deben de ser para este problema dado que las funciones $x(t)$ e $y(t)$ son continuas en la curva $C$), es decir, $F$ es una función para la que $F'(t)=f(t)$, entonces la integral definida de $f$ en el intervalo $[a,b]$ es el número
$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$
por lo que se procede a encontrar las funciones $F_1(t)$ y $F_2(t)$.
Para la parte real se tiene $\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt$, por lo que una opción es $F_1(t)=\frac{1}{2}(x^2-y^2)$, lo cual puede comprobarse al derivar implícitamente respecto a $t$ con la regla de la cadena. Así, para la parte real de la integral $\int_Czdz$ se tiene
$\int_{t_0}^{t_n}(xx'-yy')dt=\frac{1}{2}(x^2-y^2)|_{t_0}^{t_n}=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)-(x(t_0)^2-y(t_0)^2)]$
La parte imaginaria es $\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt$ y notamos que lo de entre paréntesis es la derivada de un producto por lo que $F_2(t)=xy$, así
$\int_{t_0}^{t_n}(xy'+x'y)dt=xy|_{t_0}^{t_n}=x(t_n)y(t_n)-x(t_0)y(t_0)$
Sustituyendo
$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)-(x(t_0)^2-y(t_0)^2)]+i[x(t_n)y(t_n)-x(t_0)y(t_0)]$
$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)+i(2x(t_n)y(t_n))]-\frac{1}{2}[(x(t_0)^2-y(t_0)^2)+i(2x(t_0)y(t_0))]$
Dado que $z_n=z(t_n)=x(t_n)+iy(t_n)$ y $z_0=z(t_0)=x(t_0)+iy(t_0)$, entonces por las reglas de multiplicación
$z_0^2=[x(t_0)+iy(t_0)]^2=[x(t_0)^2-y(t_0)^2]+i[2x(t_0)y(t_0)]$ y,
$z_n^2=[x(t_n)+iy(t_n)]^2=[x(t_n)^2-y(t_n)^2]+i[2x(t_n)y(t_n)]$
Sustituyendo
$\int_Czdz=\frac{1}{2}[(x(t_n)^2-y(t_n)^2)+i(2x(t_n)y(t_n))]-\frac{1}{2}[(x(t_0)^2-y(t_0)^2)+i(2x(t_0)y(t_0))]=\frac{1}{2}z_n^2-\frac{1}{2}z_0^2$
Por lo que hemos demostrado que:
Conclusión
$\int_Czdz=\frac{1}{2}(z_n^2-z_0^2)$
para toda curva $C$ suave entre los puntos $z_0$ y $z_n$.
Realizado por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:20 13 jun 2015 (CDT)