Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap1.2»
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Línea 385: | Línea 385: | ||
Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos: | Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos: | ||
$|z_1|= |10+8i|= \sqrt{10² + 8²}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx{12.8}$ | |||
$|z_2|= |11-6i|= \sqrt{11² + 6²}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}\approx{12.5}$ | |||
Por lo anterior tenemos que: | Por lo anterior tenemos que: | ||
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Con lo cual tenemos: | Con lo cual tenemos: | ||
$|z_1 - z'|=\sqrt {(10-1)²+(8-1)²}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx{11.4}$ | |||
$|z_2 - z'|=\sqrt {(11-1)²+(-6-1)²}=\sqrt{100+49}=\sqrt{149}\approx{12.2}$ | |||
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===Ejercicio 17=== | ===Ejercicio 17=== | ||
''' | Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen la ecuación dada. | ||
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'''Procedimiento''' | |||
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$ Re\left [ (1+i)z-1 \right ]=0 $ | |||
Sea $z=x+iy$ y despejando en la ecuación anterior. | |||
$ Re\left [ (1+i)(x+iy)-1 \right ]=0 $ | |||
Desarrollando el producto y ordenando en la parte real e imaginaria. | |||
$ Re\left [ (x-y-1)+i(x+y) \right ]=0 $ | |||
Por lo que la parte real de la anterior igualdad es: | |||
$ x-y-1=0 $ | |||
'''Resultado''' | |||
$ y=x-1 $ | |||
La cual es la recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0) | |||
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Usando la propiedad <math> \mid z_{1}z_{2}\mid=\mid z_{1}\mid\cdot\mid z_{2}\mid | Usando la propiedad <math> \mid z_{1}z_{2}\mid=\mid z_{1}\mid\cdot\mid z_{2}\mid | ||
</math> y | </math> y $ \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leq\mid z_{1}-z_{2}\mid$ | ||
: | : $\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid=\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid$ | ||
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid\mid z^{2}\mid-3\mid\cdotp\mid\mid z^{2}\mid-2\mid$ | |||
sustituyendo y simplificando se tiene | sustituyendo y simplificando se tiene | ||
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid4-3\mid\cdotp\mid4-2\mid$ | |||
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq2$ | |||
Entonces si $M=\frac{1}{2}$y $z=2$ | |||
$\therefore\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}.$ | |||
'''Solución''' | '''Solución''' | ||
$\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}$ | |||
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Línea 754: | Línea 754: | ||
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=== | === Ejercicio 31 === | ||
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada. | |||
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$ | |||
''' Procedimiento ''' | |||
Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como: | Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como: | ||
Línea 769: | Línea 769: | ||
cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos: | cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos: | ||
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$ | $\bigl|z\bigr|-z=2+i$ | ||
Línea 792: | Línea 791: | ||
$a=-\frac{3}{4}$ | $a=-\frac{3}{4}$ | ||
'''Solución ''' | |||
Por lo tanto la solución de la ecuación es: | Por lo tanto la solución de la ecuación es: | ||
Línea 797: | Línea 798: | ||
$z=-\frac{3}{4}-i$ | $z=-\frac{3}{4}-i$ | ||
32. | ---- | ||
Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:15 12 mayo 2015 (CDT) | |||
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=== Ejercicio 32 === | |||
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada. | |||
$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$ | $\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
$a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$ | $a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$ | ||
Línea 815: | Línea 825: | ||
$a^{2}-6a+5=0$ | $a^{2}-6a+5=0$ | ||
Se tienen las | Se tienen las soluciones | ||
$a=5$ | $a=5$ | ||
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$a=1$ | $a=1$ | ||
Por lo que hay dos | '''Solución''' | ||
Por lo que hay dos soluciones a la ecuación planteada, estas son: | |||
$z_{1}=5+2i$ | $z_{1}=5+2i$ | ||
$z_{2}=1+2i$ | $z_{2}=1+2i$ | ||
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Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:15 12 mayo 2015 (CDT) | Ejercicio resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 16:15 12 mayo 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 36=== | ===Ejercicio 36=== | ||
'''¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?''' | '''¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?''' | ||
'''Procedimiento''' | '''Procedimiento''' | ||
Definimos a <math>z \epsilon C</math> en donde <math>z= a+ bi</math> con <math>a, b \epsilon R</math>, donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z. | Definimos a <math> z \epsilon C</math> en donde <math>z= a+ bi</math> con <math>a, b \epsilon R</math>, donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z. | ||
<math>|z|= \sqrt{a^2 + b^2}</math> | <math>|z|= \sqrt{a^2 + b^2}</math> | ||
Línea 875: | Línea 890: | ||
'''Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.''' | '''Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.''' | ||
'''Procedimiento''' | |||
Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son: | Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son: | ||
Línea 897: | Línea 914: | ||
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$ | $\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones: | Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones: | ||
Línea 906: | Línea 925: | ||
O cualquier combinación como la anterior. | O cualquier combinación como la anterior. | ||
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] 22:57 12 mayo 2015 (CDT) | ---- | ||
Resuelto por: [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] 22:57 12 mayo 2015 (CDT) | |||
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=== Ejercicio 44 === | === Ejercicio 44 === | ||
Suponga que $z_1 \neq z_2$ | |||
Interpretar $Re(z_1 \bar{z_2})=0$ gráficamente en términos del vector $z_1$ y $z_2$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Sea $z_1=x_1+iy_1$ | |||
$z_2=x_2+i y_2$ $\rightarrow$ $\bar{z_2} = x_2- i y_2$ | |||
El producto de $z_1$ con el complejo conjugado de $z_2$ da como resultado: | |||
$(z_1 \bar{z_2})= (x_1+ i y_1)(x_2-i y_2)=(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2) $ | |||
Con esto y con la ecuación planteada se tiene: | |||
$Re(z_1 \bar{z_2})=Re((x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)) \rightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2=0$ | |||
Ordenando las partes de cada vector en cada lado, se tiene: | |||
$\frac{x_1}{y_1}=-\frac{y_2}{x_2}$ | |||
Identificando esto como la pendiente de cada vector: | |||
$m_1=-\frac{1}{m_2}$ | |||
o | |||
$m_1 m_2 = -1$ | |||
'''Solución''' | |||
Por lo que gráficamente, esto nos indica que los vectores son perpendiculares entre si. | |||
=== Ejercicio 47=== | === Ejercicio 47=== | ||
Demostrar: | |||
a) |z|=|−z| | |||
'''Procedimiento''' | |||
Suponer que z=a+bi y -z=-(a+bi) | |||
Y sabemos la definición de modulo: | |||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Entonces | |||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces: | Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces: | ||
Línea 939: | Línea 991: | ||
Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
|z|=|-z| | |||
b)|z|=|z*| | |||
Suponer que z=a+bi y z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la | |||
'''Procedimiento''' | |||
Suponer que z=a+bi y z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la definición de modulo, tenemos: | |||
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Por la razón anterior, no es necesario poner el signo menos en la siguiente igualdad. | |||
$|z*|=\sqrt{a^2+b^2}$ | |||
Por lo tanto: | |||
|z|=|z*| | |||
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[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 19:38 15 mayo 2015 (CDT) | [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 19:38 15 mayo 2015 (CDT) | ||
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Revisión actual - 07:23 23 feb 2023
Ejercicios del capítulo 1 Números complejos y el plano complejo, sección 2 El Plano Complejo del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Clasificación CL: QA331.7 .Z55 2003 [1].
Sección 1.2
Ejercicio 1
Interpreta $z_{1}$ y $z_{2}$ como vectores. Gráfica $z_{1}$, $z_{2}$ e indica cual es la suma y diferencia como vectores
$z_{1} = 4+2i, z_{2} = -2+5i; z_{1}+z_{2}, z_{1}-z_{2}$
a) Suma de vectores
Procedimiento
Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:
Graphics[{ Thick, Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}], Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}], Blue, Arrow[{{0, 0}, {2, 7}}], Gray, Dashed, Arrow[{{0 + 4, 0 + 2}, {2, 7}}], Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {2, 7}}] }, Frame -> True]
Solución
La suma es:
$z_{1}+z_{2} = (4+2i)+(-2+5i) = (4-2)+i(2+5) = 2+7i$
b) Diferencia de vectores
Procedimiento
Nota: Si se desea visualizar la grafica, utilizar Mathematica con el siguiente pseudocodigo:
Graphics[{ Thick, Arrow[{{0, 0}, {4, 2}}], Arrow[{{0, 0}, {-2, 5}}], Blue, Arrow[{{0 - 2, 0 + 5}, {4, 2}}] }, Frame -> True]
Solución
La diferencia es:
$z_{1}-z_{2} = (4+2i)-(-2+5i) = (4+2)+i(2-5) = 6-3i$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 12:11 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Interpreta z1 y z2 como vectores. Gráfica z1, z2 e indica cual es la suma y diferencia como vectores
$z_{1} = 1-i$ , $z_{2} = 1+i$ ; $z_{1}+z_{2}$ , $z_{1}-z_{2}$
a) Suma de Vectores:
Procedimiento
$z_{1}+z_{2} = (1-i)+(1+i) = (1+1)+(-1+1)i = 2+0i$
Solución
b)Diferencia de vectores:
Procedimiento
$z_{1}-z_{2} = (1-i)-(1+i) = (1-1)+(-1-1)i = 0-2i$
Solución
Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:27 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Dado que $z_{1}=5-2i$ y $z_{2}=-1-i$, encuentre el vector $z_{3}$ en la misma dirección que $z_{1}+z_{2}$ pero 4 veces más largo
Procedimiento
Primeramente debemos calcular la suma $z_{1}+z_{2}$
A continuación multiplicamos por 4 para cuadriplicar el tamaño
Solución
Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:10 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Determinar si los puntos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$ son los vértices de un triángulo rectángulo.
Tenemos que :
Graficando $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$.
Procedimiento
FALTA IMAGEN
Se observa que se a construido un triángulo rectángulo, con segmentos de rectas A,B,C. Si utilizamos el teorema de Pitágoras encontraremos la hipotenusa C. donde
Por tanto es igual al módulo del número complejo Z.
Por tanto tomamos que :
Entonces podemos construir los tres segmentos de rectas :
Por lo que tenemos una interpretación geométrica de módulos de los complejos $z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$,que corresponden a las distancias entre los puntos.
Solución
Entonces A,B,C, forman los segmentos de los vértices $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, formando un triángulo rectángulo.
Realizado por: Samantha Martínez (Usuario discusión:Samantha Martínez) 23:13 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Encuentra el módulo de: $(1-i)^{2}$
Procedimiento
desarrollando el cuadrado se tiene :
$(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i$
Entonces:
$|-2i|=\sqrt{4}=2$
Así:
$|(1-i)^{2}|=2$
Además:
$|(1-i)|^{2}=(\sqrt{1+1})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$
Solución
$|(1-i)|^{2}=2$
Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:01 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Encuentra el módulo de: $i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right )$:
Procedimiento
Para solucionar este problema debemos de realizar primeramente el producto para obtener:
Después se realizaran la sumas y la restas correspondientes obteniendo:
Así para sacar el valor absoluto de este numero bastara con sumar los cuadrados de la parte real y la parte que a acompaña ala unidad imaginaria y a esto sacarle la raíz cuadrada así tendremos:
finalmente:
$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $
Solución
$\left |i(2-i)-4\left ( 1+\frac{1}{4} i\right ) \right |= \sqrt{10} $
Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:49 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Encontrar el módulo de: $\frac{2i}{3-4i}$
Procedimiento
Primero se expresa el número de la forma $a+bi$ luego entonces:
Se multiplica por el conjugado
\[ \frac{2i}{3-4i}=(\frac{2i}{3-4i})(\frac{3+4i}{3+4i})=\frac{-8+6i}{9+16}=\frac{-8+6i}{25}=-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i \]
Ahora, esto implica que:
\[ |-\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i|=\sqrt{\frac{64}{625}+\frac{36}{625}}=\sqrt{\frac{100}{625}}=\frac{10}{25} \]
Por tanto: $|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$
Solución
$|\frac{2i}{3-4i}|=\frac{10}{25}$
Realizado por: A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:54 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Encuentra el modulo de $\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$
Procedimiento
Sea $z=\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}$ lo reescibo de manera $z=a+ib$, para ello multiplico por su conjugado en cada parte y resuelvo
$z=(\frac{1-2i}{1+i})(\frac{1-i}{1-i})+(\frac{2-i}{1-i})(\frac{1+i}{1+i})=\frac{3-3i}{2}+\frac{3+i}{2}=\frac{3-3i+3+i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i$
Ahora solo falta obtener el modulo
$|z|=|3-i|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
Por lo tanto
$|z|=|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$
Solución
$|\frac{1-2i}{1+i}+\frac{2-i}{1-i}|=\sqrt{10}$
Realizado por: Fernando Vazquez V. (discusión) 01:32 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Dado z = x + iy. Expresar la cantidad en términos de x e y.
$|z-1-3i|^{2}$
Procedimiento
Sustituimos "z" por la expresión que se nos dio
$|(x+yi)-1-3i|^{2}$
agrupamos las partes reales y las partes imaginarias y factorizamos la unidad imaginaria "i"
$|(-1+x)+(-3i+yi)|^{2}$=$|(-1+x)+(-3+y)i|^{2}$
podemos hacer un cambio de variable para ilustrar de una forma óptima
$\alpha=-1+x$ ; $\beta=-3+y$
$|\alpha+\beta i|^{2}$
sabemos que $|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}$, donde $z=\alpha+\beta i$
sustituimos, desarrollamos y simplificamos
$|z|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}= (1-2x+x^{2})+ (9-6y+y^{2})= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $
Solución
$ z= x^{2} + y^{2}-2x-6y+10 $
Realizado por: *Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 14:23 15 mayo 2015 (CDT)
Nota:
Corregido por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 21:35 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 14
Expresa $|z+5\bar{z}|$ en términos de $x$ e $y$ si $z=x+y i$
Procedimiento
Para poder obtener el modulo de la expresión es necesario determinar a $z$ y $\bar{z}$
Se multiplica $\bar{z}$ por 5 y se realiza la suma de los numero complejos
Ahora tenemos un nuevo numero complejo $z_1$ y es a este al que se le sacara el modulo
$|z_{1}|=\sqrt{(z_{1})(z_{1}*)}=\sqrt{(6x-4iy)(6x+4iy)}=\sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)}$
Solución
$|z_{1}|= \sqrt{(36(x)^2)+(16(y)^2)} $
Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 09:56 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determinar cual de los dos números complejos dados es mas cercano al origen. ¿Cuál es más cercano a ?:
a) ¿Cuál es el más cercano al origen?
Procedimiento
Primeramente definimos el origen como:
Además.
Por lo cual para conocer que número complejo es mas cercano al origen únicamente debemos considerar el modulo de cada uno de los números, por lo cual tenemos:
$|z_1|= |10+8i|= \sqrt{10² + 8²}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx{12.8}$
$|z_2|= |11-6i|= \sqrt{11² + 6²}=\sqrt{121+36}=\sqrt{157}\approx{12.5}$
Por lo anterior tenemos que:
$|z_2|<|z_1|$
Por lo que $z_1$ es mas cercano al origen.
Solución
$z_1$ es mas cercano al origen.
b) ¿Cuál es más cercano a ?
Procedimiento
Ahora bien para conocer cual de los dos números es mas cercano a procedemos a sacar la diferencia de con y con .
Con lo cual tenemos: $|z_1 - z'|=\sqrt {(10-1)²+(8-1)²}=\sqrt{81+49}=\sqrt{130}\approx{11.4}$
$|z_2 - z'|=\sqrt {(11-1)²+(-6-1)²}=\sqrt{100+49}=\sqrt{149}\approx{12.2}$
Por lo anterior tenemos que:
.
Por lo que $z_1$ es más cercano a $1+i$
Solución
$z_1$ es más cercano a $1+i$
Realizado por: Anahi Limas (discusión) 22:36 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Determine cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen. ¿Cuál está más cerca de 1+i?
$z{_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i $
$z_2=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}i$
a) ¿Cuál de los dos números complejos dados es el más cercano al origen?
Procedimiento
Analicemos cuál de los números es más cercano al origen.
La distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ cualesquiera es:
$ \left | z_2-z_1 \right |= \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $
La distancia al origen de $z_1$ es:
$ \left | z_1-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-0 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{5}}{4} \approx 0.559$
La distancia al origen del $z_2$ es:
$ \left | z_2-0 \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-0 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -0\right )^{2}}= \frac{\sqrt{17}}{6} \approx 0.687$
Solución
$z_1$ Es el más cercano al origen.
b) ¿Cuál está más cerca de 1+i?
Procedimiento
La distancia de 1+i a $z_1$ es:
$ \left | z_1-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{1}{2}-1 \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{4} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{4} \approx 1.346$
La distancia de 1+i a $z_2$ es:
$ \left | z_2-(1+i) \right |= \sqrt{\left (\frac{2}{3}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{1}{6} -1\right )^{2}}= \frac{\sqrt{29}}{6} \approx 0.8975$
Solución
$ \left | z_2-(1+i) \right | $ < $ \left | z_1-(1+i) \right |$
Por lo que $z_2$ Está más cerca de $1+i$
Realizado por:
- Martin Flores Molina (discusión) 13:08 15 mayo 2015 (CDT)***
- Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 17:51 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen la ecuación dada.
Procedimiento
$ Re\left [ (1+i)z-1 \right ]=0 $
Sea $z=x+iy$ y despejando en la ecuación anterior.
$ Re\left [ (1+i)(x+iy)-1 \right ]=0 $
Desarrollando el producto y ordenando en la parte real e imaginaria.
$ Re\left [ (x-y-1)+i(x+y) \right ]=0 $
Por lo que la parte real de la anterior igualdad es:
$ x-y-1=0 $
Resultado
$ y=x-1 $
La cual es la recta que pasa por los puntos (0,-1) y (1,0)
Ejercicio 18
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $
Procedimiento
Tenemos que $z = x+y i$ y $\bar{z} = x - y i$
Entonces podemos escribir,
$[Im (i (x - y i)]^2 = 2$
Multiplicando i por el binomio tenemos,
$[Im (x i - y i^2)]^2 = 2$
Recordando que $i^2 = -1$, podemos escribir de manera equivalente,
$[Im (xi + y)]^2 = 2$
Donde:
$Im (xi + y)= x $
Entonces:
$[Im (xi + y)]^2 = x^2$
Por lo que la expresión inicial:
$ \left |Im\left (i\bar{z} \right ) \right |^{2}= 2 $
Es:
$x^2=2$
Las dos raíces de esta ecuación son en $x_1=\sqrt{2}$ y $x_2=-\sqrt{2}$
Solución
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=\pm \sqrt{2}\right \} $
Esto corresponde a dos rectas verticales en $ x= \pm \sqrt{2} $
Realizado por: ****Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 21:01 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
$\arrowvert z-i\arrowvert=\arrowvert z-1\arrowvert$
Procedimiento
Considerando $z=x+y i$ tenemos lo siguiente:
$\left | x+(y-1)i \right |=\left | (x-1)+y i \right |$
Haciendo el modulo del numero complejo: $\left | x+y i \right |= \sqrt{(x)^{2}+(y)^{2}} $
Esto es:
$ \sqrt{(x)^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(y)^{2}} $
Elevando ambos lados de la ecuación y desarrollando los binomios al cuadrado internos, se obtiene que:
$ x^{2}+y^{2}-2y+1=x^{2}-2x+1+y^{2} $
Simplificando:
$x=y $
Solución
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)=Im(z) \right \} $
Esta ecuación es la de una recta que pasa por el origen y que forma un angulo de $\pi/4$ con el eje real, haciendo una analogía con una función en los reales seria $f(x)=x$.
Realizado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 20:45 14 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
Procedimiento
$Im (z^{2})= 2$
Definimos a $z = x + y i$ y tenemos:
$(x+ y i )^{2}=x^{2}+2xyi-y^{2}$
Por lo que su parte imaginaria es: $2xy$
Con esto, la ecuación original quedaría:
$2xy= 2 $
$x=\frac{1}{y} $
Solución
$\left \{ z \epsilon \mathbb{C} : Re(z)= \frac{1}{Im(z)} \right \} $
El conjunto de puntos se describe como una hipérbola
Realizado por: Esther Sarai (discusión) 22:29 14 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 23
Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo, que satisfagan la ecuación dada.
$\left|z-1\right|=1$
Procedimiento
El conjunto de puntos $\left|z-a\right|=b^{2}$ Se representan en el plano complejo, como una circunferencia de radio b y centro en a.
Esto es claro si hacemos: $z=x+y i$
$\left|x+yi-1\right|=1$
Ordenando las partes real e imaginaria:
$\left|(x-1)-y i\right|=1$
Realizando el modulo:
$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=1$
Y finalmente elevando al cuadrado ambos lados.
$(x-1)^{2}+y^{2}=1$
Por lo tanto el conjunto de puntos buscado se puede representar por medio de la función:
$(x-1)^{2}+y^{2}=1$
Solución
Estos puntos corresponden a una circunferencia centrada en $1+0i$, de radio 1
Corregido, aclarado por: Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 21:10 14 mayo 2015 (CDT)
- Alejandro Juárez Toribio (discusión) 18:18 13 mayo 2015 (CDT)
Ejercicios 29
Encuentra el límite superior para el módulo .
Procedimiento
Se tiene que , entonces
Sustituyendo y simplificando
Entonces y
Solución
Realizado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 22:21 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 30
Encontrar el límite superior para el recíproco del módulo de .
Procedimiento
Se tiene
Entonces
Usando la propiedad y $ \mid\mid z_{1}\mid-\mid z_{2}\mid\mid\leq\mid z_{1}-z_{2}\mid$
- $\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid=\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid$
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid\mid z^{2}\mid-3\mid\cdotp\mid\mid z^{2}\mid-2\mid$
sustituyendo y simplificando se tiene
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq\mid4-3\mid\cdotp\mid4-2\mid$
$\mid z^{2}-3\mid\cdotp\mid z^{2}-2\mid\geq2$
Entonces si $M=\frac{1}{2}$y $z=2$
$\therefore\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}.$
Solución
$\frac{1}{\mid\left(z^{2}-3\right)\left(z^{2}-2\right)\mid}\leq\frac{1}{2}$
Realizado por: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 20:36 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 31
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada.
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$
Procedimiento
Sea $z=a+ib$, el modulo de $z$ se define como:
$\bigl|z\bigr|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
Además sean $z_{1}=a+ib$ y $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$, tenemos que $z_{1}=z_{2}$sólo cuando $a=a_{2}$y $b=b_{2}$, bajo esto tenemos:
$\bigl|z\bigr|-z=2+i$
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}-(a+ib)=2+i$
$\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\right)-ib=2+i$
Por lo que
$b=-1$
Ahora
$\sqrt{a^{2}+1}-a=2$
Resolviendo para $a$
$a^{2}+1=4+4a+a^{2}$
$4a+3=0$
$a=-\frac{3}{4}$
Solución
Por lo tanto la solución de la ecuación es:
$z=-\frac{3}{4}-i$
Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 16:15 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 32
Encontrar un numero z que satisfaga la ecuación dada.
$\bigl|z\bigr|^{2}+1+12i=6z$
Procedimiento
$a^{2}+b^{2}+1+12i=6z$
$\left(a^{2}+b^{2}+1\right)+12i=6(a+ib)$
Igualando parte real e imaginaria se llega a:
$b=2$
y
$a^{2}+2^{2}+1=6a$
$a^{2}-6a+5=0$
Se tienen las soluciones
$a=5$
y
$a=1$
Solución
Por lo que hay dos soluciones a la ecuación planteada, estas son:
$z_{1}=5+2i$
$z_{2}=1+2i$
Ejercicio resuelto por: --Luis Santos (discusión) 16:15 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 36
¿Cuál es el único número complejo con módulo 0?
Procedimiento
Definimos a en donde con , donde no sabemos cuales son los valores de a y b, a continuación obtenemos la magnitud de z.
Como buscamos un número cuya magnitud sea cero
Por lo que, igualando las expresiones para en encontrar a y b.
Desarrollando
Donde podemos ver que
Donde el único número real que cumple esta condición última, es el cero.
comprobando
Solución
$ |z|=\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{0^2+0^2}=0 $
El único numero con modulo 0 es el numero 0+0i
Realizado por: Pablo (discusión) 01:14 15 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 37
Bajo que circunstancias $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$.
Procedimiento
Si $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$, sus respectivas magnitudes son:
$|z_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$
$|z_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$
Su suma
$|z_1|+|z_2|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}$
Por otro lado, sumando los numeros:
$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$
$|z_1+z_2|=\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2}=\sqrt{a_1^2+2a_1a_2+a_2^2+b_1^2+2b_1b_2+b_2^2}$
$|z_1+z_2|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$
Igualando expresiones;
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)}$
Solución
Por lo que para que la expresión anterior se satisfaga, se tiene que cumplir alguna de las siguientes condiciones:
$a_1=a_2=b_1=b_2=0$
$a_1 \neq 0, a_2=b_1=b_2=0$
O cualquier combinación como la anterior.
Resuelto por: Oscar Javier Gutierrez Varela 22:57 12 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 44
Suponga que $z_1 \neq z_2$
Interpretar $Re(z_1 \bar{z_2})=0$ gráficamente en términos del vector $z_1$ y $z_2$
Procedimiento
Sea $z_1=x_1+iy_1$
$z_2=x_2+i y_2$ $\rightarrow$ $\bar{z_2} = x_2- i y_2$
El producto de $z_1$ con el complejo conjugado de $z_2$ da como resultado:
$(z_1 \bar{z_2})= (x_1+ i y_1)(x_2-i y_2)=(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2) $
Con esto y con la ecuación planteada se tiene:
$Re(z_1 \bar{z_2})=Re((x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (y_1 x_2 - x_1 y_2)) \rightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2=0$
Ordenando las partes de cada vector en cada lado, se tiene:
$\frac{x_1}{y_1}=-\frac{y_2}{x_2}$
Identificando esto como la pendiente de cada vector:
$m_1=-\frac{1}{m_2}$
o
$m_1 m_2 = -1$
Solución
Por lo que gráficamente, esto nos indica que los vectores son perpendiculares entre si.
Ejercicio 47
Demostrar:
a) |z|=|−z|
Procedimiento
Suponer que z=a+bi y -z=-(a+bi)
Y sabemos la definición de modulo:
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Entonces
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Ademas sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado da un número positivo; entonces:
$|-z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Por lo tanto:
|z|=|-z|
b)|z|=|z*|
Procedimiento
Suponer que z=a+bi y z*=a-bi. Donde z* es el conjugado de z. Tomando en cuenta la definición de modulo, tenemos:
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Por la razón anterior, no es necesario poner el signo menos en la siguiente igualdad.
$|z*|=\sqrt{a^2+b^2}$
Por lo tanto:
|z|=|z*|
Nancy Martínez Durán (discusión) 19:38 15 mayo 2015 (CDT)