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El temario de vibraciones puede estar muy relacionado con Ondas.


Movimiento armónico simple, amortiguado y forzado.

El movimiento armónico es un concepto central en la física que describe el comportamiento oscilatorio regular de un sistema alrededor de una posición de equilibrio. Se caracteriza por una trayectoria repetitiva a lo largo de una dirección específica, donde la fuerza que actúa sobre el sistema es proporcional y opuesta a su desplazamiento desde la posición de equilibrio. Este tipo de movimiento, conocido como Movimiento Armónico Simple (MAS).

El Movimiento Armónico Amortiguado se produce cuando un sistema pierde energía con el tiempo debido a fuerzas de fricción o resistencia del medio. Esta pérdida gradual de energía disminuye la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones, eventualmente llevando al sistema a su posición de equilibrio.

El Movimiento Armónico Forzado, por otro lado, ocurre cuando un sistema se somete a una fuerza externa periódica que lo impulsa a oscilar. Esta fuerza externa puede estar en fase o fuera de fase con respecto al movimiento natural del sistema.

Estos tres tipos de movimiento armónico son esenciales en la física teórica y aplicada.


Desplazamiento velocidad y aceleración en el movimiento armónico.

El movimiento armónico es un fenómeno vibratorio fundamental en la física que describe el comportamiento oscilatorio de un sistema alrededor de una posición de equilibrio. Al analizar este movimiento, se utilizan conceptos clave como desplazamiento, velocidad y aceleración para caracterizar la dinámica de las partículas en vibración.

El desplazamiento en el movimiento armónico se refiere a la distancia y dirección desde la posición de equilibrio de la partícula en un momento dado. Se mide a lo largo de la trayectoria de la oscilación y varía sinusoidalmente con el tiempo.

La velocidad en el movimiento armónico representa la tasa de cambio del desplazamiento en relación con el tiempo. Dado que la partícula oscila hacia adelante y hacia atrás, la velocidad también varía sinusoidalmente y alcanza su máximo en los puntos de equilibrio y su mínimo en los extremos de la oscilación.

La aceleración, por otro lado, es la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. En el movimiento armónico, la aceleración está directamente relacionada con el desplazamiento y actúa en dirección opuesta al desplazamiento en cualquier punto dado. La aceleración es máxima en los extremos de la oscilación y mínima en los puntos de equilibrio.

Energía en el movimiento armónico.

Figura 1. Gráficas del movimiento armónico simple, incluyendo la energía

La energía total del sistema del oscilador armónico simple se divide en dos componentes, la energía cinética asociada al movimiento de la partícula y la energía potencial elástica, asociada a la deformación. Conforme el movimiento oscila, su energía cinética y potencial se intercambian, la energía potencial es máxima al principio cuando la velocidad de la partícula es cero y va disminuyendo conforme aumenta la velocidad hasta alcanzar el máximo de velocidad.

Como se ve en la Figura 1.

Oscilador amortiguado.

Cuando no hay fuerzas externas, que se oponen al movimiento, el oscilador seguirá oscilando sinusoidalmente, sin embargo en los sistemas donde se afecta el movimiento, o cualquier resistencia que se oponga al movimiento, el sistema disipara energía gradualmente al ambiente, disminuyendo progresivamente la amplitud de las oscilaciones, llevándolo eventualmente a un estado de reposo.

En física, cuando nos referimos al amortiguamiento, hablamos de la pérdida de energía que un sistema físico puede tener. Esto generalmente es debido a la disipación de la energía en forma de calor.

Ver mas en: Oscilador amortiguado

Oscilador forzado y amortiguado. Solución, posición y fase vs frecuencia de fuerza externa.

Los osciladores forzados son sistemas dinámicos en el campo de la física de vibraciones que experimentan la influencia de una fuerza externa periódica.

Ver mas en Vibraciones amortiguadas.

Ejemplos: Osciladores mecánicos amortiguados, circuitos eléctricos.

El ejemplo mas común para referirnos al amortiguamiento, es el oscilador amortiguado, que consiste en un sistema oscilatorio, que va perdiendo energía por la fricción del cuerpo con el medio en el que éste se encuentra.

Los osciladores amortiguados tienen tres peculiaridades que los describen como tal:

$\bullet$ La amplitud de oscilación disminuye con el tiempo.

$\bullet$ La energía disminuye con el tiempo.

$\bullet$ En el espacio fase el movimiento es descrito por espirales que convergen en el origen.

Las vibraciones de un péndulo y un circuito con corriente alterna pueden ser descritos como vibraciones libres y pueden ser descritos por la ecuación del oscilador armónico simple. En la analogía con el oscilador armónico amortiguado, la resistencia se podría ver como una fuerza de fricción, lo que también hace que pierda energía el sistema.

Ver mas en: Analogía eléctrica en oscilaciones. , Vibraciones mecánicos amortiguados.

Principio de superposición.

La forma ecuación de onda pone de manifiesto una propiedad interesante de las ondas la cual se menciona a continuación.

Supongamos que las funciones de onda y

son soluciones cada una de la ecuación de onda; de ello podremos ver que también es solución.

Esto se denomina Principio de superposición y lo demostraremos a continuación.

Es cierto que:

y


Sumando estos resultados

Por lo tanto

Que establece que efectivamente

Es una solución. Esto quiere decir que cuando dos ondas separadas llegan al mismo sitio en el espacio en donde se superponen, se sumaran o se sustraerán simplemente.

La perturbación resultante en cada punto de la zona de superposición es la suma algebraica de las ondas constituyentes individuales en ese punto. Una ves que hayan pasado por el área donde las ondas coexisten, cada cual saldra y se alejara, quedando inalterada por el encuentro[1].

La siguiente animación muestra dos pulsos de onda Gaussianos viajando en el mismo medio, uno va hacia la derecha y el otro hacia la izquierda. Tal como se menciona líneas arriba, las ondas no son alteradas al pasar una a través de la otra, siendo el desplazamiento neto la suma de los desplazamientos individuales. Nótese también que en este caso se trata de un medio no dispersivo ya que los pulsos no cambian su forma al propagarse.

Figura 2. Superposición de ondas

Superposición en el movimiento armónico, movimientos armónicos con la misma frecuencia, movimientos armónicos con distinta frecuencia (batido o beats). Ondas estacionarias.

Los batidos de ondas son fluctuaciones de la amplitud producidas por la superposición de ondas con pequeñas diferencias de frecuencia. Si tenemos dos fuentes con frecuencias levemente diferentes encontraríamos, como resultado neto, una oscilación con una lenta intensidad pulsante.


Imagen 3.

Superposición de movimientos armónicos perpendiculares. Polarización.

Se dice que la luz es linealmente polarizada (o polarizada plana) cuando la componente-x y la componente-y del vector del campo eléctrico se encuentran en fase. Si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería lineal, o una recta.


Tomando el plano como referencia, podemos considerar a las vibraciones del campo eléctrico () en ese plano como una onda armónica simple, la cual se propaga a lo largo de . El campo eléctrico va a oscilar en perpendicularmente a , a determinada frecuencia.


Análogamente, tomando el plano como referencia, se consideran de igual forma las vibraciones del campo eléctrico en ese plano como una onda armónica simple, que también se propaga a lo largo de , y cuyas oscilaciones se darán en perpendicularmente a .


Ver mas de Polarizacion.


Fig. 4 Onda Electromagnética. El campo eléctrico (en rojo), del cual depende el fenómeno de la polarización, se mueve linealmente a lo largo del eje , y el campo magnético (azul) oscila a lo largo del eje , ambos perpendiculares a la dirección de propagación (eje )

Potencia cedida a un oscilador amortiguado por una fuerza externa.

El oscilador amortiguado, es un modelo físico que nos permite estudiar fenómenos oscilatorios cuando existe una fuerza de fricción. Dicha fuerza de fricción, generalmente es debida al paso del objeto por un fluido, y tiene un comportamiento de tipo Stokes, es decir.

$F_f=-bv$

Donde $F_f$ es la fuerza de fricción, $b$ es la constante de amortiguamiento del fluido y $v$ es la velocidad del objeto de estudio. Nótese que el signo de $b$ es negativo, ya que la fuerza de fricción va en dirección contraria al movimiento.


La ecuación canónica del oscilador amortiguado es:

\[ m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}, \quad\text{donde} \quad \quad \dot{x}=\frac{dx}{dt}=v \]

\[ -bv=\left (m\frac{dv}{dt}+kx \right ) \]

La energía total de un oscilador es:

\[ E=\frac{1}{2}m v^{2}+\frac{1}{2}kx^2 \]

\[ \frac{dE}{dt}=mv\frac{dv}{dt}+kx\frac{dx}{dt}=v\left ( m\frac{dv}{dt}+kx \right ) \]

Por lo que igualando los términos en paréntesis.

\[ \frac{dE}{dt}=v\left (m\frac{dv}{dt}+kx \right )=v(-bv)=-bv^{2} \]

Este ultimo termino \[ \frac{dE}{dt}=-bv^{2} \quad\text{es la potencia cedida al medio} \]


Ver mas en amortiguamiento

Factor de calidad Q de un resonador, Q como medida del ancho de banda de absorción de energía, Q como una medida de la amplificación.

El Factor de Calidad (Q) es una medida esencial que describe la eficiencia y la respuesta de un sistema resonante ante la absorción y la amplificación de energía. Este parámetro siendo fundamental para comprender tanto el ancho de banda de absorción de energía como la capacidad de amplificación de un resonador.


Ancho de Banda de Absorción de Energía: En la interpretación del Q como medida del ancho de banda de absorción de energía, se refiere a la capacidad del resonador para absorber energía de una fuente externa. Un Q elevado indica que el resonador puede absorber energía de manera eficiente.

Medida de la Amplificación: El valor Q también se utiliza como indicador de la capacidad de amplificación de un resonador. En este contexto, un resonador de alta calidad (alto Q) tiene la capacidad de amplificar señales de entrada de manera significativa antes de disipar la energía, proporcionando una respuesta más nítida y selectiva.

El Factor de Calidad Q se calcula dividiendo la frecuencia de resonancia del sistema entre el ancho de banda de absorción de energía.

\[ Q=\frac{2\pi \text{ Energia maxima almacenada por ciclo}}{\text{Energia disipada por ciclo}} \]

Efectos transitorios.

Cuando un sistema vibratorio se somete a una perturbación, ya sea por cambios en sus condiciones iniciales o por la aplicación de una fuerza externa no periódica, se generan efectos transitorios. Estos efectos son caracterizados por respuestas no estacionarias, donde las magnitudes de desplazamiento, velocidad y aceleración experimentan variaciones temporales antes de alcanzar un estado estable.

Oscilaciones Acopladas.

Figura 1. Osciladores acoplados

Cuando se plantea la segunda relación de Newton se obtienen dos o más ecuaciones diferenciales acopladas. Tomamos como modelo el sistema de la figura 1, en el que se tendrá un sistema de dos ecuaciones diferenciales en los que las incógnitas serán $x_{1}$ y $x_{2}$, las posiciones de ambas masas. La resolución de estos sistemas es algo compleja desde el punto de vista matemático, pero se puede probar que existen modos normales de vibración, que pueden ser descritas como movimientos elementales del sistema. Un primer modo normal estará dado por las dos masas moviéndose en fase cada instante, con la misma frecuencia. El segundo modo normal estará dado por las dos partículas permanentemente en oposición de fase. En estos modos fundamentales, ambas partículas cambian el sentido de su movimiento simultáneamente.

Ver mas en: Osciladores acoplados


Osciladores acoplados, coordenadas normales, grados de libertad y modos normales de vibración

Aplicando la segunda relación de Newton a cada una de las partículas, obtenemos las ecuaciones de movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo grado:

\begin{equation} m \frac{d^{2} x_{1}}{dt^2} = -kx_{1} + k_{c}(x_{2}-x_{1}) \label{movimiento1} \end{equation}

\begin{equation} m \frac{d^{2} x_{1}}{dt^2} = -kx_{2} - k_{c}(x_{2}-x_{1}) \label{movimiento2} \end{equation}

Ver mas en: Osciladores acoplados

Métodos para encontrar modos normales, matrices, vectores y valores propios

Oscilaciones acopladas en una cuerda con pesos. Generalización a la ecuación de onda.

  1. Hetch,Óptica, Ed.Pearson,3ra ed 2006, pp.289-290

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