Vibra: Osciladores acoplados

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A la naturaleza le gustan las oscilaciones periódicas . Existen determinados sistemas que tiendes a interactuar entre sí hasta acoplar el ritmo de sus movimientos. Los comportamientos oscilatorios son ubicuos en la naturaleza en sistemas de toda índole, como en cuerpos astronómicos tales como asteroides, satélites, planetas y estrellas; en sistemas biológicos, tanto a nivel orgánico como a nivel bioquímico; en reacciones químicas; en sistemas mecánicos; en circuitos electrónicos; etc.

Antecedentes

Christiaan Huygens (1629-1695) fue un astrónomo, físico, matemático e inventor neerlandés

En 1665 Christiaan Huygens (1629-1695) hace observaciones importantes. Mientras permanecía en cama por efectos de una enfermedad, observó que un par de péndulos, colgados en la pared de su cuarto, se sincronizaban de forma misteriosa, es decir, después de un tiempo de iniciado sus movimientos, estos alcanzaban un estado en que se movían establemente en direcciones opuestas "con una sincronía tal que no se observaba el menor retraso de uno con respecto del otro y el sonido de los péndulos siempre se escuchaba simultáneamente. Aún más, si esta concordancia se perturbaba por alguna interferencia, sola se restablecía después de un tiempo corto". Hasta donde se sabe, este fue el primer reporte del fenómenos de sincronización. El mismo Huygens utilizo la palabra simpatía (sympathy) para describir este fenómeno. Ahora es sabido que este fenómeno tiene su origen en la no linealidad de los componentes de un sistema, llevándolo a esbozar una primera explicación de los osciladores acoplados.

Sistema acoplado elemental

Figura 1. Osciladores acoplados

Cuando se plantea la segunda relación de Newton se obtienen dos o más ecuaciones diferenciales acopladas. Tomamos como modelo el sistema de la figura 1, en el que se tendrá un sistema de dos ecuaciones diferenciales en los que las incógnitas serán $x_{1}$ y $x_{2}$, las posiciones de ambas masas. La resolución de estos sistemas es algo compleja desde el punto de vista matemático, pero se puede probar que existen modos normales de vibración, que pueden ser descritas como movimientos elementales del sistema. Un primer modo normal estará dado por las dos masas moviéndose en fase cada instante, con la misma frecuencia. El segundo modo normal estará dado por las dos partículas permanentemente en oposición de fase. En estos modos fundamentales, ambas partículas cambian el sentido de su movimiento simultáneamente. El caso más interesante es cuando una de las dos partículas, por ejemplo la partícula de masa $m_{1}$, se encuentra en reposo, en su posición de equilibrio y se hace mover a la otra partícula, con masa $m_{2}$, dándole una elongación inicial. Al cabo de un tiempo, la partícula de masa $m_{2}$, que estaba en movimiento, ira perdiendo amplitud, mientras que la partícula con masa $m_{1}$ ira ganando amplitud. Luego todo el sistema volverá a sus condiciones iniciales y se repetirá todo el proceso. Desde el punto de vista energético, podemos decir que la energía de la oscilación se transmite de un oscilador al otro, a través del acoplamiento. La energía total del sistema está dada por la energía que tienen los dos osciladores en cada instante. La energía de un oscilador se puede transmitir completamente al otro, siendo la suma de ambas energías siempre constante.

Ecuaciones de movimiento

Figura 2: Dos osciladores armónicos acoplados de masa m.

Supongamos que tenemos 2 partículas de masas iguales $m$, situadas sobre una superficie horizontal sin rozamiento, en los extremos de dos muelles de idéntica constante elástica $k$, tal como en la figura 2. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante $k_{c}$. Llamaremos $x_{1}$ y $x_{2}$ a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha.

Aplicando la segunda relación de Newton a cada una de las partículas, obtenemos las ecuaciones de movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo grado:

\begin{equation} m \frac{d^{2} x_{1}}{dt^2} = -kx_{1} + k_{c}(x_{2}-x_{1}) \label{movimiento1} \end{equation}

\begin{equation} m \frac{d^{2} x_{1}}{dt^2} = -kx_{2} - k_{c}(x_{2}-x_{1}) \label{movimiento2} \end{equation}

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, las ecuaciones diferenciales de las oscilaciones libres:

\begin{equation} \frac{d^{2}(x_{1} + x_{2} )}{dt^2} + \frac{k}{m}(x_{1} + x_{2}) = 0 \end{equation}

\begin{equation} \frac{d^{2}(x_{1} - x_{2})}{dt^2} + \frac{k + 2k_{c}}{m}(x_{1} - x_{2}) = 0 \end{equation}

Así las ecuaciones de los movimientos armónicos simples de frecuencias:

\begin{equation} \omega_{1}^2 = \frac{k}{m} \end{equation}

\begin{equation} \omega_2^2 = \frac{k+2k_{c}}{m} \end{equation}

Las soluciones de las ecuaciones (\ref{movimiento1}) y (\ref{movimiento2}) para los modos de vibración, son respectivamente

\begin{equation} x_{+} = x_{1} + x_{2} = A \cos{(\omega_{1}t)} + B \mathrm{sen}(\omega_1t), \end{equation}

\begin{equation} x_{-} = x_1 - x_2 = A \cos{(\omega_2t)} + B \mathrm{sen}(\omega_2t). \end{equation}


Despejando $x_{1}$ y $x_2$ de las dos ecuaciones anteriores, obtenemos

\begin{equation} x_{1} = \frac{1}{2} (x_{+} + x_{-}) = \frac{A \cos{(\omega_2t)} + A \cos{(\omega_1t)} + B \mathrm{sen}(\omega_2t) + B \mathrm{sen}(\omega_1t)}{2}, \end{equation}

\begin{equation} x_{2} = \frac{1}{2} (x_{+} - x_{-}) = \frac{A \cos{(\omega_1t)} - A \cos{(\omega_2t)} + B \mathrm{sen}(\omega_1t) - B \mathrm{sen}(\omega_2t)}{2}. \end{equation}

El movimiento de dos osciladores acoplados puede considerarse como la superposición de dos modos normales de oscilación de frecuencias angulares $\omega_1$ y $\omega_2$

Energía

La energía total del sistema se calcula sumando las energías cinéticas y potenciales elásticas de ambas partículas.

\begin{equation} \mathcal{E}=\mathcal{E}_{k}+\mathcal{E}_{p}\\ = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}kx_1^2 + \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}kx_2^2 + \frac{1}{2}k_c(x_2 - x_1)^2\\ = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(k+k_c)x_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}(k+k_c)x_2^2 - k_cx_1x_2 \end{equation}

Puede interpretarse como la suma de las energías de cada una de las masas más una energía de interacción que describe el cambio energético entre los dos osciladores.

Modos de vibración

Los modos normales de vibración son casos especiales del movimiento de osciladores acoplados. Estos corresponden al caso en que las dos partículas se mueven con la misma frecuencia y mantienen diferencia constante de fase.

Condiciones iniciales

Consideremos, por ejemplo, que en el tiempo $t=0$, las posiciones iniciales de las partículas son $x_{01}$ y $x_{02}$, con velocidades nulas ,es decir, $v_1 = 0$ y $v_2 = 0$. Así calculamos $x_1$ y $x_2$

\begin{equation} x_1 = \frac{x_{01} + x_{02}}{2} \cos(\omega_1t) + \frac{x_{01} - x_{02}}{2} \cos(\omega_2t) \end{equation}

\begin{equation} x_2 = \frac{x_{01} + x_{02}}{2} \cos(\omega_1t) - \frac{x_{01} - x_{02}}{2} \cos(\omega_2t) \end{equation}

Primer modo normal
Las dos masas vibran en fase ($x_{01} = x_{02}$). El muelle central no sufre ninguna deformación y por tanto no ejerce fuerza sobre las partículas que se mueven como si estuvieran desacopladas.

\begin{equation} x_1 = x_{01}\cos(\omega_1t)\\ x_2 = x_{01}\cos(\omega_1t) \end{equation}

Segundo modo normal
Las dos masas vibran en oposición de fase ($x_{01} = - x_{02}$).

\begin{equation} x_1 = x_{01}\cos(\omega_2t)\\ x_2 = -x_{01}\cos(\omega_2t) \end{equation}

Superposición de ambos modos
Si $x_{02}² \neq x_{01}²$ coexisten ambos modos. Un caso particular donde coexisten los dos modos es $x_{01} \neq 0$ y $x_{02} = 0$. Podemos calcular $x_1$ y $x_2$,

\begin{equation} x_1 = x_{01}\cos{\left (\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t \right)} \cos{\left (\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t \right)}\\ x_2 = x_{01}\mathrm{sen}{\left (\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t \right)} \mathrm{sen}{\left (\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t \right)} \end{equation}

Que pueden ser interpretadas como oscilaciones a una frecuencia media

\begin{equation} \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \end{equation}

con la amplitud modulada a una frecuencia

\begin{equation} \omega_m = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \end{equation}

Las dos oscilaciones a frecuencia $\omega$ difieren en fase $90°$ y la misma diferencia existe entre las oscilaciones en amplitud de frecuencia $\omega_m$. Mfgwi (discusión) 13:06 7 jun 2023 (CDT)

Acoplamiento débil

En este apartado se aborda el límite cuando $k_c << k$ ($k_c$ mucho menor que $k$), situación en que el acoplamiento es débil. Cuando tenemos que $k_c << k$, tenemos frecuencias propias como son:

\begin{equation} \omega_1 = \omega_o + \frac{\Delta{\omega}}{2} \label{frecuenciacero} \end{equation}

\begin{equation} \omega_2 = \omega_o - \frac{\Delta{\omega}}{2} \label{frecuenciadelta} \end{equation}

Cabe resaltar que $\omega_o \simeq \sqrt{\frac{k + k_c}{m}}$ $\qquad$ y $\qquad$ $\Delta{\omega} \simeq \omega_o \frac{k_c}{k + k_c}$. Ahora consideremos las ecuaciones movimiento

\begin{equation} x_1 = \frac{A}{2}\cos{(\omega_1t)} + \frac{A}{2}\cos{(\omega_2t)} \label{equis1} \end{equation}

\begin{equation} x_2 = -\frac{A}{2}\cos{(\omega_1t)} + \frac{A}{2}\cos{(\omega_2t)} \label{equis2} \end{equation}


entonces sustituyendo (\ref{frecuenciacero}) y (\ref{frecuenciadelta}) en $\cos{(\omega_n)}$; obtenemos:

\begin{equation} \cos(\omega_1t) = \cos(\omega_ot)\cos \left (\frac{\Delta{\omega}}{2} \right) - \mathrm{sen} {(\omega_ot)} \mathrm{sen}\left (\frac{\Delta{\omega}}{2} \right) \label{coseno1} \end{equation}

\begin{equation} \cos(\omega_2t) = \cos(\omega_ot)\cos \left (\frac{\Delta{\omega}}{2} \right) + \mathrm{sen}{(\omega_ot)} \mathrm{sen}\left (\frac{\Delta{\omega}}{2} \right) \label{coseno2} \end{equation}


Ahora sustituimos (\ref{coseno1}) y (\ref{coseno2}) en (\ref{equis1}) y (\ref{equis2}), respectivamente, obteniendo


\begin{equation} x_1 = A\cos{\left (\frac{\Delta{\omega}}{2}t \right)}\cos{(\omega_ot)} \end{equation}

\begin{equation} x_2 = A\mathrm{sen}{\left (\frac{\Delta{\omega}}{2}t \right)}\mathrm{sen}(\omega_ot) \end{equation}

Obteniendo así, oscilaciones de frecuencia angular $\omega_o$ con una modulación de frecuencia angular $\frac{\Delta{\omega}}{2}$; en otras palabras, una oscilación "rápida" con una amplitud que varía de forma "lenta".

Amortiguamiento

Recordemos que las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo grado para los osciladores armónicos acoplados son:

\begin{equation} m\ddot{x}_{1} = -kx_1 + k_c(x_2 - x_1) \label{amortiguado1} \end{equation}

\begin{equation} m\ddot{x}_{2} = -kx_2 - k_c(x_2 - x_1) \label{amortiguado2} \end{equation}

Ahora podemos retomar las ecuaciones (\ref{amortiguado1}) y (\ref{amortiguado2}), para incluir el término de amortiguamiento proporcional a la velocidad en cada una de ellas, obteniendo así:

\begin{equation} m\ddot{x}_{1} + \gamma\dot{x}_{1} + (k + k_c)x_1 - k_cx_2 = 0 \label{amortiguado3} \end{equation}

\begin{equation} m\ddot{x}_{2} + \gamma\dot{x}_{2} + (k + k_c)x_2 - k_cx_1 = 0 \label{amortiguado4} \end{equation}

Introducimos $2\Gamma = \frac{\gamma}{m}$ y reescribimos las ecuaciones (\ref{amortiguado3}) y (\ref{amortiguado4})

\begin{equation} \ddot{x}_{1} + 2\Gamma\dot{x}_{1} + \left (\frac{k + k_c}{m} \right)x_1 - k_cx_2 = 0 \end{equation}

\begin{equation} \ddot{x}_{2} + 2\Gamma\dot{x}_{2} + \left (\frac{k + k_c}{m} \right)x_2 - k_cx_1 = 0 \end{equation}

Observamos que el término de amortiguamiento que hemos añadido, no inválida la estrategia seguida inicialmente para abordar el problema de los dos osciladores acoplados, ya que no introducimos nuevos términos de acoplamiento en las ecuaciones de movimiento.

Entonces, sí $\eta = Sx$ y $S = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ obtenemos

\begin{equation} \ddot{\eta}_{1} + 2\Gamma\dot{\eta}_{1} + \omega_1^2\eta_1 = 0 \end{equation}

\begin{equation} \ddot{\eta}_{2} + 2\Gamma\dot{\eta}_{2} + \omega_2^2\eta_2 = 0 \end{equation}

Encontrando la ecuación de un oscilador armónico amortiguado para cada modo normal $\eta_i$; la constante de amortiguamiento $2\Gamma$ es común para ambos, ya que se ha introducido el mismo término de amortiguamiento para los grados de libertad $x_1$ y $x_2$.

Solución
El tipo de solución de $\ddot{\eta}_{j} + 2\Gamma\dot{\eta}_{j} + \omega_j^2\eta_j = 0$, depende de la relación entre $\Gamma$ y $\omega_j$, obteniendo así:

  • Cuando $\omega_j > \Gamma$, obtenemos un movimiento oscilatorio amortiguado con frecuencia $\sqrt{\omega_j^2 - \Gamma^2}$.
  • Cuando $\omega_j = \Gamma$, obtenemos un amortiguamiento crítico, donde el sistema no oscila y tiende al equilibrio.
  • Cuando $\omega_j < \Gamma$, obtenemos un sobreamortiguamiento, donde el sistema no oscila y tiende al equilibrio.

Como es un un sistema con dos modos normales, la distinción se aplica a cada uno de ellos, distinguiendo así varias situaciones:

  • Cuando $\Gamma < \omega_2 < \omega_1$, se tiene una solución oscilatoria para ambos modos.
  • Cuando $\Gamma = \omega_2 < \omega_1$, se tiene una solución oscilatoria para el modo $\eta_1$ y una solución con amortiguamiento crítico para el modo $\eta_2$ (simétrico).
  • Cuando $\omega_2 < \Gamma <\omega_1$, se tiene una solución oscilatoria para el modo $\eta_1$ y una solución sobreamortiguada para el modo $\eta_2$.
  • Cuando $\omega_2 < \Gamma = \omega_1$, se tiene una solución con amortiguamiento crítico para el modo $\eta_1$ y una solución con sobreamortiguamiento para el modo $\eta_2$.
  • Cuando $\omega_2 < \omega_1 < \Gamma$, se tiene una solución sobreamortiguada para ambos modos.