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== '''SECCION 1.1.3''' == | == '''SECCION 1.1.3''' == | ||
'''1. Calcule las | '''1. Calcule las raíces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.''' | ||
Aplicando la formula para calcular | Aplicando la formula para calcular raíces cuadradas de números complejos. | ||
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math> | <math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math> | ||
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--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC) | ---- | ||
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'''REVISADO''' | '''REVISADO''' | ||
'''2.- Calcule las | '''2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i''' | ||
Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar | Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar | ||
[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2.svg| | |||
[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2.svg|500px|sinmarco]] | |||
r=64 | r=64 | ||
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Graficando en coordenadas polares nos queda: | Graficando en coordenadas polares nos queda: | ||
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Haciendo algo similar para el 8i Tenemos | Haciendo algo similar para el 8i Tenemos | ||
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<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math> | <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math> | ||
[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2b.svg|500px|sinmarco]] | |||
El argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math> | |||
r= 8 | r= 8 | ||
n=3 porque nos | n=3 porque nos piden las raíces cubicas | ||
<math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2 | <math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2 | ||
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Gráficando en coordenadas polares tenemos | |||
[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2c.svg|500px|sinmarco]] | |||
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Realizado por: [[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez | |||
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'''2.- Calcule las | '''2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i''' | ||
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--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC) | ---- | ||
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Realizado por: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC) | |||
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<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math> | <math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math> | ||
</center> | </center> | ||
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las | Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raíces n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.''' | ||
Solución: | Solución: | ||
Línea 337: | Línea 337: | ||
lo que queda demostrada la igualdad. | lo que queda demostrada la igualdad. | ||
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC) | ---- | ||
Realizado por:[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC) | |||
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--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC) | ---- | ||
Realizado por: [[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC) | |||
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OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5: | |||
'''5.''' '''Demuestre que''' | '''5.''' '''Demuestre que''' | ||
Línea 523: | Línea 524: | ||
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que | Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que | ||
<math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.--[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC) | <math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>. | ||
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Realizado por:[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC) | |||
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DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3: | |||
'''5.''' '''Demuestre que''' | '''5.''' '''Demuestre que''' | ||
Línea 562: | Línea 566: | ||
<math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math> | <math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math> | ||
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Realizado por: [[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 06:20 26 oct 2010 (UTC) | |||
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[[Compleja:ej-cap1.1]] | [[Compleja:ej-cap1.1]] | ||
Revisión actual - 08:09 15 abr 2023
SECCION 1.1.3
1. Calcule las raíces cuadradas de y de .
Aplicando la formula para calcular raíces cuadradas de números complejos.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right) si
Por lo tanto las raices de , son:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\pm\left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}} + i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}}\right)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\pm\left(2+i\right)
y para , son:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\pm\left(1.27 + i 0.78\right).
Realizado por: Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)
REVISADO
2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i
Tenemos que definicion en forma polar
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento
Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}
Entonces utilizando la Fórmula de Moivre para obtener las raíces
Ahora tenemos
y g= raíz enesima = = 2
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\phi}n=\boldsymbol{\theta}+2k\pi los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de entonces sacando las raíces
k=0
k=1
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(2)\pi/6= 5\pi/6 k=2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi/6+(3)2\pi/6= 7\pi/6 k=3
k=4
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(5)\pi/6= 11\pi/6 k=5
Las soluciones son
r1= 2
r2= 2
r3= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 5\pi/6)}
r4= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 7\pi/6)}
r5= 2
r6= 2
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
El argumento
r= 8
n=3 porque nos piden las raíces cubicas
y g= raíz enesima = = 2
k=0
k=1
k=2
r1= 2
r2= 2
r3= 2
Gráficando en coordenadas polares tenemos
Realizado por: Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = -64 = 64(cos\pi + isen\pi)\,
Por la Fórmula de Moivre
para k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
con k = 1
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i
con k = 2
con k = 3
con k = 4
con k = 5
..............
Sea
para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
Realizado por: Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)
3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
Sea
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
Restando la segunda ecuación de la primera
Tenemos que
entonces
De donde
Como z es una raíz enesima de la unidad
Entonces
y
porque
Por lo tanto
Realizado por: Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)
4. Demuestre que:
Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raíces n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .
Solución:
Las raices de son
entonces podemos escribir
dividiendo ambos lados por y haciendo :
de aqui hallamos que
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
tenemos
puesto que
la ecuación anterior se transforma en
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
lo que queda demostrada la igualdad.
Realizado por:Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
si multiplicamos por a se tiene que
ahora restemos estas dos ultimas expresiones
de lo que se obtiene que
Si en esta última expresion utilizamos entonces
toma la siguiente forma
que es equivalente a esta
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
Se obtiene del numerador lo siguiente
si tomamos solo la parte real se tiene que
por otra parte para el denominador se tiene:
al tomar la parte real de
,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente identidad
tenemos lo siguiente:
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
Realizado por: Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)
OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5: 5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
Sea , aplicando & con se tiene lo siguiente
y tomamos partes reales obtenemos .............%
desarrolandola se tiene :
= =.
Con lo cual solo basta probar que
Veamos la demostracion
..............#
Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a
.
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que
.
Realizado por:Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)
DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3: 5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Sea
La expresión la podemos expresar como una suma geométrica
Esta serie converge a la expresión:
Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.
Reescribiendo la parte real y sabiendo que
Ahora bien, por la identidad
Con
Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:
Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado
Realizado por: Carlos López Cobá 06:20 26 oct 2010 (UTC)
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