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WENDY CAROLINA GONZALEZ OLIVARES

VARIABLE COMPLEJA

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--Wendy 01:53 22 sep 2009 (UTC) Demostración


EJERCICIOS

1.- Hallar Z tales que:


A) \(\displaystyle {e^{z}=-2}\)


SOLUCION

Escribimos \(\displaystyle {e^{z}}\) como \(\displaystyle {e^{x}}{e^{iy}}\)


\(\displaystyle {e^{x}}{e^{iy}=\rho{e^{i\phi}}}\)

\(\displaystyle {\rho=e^{x}=|e^{z}|=2}\), por lo que \(\displaystyle {x=\ln2}\)

Ahora para \(\displaystyle{y}\)

\(\displaystyle {e^{iy}=e^{i\phi}=-1}\); para que esto se cumpla \(\displaystyle {\phi=\pi+2n\pi}\)

Finalmente

\(\displaystyle {z=\ln2+{{(2n+1)}\pi}i}\)


B) \(\displaystyle {e^{2z-1}=1}\)


SOLUCION

Escribimos


\(\displaystyle {e^{2x+2iy-1}=1}\)


\(\displaystyle {e^{2x-1}}{e^{2iy}=\rho{e^{i\phi}}}\)


donde \(\displaystyle {\rho=1}\)

y para que esto se cumpla \(\displaystyle {e^{2x-1}=1}\)

entonces \(\displaystyle {2x-1=0}\); por lo tanto \(\displaystyle {x=\frac{1}{2}}\)

Ahora para \(\displaystyle{y}\)

\(\displaystyle {e^{2iy}=e^{i\phi}=1}\); esto es \(\displaystyle {2y=0+(2n\pi)}\)

Finalmente

\(\displaystyle {z=\frac{1}{2}+{n\pi}i}\)


2.-Evaluar la siguiente integral \(\int_{\,0}^{\,\frac{\pi}{6} }\,{{e}^{2i\,t}}\,dt\)


SOLUCION


Denotemos la integral anterior con \(\displaystyle {Int}\); entonces


\(Int=\frac{{e}^{2i\,t}}{2i}\biggr|_{0}^{\frac{\pi}{6}}\)

\(Int=\displaystyle {\frac{e^{2i\frac{\pi}{6}}}{2i}-\frac{1}{2i}}\)

\(Int=\displaystyle{\frac{1}{2i}}[{{\cos(\frac{\pi}{3})+{i}\sin(\frac{\pi}{3})-1}]}\)

\(Int=\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{i}{4}}\)


3.-Muestre que \(\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{im\,\theta}}\,{{e}^{-in\,\theta}}\,d\theta\) es 0 si m=n y vale \(\displaystyle{2\pi}\) si m es diferente de n


SOLUCION


\(\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{im\,\theta}}\,{{e}^{-in\,\theta}}\,d\theta=\int_{\,0}^{\,2\pi }\,{{e}^{i(m-n)\,\theta}}\,d\theta\)

Denotemos el resultado anterior como \(\displaystyle {Int}\); entonces

\(Int=\frac{{e}^{i(m-n)\,\theta}}{i(m-n)}\biggr|_{0}^{2\pi}\)

\(Int=\displaystyle{\frac{1}{i(m-n)}-\frac{1}{i(m-n)}}\)

\(Int=\displaystyle{0}\)


pero cuando m=n

\(Int=\int_{\,0}^{\,2\pi }\,d\theta=2\pi\)


4.-Encuentre el valor de la integral \(\displaystyle{g(z)=\frac{1}{(z^{2}+4)^2}}\) de alrededor del círculo \(\displaystyle{|z-i|=2}\)

Curva.jpg

SOLUCION

Podemos escribir la integral de \(\displaystyle{g(z)}\) como\[Int=\displaystyle{\int_{\,C}\,\frac{\frac{1}{(z+2i)^2}}{(z-2i)^2}dz}\]


si \({\displaystyle f^{k}\left(z\right)={\displaystyle \dfrac{k!}{2\Pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f\left(w\right)}{\left(w-z\right)^{k+1}}}dw}\)


con \(\displaystyle k=1\)

entonces


\(Int=\displaystyle{\frac{2i\pi}{1!}\frac{d}{dz}\frac{1}{(z+2i)^2}\biggr|_{z=2i}}\)


\(Int=\displaystyle{2i\pi\frac{-2}{(z+2i)^3}\biggr|_{z=2i}}\)


\(Int=\displaystyle{\frac{-4i\pi}{(4i)^3}}\)


\(Int=\displaystyle{\frac{\pi}{16}}\)