Compleja:Zill-Cap6.5

Ejercicios del capítulo 6, sección 5 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 6.5

Ejercicio 3

Utilizar la serie de Laurent adecuada para encontrar el residuo indicado.

$f(z)=\frac{4z-6}{z(2-z)};Res(f(z),0)$

Procedimiento

Primero descomponemos en fracciones parciales para evaluar la serie de Laurent

$f(z)=\frac{4z-6}{z(2-z)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{2-z}=\frac{2A-Az+Bz}{z(2-z)}=\frac{2A+z(-A+B)}{z(2-z)}$

De donde obtenemos el siguiente sistema

$B-A=4$--------(1)

$2A=-6$----------(2)

Entonces de (2) despejamos y queda que $A=-3$ para después sustituir en (1) y queda como:

$B+3=4\rightarrow B=1$

Por lo tanto tenemos que:

$f(z)=\frac{4z-6}{z(2-z)}=\frac{-3}{z}+\frac{1}{2-z}=f_{1}(z)+f_{2}(z)$

$f_2=\frac{1}{2-z}=\frac{1}{2(1-z/2)}$

Observamos que: $f_2$ es una serie geométrica y se puede escribir como:

$f_2=\frac{1}{2} \left [1+\frac{z}{2}+\left (\frac{z}{2} \right )^{2}+\left (\frac{z}{2} \right )^{3} + ... \right ]$

Valida cuando $|z/2|< 1$ esto es $|z|<2$

Por lo que la serie es valida cuando $0<|z|<1$

Conclusión

$f(z)=\frac{4z-6}{z(2-z)}=\frac{-3}{z-0}+\frac{1}{2} \left [1+\frac{z}{2}+\left (\frac{z}{2} \right )^{2}+\left (\frac{z}{2} \right )^{3} + ... \right ]$

Entonces:

$Res(f(z),0)=-3$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 7

Use (1) (2) o (4) para encontrar el residuo en cada polo de la función dada

(7) \[ f(z)=\dfrac{z}{z^{2}+16}\]

Procedimiento

Utilizando la ecuación (1), esta depende del numero de cero que contenga la función

\[ Res(f(z),z_{0}) = \lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_{0})f(z)\]

Determinamos el numero de cero de la función haciendo una factorización del denominador

\[ f(z)=\dfrac{z}{(z+4i)(z-4i)}\]

De esto podemos concluir que la función tiene dos polos de orde uno o dos polos simples, por tanto emplearemos (1) de la siguiente forma:

\[ Res(f(z),z_{1}) = \lim_{z\rightarrow z_1}(z-z_{1})f(z)\]1 \[ Res(f(z),z_{2}) = \lim_{z\rightarrow z_2}(z-z_{2})f(z)\]

Conclusión

\[ Res(f(z), 4i) = \lim_{z\rightarrow 4i}(z-4i)\dfrac{z}{(z+4i)(z-4i)}=\lim_{z\rightarrow 4i}\dfrac{z}{(z+4i)}=\dfrac{4i}{8i}=\dfrac{1}{2} \]

\[ Res(f(z),-4i) = \lim_{z\rightarrow -4i}(z+4i)\dfrac{z}{(z+4i)(z-4i)}=\lim_{z\rightarrow -4i}\dfrac{z}{(z-4i)}=\dfrac{-4i}{-8i}=\dfrac{1}{2} \]

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Realizado por: Esther Sarai (discusión) 11:35 3 jul 2015 (CDT)Esther Sarai

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Ejercicio 8

Use (1) (2) o (4) para encontrar el residuo en cada polo de la función dada

$f(z)=\frac{4z+8}{2z-1}$

Procedimiento

Primero se puede reescribir como

$f(z)=\frac{4z+8}{2z-1}=\frac{4}{2}\frac{z+2}{z-1/2}=2[\frac{z+2}{z-1/2}]$

Entonces se puede ver que tiene un polo simple en $z=1/2$, por ello uso (1)

Conclusión

$Res(f(z),1/2)=\underset{z\rightarrow1/2}{lim}(z-1/2)[2[\frac{z+2}{z-1/2}]]=\underset{z\rightarrow1/2}{lim}2[z+2]=2[\frac{5}{2}]=5$

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Resuelto por:Fernando Vazquez V. (discusión) 21:29 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 9

Use $(1),(2)$ o $(4)$ para encontrar el residuo en cada polo de la función $f(z)=\frac{1}{z^{4} + z^{3} - 2z^{2} }$

Procedimiento

Tengo que

\[ f(z)=\frac{1}{z^{4} + z^{3} - 2z^{2} }= \frac{1}{ z^{2} \left( z^{2} +z -2 \right) }= \frac{1}{z^{2} \left( z+2 \right) \left( z-1 \right)} \]

La función $f(z) = \frac{1}{z^{2} \left( z+2 \right) \left( z-1 \right)}$ tiene dos polos simples en $z=1$ y en $z=-2$ , también un polo de orden 2 en $z=0$

Puesto que $z=1$ y $z=-2$ son polos simples, usamos $(1): $

\[ Res( f(z),1)= \lim_{z \to 1}(z-1) f(z)= \lim_{z \to 1} (z-1) \dfrac{1}{ z^{2} (z+2) (z-1)} = \lim_{z \to 1} \dfrac{1}{ z^{2} (z+2) } = \frac{1}{3} \]

\[ \therefore Res( f(z),1)= \frac{1}{3} \]

\[ Res( f(z),-2)= \lim_{z \to -2}(z+2) f(z)= \lim_{z \to -2} (z+2) \dfrac{1}{ z^{2} (z+2) (z-1)} = \lim_{z \to -2} \dfrac{1}{ z^{2} (z-1) } = -\frac{1}{12} \]

Res( f(z),-2)

\[ \therefore Res( f(z),-2)= -\frac{1}{12} \]

Ahora en el polo de orden 2, el resultado en $(2)$ da

\[ Res( f(z),0) = \frac{1}{ (2-1)! } \lim_{z \to 0 } \frac{ d^{2-1} }{ dz^{2-1} } \left[ \left( z-0 \right)^{2} f(z) \right]= \lim_{z \to 0 } \frac{d}{dz} \left[ z^{2} f(z) \right] = \lim_{z \to 0 } \frac{d}{dz} \left[ z^{2} \frac{1}{ z^{2}(z+2)(z-1) } \right]= \]

\[ \lim_{z \to 0 } \frac{d}{dz} \left[ \frac{1}{ (z+2)(z-1) } \right]= \lim_{z \to 0 } \left( - \frac{1}{ (z+2)^{2}(z-1)} - \frac{1}{ (z+2)(z-1)^{2} } \right) = \lim_{z \to 0 } \left( \frac{-2z-1}{ (z^{2}+z-2)^{2} } \right) = - \frac{1}{4} \]

Res( f(z),0)

\[ \therefore Res( f(z), 0)= - \frac{1}{4} \]

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Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 16:24 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Encuentre el residuo en cada polo de la función dada.

$f(z)={\frac {1}{(z^{2}-2z+2)^{2}}}$

Procedimiento

Analizamos el denominador que se puede factorizar, para ello utilizaremos la frmula general y nos queda:

$z={\frac {2\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4(1)(2)}}}{2}}={\frac {2\pm {\sqrt {-4}}}{2}}={\frac {2\pm 2i}{2}}=1\pm i$

por los tanto

$z_{1}=1+i$

$z_{2}=1-i$

entonces:

$f(z)={\frac {1}{(z^{2}-2z+2)^{2}}}={\frac {1}{\left[(z-(1+i))(z-(1-i))\right]^{2}}}={\frac {1}{\left[(z-z_{1})(z-z_{2})\right]^{2}}}={\frac {1}{(z-z_{1})^{2}(z-z_{2})^{2}}}$

Es un polo de orden n=2 en “z” subíndice uno y dos, aplicamos el teorema del residuo en un polo de orden n , el cuál es:

$Res(f(z),z_{0})={\frac {1}{(n-1){\text{!}}}}{\underset {z\rightarrow z_{0}}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left[(z-z_{0})^{n}f(z)\right]$

entonces:

$Res(f(z),z_{1})={\frac {1}{(2-1){\text{!}}}}{\underset {z\rightarrow z_{1}}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {d^{1}}{dz^{1}}}\left[(z-z_{1})^{2}{\frac {1}{(z-z_{1})^{2}(z-z_{2})^{2}}}\right]={\underset {z\rightarrow z_{1}}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {1}{(z-z_{2})^{2}}}\right]={\underset {z\rightarrow z_{1}}{l{\acute {\imath }}m}}\left[-{\frac {2}{(z-z_{2})^{3}}}\right]=-{\frac {2}{(z_{1}-z_{2})^{3}}}$

por lo tanto

Residuos

$Res(f(z),z_{2})=-{\frac {2}{(z_{1}-z_{2})^{3}}}=-{\frac {2}{\left[(1+i)-(1-i)\right]^{3}}}=-{\frac {2}{\left[2i\right]^{3}}}=-{\frac {1}{4i^{3}}}={\frac {1}{4i}}=-{\frac {i}{4}}$

Para el otro caso

$Res(f(z),z_{2})={\frac {1}{(2-1){\text{!}}}}{\underset {z\rightarrow z_{2}}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {d^{1}}{dz^{1}}}\left[(z-z_{2})^{2}{\frac {1}{(z-z_{1})^{2}(z-z_{2})^{2}}}\right]={\underset {z\rightarrow z_{2}}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {1}{(z-z_{1})^{2}}}\right]={\underset {z\rightarrow z_{2}}{l{\acute {\imath }}m}}\left[-{\frac {2}{(z-z_{1})^{3}}}\right]=-{\frac {2}{(z_{2}-z_{1})^{3}}}$

Residuos

por lo tanto

$Res(f(z),z_{2})=-{\frac {2}{(z_{2}-z_{1})^{3}}}=-{\frac {2}{\left[(1-i)-(1+i)\right]^{3}}}=-{\frac {2}{\left[-2i\right]^{3}}}={\frac {1}{4i^{3}}}=-{\frac {1}{4i}}={\frac {i}{4}}$

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Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 01:39 4 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Encontrar el residuo en cada polo de la función dada

$f(z)=\frac{5z^{2}-4z+3}{(z+1)(z+2)(z+3)}$

Procedimiento

tenemos tres polos simples : $z=-1$,$z=-2$,$z=-3$

usaremos el teorema :

$Res(f(z),z_{0})=lim_{z\rightarrow z_{0}}\left(z-z_{0}\right)f(z)$

para cada residuo.

Residuos

$Res(f(z),-1)=lim_{z\rightarrow-1}(z+1)f(z)=lim_{z\rightarrow-1}\frac{5z^{2}-4z+3}{(z+2)(z+3)}=\frac{5(1)-4(-1)+3}{(-1+2)(-1+3)}=\frac{5+4+3}{(1)(2)}=\frac{12}{2}=6$

$Res(f(z),-2)=lim_{z\rightarrow-2}(z+2)f(z)=lim_{z\rightarrow-2}\frac{5z^{2}-4z+3}{(z+1)(z+3)}=\frac{5(4)-4(-2)+3}{(-2+1)(-2+3)}=\frac{5(4)+4(2)+3}{(-1)(1)}=\frac{20+8+3}{-1}=-31$

$Res(f(z),-3)=lim_{z\rightarrow-3}(z+3)f(z)=lim_{z\rightarrow-3}\frac{5z^{2}-4z+3}{(z+1)(z+2)}=\frac{5(9)-4(-3)+3}{(-3+1)(-3+2)}=\frac{45+12+3}{2}=\frac{60}{2}=30$

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Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 02:50 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Utilizar (1), (2) o (4) para encontrar el residuo de cada polo de la función dada

Procedimiento

$f\left(z\right)=\frac{2z-1}{\left(z-1\right)^{4}\left(z+3\right)}$

Usamos para el polo simple z+3

$Res\left(f\left(z\right),z_{0}\right)=\underset{z\rightarrow z_{0}}{lim}\left(z-z_{0}\right)f\left(z\right)$

Residuos

$Res\left(f\left(z\right),-3\right)=\underset{z\rightarrow-3}{lim}\left(z+3\right)f\left(z\right)=\underset{z\rightarrow-3}{lim}\frac{2z-1}{\left(z-1\right)^{4}}=-\frac{7}{256}$

Para el polo de orden cuatro usaremos:

$Res\left(f\left(z\right),1\right)=\frac{1}{3!}\underset{z\rightarrow1}{lim}\frac{d^{3}}{dz^{3}}\left[\left(z-1\right)^{4}f\left(z\right)\right]=\frac{1}{3!}\underset{z\rightarrow1}{lim}\frac{d^{3}}{dz^{3}}\left(\frac{2z-1}{z+3}\right)$

Tenemos que

$\frac{d^{3}}{dz^{3}}=\frac{42}{\left(z+3\right)^{4}}$

Entonces tenemos que:

Residuos

$Res\left(f\left(z\right),1\right)=\frac{1}{6}\underset{z\rightarrow1}{lim}\frac{42}{\left(z+3\right)^{4}}=\frac{42}{1536}=\frac{7}{256}$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 23:34 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Encontrar el residuo en cada polo de la función dada.

$f(z)=\frac{\cos z}{z^{2}(z-\pi)^{3}}$

Procedimiento

si $f$ tiene un polo de orden $n$ en $z=z_{0}$, entonces,

$Res(f(z),z_{0})=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-z_{0})^{n}f(z)\right]$

encuentre el residuo en cada polo de la función dada.

$f(z)=\frac{\cos z}{z^{2}(z-\pi)^{3}}$

como podemos ver la función $f(z)=\frac{\cos z}{z^{2}(z-\pi)^{3}}$ tiene un polo de orden 2 en $z=0$ y uno de orden 3 en $z=\pi$

usando el teorema para $z_{0}=0,\;y\;n=2$

$Res(f(z),z_{0}=0)=\frac{1}{(2-1)!}\lim_{z\rightarrow0}\frac{d}{dz}\left[(z-0)^{2}\frac{\cos z}{z^{2}(z-\pi)^{3}}\right]=\lim_{z\rightarrow0}\frac{d}{dz}\left[z^{2}\frac{\cos z}{z^{2}(z-\pi)^{3}}\right]=$

$\lim_{z\rightarrow0}\frac{d}{dz}\left[\frac{\cos z}{(z-\pi)^{3}}\right]=\lim_{z\rightarrow0}\frac{-\sin z(z-\pi)^{3}-3\cos z(z-\pi)^{2}}{(z-\pi)^{6}}=\lim_{z\rightarrow0}\frac{-\sin z(z-\pi)-3\cos z}{(z-\pi)^{4}}=\frac{-3}{(-\pi)^{4}}=\frac{-3}{\pi{}^{4}}$

ahora para $z_{0}=\pi,\;y\;n=3$

$Res(f(z),z_{0}=\pi)=\frac{1}{(3-1)!}\lim_{z\rightarrow\pi}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[(z-\pi)^{3}\frac{\cos z}{z^{2}(z-\pi)^{3}}\right]=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow\pi}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[\frac{\cos z}{z^{2}}\right]=$

$=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow\pi}\frac{d}{dz}\left[\frac{-\sin z*z^{2}-2z\cos z}{z^{4}}\right]=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow\pi}\frac{d}{dz}\left[\frac{-\sin z*z-2\cos z}{z^{3}}\right]$

$=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow\pi}\frac{\left(-\sin z-\cos z*z+2\sin z\right)z^{3}-3z^{2}\left(-\sin z*z-2\cos z\right)}{z^{6}}=\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow\pi}\frac{\left(-\sin z-\cos z*z+2\sin z\right)z^{3}-3z^{2}\left(-\sin z*z-2\cos z\right)}{z^{6}}=$

$=\frac{1}{2}\frac{\pi*\pi^{3}-3\pi^{2}(2)}{\pi^{6}}=\frac{\pi^{2}(\pi^{2}-6)}{2\pi^{6}}=\frac{(\pi^{2}-6)}{2\pi^{4}}$

así

Residuos

$Res(f(z),z_{0}=0)=\frac{-3}{\pi{}^{4}}$

$Res(f(z),z_{0}=\pi)=\frac{(\pi^{2}-6)}{2\pi^{4}}$

como se quería.

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Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 18:14 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 14

Encuentre el residuo en cada polo de la función

$f(z)={\displaystyle \frac{e^{z}}{e^{z}-1}}$

Procedimiento

Analizando el denominador:

$e^{z}-1\neq 0$

$e^{z}\neq 1$

Esto sucede cuando

$z=i2\pi n$ con $n=\pm0,\pm1,\pm2$

Entonces $z=i2\pi n$ es un polo simple de la función $f(z)$

Reescribiendo $f(z)=\frac{e^{z}}{z-2in\pi}$

\[ Res(f(z),i2\pi n) = \lim_{z\rightarrow i2\pi n}(z-i2\pi n)\frac{e^{z}}{z-2in\pi}\]

Conclusión

\[ Res(f(z),i2\pi n) = e^{2ni\pi}\]

cuando $n=\pm0,\pm1,\pm2$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 15

Encontrar el residuo en cada polo de la función dada.

$f(z)=sec z$

Procedimiento

Utilizando la ecuación:

\[ Res(f(z),z_{0}) = \lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_{0})f(z)\]

Determinamos los polos de la función:

$f(z) = sec z = \frac{1}{cos z} $

De esto podemos concluir, que la función tiene polos simples en los puntos donde $cos z = 0$.

$(2n+1)\frac{\pi}{2}$ con $n=0,\pm1,\pm2,...$

Conclusión

Por lo tanto:

$Res(f(z), (2n+1)\frac{\pi}{2}) = (-1)^{n+1}$

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Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 02:58 4 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Utilice el teorema del residuo de Cauchy, donde sea apropiado, para evaluar la integral a lo rago del contorno indicado. \[ \oint_C \!\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}dz \;\;\;\;\;\;\;(a)\,|z|=\frac{1}{2}\;\;\;(b)\,|z|=\frac{3}{2}\;\;\;(c)\,|z|=3 \]

Inciso a

Para el caso (a), ninguna singularidad (polo) esta dentro del contorno, por lo que: \[ \oint_{C_a} \!\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}dz=0 \]

Inciso b

Para el caso (b), unicamente $P_2 (1)$ esta dentro del contorno, por lo que: \[ \oint_{C_b} \!\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}dz=2\pi\, i\, Res(f(z),1) \] \[ Res(f(z),1)=\lim_{z\to 1}{(z-1)\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}}=\lim_{z\to 1}{\frac{1}{(z+2)^2}}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9} \] \[ \oint_{C_b} \!\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}dz=2\pi\, i\, Res(f(z),1)=\frac{2\pi\, i}{9} \]

Inciso c

Para el caso (c) ambas singularidades están dntro del contorno, por lo que: \[ \oint_{C_c} \!\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}dz=2\pi\, i\, \left[Res(f(z),1)+Res(f(z),-2)\right] \] El primer residuo ya lo conocemos del incisio anterior, pero el segundo, es un polo de orden 2 por lo que se calcula como sigue: \[ Res(f(z),-2)=\lim_{z\to -2}{\frac{d}{dz}\left[(z+2)^2\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}\right]}=\lim_{z\to -2}{\frac{d}{dz}\left[\frac{1}{(z-1)}\right]} \] \[ Res(f(z),-2)=\lim_{z\to -2}{-\left[\frac{1}{(z-1)^2}\right]}=-\frac{1}{(-2-1)^2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9} \] \[ \oint_{C_c} \!\frac{1}{(z-1)(z+2)^2}dz=2\pi\, i\, \left[\frac{1}{9}-\frac{1}{9}\right]=0 \]

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Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 22:43 30 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Utilice el teorema del residuo de Cauchy, para evaluar la integral dada en el contorno dado: $\oint_C \frac{1}{z^2+4z+13}dz$

Sobre el contorno $C:|z-3i|=3$.

Procedimiento

Primero notemos que $z^2+4z+13=(z-(-2+3i))(z-(-2-3i))$. Con $(z_1=-2+3i) \wedge (z_2=-2-3i)$

Vea que $z_1=-2+3i$ satisface $|z-3i|<3$ y que $z_2=-2-3i$ no satisface $|z-3i|<3$, (pues $:|-2-3i-3i|=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}>3$).

Por lo anterior$\frac{1}{z^2+4z+13}$ es analítica en todos los puntos de $|z-3i|=3$, salvo $z_1=-2+3i$

Entonces, por el teorema 6.16:

$\oint_C \frac{1}{z^2+4z+13}dz=(2\pi i) res f(-2+3i)=(2\pi i) \lim_{z\to {z_1} } (\frac{1}{(z-(-2+3i))(z-(-2-3i))})(z-(-2+3i))=(2\pi i)\lim_{z\to {z_1} } \frac{1}{(z-(-2-3i))}=$

$=(2\pi i)\frac{1}{(-2+3i-(-2-3i))}=(2\pi i)\frac{1}{(-2+3i-(-2-3i))}=(2\pi i)\frac{1}{6i}=\frac{\pi}{3}.$

Conclusión

Por lo tanto: $\oint_C \frac{1}{z^2+4z+13}dz=\frac{\pi}{3}$,

en donde $C:|z-3i|=3$

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Realizado por: Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 22:49 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 22

En los problemas 21 a 34 , utilice el teorema de los residuos de Cauchy para evaluar la propuesta integral a lo largo del contorno indicado.

\begin{equation*} \oint _C\frac{1}{z^{3}\left(z-1\right)^{4}}dz \end{equation*}

en el contorno

$C:|z-2|=\frac{3}{2}$.

Procedimiento

Hay 2 polos, un polo de orden 3 en $z=0$ y de orden 4 $z=1$

Usando:

$Res(f(z),z_{0})=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-z_{0})^{n}f(z)\right]$

Para $z_0=0$ y $n=3$

$Res(f(z),0)=\frac{1}{(3-1)!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[ \frac{1}{z^{3}\left(z-1\right)^{4}} \right]$

$Res(f(z),0)=\frac{1}{(2)!}\lim_{z\rightarrow 0}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\left[ \frac{1}{\left(z-1\right)^{4}} \right]$

$Res(f(z),0)=\frac{1}{(2)!}\lim_{z\rightarrow 0} \frac{20}{\left (z-1 \right )^{6}}$

$Res(f(z),0)=\frac{20}{2}=10$

Para $z_0=1$ y $n=4$

$Res(f(z),1)=\frac{1}{(4-1)!}\lim_{z\rightarrow 1}\frac{d^{4-1}}{dz^{4-1}}\left[(z-1)^{4}\frac{1}{z^{3}\left(z-1\right)^{4}}\right]$

$Res(f(z),1)=\frac{1}{(2*3)}\lim_{z\rightarrow 1}\frac{d^{3}}{dz^{3}}\left[\frac{1}{z^{3}}\right]$

Haciendo las derivadas correspondientes:

$Res(f(z),1)=\frac{1}{(2*3)}\lim_{z\rightarrow 1}\frac{-60}{z^{6}}=-\frac{60}{6}= -10$

En la imagen se ve, que solo el polo $z=1$ esta dentro del contorno

Conclusión

Por lo que el valor de la integral esta dado por:

\begin{equation*} \oint _C\frac{1}{z^{3}\left(z-1\right)^{4}}dz = 2\pi i \left [Res(f(z),1) \right ] = -20 \pi i \end{equation*}

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 23

Utilice el teorema de Cauchy del residuo para evaluar la integral a lo largo del contorno indicado

$\oint { \frac { z }{ { z }^{ 4 }-1 } } dz\quad \quad C:\left| z \right| =2$

Procedimiento

Del denominador ${ z }^{ 4 }-1=(z-1)(z+1)(z-i)(z+i),\quad $ tenemos polos simples de $n=1$ en $z=1,-1,i,-i$

Por lo tanto

$Re(f(z),1)=\lim _{ z\rightarrow 1 }{ \left[ (z-1)\frac { z }{ (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) } \right] = } \lim _{ z\rightarrow 1 }{ \left[ \frac { z }{ (z+1)(z-i)(z+i) } \right] = } \frac { 1 }{ 4 } $

y para

$Re(f(z),-1)=\lim _{ z\rightarrow -1 }{ \left[ (z+1)\frac { z }{ (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) } \right] = } \lim _{ z\rightarrow -1 }{ \left[ \frac { z }{ (z-1)(z-i)(z+i) } \right] = } \frac { 1 }{ 4 } $

ahora para

$Re(f(z),i)=\lim _{ z\rightarrow i }{ \left[ (z-i)\frac { z }{ (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) } \right] = } \lim _{ z\rightarrow i }{ \left[ \frac { z }{ (z+1)(z-1)(z+i) } \right] = } \frac {- 1 }{ 4 } $

para finalizar

$Re(f(z),-i)=\lim _{ z\rightarrow -i }{ \left[ (z+i)\frac { z }{ (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) } \right] = } \lim _{ z\rightarrow -i }{ \left[ \frac { z }{ (z+1)(z-1)(z-i) } \right] = } \frac {- 1 }{ 4 } $

Conclusión

Entonces sabemos que la integral quedaría de la siguiente manera

$\oint { \frac { z }{ { z }^{ 4 }-1 } dz\quad =\quad 2\pi i\left[ Re(f(z),1)+Re(f(z),-1)+Re(f(z),i)+Re(f(z),-i) \right] \quad =\quad 2\pi i\left[ \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 4 } \right] } $

$\oint { \frac { z }{ { z }^{ 4 }-1 } dz\quad =\quad 0 } $

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 22:59 3 jul 2015 (CDT)

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Forma alternativa

Utilice el teorema de Cauchy del residuo para elevar la integral a lo largo del contorno indicado.

$\oint _{c}={\frac {z}{z^{4}-1}}dz$ , $C:\mid z\mid =2$

Procedimiento

Factorizamos el denominador y se tiene:

$\oint _{c}{\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}dz=\oint _{c}{\frac {z}{(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)}}$ ya que:

$z=\pm 1,z=\pm i$ tiene 4 polos simples, y dado que todos estos puntos estan dentro del contorno C,

el teorema del residuo de Cauchy nos dice:

$\oint _{c}f(z)dz=2\pi i{\stackrel {[}{k}}=1]{n}{\sum }Res(f(z),z_{k})$

se deduce que:

$\oint _{c}{\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}dz=2\pi i\left[Res(f(z),+1)+Res(f(z),-1)+Res(f(z),+i)+Res(f(z),-i)\right]...(1)$

Entonces tenemos

$Res(f(z),+1)={\underset {z\rightarrow +1}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}-1)f(z)={\underset {z\rightarrow +1}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}-1)\left[{\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}\right]={\underset {z\rightarrow +1}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {z}{z^{2}+1}}={\frac {1}{(1)^{2}+1}}={\frac {1}{2}}$

$Res(f(z),-1)={\underset {z\rightarrow -1}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}-1)f(z)={\underset {z\rightarrow -1}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}-1)\left[{\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}\right]={\underset {z\rightarrow -1}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {z}{z^{2}+1}}={\frac {-1}{(1)^{2}+1}}=-{\frac {1}{2}}$

$Res(f(z),+i)={\underset {z\rightarrow +i}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}+1)f(z)={\underset {z\rightarrow +i}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}+1)\left[{\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}\right]={\underset {z\rightarrow +i}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {z}{z^{2}-1}}={\frac {i}{-1-1}}=-{\frac {i}{2}}$

$Res(f(z),-i)={\underset {z\rightarrow -i}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}+1)f(z)={\underset {z\rightarrow -i}{l{\acute {\imath }}m}}(z^{2}+1)\left[{\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}\right]={\underset {z\rightarrow -i}{l{\acute {\imath }}m}}{\frac {z}{z^{2}-1}}={\frac {-i}{-1-1}}={\frac {i}{2}}$

Solución

Sustituyendo en (1) se tiene finalmente que

$\oint _{c}={\frac {z}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}dz=2\pi i\left[Res(f(z),1)+Res(f(z),-1)+Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)\right]={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2}}+{\frac {i}{2}}=0$

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Elaborado por Ricardo García Hernandez Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:23 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 25

Use el teorema del residuo de Cauchy´s para evaluar la integral dada a lo largo del contorno indicado

$\oint \frac{ze^z}{z^2 - 1} dz$ , $C: |z| = 2$

Procedimiento

Para conocer el valor de la integral a lo largo del contorno sabemos que tenemos el Teorema del residuo:

$\oint _c f)(z) dz = 2\pi i \sum_{k=1} ^{n} a_1$

Donde $a_1$ es el residuo de la integral, y para calcular este podemos hacer uso del teorema:

$a_1 = \lim_{z \rightarrow z_0} [(z - z_0) f(z)]$

Para esta función tenemos $z_0 = 1$ y $z_0 = -1$

Los dos cero están dentro del contorno por lo que podemos calcular los dos residuos

Aplicando el teorema con $z_0 = 1$

$\lim_{z \rightarrow 1} [(z - 1) \frac{ze^z}{z^2 - 1}] = \lim_{z \rightarrow 1} [(z -1) \frac{ze^z}{(z + 1) (z - 1)}] = \lim_{z \rightarrow 1} [\frac{ze^z}{(z + 1)}] = \frac{e}{2}$

Aplicando el teorema con $z_0 = -1$

$\lim_{z \rightarrow -1} [(z + 1) \frac{ze^z}{z^2 - 1}] = \lim_{z \rightarrow -1} [(z + 1) \frac{ze^z}{(z +1) (z - 1)}] = \lim_{z \rightarrow -1} [\frac{ze^z}{z - 1}] = \frac{e^{-1}}{2} = \frac{1}{2e}$

Conclusión

Regresando al teorema del residuo y sustituyendo los residuos tenemos:

$\int_{ |z| = 2} \frac{ze^z}{z^2 - 1} dz = 2\pi i (\frac{e}{2} + \frac{1}{2e})=2\pi i \cosh 1$

Y esta es nuestra integral evaluada.

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Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:50 2 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 26

Utilice el teorema de Cauchy del residuo para evaluar la integral a lo largo del contorno indicado. $\oint _{c}{\frac {e^{z}}{z^{3}+2z^{3}}}dz;C:|z|=3$ de nuestra integral observamos que existen dos ceros en $z_{0}=-2,0$, como podemos observar ambas se encuentran dentro de nuestro contorno, así pues procedemos a calcular los residuos correspondientes debido a que por el teorema:

$\oint _{c}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res(f(z),z_{k})$

Procedimiento

Para $z_{0}=-2$

$Res(f(z),z_{0}=-2)=\lim _{z\rightarrow -2}[(z+z_{0}){\frac {e^{z}}{z^{2}(z+2)}}=\lim _{z\rightarrow -2}{\frac {e^{z}}{z^{2}}}={\frac {1}{4e^{2}}}$

Por otro lado para $z_{0}=0$ por ser de orden 2 tenemos:

$Res(f(z),z_{0}=0)={\frac {1}{2-1}}!\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {d}{dz}}[z^{2}{\frac {e^{z}}{z^{2}(z+2)}}]=lim_{z\rightarrow 0}[{\frac {e^{z}(z+2)-e^{z}}{(z+2)^{2}}}]=lim_{z\rightarrow 0}{\frac {e^{z}(z+1)}{z^{2}+4z+4}}={\frac {1}{4}}$

Conclusión

Por lo cual: $\oint _{c}{\frac {e^{z}}{z^{3}+2z^{2}}}dz=2i\pi [Res(f(z),z_{0}=-2)+Res(f(z),z_{0}=0)]$

$\oint _{c}{\frac {e^{z}}{z^{3}+2z^{2}}}dz={\frac {i\pi }{2}}({\frac {1}{e^{2}}}+1)$

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Realizado por:Anahi Limas (discusión) 22:33 3 jul 2015 (CDT)

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Ejercicio 30

Utilizar el teorema de Cauchy del residuo para evaluar la integral $\oint_C\dfrac{2z-1}{z^2(z^3+1)}dz$, donde $C$ es el rectángulo definido por $x=-2$, $x=1$, $y=-\frac{1}{2}$, $y=1$

Procedimiento

Se tiene que $z=0$ es un polo de orden 2, por lo que su residuo es

$Res(f(z),z_1)=\lim_{z\longrightarrow 0}\dfrac{d}{dz}[z^2\dfrac{2z-1}{z^2(z^3+1)}]=\lim_{z\longrightarrow 0}\dfrac{d}{dz}[\dfrac{2z-1}{(z^3+1)}]$

De la regla del cociente tenemos

$Res(f(z),z_1)=\lim_{z\longrightarrow 0}[\dfrac{(z^3+1)2-(2z-1)3z^2}{(z^3+1)^2}]=2$

El polinomio $z^3+1$ se puede factorizar como $(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)$ donde $z_2$, $z_3$ y $z_4$ son los tres ceros distintos de la ecuación $z^3+1=0$ (o lo que es lo mismo, los tres ceros cúbicos de -1), por lo que del teorema del polo de orden $n$ se deduce que la función $\dfrac{2z-1}{z^2(z^3+1)}$ tiene tres polos simples cada uno en $z_2$, $z_3$ y $z_4$. De la fórmula para las $n$ raíces de un número complejo

$w_k=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta +2k\pi}{n}+i\sin \dfrac{\theta +2k\pi}{n}]$

Con $z=-1$, $|z|=r=1$, $n=3$ y $\theta = \pi$, buscamos los valores de las $n$ raices

$z_2=\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$z_3=\cos \dfrac{\pi +2\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi +2\pi}{3}=\cos \dfrac{3\pi}{3}+i\sin \dfrac{3\pi}{3}=\cos \pi+i\sin \pi=-1$

$z_4=\cos \dfrac{\pi +4\pi}{3}+i\sin \dfrac{\pi +4\pi}{3}=\cos \dfrac{5\pi}{3}+i\sin \dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Con lo anterior tenemos que $z_2=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $z_3=-1$ y $z_4=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ y notamos que la raíz $z_4$ está fuera del rectángulo dado por el problema, por lo que sólo se consideran $z_2$ y $z_3$. De la fórmula

$Res(f(z),z_0)=\dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}$

obtenemos los residuos considerando $g(z)=\dfrac{2z-1}{z^2}$, $h(z)=z^3+1$ y $h'(z)=3z^2$, así

$Res(f(z),z_2)=\dfrac{2(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})-1}{(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}\dfrac{1}{3(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=\dfrac{1+i\sqrt{3}-1}{-\dfrac{2}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{1}{3(-\dfrac{2}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})}=\dfrac{i\sqrt{3}}{3(-\dfrac{2}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=\dfrac{i\sqrt{3}}{3(-0.5-i\dfrac{\sqrt{3}}{2})}=\dfrac{i\sqrt{3}}{-1.5-i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$

$Res(f(z),z_2)=\dfrac{i\sqrt{3}}{-1.5-i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}\dfrac{-1.5+i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{-1.5+i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{-\frac{9}{2}-i2.6}{\frac{9}{4}-\frac{27}{4}}=1+i0.577$

$Res(f(z),z_2)=1+i0.577$

$Res(f(z),z_3)=\dfrac{2(-1)-1}{(-1)^2}\dfrac{1}{3(-1)^2}=\dfrac{-3}{3}=-1$

$Res(f(z),z_3)=-1$

Conclusión

Del Teorema del residuo de Cauchy se tiene

$\oint_Cf(z)=2\pi i[(1+i0.577)-1]=2\pi i(i0.577)=-3.625$

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Realizado por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 18:57 2 jul 2015 (CDT)

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