Compleja:Zill-Cap5.5

Ejercicios del capítulo 5, sección 5 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 5.5

Ejercicio 1

Evalué la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado

$ \oint_{c} \frac{4}{z-3i}dz $; $ |z|=5 $

Procedimiento

Aquí observamos que $f(z)=4$ y $z_0=-i$ como un punto dentro de la circunferencia $C$.

Después observamos que la función $f$ es analítica en el contorno $C$

Y al aplicar la formula de Cauchy, obtenemos

$ \oint_{c} \frac{4}{z-3i}dz = 2\pi i f(-i) =2\pi i(4) $, así tenemos

Conclusión

$ \oint_{c} \frac{4}{z-3i}dz = 8\pi i$

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 18:11 19 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Evaluar la integral a lo largo del contorno indicado:

\begin{equation*} \oint _C \frac{z^2}{\left (z-3i \right )^{2}}dz \end{equation*}

Donde $C: |z|=5$

Procedimiento

Usando la formula integral de Cauchy

\begin{equation*} f^{n}(z_0)=\frac{n!}{2i\pi}\oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \end{equation*}

Para $n=1$ , $z_0=3i$ y $f(z)=z^2$

$f^{1}(3i)=\frac{1!}{2i\pi}\oint \frac{z^2}{(z-3i)^{2}}dz$

$f(z)=z^2$

$f'(z)=2z$

$f'(3i)=2(3i)=6i$

$6i(2i\pi)=\oint \frac{z^2}{(z-3i)^{2}}dz$

Solución

\begin{equation*} \oint \frac{z^2}{(z-3i)^{2}}dz=-12\pi \end{equation*}

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 3

Use el teoremas 5.5.1 o 5.5.2, en su caso para evaluar la integral $\oint_{c} \! \frac{e^z}{z-i\pi}\,dz$ a lo largo de $|z|=4$.

La integral tiene una singularidad en $z=i\pi$, que se encuentra en el dominio de integración, por lo que no es analítica en ese punto y es preciso extraer ese punto, se muestra en la figura.

Procedimiento

El teorema 5.5.1 indica que: \[ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \! \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz \]

Para una $f(z)=e^z$ y una $z_0=i\pi$ tenemos: \[ f(i\pi)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} \! \frac{e^z}{z-i\pi}\,dz \] Que claramente coincide con nuestra integral, despejando nos queda:

Conclusión

\[ \oint_{C} \! \frac{e^z}{z-i\pi}\,dz=f(i\pi)\,(2\pi i)=2i\pi e^{i\pi}=2i\pi\,[cis (\pi)]=2i\pi\,(-1)=-2i\pi \]

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Realizado por:Tlacaelel Cruz (discusión) 23:40 19 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 4

Evalúe la integral dada a lo lardo del contorno cerrado indicado.

$\oint_{c}\frac{1+e^{z}}{z}dz$, con $|z|=1$

Procedimiento

Primero se ve que el único punto donde el integrando no es analítico es en $z=0$ y que, en este caso, se encuentra dentro del contorno C, y teniendo en cuenta el teorema 5.5.1 tenemos que:

$f(z)=1+e^{z}$

Y

$z-z_{0}=z-0$

Entonces:

$\oint_{c}\frac{1+e^{z}}{z}dz,=\oint_{c}\frac{f(z)}{z-z_{o}}dz=2\pi if(z_{0})=2\pi if(0)=2\pi i(1+1)$

Conclusión

Finalmente

\[ \oint_{c}\frac{1+e^{z}}{z}dz,=4\pi i \]

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Realizado por:Fernando Vazquez V. (discusión) 01:13 21 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Use el teoremas 5.5.1 o 5.5.2, en su caso para evaluar la integral a lo largo del contorno cerrado indicado.

$ \oint_{c} \frac{z^2-3z+4i}{z+2i}dz $; $ |z|=3 $

Procedimiento

Primero, identificamos $f(z)=z^2-3z+4i$ y $z_0=-2i$ como un punto dentro del círculo C. Se observa que $f$ es analítica en todos los puntos dentro y en el contorno C. Así, por Cauchy (Teorema 5.5.1):

$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c} \frac{f(z)}{z-z_0} dz $

Obtenemos:

$ 2\pi i f(-2i)= 2\pi i(-4+10i)= -8\pi i -20\pi = -\pi(20+8i) $

Conclusión

$ \oint_{c} \frac{z^2-3z+4i}{z+2i}dz = 2\pi i f(-2i)= -\pi(20+8i)$

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Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 21:56 18 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

Evalúe la integral dada a lo largo de los contornos

$\oint {\frac {z^{2}}{z^{2}+4}}dz$

Inciso a

a) $|z-i|=2$

Analizando la función dada, la función tiene puntos donde no es analítica en los puntos $z=2i$ y en el punto $z=-2i$

reescribiendo la función

$\oint {\frac {z^{2}}{z^{2}+4}}dz=\oint {\frac {z^{2}}{(z+2i)(z-2i)}}$

En donde para este contorno el término $z+2i$ no está definido en el dominio, por lo que haremos que

$\oint {\frac {z^{2}}{(z+2i)(z-2i)}}=\oint {\frac {\frac {z^{2}}{(z+2i)}}{(z-2i)}}=\oint {\frac {f(z)}{(z-2i)}}=2i\pi f(z)$

Por lo que evaluando f(z) en $z=2i$, tenemos que

$f(2i)={\frac {z^{2}}{(z+2i)}}={\frac {-4}{4i}}={\frac {-1}{i}}$

por lo que el resultado es

$\oint {\frac {z^{2}}{(z+2i)(z-2i)}}=-2\pi$

Inciso b

b) $|z+2i|=1$

Del inciso a) analizamos que f(z) no es analítica en $z$ en los puntos $z=2i$ y en el punto $z=-2i$

reescribiendo la función. Y lo escribimos de la forma

$\oint {\frac {z^{2}}{z^{2}+4}}dz=\oint {\frac {z^{2}}{(z+2i)(z-2i)}}$

Por lo que hacemos el mismo proceso anterior, pero ahora solo para el punto $z=-2i$ dado que en esta región no es analítica en dicho punto. Por lo que tenemos que

$\oint {\frac {z^{2}}{(z+2i)(z-2i)}}=\oint {\frac {\frac {z^{2}}{(z-2i)}}{(z+2i)}}=\oint {\frac {f(z)}{(z+2i)}}=2i\pi g(z)$

Evaluando g(z) en $z=-2i$ tenemos que

$g(-2i)={\frac {(-2i)^{2}}{(-2i-2i)}}={\frac {1}{i}}$

Por lo que

$\oint {\frac {z^{2}}{(z+2i)(z-2i)}}=2\pi$

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Realizado por:Pablo (discusión) 14:31 21 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Evalúe la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado.

$\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz ; |z-i|=1$

Procedimiento

Nuestro contorno esta definido por una circunferencia con centro en $i$ y radio $1$ .Ahora bien podemos notar de nuestra función que existe una singularidad cuando $z=i$ la cual se encuentra dentro de nuestro dominio , por lo cual no es analítica en ese punto.

Para la resolución de este problema emplearemos lo siguiente: $f^{n}(z_0)=\frac{n!}{2i\pi}\oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz..... (*)$

por lo cual de nuestra integral a resolver identificamos:

$n=2$

$n!=2$

$f(z)=e^{z²}$

$f'(z)=2z e^{z²}$

\[ f''(z)=2e^{z²}(2z²+1) \]

$z_0=i$

utilizando $(*)$

$2 e^{z_0²}(2z_0²+1)=\frac{2}{2i\pi}\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz$

sustituyendo :

$2 e^{(i)²}(2(i)²+1)=\frac{2}{2i\pi}\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz$

$2 e^{-1}(-1)=\frac{2}{2i\pi}\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz$

Solución

Despejando $-2 e^{-1}i\pi=\oint_{C}\frac{e^{z²}}{(z-i)³}dz$

Por lo cual nuestra solución es $-2ie^{-1}\pi$

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Realizado por:Anahi Limas (discusión) 18:55 21 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Evalúe la integral a lo largo de los contornos cerrados indicados

1.- $\oint_{C}\frac{2z+5}{z^{2}-2z}dz$; a) $\mid z\mid=\frac{1}{2}$

b) $\mid z+1\mid=2$

c) $\mid z-3\mid=2$

d) $\mid z+2i\mid=1$

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z^{2}-2z}dz=\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz$

Inciso a

y por fracciones parciales:

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=\oint_{C}[\frac{A}{z}+\frac{B}{z-2}]dz=\oint_{C}\frac{A(z-2)+B(z)}{z(z-2)}\Longleftrightarrow2z+5=A(z-2)+B(z)$

resolviendo la ecuación para $A\;y\;B$ tenemos:

si

$z=0$

entonces:

$5=-2A\Longleftrightarrow A=-\frac{5}{2}$

si

$z=2$

entonces:

$9=2B\Longleftrightarrow B=\frac{9}{2}$

de esto:

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=\oint_{C}[\frac{A}{z}+\frac{B}{z-2}]dz=\oint_{C}[-\frac{5}{2z}+\frac{9}{2z-4}]dz=-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz+\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz$

$\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz+\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz$

evaluando la integral a lo largo de a) $\mid z\mid=\frac{1}{2}$

como se puede ver $\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz$ no es una función analítica en $z=0\;y\;en\;z=2$

y como $\mid z\mid=\frac{1}{2}$ es una circunferencia de radio $\frac{1}{2}$ centrada en $0+0i$ entonces

por el teorema de Cauchy-Goursat

$\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=0$

ademas como $-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz$ no es analítica en $\mid z\mid=\frac{1}{2}$ entonces por la formula de la integral de Cauchy

$f(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f(z)}{z-z_{0}}dz$

$\oint_{C}\frac{1}{z}dz=2\pi i\Longleftrightarrow-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=-\frac{5}{2}2\pi i=-5\pi i$

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=0-5\pi i=-5\pi i$

Inciso b

Ahora evaluando a lo largo de b) $\mid z+1\mid=2$, (circunferencia de radio $2$ centrada en $-1$) por el razonamiento anterior:

como $z=2$ no esta dentro del contorno $\mid z+1\mid=2$ entonces por el teorema de Cauchy-Goursat

$\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=0$

como $z=0$ se encuentra dentro del contorno $\mid z+1\mid=2$

$\oint_{C}\frac{1}{z}dz=2\pi i\Longleftrightarrow-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=-\frac{5}{2}2\pi i=-5\pi i$

ademas

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=0-5\pi i=-5\pi i$

Inciso c

Ahora evaluando a lo largo de c) $\mid z-3\mid=2$,(circunferencia de radio $2$ centrada en $3$)

como $z=2$ esta sobre el contorno $\mid z-3\mid=2$ entonces

$\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=2\pi i\Longleftrightarrow\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=\frac{9}{2}2\pi i=9\pi i$

como $z=0$ no se encuentra dentro del contorno $\mid z+1\mid=2$ por el teorema de Cauchy-Goursat

$-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=0$

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=9\pi i+0=9\pi i$

Inciso d

ahora evaluando a lo largo de d) $\mid z+2i\mid=1$(circunferencia de radio$1$ centrada en $-2i$ )

como $z=0\;y\;z=2$ no se encuentran dentro del contorno $\mid z+2i\mid=1$ entonces por el teorema de Cauchy-Goursat

$\frac{9}{2}\oint_{C}\frac{1}{z-2}dz=0$

$-\frac{5}{2}\oint_{C}\frac{1}{z}dz=0$

entonces:

$\Longrightarrow\oint_{C}\frac{2z+5}{z(z-2)}dz=0+0=0$

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Realizado por: Francisco Medina Albino (discusión) 23:19 19 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Utilice los teoremas 5.5.1 y 5.5.2, cuando sea apropiado, evalúe la integral $ \oint_{C} \! \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i)} \,dz $ a lo largo de los contornos cerrados indicados.

$(a)$ $|z|=1$

$(b)$ $|z-1-i|= 1$

Inciso a

Solución del inciso $(a) : $

Al examinar el integrando se ve que no es analítica en $z=0$ y en $z=1+i$ pero sólo $z=0$ está dentro del contorno cerrado. Al escribir el integrando como

\[ \frac{z+2}{z^{2}(z-1-i)}=\frac{\frac{z+2}{z-1-i}}{z^{2}} \]

podemos identificar, $ z_{0}=0 $ y $ n=1 $ y $ f(z)=\frac{z+2}{z-1-i} $. La regla del cociente da $f'(z)= -\frac{3+i}{(z-(1+i))^2}$ y así $f'(0)=-\frac{1}{2}+\frac{3 i}{2} $. Por tanto, del teorema 5.5.2 se encuentra

\[ \oint_{C} \! \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i)} \,dz = \frac{2 \pi i }{1!} f'(0) = \left( \frac{2 \pi i }{1!} \right) \left( -\frac{1}{2}+\frac{3 i}{2} \right) = (-3-i) \pi \]

Inciso b

Solución del inciso $(b) : $

Al examinar vemos que $1+i$ es el único punto en el contorno cerrado $C$ en que el integrando no es analítico. Entonces reescribiendo el integrando como

\[ \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i) }= \frac{ \frac{z+2}{z^{2}} }{z-1-i} \]

podemos identificar $f(z)= (z+2)/z^{2}$. La función $f$ es analítica en todos los puntos dentro y sobre el contorno $C$. Por tanto, de la fórmula integral de Cauchy del teorema 5.5.1 tenemos:

\[ \oint_{C} \! \frac{z+2}{z^{2} (z-1-i)} \,dz = \int_{C} \! \frac{ \frac{z+2}{z^{2}} }{z-1-i} \,dz = 2 \pi i f(1+i)= ( 2 \pi i)\left( \frac{1}{2}-\frac{3 i}{2} \right)= (3+i) \pi \]

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Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:05 20 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Usa el teorema 5.9 o 5.10 que sea apropiado para evaluar la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado

$\oint_{C} \frac{1}{z^{3} (z - 4)} dz ; (a) |z| = 1 , (b) |z - 2| = 1$

Procedimiento

(a) $|z| = 1$

Las singularidades de la integral son $z=0$ y $z=4$

Ahora tenemos una circunferencia con centro en 2 y de radio 1 es por ello que re escribiremos la integral de la siguiente forma:

$\oint_{C} \frac{\frac{1}{z - 4}}{z^3} dz$

Ahora en este haremos uso del teorema 5.10 :

\[ f ''(z_0) = \frac{2}{2\pi i } \oint_{C} \frac{f (z)}{(z - z_0)^3} dz \]

Donde: \[ f = \frac{1}{z - 4} \]

\[ z_0 = 0 \]

\[ f ' = \frac{d}{dz} (z - 4)^{-1} = \frac{-1}{(z - 4)^2} \]

\[ f '' = \frac{d}{dz} (\frac{-1}{(z - 4)^2}) = \frac{2}{(z - 4)^3} \]

Aplicando el teorema a la integral tenemos:

\[ \oint_{C} \frac{\frac{1}{z - 4}}{z^3} dz = \frac{2\pi i}{2} f '' (z_0) \]

Con

\[ f '' (z_0) = \frac{2}{(0 - 4)^3} = \frac{-2}{64} = \frac{-1}{32} \]

$\Rightarrow $

$\oint_{C} \frac{1}{z^{3} (z - 4)} dz = \oint_{C} \frac{\frac{1}{z - 4}}{z^3} dz = \frac{-\pi i}{32}$

Inciso b

En este caso ambas singularidades están fuera del contorno, como se ve en la siguiente imagen:

Dado que $f(z)$ es Analítica sobre la curva C, entonces la integral es 0, usando el teorema de Cauchy-Goursat.

$\oint_{C} \frac{1}{z^{3} (z - 4)} dz = 0$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 19

Ejercicio 19

Evaluar la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado:

$\oint_{c}\left(\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}\right)dz$ ; $\left|z\right|=6$

$\oint_{c}\left(\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}\right)dz$

$=\oint_{c}\frac{e^{2iz}}{z^{4}}dz-\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$

$=\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz-\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$ ...$\left(1\right)$

Procedimiento

por lo que podemos definir convenientemente:

$f\left(z_{1}\right)=e^{2iz}$ ...$\left(2\right)$ y

$f\left(z_{2}\right)=z^{4}$ ...$\left(3\right)$

También es claro que hay dos singularidades en:

1.- $z_{0,1}=0$ y

2.- $z_{0,2}=i$

{*} Para poder utilizar la fórmula integral de Cauchy las funciones

evaluadas en la integral deben ser analíticas en un dominio simplemente

conexo $D$ y $C$ debe ser cualquier contorno cerrado simple situado

totalmente en $D$. En nuestro ejemplo estas condiciones sí se cumplen. {*}

.

Cálculo de $\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz$ :

Por la fórmula integral de Cauchy se tiene:

$\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz$

$=\frac{2\pi i.f\prime\prime\prime\left(z_{0,1}\right)_{1}}{3!}$

donde $f\prime\prime\prime\left(z_{1}\right)=-8ie^{2iz}$ es la derivada

de tercer orden de la ecuación $\left(2\right)$

Y por lo tanto

$f\prime\prime\prime\left(z_{0,1}\right)_{1}=-8i$

entonces:$\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz=\frac{2\pi i\left(-8i\right)}{6}=\frac{8}{3}\pi$ ...$\left(4\right)$

Cálculo de $\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$

Por la fórmula integral de Cauchy se tiene:

$\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz$

$=\frac{2\pi i\left(f\prime\prime\left(z_{0,2}\right)_{2}\right)}{2!}$

donde $f\prime\prime\left(z_{2}\right)=12z^{2}$es la segunda derivada de la ec $\left(3\right)$

Y por lo tanto :

$f\prime\prime\left(z_{0,2}\right)_{2}=12i^{2}$

Entonces:

$\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz=\frac{2\pi i\left(12i^{2}\right)}{2}=-12\pi i$ ... $\left(5\right)$

Finalmente sustituyendo los valores de las ecs. $\left(4\right)$y $\left(5\right)$en

Conclusion

la euación $\left(1\right)$ se obtiene:

$\oint_{c}\frac{e^{2i\pi}}{\left(z-0\right)4}dz-\oint_{c}\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}dz=\frac{8}{3}\pi+12\pi i$

$\therefore\oint_{c}=\left(\frac{e^{2iz}}{z^{4}}-\frac{z^{4}}{\left(z-i\right)^{3}}\right)dz=\pi\left(\frac{8}{3}+12i\right)$

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Resuelto por: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 17:38 18 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Evalue la integral dada a lo largo del contorno cerrado indicado

$\oint _{c}{\frac {dz}{z^{3}(z-1)^{2}}}$ ; $\mid z-2\mid =5$

Procedimiento

Observamos que el centro de la curva es z=2 y tiene radio 5, entonces analizando la integral se ve que no es analítico en z=0 y z=1, pero ambos están dentro del contorno entonces es analítica la curva, procedemos a decir:

$\oint _{c}{\frac {dz}{z^{3}(z-1)^{2}}}=\oint _{c}{\frac {\frac {1}{z^{3}}}{(z-1)^{2}}}dz+\oint _{c}{\frac {\frac {1}{(z-1)^{2}}}{z^{3}}}dz$, donde :

$f_{1}(z)={\frac {1}{z^{3}}}$ , $f_{2}(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}$ y entonces nos queda:

$\oint _{c}{\frac {dz}{z^{3}(z-1)^{2}}}=\oint _{c}{\frac {f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}}dz+\oint _{c}{\frac {f_{2}(z)}{z^{3}}}dz$

La formula integral de Cauchy para derivadas, para cualquier punto $z_{0}$ dentro de C es:

$\oint _{c}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz={\frac {2\pi i}{n{\text{!}}}}f^{(n)}(z_{0})$, comparando con las integrales que tenemos, obtenemos:

Para la primera función

$\oint _{c}{\frac {f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}}dz={\frac {2\pi i}{1!}}f_{1}^{'}(1)$ , donde $n+1=2\Rightarrow n=1$ y $z_{0}=1$

lo que nos dice n=1 ,es obtener la primera derivada de la funcion f1, y despues valuar en el punto 1,entonces:.

$f_{1}(z)={\frac {1}{z^{3}}}$

$f_{1}'(z)=-{\frac {3}{z^{4}}}$

$f_{1}'(1)=-{\frac {3}{(1)^{4}}}=-3$

$\oint _{c}{\frac {f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}}dz={\frac {2\pi i}{1!}}f_{1}^{'}(1)={\frac {2\pi i}{1!}}(-3)=-6\pi i$

Para la segunda función

$\oint _{c}{\frac {f_{1}(z)}{(z-0)^{3}}}dz={\frac {2\pi i}{1!}}f_{2}^{''}(0)$ , donde $n+1=3\Rightarrow n=2$ y $z_{0}=0$

lo que nos dice n=2 ,es obtener la segunda derivada de la funcion f2 y despues valuar en el punto 0 ,entonces:.

$f_{2}(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}}}$

$f_{2}'(z)=-{\frac {2}{(z-1)^{3}}}$

$f_{2}''(z)={\frac {6}{(z-1)^{4}}}$

$f_{2}''(0)={\frac {6}{(0-1)^{4}}}=6$

$\oint _{c}{\frac {f_{2}(z)}{(z-0)^{3}}}dz={\frac {2\pi i}{2!}}f_{2}^{'}(0)=\pi i(6)=6\pi i$

Solución

Por lo tanto

$\oint _{c}{\frac {dz}{z^{3}(z-1)^{2}}}=\oint _{c}{\frac {f_{1}(z)}{(z-1)^{2}}}dz+\oint _{c}{\frac {f_{2}(z)}{z^{3}}}dz=-6\pi i+6\pi i=0$

$\oint _{c}{\frac {dz}{z^{3}(z-1)^{2}}}=0$

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Elaborado por: Ricado García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 15:23 20 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 22

Utilice los teoremas 5.9 y 5.10, cuando sean apropiados, para evaluar la integral a lo largo de los contornos cerrados:

$\oint_C \frac{1}{z^2(z^2+1)}dz; |z-i|=\frac{3}{2} $.

Procedimiento

Notemos que: $f(z)=\frac{1}{z+i}$ es analítica dentro del contorno dado, por otra parte: $z^2+1=(z+i)(z-i)$ y que $\frac{1}{z^2(z^2+1)}=\frac{\frac{1}{z+i}}{z^2(z-i)}$.

Entonces:

$\oint_C \frac{1}{z^2(z^2+1)}dz=\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z^2(z-i)}dz$. Al descomponer $\frac{1}{z^2(z-i)}$ en fracciones parciales obtenemos que: $\frac{1}{z^2(z-i)}=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z}$. Por lo anterior $\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z^2(z-i)}dz=\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z^2}dz-\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{(z-i)}dz+\oint_C \frac{\frac{1}{z+i}}{z}dz=\frac{2\pi if'(0)}{1!}-2\pi i f(i)+2\pi if(0)=2\pi i(\frac{-1}{(0+i)^2}-\frac{1}{2i}+\frac{1}{i})=2\pi i(1-\frac{1}{2i}+\frac{2}{2i})=2\pi i (1+\frac{1}{2i})=2\pi (\frac{1}{2}+i)=\pi(1+2i)$.

Solución

Por lo tanto: $\oint_C \frac{1}{z^2(z^2+1)}dz ;(|z-i|=\frac{3}{2})=\pi(1+2i) $

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Realizado por:Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:07 28 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 23

Evaluar la integral, donde C es la figura en forma de ocho

$\oint_{c}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz$

Procedimiento

Sabemos que C no es un contorno simple pero lo pensamos como si fueran dos solo que uno va en horario $-c_{1}$ y el otro antihorario $c_{2}$ por cual las integrales las escribiremos de la siguiente manera:

$\oint_{c}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz+\oint_{c_{2}}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz=-\oint_{-c_{1}}\frac{\frac{3Z+1}{\left(Z-2\right)^{2}}}{Z}dz+\oint_{c_{2}}\frac{\frac{3Z+1}{Z}}{\left(Z-2\right)^{2}}dz=-I_{1}+I_{2}$

Para resolver $I_{1}$usaremos

$f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}dz$

Sacamos a $z_{0}$y a $f\left(z\right)$

$z_{0}=0$ $f\left(z\right)=\frac{3z+1}{\left(z-2\right)^{2}}$

entonces tenemos que:

$I_{1}=\oint_{-c_{1}}\frac{\frac{3Z+1}{\left(Z-2\right)^{2}}}{Z}dz=2\pi if\left(0\right)=2\pi i\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{2}i$

Pero nosotros queremos $-I$ entonces al resultado anterior lo multiplicamos por un signo menos y así tenemos que:

$-I=-\frac{\pi}{2}i$

Ahora para resolver $I_{2}$ utilizaremos

$f^{\left(n\right)}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

tenemos que

$z_{0}=2$ y $f\left(z\right)=3+\frac{1}{z}\Longrightarrow f^{,}\left(z\right)=-\frac{1}{Z^{2}}$y también $f\left(2\right)=-\frac{1}{4}$

Ahora resolvemos $I_{2}$

$I_{2}=\oint_{c_{2}}\frac{\frac{3Z+1}{Z}}{\left(Z-2\right)^{2}}dz=\frac{2\pi i}{1!}f^{\text{,}}\left(2\right)=2\pi i\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi}{2}i$

Conclusión

Finalmente sumamos las integrales y obtenemos el resultado requerido que es:

$\oint_{c}\frac{3z+1}{z\left(z-2\right)^{2}}dz=-\pi i$

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Resuelto por: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:31 21 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 24

En los problemas 23 y 24 , evalúe la integral dada , donde C es la forma de ocho vertical contorno en la figura 5.47,

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ donde C es ese 8 vertical

Procedimiento

para poder atacar este ejercicio tenemos los siguientes teoremas:

1.-Fórmula Integral Teorema 5.9 de Cauchy:

Supongamos que f es analítica en un dominio simplemente conexo D y C es cualquier contorno cerrado sencilla situada totalmente en D. Entonces, para cualquier punto z0 singular dentro de C ,

$f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2i\pi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)}dz$

2.-Fórmula Integral Teorema 5.10 de Cauchy para Derivados:

Supongamos que f es analítica en un dominio simplemente conexo D y C es cualquier contorno cerrado sencilla situada totalmente en D. Entonces, para cualquier punto z0 singular dentro de C

$f^{n\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2i\pi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

por lo cual debemos llevar la integral propuesta a alguna de las dos formas anteriores para poder usar algún teorema:

pero antes debemos considerar el contorno C y la integral es obvio que el denominador tiene 2 singularidades las cuales son $z=i$ y tambien $z=-i$ y tambien es obvio que este contorno no es simple ya que tiene un cruce con si mismo por lo cual procedemos a cortar este contorno en dos contornos de la siguiente manera:

$C=c_{1}+c_{2}$donde cada sumando es una porción del contorno total por lo que la integral original podemos partirla en dos integrales de la siguiente manera:

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$

ahora si resolvemos cada integral por separado y aplicando los teoremas y después las sumamos

3.- integral sobre c$_{1}$donde la singularidad es $z=i$:

$\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ arregladora para poder usar algún teorema queda:

$\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)^{2}}dz=\oint c_{1}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)}dz$ dejamos las singularidades en el denominador y subimos al numerador el resto de la siguiente manera:

$\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)\left(z+i\right)}}{\left(\left(z-i\right)\right)\left(\left(z-i\right)\right)}dz$ desarrollando en el denominador tenemos:

$\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz$ haora si podemos utilizar el teorema Fórmula Integral Teorema 5.10 de Cauchy para Derivados

$f^{n\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2ipi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

$f^{1\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{1!}{2ipi}\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz$ donde $f\left(z\right)=\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}$la cual es analitica para c$_{1}$ y $z_{0}=i$

$f^{1\prime}\left(i\right)=\frac{\left(z+i\right)^{2}ie^{iz}-e^{iz}\left(2\left(z+i\right)\right)}{\left(\left(z+i\right)^{2}\right)^{2}}=\frac{-4e^{-1}}{\left(2i\right)^{3}}$ entonces la integral para c$_{1}$queda:

$\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz=2ipi\left(\frac{-4e^{-1}}{\left(2i\right)^{3}}\right)$

4.. 3.- integral sobre c$_{2}$donde la singularidad es $z=-i$:

$-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$ arregrandola para poder usar algun teorema queda:

$-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=-\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)^{2}}dz=-\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)}dz$ dejamos las singularidades en el denominador y subimos al numerador el resto de la siguiente manera:

$-\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)\left(z-i\right)}}{\left(\left(z+i\right)\right)\left(\left(z+i\right)\right)}dz$ desarrollando en el denominador tenemos

$-\oint_{c_{1}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)^{2}}}{\left(z+i\right)^{2}}dz$ haora si podemos utilizar el teorema Fórmula Integral Teorema 5.10 de Cauchy para Derivados

$f^{n\prime}\left(z_{0}\right)=\frac{n!}{2ipi}\oint_{c}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}dz$

$-f^{1\prime}\left(z_{0}\right)=-\frac{1!}{2ipi}\oint_{c_{2}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)^{2}}}{\left(z+i\right)^{2}}dz$ donde $f\left(z\right)=\frac{e^{iz}}{\left(z-i\right)^{2}}$ la cual es analitica en c$_{2}$y $z_{0}=-i$

$-f^{1\prime}\left(-i\right)=\frac{\left(z-i\right)^{2}ie^{iz}-e^{iz}\left(2\left(z-1\right)\right)}{\left(\left(z-i\right)^{2}\right)^{2}}=-\frac{\left\{ 0\right\} e^{-1}}{\left(-2i\right)^{3}}=-0$ entonces la integral para c$_{1}$queda:

$-\oint_{c_{2}}\frac{\frac{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}}{\left(z-i\right)^{2}}dz=-2i\pi \left(0\right)=0$

por lo tanto la integral total es igual a la suma de integrales para c1 y c2

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=\oint_{c_{1}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz-\oint_{c_{2}}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz$

Solución

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=2i\pi \left(\frac{-4e^{-1}}{\left(2i\right)^{3}}\right)-0$

$\oint_{c}\frac{e^{iz}}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}dz=2i\pi \left(\frac{-4e^{-1}}{-8i}\right)=\frac{-8\pi e^{-1}}{-8}=\pi e^{-1}$

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Realizado por:Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT)

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Ejercicio 25

Proceder como el ejemplo 5 para encontrar el módulo máximo de la función dada en la región circular $|z|\leq 5$ para $f(z)=-iz+i$.

Procedimiento

$|f(z)|^2=f(z)\bar{f(z)}=(-iz+i)(i\bar{z}-i)=-i(z-1)(\bar{z}-1)i=-i^2\left [z\bar{z}-(z+\bar{z})+1 \right ]$

$|f(z)|=z\bar{z}-2Re(z)+1$

Entonces:

$max|f(z)|^2=max|z\bar{z}-2Re(z)+1|$

Donde el $max(z)=5$ Entonces:

$max|f(z)|^2=max|z\bar{z}-2Re(z)+1|=5^2-2(-5)+1$

Solución

$max|f(z)|^2=25+10+1=36$

Entonces:

$|f(z)|=6$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 26

proceda como en el ejemplo 5 para encontrar el módulo máximo de la función dada en la región circular cerrada indicada

$f(z)=z^{2}+4z$ ; $|z|\leq1$

Procedimiento

sabemos que

$|z|^{2}=z\overline{z}$

entonces

$|z^{2}+4z|^{2}=\left(z^{2}+4z\right)\left(\overline{z^{2}+4z}\right)=\left(z^{2}+4z\right)\left(\overline{z^{2}}+4\overline{z}\right)=z^{2}\overline{z^{2}}+4z\overline{z^{2}}+4\overline{z}z^{2}+16z\overline{z}$

usando las propiedades de los números complejos siguientes

$\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}*\overline{z_{2}}$

$|z|^{2}=z\overline{z}$

obtenemos

$z^{2}\overline{z^{2}}+4z\overline{z^{2}}+4\overline{z}z^{2}+16z\overline{z}=zz\overline{z}\overline{z}+4z\overline{z}\overline{z}+4\overline{z}zz+16z\overline{z}=|z|^{2}|z|^{2}+4|z|^{2}\overline{z}+4|z|^{2}z+16|z|^{2}$

nosotros sabemos que $m\acute{a}x_{|z|\leq1}|z^{2}+4z|$ ocurre cuando $|z|=1$

entonces sustituimos y simplificamos

$|z|^{2}|z|^{2}+4|z|^{2}\overline{z}+4|z|^{2}z+16|z|^{2}=(1^{2})(1^{2})+4(1)\overline{z}+4(1)z+16(1)^{2}=1+4\overline{z}+4z+16=17+4(z+\overline{z})$

ahora usamos otra propiedad

$*Re(z)=\frac{\overline{z}+z}{2}$

$2Re(z)=\overline{z}+z$

por lo tanto obtenemos

$17+4(z+\overline{z})=17+4\left(2Re(z)\right)=17+8Re(z)$

y la parte real vale 1 cuando alcanza su máximo en este caso, por lo tanto nos sale que

$17+8Re(z)=17+8=25$

entonces obtenemos que

$|z^{2}+4z|^{2}=25$

$|z^{2}+4z|=\sqrt{25}=5$

Solución

por lo tanto

$m\acute{a}x_{|z|\leq1}|z^{2}+4z|=5$

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Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:40 21 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 28

Supongamos que $f$ es analítica dentro y sobre de la circunferencia C de radio r con el centro en $z_{0}$. Use (1) para obtener

\[ f(z_{0}) \dfrac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0} f(z_{0}+re^{i \theta})d\theta\]

Procedimiento

Usando (1)

\[ f(z_{0}) = \dfrac{1}{2\pi} \oint_{C} \dfrac{f(z)}{z-z_{0}} dz \]

Como el radio de C es r entonces $|z-z_{0}|= r $ o $z= z_{0} +re^{i\theta}$. Así (1) se convierte en

\[ f(z_{0}) = \dfrac{1}{2\pi} \oint_{C} \dfrac{f(z_{0}+re_{i\theta} ) ire^{i\theta}}{re^{i\theta}} d\theta \]

Así llegamos al teorema del valor medio

Conclusión

\[ f(z_{0}) \dfrac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0} f(z_{0}+re^{i \theta})d\theta\]

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Realizado por:Esther Sarai (discusión) 21:23 21 jun 2015 (CDT)Esther Sarai

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Forma alternativa

Se tiene la formula integral de Cauchy:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{c}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz$

donde el problema nos dice que f es analítica , $z_{0}$ es el centro , y r el radio de la circunferencia C.

Recordemos que la forma exponencial de un numero complejo esta dada de la forma:

$z=re^{i\theta }$

lo que nos permite expresar la forma polar de un número complejo distinto de cero.

Para nuestro caso y centro en z subíndice cero, se tiene que:

$z-z_{0}=re^{i\theta }...(1)$

Entonces despejando “z” se tiene:

$z=z_{0}+re^{i\theta }...(2)$

Ahora derivamos ambos miembros , uno con respecto a “z” y otro con respecto a theta en el segundo miembro, y se tiene:

$z=z_{0}+re^{i\theta }$

$dz=rie^{i\theta }d\theta ...(3)$

Sustituyendo en la formula integral de Cauchy (1),(2) y (3) se tiene:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{c}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz$

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{c}{\frac {f(z_{0}+re^{i\theta })}{re^{i\theta }}}(rie^{i\theta }d\theta )$

Eliminado términos se tiene:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\oint _{c}f(z_{0}+re^{i\theta })d\theta$

en este contorno cerrado de la circuferenia nuestro ángulo theta va de 0 a 2 pi, entonces:

$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{i\theta })d\theta$

Lo cuál esta demostrado y ha este resultado se le conoce como el teorema del valor medio de Gauss,

y muestra que el valor de f en el centro z subíndice cero de la circunferencia es el promedio de todos

los valores de f en la circunferencia de C.

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Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:28 22 jun 2015 (CDT)

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