Diferencia entre revisiones de «Compleja:Zill-Cap4.2»
(No se muestran 47 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 133: | Línea 133: | ||
===Ejercicio 4=== | ===Ejercicio 4=== | ||
Determine todos los valores de la potencia compleja dada. | |||
$(1+\sqrt{3}i)^{i}$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
suponga que $z=1+\sqrt{3}i$ entonces | suponga que $z=1+\sqrt{3}i$ entonces | ||
Línea 141: | Línea 143: | ||
$(1+\sqrt{3}i)^{i}=z^{i}$ | $(1+\sqrt{3}i)^{i}=z^{i}$ | ||
así | |||
$z^{i}=e^{iln\:z}$ | $z^{i}=e^{iln\:z}$ | ||
Línea 151: | Línea 153: | ||
$e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))$ | $e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))$ | ||
'''Solución''' | |||
$(1+\sqrt{3}i)^{i}=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}} | $(1+\sqrt{3}i)^{i}=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}\left [\cos(\log_{e}2)+i\sin(\log_{e}2) \right ]$ | ||
---- | ---- | ||
[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 02:27 5 jun 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 5=== | ===Ejercicio 5=== | ||
Línea 219: | Línea 221: | ||
$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}\right)ln\left(ei\right)}}$ | $_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}\right)ln\left(ei\right)}}$ | ||
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left | $\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left [ln\left(e\right)+iarg(ei) \right ]}$ | ||
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left(1+i\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$ | $\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left(1+i\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$ | ||
Línea 225: | Línea 227: | ||
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$ | $\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$ | ||
'''Solución''' | |||
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}}e^{i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}$ | |||
---- | ---- | ||
[[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 13:45 6 junio 2015 (CDT) ---- | [[Usuario:Martin Flores Molina|Martin Flores Molina]] ([[Usuario discusión:Martin Flores Molina|discusión]]) 13:45 6 junio 2015 (CDT) ---- | ||
---- | |||
=== Ejercicio 7 === | === Ejercicio 7 === | ||
Determine el valor principal de la potencia compleja dada | |||
$(-1)^{3i}$ | $(-1)^{3i}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
$z=-1$ | $z=-1$ | ||
Línea 250: | Línea 254: | ||
entonces definimos $\alpha=3i$ | entonces definimos $\alpha=3i$ | ||
Lo que da como resultado: | |||
$(-1)^{3i}=e^{(3i)Ln(-1)}=e^{(3i)(log_{e}1+i\pi)}$ | $(-1)^{3i}=e^{(3i)Ln(-1)}=e^{(3i)(log_{e}1+i\pi)}$ | ||
--[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 23:59 4 jun 2015 (CDT) | '''Solución''' | ||
Por lo tanto: | |||
$(-1)^{3i}=e^{(3i)(0+i\pi)}=e^{-3\pi}$ | |||
---- | |||
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 23:59 4 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Línea 265: | Línea 275: | ||
$(3)^{2i/\pi}$ | $(3)^{2i/\pi}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Generalmente se sabe que $z^{α}= e ^{αlnz}$ | Generalmente se sabe que $z^{α}= e ^{αlnz}$ | ||
Donde $z=3$ | Donde $z=3$ | ||
$|z|=3$ | |||
$Arg(3)= | $Arg(3)=0$ | ||
Línea 278: | Línea 291: | ||
$Ln(3)=log_{e}3+ | $Ln(3)=log_{e}3+i0$ | ||
y sabemos que $\alpha=2i | y sabemos que $\alpha=\frac{2i}{\pi}$ | ||
por lo tanto | por lo tanto: | ||
'''Solución''' | |||
$z^{α}= e ^{αlnz}=e^{(\frac{2i}{\pi})Ln(3)}$ | |||
El ultimo termino puede ser presentando, usando propiedades de logaritmo como: | |||
$(3)^{2i/\pi}=e^{\frac{i}{\pi}2log_e3}=e^{\frac{i}{\pi}log_e3^{2}}=e^{\frac{i}{\pi}log_e9}$ | |||
---- | |||
[[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 14:56 7 jun 2015 (CDT) | [[Usuario:Miguel Medina Armendariz|Miguel Medina Armendariz]] ([[Usuario discusión:Miguel Medina Armendariz|discusión]]) 14:56 7 jun 2015 (CDT) | ||
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=== Ejercicio 9 === | === Ejercicio 9 === | ||
Determina el valor principal de la potencia. | |||
$(2)^{4i}$ | $(2)^{4i}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Si se sabe: | Si se sabe: | ||
$z^{α}= e ^{αlnz}$ | |||
Entonces: | Entonces: | ||
Línea 310: | Línea 329: | ||
$|z|=2$ | $|z|=2$ | ||
$Arg(2)= | $Arg(2)=0$ | ||
Po lo que: | Po lo que: | ||
$Ln(2)=log_{e}2+ | $Ln(2)=log_{e}2+i0$ | ||
ya que:: $\alpha=4i$ | ya que:: $\alpha=4i$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo tanto: | Por lo tanto: | ||
$(2)^{4i}=e^{(4i)Ln(2)}=e^{(4i)(log_{e}2 | $(2)^{4i}=e^{(4i)Ln(2)}=e^{(4i)(log_{e}2)}$ | ||
---- | |||
[[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 05:19 5 jun 2015 (CDT) | [[Usuario:Nancy Martínez Durán|Nancy Martínez Durán]] ([[Usuario discusión:Nancy Martínez Durán|discusión]]) 05:19 5 jun 2015 (CDT) | ||
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Línea 327: | Línea 349: | ||
===Ejercicio 10=== | ===Ejercicio 10=== | ||
Determinar el valor de la potencia dada: | Determinar el valor principal de la potencia dada: | ||
$i^{\frac{i}{\pi}}$ | $i^{\frac{i}{\pi}}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Por definición sabemos que: | Por definición sabemos que: | ||
$ | $Ln(z)=\log_e|z|+i Arg(z)$ ...(1) | ||
Entonces procedemos a sacar la magnitud y el argumento de z | Entonces procedemos a sacar la magnitud y el argumento de z | ||
Línea 341: | Línea 363: | ||
Por lo cual tenemos: | Por lo cual tenemos: | ||
$z=i$ | $z=i$ | ||
$\left|z\right|=1$ | |||
$arg\left(z\right)=\frac{\pi}{2}$ | |||
Entonces por (1) tenemos: | Entonces por (1) tenemos: | ||
$ | $ln(i)=log_{e}1+i\frac{\pi}{2}$ | ||
También sabemos por definición que: | También sabemos por definición que: | ||
Línea 354: | Línea 380: | ||
anterior da como resultado: | anterior da como resultado: | ||
$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{\frac{i}{\pi}lni}=e^{\frac{i}{\pi}\left( | $i^{\frac{i}{\pi}}=e^{\frac{i}{\pi}lni}=e^{\frac{i}{\pi}\left(log_e 1+\frac{i\pi}{2}\right)}=e^{-\frac{1}{2}}$ | ||
'''Solución''' | |||
$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{-\frac{1}{2}}$ | |||
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Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 22:27 5 jun 2015 (CDT) | Resuelto por [[Usuario:Luis Enrique Martínez Valverde|Luis Enrique Martínez Valverde]] ([[Usuario discusión:Luis Enrique Martínez Valverde|discusión]]) 22:27 5 jun 2015 (CDT) | ||
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===Ejercicio 11=== | ===Ejercicio 11=== | ||
Determine el valor principal del la potencia compleja dada. | Determine el valor principal del la potencia compleja dada. | ||
<math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}</math> | <math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}</math> | ||
'''Procedimiento''' | |||
Para encontrar el valor principal vamos a utilizar lo siguiente: | Para encontrar el valor principal vamos a utilizar lo siguiente: | ||
Línea 372: | Línea 402: | ||
Ahora bien como sabemos para encontrar el logaritmo de un complejo necesitamos tanto su modulo como su argumento principal, asi identificando : | Ahora bien como sabemos para encontrar el logaritmo de un complejo necesitamos tanto su modulo como su argumento principal, asi identificando : | ||
$|z|= \sqrt{(1)²+(\sqrt{3})²}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$ | |||
<math>Arg(z)=Arg(1+\sqrt{3}i)= | <math>Arg(z)=Arg(1+\sqrt{3}i)=\tan^{-1}\left ( \frac{\sqrt3}{1} \right )=\frac{\pi}{3}</math> | ||
Así calculando su logaritmo tenemos: | |||
<math>Ln(1+\sqrt{3}i)= log_e 2+ i\frac{\pi}{3}</math> | <math>Ln(1+\sqrt{3}i)= log_e 2+ i\frac{\pi}{3}</math> | ||
Línea 395: | Línea 425: | ||
Desarrollando: | Desarrollando: | ||
<math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{ | $(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3ilog_e 2+ 3ii\frac{\pi}{3}}$ | ||
<math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3i(log_e2)-3\frac{\pi}{3}}</math> | |||
'''Solución''' | |||
<math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3ilog_e 2-\pi}</math> | <math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3ilog_e 2-\pi}</math> | ||
Línea 409: | Línea 442: | ||
<math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}= -0.02104+ 0.03774i</math> | <math>(1+\sqrt{3}i)^{3i}= -0.02104+ 0.03774i</math> | ||
--[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 10:01 7 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Anahi Limas|Anahi Limas]] ([[Usuario discusión:Anahi Limas|discusión]]) 10:01 7 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 12=== | ===Ejercicio 12=== | ||
Determinar el valor principal de la potencia compleja dada. | |||
$(1+i)^{2-i}$ | $(1+i)^{2-i}$ | ||
'''Procedimiento''' | |||
Si $\alpha$ es un número complejo entonces la función definida por | Si $\alpha$ es un número complejo entonces la función definida por | ||
$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}.......(1)$ | $z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}.......(1)$ | ||
Línea 455: | Línea 488: | ||
$(1+i)^{2-i}=e^{2log_{e}\sqrt{2}-ilog_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$ | $(1+i)^{2-i}=e^{2log_{e}\sqrt{2}-ilog_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$ | ||
'''Solución''' | |||
Que se puede expresar como: | Que se puede expresar como: | ||
$(1+i)^{2-i}=e^{\frac{\pi}{4} | $(1+i)^{2-i}=e^{\log_e2+\frac{\pi}{4}}e^{i\left (\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right )}$ | ||
$(1+i)^{2-i}=e^{\log_e2+\frac{\pi}{4}}\left [ \cos\left ( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right )+i \sin\left ( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right ) \right ]$ | |||
Tenemos entonces: | Tenemos entonces: | ||
Línea 464: | Línea 501: | ||
$(1+i)^{2-i}=1.49+i4.1257$ | $(1+i)^{2-i}=1.49+i4.1257$ | ||
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 15:40 7 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 15:40 7 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
Ejercicio 12 (solución alternativa) | |||
$\left(1+i\right)^{2-i}$ | |||
'''Procedimiento''' | |||
Se hace uso de la relación: $z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$ | Se hace uso de la relación: $z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$ | ||
Línea 492: | Línea 529: | ||
$=2e^{\left[\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]}=2\left\{ e^{\frac{\pi}{4}}\left[cos\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]\right\} \approx1.4900+4.1257i$ | $=2e^{\left[\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]}=2\left\{ e^{\frac{\pi}{4}}\left[cos\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]\right\} \approx1.4900+4.1257i$ | ||
'''Solución''' | |||
Por lo que: | Por lo que: | ||
Línea 498: | Línea 537: | ||
--[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:16 7 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:16 7 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
=== Ejercicio 13 === | |||
Verificar que $\frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}=z^{\alpha_1-\alpha_2}$ para $z\neq0$.\\ | |||
Solución | '''Solución''' | ||
Sea : $z^{\alpha_1}=e^{\alpha_1 \ln z}$ y $z^{\alpha_2}=e^{\alpha_2 \ln z}$ con $z\neq0$ | Sea : $z^{\alpha_1}=e^{\alpha_1 \ln z}$ y $z^{\alpha_2}=e^{\alpha_2 \ln z}$ con $z\neq0$ | ||
Línea 519: | Línea 560: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
---- | |||
[[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 13:28 7 jun 2015 (CDT) | [[Usuario:Alan Daniel Barrón Posadas|Alan Daniel Barrón Posadas]] ([[Usuario discusión:Alan Daniel Barrón Posadas|discusión]]) 13:28 7 jun 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 15=== | ===Ejercicio 15=== | ||
Línea 531: | Línea 571: | ||
'''Procedimiento''' | |||
Línea 564: | Línea 604: | ||
'''Solución''' | |||
$\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$ | |||
---- | |||
[[Usuario:Emmanuell Castro Flores|Emmanuell Castro Flores]] ([[Usuario discusión:Emmanuell Castro Flores|discusión]]) 18:12 7 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 17=== | ===Ejercicio 17=== | ||
Determine la derivada de la función dada en el punto dado. Sea <math>z^{\alpha} | Determine la derivada de la función dada en el punto dado. Sea <math>z^{\alpha} | ||
</math> el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio | </math> el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio. | ||
:<math>\mid z\mid>0;-\pi<\theta<\pi</math> | |||
:<math>z^{1+i};z=1+\sqrt{3}i</math>, | :<math>z^{1+i};z=1+\sqrt{3}i</math>, | ||
'''Procedimiento''' | |||
Debido a que el punto es <math>z=1+\sqrt{3} | Debido a que el punto es <math>z=1+\sqrt{3} | ||
Línea 648: | Línea 688: | ||
</math>, | </math>, | ||
'''Solución''' | |||
Agrupando términos, y factorizando en términos de “i”, se tiene: | |||
:<math>z^{1+i}=\exp[ilog_{e}2-\frac{\pi}{3}+log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}i] | :<math>z^{1+i}=\exp[ilog_{e}2-\frac{\pi}{3}+log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}i] | ||
Línea 659: | Línea 701: | ||
</math> | </math> | ||
---- | |||
Elaboro--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 01:15 5 jun 2015 (CDT) | Elaboro--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 01:15 5 jun 2015 (CDT) | ||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 16=== | |||
= | Encuentra la derivación de la función <math>z^{2i}</math> evaluada en <math>z=i</math> | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Realizando la derivación tenemos que | Realizando la derivación tenemos que | ||
Línea 702: | Línea 746: | ||
lo anterior multiplicando por el factor de 2i, Por lo que la derivada <math>z^{2i}</math> en el punto <math>z=i</math> es igual a | lo anterior multiplicando por el factor de 2i, Por lo que la derivada <math>z^{2i}</math> en el punto <math>z=i</math> es igual a | ||
'''Solución''' | |||
<math>z^{2i}=2i (-i e^{-\pi} ) =2 e^{-\pi}</math> | <math>z^{2i}=2i (-i e^{-\pi} ) =2 e^{-\pi}</math> | ||
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 09:53 7 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 09:53 7 jun 2015 (CDT) | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 18=== | |||
= | Determine la derivada de la función dada $z^{\sqrt{2}}$ en el punto dado $z=-i$. Sea $z^α$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$ , $-\pi < arg(z)> \pi$ | ||
''' | '''Procedimiento''' | ||
Sea $z^{\alpha}=z^{\sqrt{2}}$, Entonces es derivable en el dominio dado, por lo tanto. | Sea $z^{\alpha}=z^{\sqrt{2}}$, Entonces es derivable en el dominio dado, por lo tanto. | ||
$ \frac{d}{dz} z^{\alpha}= \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2} z^{\sqrt{2}-1}$$ | |||
Evaluada en el punto z=-i | Evaluada en el punto z=-i | ||
$\therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}= \sqrt{2}(-i)^{\sqrt{2}-1} , -----(1) $ | |||
Tomando el valor principal de la potencia compleja se tiene que: | |||
$ z^{\alpha}=e^{\alpha ln z} $ | |||
Donde $\alpha= \sqrt{2}-1 $ | Donde $\alpha= \sqrt{2}-1 $ | ||
$ \therefore z^{\sqrt{2}-1}= e^{(\sqrt{2}-1)ln(-i)} , -----(2) $ | |||
Queremos encontrar cual es el valor de $ln(-i)$ | Queremos encontrar cual es el valor de $ln(-i)$ | ||
Línea 736: | Línea 780: | ||
Entonces tomamos como definición el valor principal del logaritmo complejo. | Entonces tomamos como definición el valor principal del logaritmo complejo. | ||
$ ln(z)=log_{e}|z|+iArg(z) $ | |||
Encontrando $|z|$ & $Arg(z)$ | Encontrando $|z|$ & $Arg(z)$ | ||
$ |z|=\sqrt{(-1)^2}=1 $ | |||
$ Arg(z)=Arg(-i)=-\frac{\pi}{2}$ | |||
$ \therefore ln(-i)=log_{e}(1)-i\frac{\pi}{2}=-i\frac{\pi}{2}$ | |||
Sustituyendo en la ec.(2) | Sustituyendo en la ec.(2) | ||
$ z^{\sqrt{2}-1}=e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}}$ | |||
Por tanto | Por tanto sustituyendo en la ec.(1) | ||
$ \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}} $ | |||
'''Solución''' | |||
Entonces para $z=-i$, se tiene que la derivada es: | |||
$ \therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}}$ | |||
--[[Usuario: | ---- | ||
Re elaborado por [[Usuario: Manuel Rodríguez |Manuel Rodríguez]] | |||
---- | ---- | ||
===Ejercicio 19=== | |||
Para cualquier numero complejo $z\neq{0}$ evalue $z^{0}$ | |||
Sea $z=x+iy$ un numero complejo cualquiera distinto de cero, esto es con "$x$" y "$y$" no ambos cero, tendremos que $z^{0}$ sera; | |||
'''Procedimiento''' | |||
<math>z^{\alpha}=z^{0}</math> | <math>z^{\alpha}=z^{0}</math> | ||
Línea 777: | Línea 826: | ||
<math>z^{\alpha}=e^{0ln(z)}</math> ya que $\alpha=0$ | <math>z^{\alpha}=e^{0ln(z)}</math> ya que $\alpha=0$ | ||
Y | Y así tendremos que; | ||
'''Solución''' | |||
<math>e^{0ln(z)}=e^{0}=1</math> | <math>e^{0ln(z)}=e^{0}=1</math> | ||
Línea 783: | Línea 834: | ||
'''Por lo cual concluimos que $z^{0}=1$ para cualquier numero complejo $z$ distinto de cero ''' | '''Por lo cual concluimos que $z^{0}=1$ para cualquier numero complejo $z$ distinto de cero ''' | ||
--[[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 23:45 7 jun 2015 (CDT) | ---- | ||
[[Usuario:Cristian Alfredo Ruiz Castro|Cristian Alfredo Ruiz Castro]] ([[Usuario discusión:Cristian Alfredo Ruiz Castro|discusión]]) 23:45 7 jun 2015 (CDT) | |||
---- | |||
===Ejercicio 21=== | ===Ejercicio 21=== | ||
Muestre que si $\alpha =1/n$ donde $n$ es un entero positivo, entonces el valor principal de $z^{\alpha}$ es igual que el de la $n$-ésima raíz principal de $z$. | |||
'''Procedimiento''' | |||
Con la definición para el valor principal de la potencia compleja: | |||
Línea 822: | Línea 876: | ||
$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=^n\sqrt{|z|}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=z^{\alpha}$ | $w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=^n\sqrt{|z|}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=z^{\alpha}$ | ||
'''Conclusión''' | |||
y podemos decir que $z^{\alpha}$ con $\alpha =1/n$ con $n$ entero positivo es igual a la $n$-ésima raíz principal de $z$. | y podemos decir que $z^{\alpha}$ con $\alpha =1/n$ con $n$ entero positivo es igual a la $n$-ésima raíz principal de $z$. | ||
---- | |||
[[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 20:16 3 jun 2015 (CDT) | [[Usuario:Oscar Javier Gutierrez Varela|Oscar Javier Gutierrez Varela]] ([[Usuario discusión:Oscar Javier Gutierrez Varela|discusión]]) 20:16 3 jun 2015 (CDT) | ||
Línea 832: | Línea 887: | ||
=== Ejercicio 24 === | === Ejercicio 24 === | ||
Una | Una útil propiedad de los numero reales es $x^{\alpha}y^{\alpha}=(xy)^{\alpha}$ | ||
(a)¿ La propiedad anterior es valida para potencias complejas? | (a)¿ La propiedad anterior es valida para potencias complejas? | ||
'''Procedimiento''' | |||
Sabemos que | Sabemos que | ||
Línea 843: | Línea 900: | ||
Así que | |||
\[ | \[ | ||
Línea 850: | Línea 907: | ||
(b)¿La propiedad es valida para la principal potencia | (b)¿La propiedad es valida para la principal potencia compleja? | ||
'''Conclusión''' | |||
potencias complejas lo | |||
También es valida para la principal potencia compleja ya que las demás | |||
potencias complejas lo único que hacen es sumar $2n\pi\hspace{1em}n\in Z$ | |||
al argumento de $z$ y eso no influye significativamente para esta | al argumento de $z$ y eso no influye significativamente para esta | ||
situación. | |||
---- | |||
[[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 22:16 5 jun 2015 (CDT) | [[Usuario:Jose Emmanuel Flores Calderón|Jose Emmanuel Flores Calderón]] ([[Usuario discusión:Jose Emmanuel Flores Calderón|discusión]]) 22:16 5 jun 2015 (CDT) | ||
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Revisión actual - 09:10 14 feb 2023
Ejercicios del capítulo 4, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 4.2
Ejercicio 1
Determine todos los valores de la potencia compleja dada. \[ (-1)^{3i}=(1\,e^{-i\pi})^{3i}=e^{3i\,Ln(-1)} \]
Procedimiento
Recordemos que: \[ Ln(-1)=\log_{e}(|-1|)+iArg(-1)=0+i\left(\pi+2n\pi\right)\;\;\; ,\mathrm{cuando}\;n \in\mathbb{Z} \] Entonces:
Solución
\[ (-1)^{3i}=e^{3i\left[i\left(\pi+2n\pi\right)\right]}=e^{-3\left(\pi+2n\pi\right)}=e^{-3\pi\left(1+2n\right)}=e^{-3\pi\left(2n+1\right)}\;\;\; ,\mathrm{cuando}\;n \in\mathbb{Z} \]
Tlacaelel Cruz (discusión) 22:17 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 2
Determine todos los valores de la potencia compleja dada.
$3^{\frac{2i}{\pi}}$
Procedimiento
Sabemos que:
$z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$
Entonces:
\[ 3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{\frac{2i}{\pi}ln3} \]
Por otra parte
$lnz=log_{e}|z|+iarg(z)$
$ln3=log_{e}3+i(2\pi n)$
Sustituyendo el resultado anterior
$3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{\frac{2i}{\pi}ln3}=e^{\frac{2i}{\pi}[log_{e}3+i(2\pi n)]}=e^{-4n+i\frac{2}{\pi}log_{e}3}=e^{-4n}[cos(\frac{2}{\pi}log_{e}3)+isin(\frac{2}{\pi}log_{e}3)]$
Solución
Finalmente tenemos:
\[ 3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{-4n}[cos(\frac{2}{\pi}log_{e}3)+isin(\frac{2}{\pi}log_{e}3)] \] \[ n=0,\pm1,\pm2,... \]
Fernando Vazquez V. (discusión) 03:36 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Encuentra los valores de la potencia compleja dada
$(1 + i)^{1-i}$
Procedimiento
Para encontrar una potencia compleja sabemos que
$z^{\alpha} = e^{\alpha \ln z}$
Donde:
$z=(1+i)$
$arg(z)=\frac{\pi}{4}+2n\pi=\frac{\pi}{4}(1+8n)$
$|z|=\sqrt2$
Aplicando esto a la definición de logaritmo complejo:
$lnz=log_{e}|z|+iarg(z)$
$ln(1+i) = \log_{e}(\sqrt2) + \frac{(8n+1) \pi}{4} i$
Aplicando esta definición a la potencia compleja dada tenemos:
$(1+i)^{1-i}=e^{(1-i){\left [\log_{e}(\sqrt2) +\frac{i\pi}{4} (1+8n) \right ]}}$
$e^{(1-i){\left [\log_{e}(\sqrt2) +\frac{i\pi}{4} (1+8n) \right ]}}=e^{\log_e \sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}(1+8n)}e^{-i\log_e\sqrt2}e^{\frac{\pi}{4}(1+8n)}$
Solución
Reagrupando términos, se tiene que:
$(1+i)^{1-i}=\sqrt2 e^{\frac{\pi}{4}(1+8n)+i \left [\frac{\pi}{4}(1+8n)-\frac{1}{2}\log_e2 \right ] }$
Donde al ultimo se uso la propiedad de logaritmos:
$\log_e\sqrt2=\log_e2^{1/2}=\frac{1}{2}\log_e2$
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:24 4 jun 2015 (CDT)
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 4
Determine todos los valores de la potencia compleja dada.
$(1+\sqrt{3}i)^{i}$
Procedimiento
suponga que $z=1+\sqrt{3}i$ entonces
$(1+\sqrt{3}i)^{i}=z^{i}$
así
$z^{i}=e^{iln\:z}$
pero $ln\:z=ln(1+\sqrt{3}i)=log_{e}\mid1+\sqrt{3}i\mid+iArg(1+\sqrt{3}i)=log_{e}2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi)$
$z^{i}=e^{i(log_{e}2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi))}=e^{ilog_{e}2}e^{i^{2}(\frac{\pi}{3}+2n\pi)}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}$
$e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))$
Solución
$(1+\sqrt{3}i)^{i}=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}\left [\cos(\log_{e}2)+i\sin(\log_{e}2) \right ]$
Francisco Medina Albino (discusión) 02:27 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Determine todos los valores de la potencia compleja $(-i)^i$
Procedimiento
Si, $z=-i$
Entonces $|z|=1$ y $arg(-1)=-\frac{\pi}{2}+2n\pi$
Por lo anterior tengo $ln(-i)$ = $log_{e} 1+ i\left(-\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)$
Y sé que, $log_{e} 1=0$
Así, simplificando: $ln(-i) =\frac{(4n-1)}{2} \pi i$
Y aplicando la definición de las potencias complejas $z^{\alpha} = e^{\alpha lnz}$ y si $\alpha=i$, tengo :
$(-i)^i= e^{i ln(-i)}$ = $e^{i[(4n-1)\pi i /2]}$= $e^{-1[(4n-1)\pi/2]}$= $e^{(-4n+1)\pi/2}$
Solución
$(-i)^i$=$e^{\frac{\pi}{2}(-4n+1)}$
Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:05 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Determine todos los valores de la potencia compleja dada.
$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}}$
Procedimiento
Usando el algoritmo para la potencia compleja tenemos:
$z^{\alpha}=e^{\alpha\left(ln\left(z\right)\right)}$
$z^{\alpha}=e^{\alpha\left(ln\left(\left[z\right]\right)+iarg\left(z\right)\right)}$
aplicándolo a la potencia pedida en el ejercicio dado tenemos:
$|z|=e$
$\arg z =\frac{\pi}{2}$
$\alpha=\sqrt2$
$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}\right)ln\left(ei\right)}}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left [ln\left(e\right)+iarg(ei) \right ]}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left(1+i\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$
Solución
$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}}e^{i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}$
Martin Flores Molina (discusión) 13:45 6 junio 2015 (CDT) ----
Ejercicio 7
Determine el valor principal de la potencia compleja dada
$(-1)^{3i}$
Procedimiento
$z=-1$
$|z|=1$
$Arg(-1)=\pi$
por lo que
$Ln(-1)=log_{e}1+i\pi$
entonces definimos $\alpha=3i$
Lo que da como resultado:
$(-1)^{3i}=e^{(3i)Ln(-1)}=e^{(3i)(log_{e}1+i\pi)}$
Solución
Por lo tanto:
$(-1)^{3i}=e^{(3i)(0+i\pi)}=e^{-3\pi}$
Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:59 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Determine el valor principal de la potencia compleja dada
$(3)^{2i/\pi}$
Procedimiento
Generalmente se sabe que $z^{α}= e ^{αlnz}$
Donde $z=3$
$|z|=3$
$Arg(3)=0$
Así podemos decir que
$Ln(3)=log_{e}3+i0$
y sabemos que $\alpha=\frac{2i}{\pi}$
por lo tanto:
Solución
$z^{α}= e ^{αlnz}=e^{(\frac{2i}{\pi})Ln(3)}$
El ultimo termino puede ser presentando, usando propiedades de logaritmo como:
$(3)^{2i/\pi}=e^{\frac{i}{\pi}2log_e3}=e^{\frac{i}{\pi}log_e3^{2}}=e^{\frac{i}{\pi}log_e9}$
Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:56 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 9
Determina el valor principal de la potencia.
$(2)^{4i}$
Procedimiento
Si se sabe:
$z^{α}= e ^{αlnz}$
Entonces:
$z=2$
$|z|=2$
$Arg(2)=0$
Po lo que:
$Ln(2)=log_{e}2+i0$
ya que:: $\alpha=4i$
Solución
Por lo tanto:
$(2)^{4i}=e^{(4i)Ln(2)}=e^{(4i)(log_{e}2)}$
Nancy Martínez Durán (discusión) 05:19 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Determinar el valor principal de la potencia dada:
$i^{\frac{i}{\pi}}$
Procedimiento
Por definición sabemos que:
$Ln(z)=\log_e|z|+i Arg(z)$ ...(1)
Entonces procedemos a sacar la magnitud y el argumento de z
Por lo cual tenemos:
$z=i$
$\left|z\right|=1$
$arg\left(z\right)=\frac{\pi}{2}$
Entonces por (1) tenemos:
$ln(i)=log_{e}1+i\frac{\pi}{2}$
También sabemos por definición que:
$z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$
Por lo cual tenemos por propiedades de logaritmo usando la definición anterior da como resultado:
$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{\frac{i}{\pi}lni}=e^{\frac{i}{\pi}\left(log_e 1+\frac{i\pi}{2}\right)}=e^{-\frac{1}{2}}$
Solución
$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{-\frac{1}{2}}$
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:27 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Determine el valor principal del la potencia compleja dada.
Procedimiento
Para encontrar el valor principal vamos a utilizar lo siguiente:
Ahora bien como sabemos para encontrar el logaritmo de un complejo necesitamos tanto su modulo como su argumento principal, asi identificando : $|z|= \sqrt{(1)²+(\sqrt{3})²}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
Así calculando su logaritmo tenemos:
Ahora para calcular el valor principal identificamos:
Sustituyendo en (*)
Desarrollando:
$(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3ilog_e 2+ 3ii\frac{\pi}{3}}$
Solución
Ahora bien sabemos que podemos reescribir de la manera siguiente:
Para lo cual calculando tenemos que el valor principal de la potencia es:
Anahi Limas (discusión) 10:01 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Determinar el valor principal de la potencia compleja dada.
$(1+i)^{2-i}$
Procedimiento
Si $\alpha$ es un número complejo entonces la función definida por
$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}.......(1)$
Es el valor principal de la potencia compleja $z^{\alpha}$
Ahora, de (1) identificamos $z=1+i$
y $\alpha=2-i$
de donde $|z|=\sqrt{2}$
y $Arg(1+i)=\frac{\pi}{4}$
y dado que el valor principal del logaritmo complejo se define como:
$Lnz=log_{e}|z|+iArg(z)$
Podemos entonces escribir:
$Lnz=log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}$
y entonces (1) queda de la forma:
$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)(log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4})}$
Y haciendo los numeritos:
$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)log_{e}\sqrt{2}+(2-i)(i\frac{\pi}{4})}$
$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$
$(1+i)^{2-i}=e^{2log_{e}\sqrt{2}-ilog_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$
Solución
Que se puede expresar como:
$(1+i)^{2-i}=e^{\log_e2+\frac{\pi}{4}}e^{i\left (\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right )}$
$(1+i)^{2-i}=e^{\log_e2+\frac{\pi}{4}}\left [ \cos\left ( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right )+i \sin\left ( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right ) \right ]$
Tenemos entonces:
$(1+i)^{2-i}=1.49+i4.1257$
A. Martín R. Rabelo (discusión) 15:40 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12 (solución alternativa)
$\left(1+i\right)^{2-i}$
Procedimiento
Se hace uso de la relación: $z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$
donde $z=1+i$ y $\alpha=2-i$
calculamos, primero :
$\ln\left(1+i\right)=\log_{e}\left|z\right|+i\arg\left(z\right)=\log_{e}\left(\sqrt{2}\right)+i\left(\frac{\pi}{4}\right)$
después: $\alpha\left(\ln z\right)=\left(2-i\right)\left(\log_{e}\left(\sqrt{2}\right)+i\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-log_{e}\sqrt{2}\right)$
Así, se tiene que la potencia compleja $\left(1+i\right)^{2-i}$ se puede reescribir como:
.
$\left(1+i\right)^{2-i}=e^{2\log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)}=e^{2\log_{e}\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\log_{e}\sqrt{2}}$
$=2e^{\left[\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]}=2\left\{ e^{\frac{\pi}{4}}\left[cos\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]\right\} \approx1.4900+4.1257i$
Solución
Por lo que:
$\left(1+i\right)^{2-i}\approx1.4900+4.1257i$
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:16 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 13
Verificar que $\frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}=z^{\alpha_1-\alpha_2}$ para $z\neq0$.\\
Solución
Sea : $z^{\alpha_1}=e^{\alpha_1 \ln z}$ y $z^{\alpha_2}=e^{\alpha_2 \ln z}$ con $z\neq0$
\begin{align*} \frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}&=\frac {e^{\alpha_1 \ln z}}{e^{\alpha_2 \ln z}}&\textrm{(por definición.)}\\ &=e^{\alpha_1 \ln z - \alpha_2 \ln z}&\textrm{(por el ejercicio 47, sección 4.1.)}\\ &=e^{(\alpha_1 - \alpha_2 )\ln z}&\textrm{(distributividad en los complejos.)}\\ &=z^{\alpha_1 - \alpha_2}&\textrm{(por definición.)}\\ \end{align*}
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:28 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 15
Determine la derivada de la función $z^{3/2}$ en el punto $z=1+i$. Sea $z^{\alpha}$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$, $-\pi < arg(z)< \pi$
Procedimiento
Ya que el valor principal de la potencia compleja $z^{\alpha}$ esta definida en el dominio $|z|>0$, $-\pi < arg(z)< \pi$, entonces es derivable y
$\frac{d}{dz} z^{\alpha} = \alpha z^{\alpha-1}$
Derivando
$\frac{d}{dz} z^{\frac{3}{2}}= \frac{3}{2} z^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} (1+i)^{\frac{1}{2}}$ , $...(1)$
Como $z=(1+i)$ , y del valor principal de la potencia compleja tengo que $z^{\alpha} = e^{\alpha lnz}$, con $\alpha=1/2$
entonces $z^{\frac{1}{2}}=e^{(1/2)ln(1+i)}$ , $...(2)$
Para saber el valor de $ln(1+i)$ uso valor principal del logaritmo complejo, y si $|z|=\sqrt{2}$ , $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$ Entonces: $ln(1+i)=log_{e} \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}i$ , $...(3)$
Así, sustituyendo $(3)$ en $(2)$ :
$z^{1/2}=e^{(1/2) ln(1+i)}$= $e^{(1/2) log_{e} \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}i}$ = $\sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi}{8}i} $
Ahora sustituyendo en $(1)$ tengo:
$\frac{d}{dz} z^{\frac{3}{2}}$ = $\frac{3}{2} z^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{3}{2} (1+i)^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$
Por lo tanto la derivada de $z^{\frac{3}{2}}$ en el punto $z=1+i$ es:
Solución
$\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$
Emmanuell Castro Flores (discusión) 18:12 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Determine la derivada de la función dada en el punto dado. Sea el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio.
- ,
Procedimiento
Debido a que el punto es , se tiene que su derivada es:
- , por lo que,
donde: :sera nuestro Caso I; y : el Caso II.
Ahora la definición de potencias complejas dice que :, donde:
- , entonces sustituyendo en (2) se tiene:
El argumento y magnitud se obtiene de la siguiente manera:
Caso I :
- y
Caso II :
- y
- .
Sabemos que para el
Caso I : ,
Caso II : ; sustituyendo en (3) obtenemos:
Caso I
Caso II
- , sustituyendo en (1) se tiene que:
- ,
Solución
Agrupando términos, y factorizando en términos de “i”, se tiene:
- , simplificando se tiene finalmente que:
Elaboro--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 01:15 5 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 16
Encuentra la derivación de la función evaluada en
Procedimiento
Realizando la derivación tenemos que
En donde evaluaremos el punto z=i
Para obtener las raíces usaremos la expresión para potencias complejas
con
si
Resolviendo la norma de z y su argumento
En donde tenemos que
Por lo que a la potencia es en este caso
lo anterior multiplicando por el factor de 2i, Por lo que la derivada en el punto es igual a
Solución
Pablo (discusión) 09:53 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 18
Determine la derivada de la función dada $z^{\sqrt{2}}$ en el punto dado $z=-i$. Sea $z^α$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$ , $-\pi < arg(z)> \pi$
Procedimiento
Sea $z^{\alpha}=z^{\sqrt{2}}$, Entonces es derivable en el dominio dado, por lo tanto.
$ \frac{d}{dz} z^{\alpha}= \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2} z^{\sqrt{2}-1}$$
Evaluada en el punto z=-i
$\therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}= \sqrt{2}(-i)^{\sqrt{2}-1} , -----(1) $
Tomando el valor principal de la potencia compleja se tiene que:
$ z^{\alpha}=e^{\alpha ln z} $
Donde $\alpha= \sqrt{2}-1 $
$ \therefore z^{\sqrt{2}-1}= e^{(\sqrt{2}-1)ln(-i)} , -----(2) $
Queremos encontrar cual es el valor de $ln(-i)$
Entonces tomamos como definición el valor principal del logaritmo complejo.
$ ln(z)=log_{e}|z|+iArg(z) $
Encontrando $|z|$ & $Arg(z)$
$ |z|=\sqrt{(-1)^2}=1 $
$ Arg(z)=Arg(-i)=-\frac{\pi}{2}$
$ \therefore ln(-i)=log_{e}(1)-i\frac{\pi}{2}=-i\frac{\pi}{2}$
Sustituyendo en la ec.(2)
$ z^{\sqrt{2}-1}=e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}}$
Por tanto sustituyendo en la ec.(1)
$ \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}} $
Solución
Entonces para $z=-i$, se tiene que la derivada es:
$ \therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}}$
Re elaborado por Manuel Rodríguez
Ejercicio 19
Para cualquier numero complejo $z\neq{0}$ evalue $z^{0}$
Sea $z=x+iy$ un numero complejo cualquiera distinto de cero, esto es con "$x$" y "$y$" no ambos cero, tendremos que $z^{0}$ sera;
Procedimiento
y por definicion;
que en este caso se convierte a;
ya que $\alpha=0$
Y así tendremos que;
Solución
Por lo cual concluimos que $z^{0}=1$ para cualquier numero complejo $z$ distinto de cero
Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 23:45 7 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 21
Muestre que si $\alpha =1/n$ donde $n$ es un entero positivo, entonces el valor principal de $z^{\alpha}$ es igual que el de la $n$-ésima raíz principal de $z$.
Procedimiento
Con la definición para el valor principal de la potencia compleja:
$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}=e^{\alpha(log_e|z|+iArg(z))}$, con $Arg(z)=\theta$
$z^{\alpha}=e^{\alpha(log_e|z|+i\theta)}=e^{\alpha log_e|z|}e^{i\alpha \theta}=e^{\frac{1}{n}log_e|z|}e^{i\frac{\theta}{n}}$
Dado que $\dfrac{1}{n} log_e|z|$ es real, podemos aplicar la propiedad $\dfrac{1}{n} log_e|z|=log_e|z|^{1/n}$
$z^{\alpha}=e^{\frac{1}{n}log_e|z|}e^{i\frac{\theta}{n}}=e^{log_e|z|^{1/n}}e^{i\frac{\theta}{n}}=|z|^{1/n}e^{i\frac{\theta}{n}}=|z|^{1/n}(\cos \frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})$
$z^{\alpha}=^n\sqrt{|z|}(\cos \frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})$
De capítulos anteriores se dedujo que la fórmula para la potencia $m$-ésima, la cual es:
$w_k=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta +2k\pi}{n}+i\sin \dfrac{\theta +2k\pi}{n}]$
y dado que nos piden compararla con la raíz principal, tenemos que $k=0$
$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]$, si $z=w_0$ con $|z|=r$ podemos concluir que:
$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=^n\sqrt{|z|}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=z^{\alpha}$
Conclusión
y podemos decir que $z^{\alpha}$ con $\alpha =1/n$ con $n$ entero positivo es igual a la $n$-ésima raíz principal de $z$.
Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:16 3 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 24
Una útil propiedad de los numero reales es $x^{\alpha}y^{\alpha}=(xy)^{\alpha}$
(a)¿ La propiedad anterior es valida para potencias complejas?
Procedimiento
Sabemos que
\[ z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}=e^{\alpha(log_{e}z+iarg(z))} \]
Así que
\[ (zw)^{\alpha}=e^{\alpha zw}=e^{\alpha(log_{e}zw+iarg(zw)}=e^{\alpha Ln(zw)}=e^{\alpha(Ln(z)+Ln(w))}=e^{\alpha Ln(z)}e^{\alpha Ln(w)}=e^{Ln(z^{\alpha})}e^{Ln(w^{\alpha})}=z^{\alpha}w^{\alpha} \]
(b)¿La propiedad es valida para la principal potencia compleja?
Conclusión
También es valida para la principal potencia compleja ya que las demás potencias complejas lo único que hacen es sumar $2n\pi\hspace{1em}n\in Z$ al argumento de $z$ y eso no influye significativamente para esta situación.
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:16 5 jun 2015 (CDT)