Compleja:Zill-Cap4.2

Ejercicios del capítulo 4, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 4.2

Ejercicio 1

Determine todos los valores de la potencia compleja dada. \[ (-1)^{3i}=(1\,e^{-i\pi})^{3i}=e^{3i\,Ln(-1)} \]

Procedimiento

Recordemos que: \[ Ln(-1)=\log_{e}(|-1|)+iArg(-1)=0+i\left(\pi+2n\pi\right)\;\;\; ,\mathrm{cuando}\;n \in\mathbb{Z} \] Entonces:

Solución

\[ (-1)^{3i}=e^{3i\left[i\left(\pi+2n\pi\right)\right]}=e^{-3\left(\pi+2n\pi\right)}=e^{-3\pi\left(1+2n\right)}=e^{-3\pi\left(2n+1\right)}\;\;\; ,\mathrm{cuando}\;n \in\mathbb{Z} \]

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Tlacaelel Cruz (discusión) 22:17 3 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Determine todos los valores de la potencia compleja dada.

$3^{\frac{2i}{\pi}}$

Procedimiento

Sabemos que:

$z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$

Entonces:

\[ 3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{\frac{2i}{\pi}ln3} \]

Por otra parte

$lnz=log_{e}|z|+iarg(z)$

$ln3=log_{e}3+i(2\pi n)$

Sustituyendo el resultado anterior

$3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{\frac{2i}{\pi}ln3}=e^{\frac{2i}{\pi}[log_{e}3+i(2\pi n)]}=e^{-4n+i\frac{2}{\pi}log_{e}3}=e^{-4n}[cos(\frac{2}{\pi}log_{e}3)+isin(\frac{2}{\pi}log_{e}3)]$

Solución

Finalmente tenemos:

\[ 3^{\frac{2i}{\pi}}=e^{-4n}[cos(\frac{2}{\pi}log_{e}3)+isin(\frac{2}{\pi}log_{e}3)] \] \[ n=0,\pm1,\pm2,... \]

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Fernando Vazquez V. (discusión) 03:36 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

Encuentra los valores de la potencia compleja dada

$(1 + i)^{1-i}$

Procedimiento

Para encontrar una potencia compleja sabemos que

$z^{\alpha} = e^{\alpha \ln z}$

Donde:

$z=(1+i)$

$arg(z)=\frac{\pi}{4}+2n\pi=\frac{\pi}{4}(1+8n)$

$|z|=\sqrt2$

Aplicando esto a la definición de logaritmo complejo:

$lnz=log_{e}|z|+iarg(z)$

$ln(1+i) = \log_{e}(\sqrt2) + \frac{(8n+1) \pi}{4} i$

Aplicando esta definición a la potencia compleja dada tenemos:

$(1+i)^{1-i}=e^{(1-i){\left [\log_{e}(\sqrt2) +\frac{i\pi}{4} (1+8n) \right ]}}$

$e^{(1-i){\left [\log_{e}(\sqrt2) +\frac{i\pi}{4} (1+8n) \right ]}}=e^{\log_e \sqrt2}e^{i\frac{\pi}{4}(1+8n)}e^{-i\log_e\sqrt2}e^{\frac{\pi}{4}(1+8n)}$

Solución

Reagrupando términos, se tiene que:

$(1+i)^{1-i}=\sqrt2 e^{\frac{\pi}{4}(1+8n)+i \left [\frac{\pi}{4}(1+8n)-\frac{1}{2}\log_e2 \right ] }$

Donde al ultimo se uso la propiedad de logaritmos:

$\log_e\sqrt2=\log_e2^{1/2}=\frac{1}{2}\log_e2$

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Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:24 4 jun 2015 (CDT)

Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 4

Determine todos los valores de la potencia compleja dada.

$(1+\sqrt{3}i)^{i}$

Procedimiento

suponga que $z=1+\sqrt{3}i$ entonces

$(1+\sqrt{3}i)^{i}=z^{i}$

así

$z^{i}=e^{iln\:z}$

pero $ln\:z=ln(1+\sqrt{3}i)=log_{e}\mid1+\sqrt{3}i\mid+iArg(1+\sqrt{3}i)=log_{e}2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi)$

$z^{i}=e^{i(log_{e}2+i(\frac{\pi}{3}+2n\pi))}=e^{ilog_{e}2}e^{i^{2}(\frac{\pi}{3}+2n\pi)}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}$

$e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}e^{ilog_{e}2}=e^{-\frac{\pi}{3}+2n\pi}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}(cos(log_{e}2)+isin(log_{e}2))$

Solución

$(1+\sqrt{3}i)^{i}=e^{\frac{\pi(6n-1)}{3}}\left [\cos(\log_{e}2)+i\sin(\log_{e}2) \right ]$

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Francisco Medina Albino (discusión) 02:27 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

Determine todos los valores de la potencia compleja $(-i)^i$

Procedimiento

Si, $z=-i$

Entonces $|z|=1$ y $arg(-1)=-\frac{\pi}{2}+2n\pi$

Por lo anterior tengo $ln(-i)$ = $log_{e} 1+ i\left(-\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)$

Y sé que, $log_{e} 1=0$

Así, simplificando: $ln(-i) =\frac{(4n-1)}{2} \pi i$

Y aplicando la definición de las potencias complejas $z^{\alpha} = e^{\alpha lnz}$ y si $\alpha=i$, tengo :

$(-i)^i= e^{i ln(-i)}$ = $e^{i[(4n-1)\pi i /2]}$= $e^{-1[(4n-1)\pi/2]}$= $e^{(-4n+1)\pi/2}$

Solución

$(-i)^i$=$e^{\frac{\pi}{2}(-4n+1)}$

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Emmanuell Castro Flores (discusión) 21:05 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 6

Determine todos los valores de la potencia compleja dada.

$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}}$

Procedimiento

Usando el algoritmo para la potencia compleja tenemos:

$z^{\alpha}=e^{\alpha\left(ln\left(z\right)\right)}$

$z^{\alpha}=e^{\alpha\left(ln\left(\left[z\right]\right)+iarg\left(z\right)\right)}$

aplicándolo a la potencia pedida en el ejercicio dado tenemos:

$|z|=e$

$\arg z =\frac{\pi}{2}$

$\alpha=\sqrt2$

$_{\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}\right)ln\left(ei\right)}}$

$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left [ln\left(e\right)+iarg(ei) \right ]}$

$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}\left(1+i\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$

$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\left(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k \pi\right)\right)}$

Solución

$\left(ei\right)^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}}e^{i\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)}$

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Martin Flores Molina (discusión) 13:45 6 junio 2015 (CDT) ----

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Ejercicio 7

Determine el valor principal de la potencia compleja dada

$(-1)^{3i}$

Procedimiento

$z=-1$

$|z|=1$

$Arg(-1)=\pi$

por lo que

$Ln(-1)=log_{e}1+i\pi$

entonces definimos $\alpha=3i$

Lo que da como resultado:

$(-1)^{3i}=e^{(3i)Ln(-1)}=e^{(3i)(log_{e}1+i\pi)}$

Solución

Por lo tanto:

$(-1)^{3i}=e^{(3i)(0+i\pi)}=e^{-3\pi}$

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Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 23:59 4 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Determine el valor principal de la potencia compleja dada

$(3)^{2i/\pi}$

Procedimiento

Generalmente se sabe que $z^{α}= e ^{αlnz}$

Donde $z=3$

$|z|=3$

$Arg(3)=0$

Así podemos decir que

$Ln(3)=log_{e}3+i0$

y sabemos que $\alpha=\frac{2i}{\pi}$

por lo tanto:

Solución

$z^{α}= e ^{αlnz}=e^{(\frac{2i}{\pi})Ln(3)}$

El ultimo termino puede ser presentando, usando propiedades de logaritmo como:

$(3)^{2i/\pi}=e^{\frac{i}{\pi}2log_e3}=e^{\frac{i}{\pi}log_e3^{2}}=e^{\frac{i}{\pi}log_e9}$

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Miguel Medina Armendariz (discusión) 14:56 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 9

Determina el valor principal de la potencia.

$(2)^{4i}$

Procedimiento

Si se sabe:

$z^{α}= e ^{αlnz}$

Entonces:

$z=2$

$|z|=2$

$Arg(2)=0$

Po lo que:

$Ln(2)=log_{e}2+i0$

ya que:: $\alpha=4i$

Solución

Por lo tanto:

$(2)^{4i}=e^{(4i)Ln(2)}=e^{(4i)(log_{e}2)}$

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Nancy Martínez Durán (discusión) 05:19 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

Determinar el valor principal de la potencia dada:

$i^{\frac{i}{\pi}}$

Procedimiento

Por definición sabemos que:

$Ln(z)=\log_e|z|+i Arg(z)$ ...(1)

Entonces procedemos a sacar la magnitud y el argumento de z

Por lo cual tenemos:

$z=i$

$\left|z\right|=1$

$arg\left(z\right)=\frac{\pi}{2}$

Entonces por (1) tenemos:

$ln(i)=log_{e}1+i\frac{\pi}{2}$

También sabemos por definición que:

$z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$

Por lo cual tenemos por propiedades de logaritmo usando la definición anterior da como resultado:

$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{\frac{i}{\pi}lni}=e^{\frac{i}{\pi}\left(log_e 1+\frac{i\pi}{2}\right)}=e^{-\frac{1}{2}}$

Solución

$i^{\frac{i}{\pi}}=e^{-\frac{1}{2}}$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:27 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Determine el valor principal del la potencia compleja dada.

$(1+{\sqrt {3}}i)^{3i}$

Procedimiento

Para encontrar el valor principal vamos a utilizar lo siguiente:

$z^{\alpha }=e^{\alpha Lnz}$

Ahora bien como sabemos para encontrar el logaritmo de un complejo necesitamos tanto su modulo como su argumento principal, asi identificando : $|z|= \sqrt{(1)²+(\sqrt{3})²}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

$Arg(z)=Arg(1+{\sqrt {3}}i)=\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {3}}{1}}\right)={\frac {\pi }{3}}$

Así calculando su logaritmo tenemos:

$Ln(1+{\sqrt {3}}i)=log_{e}2+i{\frac {\pi }{3}}$

Ahora para calcular el valor principal identificamos:

$z=1+{\sqrt {3}}i$

$\alpha =3i$

Sustituyendo en (*)

$(1+{\sqrt {3}}i)^{3i}=e^{(3i)(Ln1+{\sqrt {3}}i)}=e^{(3i)(log_{e}2+i{\frac {\pi }{3}})}$

Desarrollando:

$(1+\sqrt{3}i)^{3i}= e^{3ilog_e 2+ 3ii\frac{\pi}{3}}$

$(1+{\sqrt {3}}i)^{3i}=e^{3i(log_{e}2)-3{\frac {\pi }{3}}}$

Solución

$(1+{\sqrt {3}}i)^{3i}=e^{3ilog_{e}2-\pi }$

Ahora bien sabemos que podemos reescribir de la manera siguiente:

$e^{3ilog_{e}2-\pi }=e^{-\pi }[cos(3log_{e}2)+isen(3log_{e}2)]$

Para lo cual calculando tenemos que el valor principal de la potencia es:

$(1+{\sqrt {3}}i)^{3i}=-0.02104+0.03774i$

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Anahi Limas (discusión) 10:01 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Determinar el valor principal de la potencia compleja dada.

$(1+i)^{2-i}$

Procedimiento

Si $\alpha$ es un número complejo entonces la función definida por

$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}.......(1)$

Es el valor principal de la potencia compleja $z^{\alpha}$

Ahora, de (1) identificamos $z=1+i$

y $\alpha=2-i$

de donde $|z|=\sqrt{2}$

y $Arg(1+i)=\frac{\pi}{4}$

y dado que el valor principal del logaritmo complejo se define como:

$Lnz=log_{e}|z|+iArg(z)$

Podemos entonces escribir:

$Lnz=log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}$

y entonces (1) queda de la forma:

$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)(log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4})}$

Y haciendo los numeritos:

$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)log_{e}\sqrt{2}+(2-i)(i\frac{\pi}{4})}$

$(1+i)^{2-i}=e^{(2-i)log_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$

$(1+i)^{2-i}=e^{2log_{e}\sqrt{2}-ilog_{e}\sqrt{2}+i\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}}$

Solución

Que se puede expresar como:

$(1+i)^{2-i}=e^{\log_e2+\frac{\pi}{4}}e^{i\left (\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right )}$

$(1+i)^{2-i}=e^{\log_e2+\frac{\pi}{4}}\left [ \cos\left ( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right )+i \sin\left ( \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\log_e2 \right ) \right ]$

Tenemos entonces:

$(1+i)^{2-i}=1.49+i4.1257$

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A. Martín R. Rabelo (discusión) 15:40 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 12 (solución alternativa)

$\left(1+i\right)^{2-i}$

Procedimiento

Se hace uso de la relación: $z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}$

donde $z=1+i$ y $\alpha=2-i$

calculamos, primero :

$\ln\left(1+i\right)=\log_{e}\left|z\right|+i\arg\left(z\right)=\log_{e}\left(\sqrt{2}\right)+i\left(\frac{\pi}{4}\right)$

después: $\alpha\left(\ln z\right)=\left(2-i\right)\left(\log_{e}\left(\sqrt{2}\right)+i\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-log_{e}\sqrt{2}\right)$

Así, se tiene que la potencia compleja $\left(1+i\right)^{2-i}$ se puede reescribir como:

.

$\left(1+i\right)^{2-i}=e^{2\log_{e}\sqrt{2}+\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)}=e^{2\log_{e}\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\log_{e}\sqrt{2}}$

$=2e^{\left[\frac{\pi}{4}+i\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]}=2\left\{ e^{\frac{\pi}{4}}\left[cos\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\log_{e}\sqrt{2}\right)\right]\right\} \approx1.4900+4.1257i$

Solución

Por lo que:

$\left(1+i\right)^{2-i}\approx1.4900+4.1257i$

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Alejandro Juárez Toribio (discusión) 16:16 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

Verificar que $\frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}=z^{\alpha_1-\alpha_2}$ para $z\neq0$.\\

Solución

Sea : $z^{\alpha_1}=e^{\alpha_1 \ln z}$ y $z^{\alpha_2}=e^{\alpha_2 \ln z}$ con $z\neq0$

\begin{align*} \frac{z^{\alpha_1}}{z^{\alpha_2}}&=\frac {e^{\alpha_1 \ln z}}{e^{\alpha_2 \ln z}}&\textrm{(por definición.)}\\ &=e^{\alpha_1 \ln z - \alpha_2 \ln z}&\textrm{(por el ejercicio 47, sección 4.1.)}\\ &=e^{(\alpha_1 - \alpha_2 )\ln z}&\textrm{(distributividad en los complejos.)}\\ &=z^{\alpha_1 - \alpha_2}&\textrm{(por definición.)}\\ \end{align*}

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Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 13:28 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 15

Determine la derivada de la función $z^{3/2}$ en el punto $z=1+i$. Sea $z^{\alpha}$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$, $-\pi < arg(z)< \pi$

Procedimiento

Ya que el valor principal de la potencia compleja $z^{\alpha}$ esta definida en el dominio $|z|>0$, $-\pi < arg(z)< \pi$, entonces es derivable y

$\frac{d}{dz} z^{\alpha} = \alpha z^{\alpha-1}$

Derivando

$\frac{d}{dz} z^{\frac{3}{2}}= \frac{3}{2} z^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} (1+i)^{\frac{1}{2}}$ , $...(1)$

Como $z=(1+i)$ , y del valor principal de la potencia compleja tengo que $z^{\alpha} = e^{\alpha lnz}$, con $\alpha=1/2$

entonces $z^{\frac{1}{2}}=e^{(1/2)ln(1+i)}$ , $...(2)$

Para saber el valor de $ln(1+i)$ uso valor principal del logaritmo complejo, y si $|z|=\sqrt{2}$ , $Arg(z)=\frac{\pi}{4}$ Entonces: $ln(1+i)=log_{e} \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}i$ , $...(3)$

Así, sustituyendo $(3)$ en $(2)$ :

$z^{1/2}=e^{(1/2) ln(1+i)}$= $e^{(1/2) log_{e} \sqrt{2} + \frac{\pi}{4}i}$ = $\sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi}{8}i} $

Ahora sustituyendo en $(1)$ tengo:

$\frac{d}{dz} z^{\frac{3}{2}}$ = $\frac{3}{2} z^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{3}{2} (1+i)^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$

Por lo tanto la derivada de $z^{\frac{3}{2}}$ en el punto $z=1+i$ es:

Solución

$\frac{3}{2} \sqrt[4]{2} e^{\frac{\pi i}{8}}$

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Emmanuell Castro Flores (discusión) 18:12 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

Determine la derivada de la función dada en el punto dado. Sea $z^{\alpha }$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio.

$\mid z\mid >0;-\pi <\theta <\pi$

$z^{1+i};z=1+{\sqrt {3}}i$,

Procedimiento

Debido a que el punto es $z=1+{\sqrt {3}}$, se tiene que su derivada es:

${\frac {d}{dz}}z^{1+i}=(1+i)z^{i}$, por lo que,

${\frac {d}{dz}}z^{1+i}\mid _{z=1+{\sqrt {3}}}={\frac {d}{dz}}(1+i)z^{i}\mid _{z=1+{\sqrt {3}}}=(1+i)(1+3i)^{i}...(1)$

donde: :$(1+{\sqrt {3}})^{i}$sera nuestro Caso I; y :$(1+i)^{1}$ el Caso II.

Ahora la definición de potencias complejas dice que :$z^{\alpha }=\exp(\alpha lnz)...(2)$, donde:

$lnz=log_{e}\mid z\mid +iArg(z)$, entonces sustituyendo en (2) se tiene:

$z^{\alpha }=\exp(\alpha [log_{e}\mid z\mid +iArg(z)]...(3)$

El argumento y magnitud se obtiene de la siguiente manera:

Caso I :$\mid z\mid =2$

$cos\theta ={\frac {x}{\mid z\mid }}={\frac {1}{2}}\Rightarrow \theta =cos^{-1}({\frac {1}{2}})=60^{|0}={\frac {\pi }{3}}$ y

$sen\theta ={\frac {y}{\mid z\mid }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\Rightarrow \theta =sen({\frac {1}{2}})=60^{|0}={\frac {\pi }{3}}$

Caso II :$\mid z\mid ={\sqrt {2}}$

$cos\theta ={\frac {x}{\mid z\mid }}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\Rightarrow \theta =cos^{-1}({\frac {1}{\sqrt {2}}})=45^{0}={\frac {\pi }{4}}$ y

$sen\theta ={\frac {y}{\mid z\mid }}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\Rightarrow \theta =sen({\frac {1}{\sqrt {2}}})=45^{0}={\frac {\pi }{4}}$ .

Sabemos que para el

Caso I :$\alpha =i;z=1+{\sqrt {3}},Arg(z)=\theta ={\frac {\pi }{3}}$ ,

Caso II :$\alpha =1;z=1+i;Arg(z)=\theta ={\frac {\pi }{4}}$ ; sustituyendo en (3) obtenemos:

Caso I

$(1+{\sqrt {3}}i)^{i}=\exp i[log_{e}2+i{\frac {\pi }{3}}i]$

Caso II

$(1+i)^{1}=\exp[log_{e}{\sqrt {2}}+{\frac {\pi }{4}}i]$, sustituyendo en (1) se tiene que:

$z^{1+i}=(1+{\sqrt {3}})^{i}(1+i)=\exp[ilog_{e}2+i^{2}{\frac {\pi }{3}}]\exp[log_{e}{\sqrt {2}}+{\frac {\pi }{4}}i]$,

Solución

Agrupando términos, y factorizando en términos de “i”, se tiene:

$z^{1+i}=\exp[ilog_{e}2-{\frac {\pi }{3}}+log_{e}{\sqrt {2}}+{\frac {\pi }{4}}i]$

$z^{1+i}=\exp[-{\frac {\pi }{3}}+i(log_{e}2+{\frac {\pi }{4}})]*\exp[log_{e}{\sqrt {2}}]$, simplificando se tiene finalmente que:

$z^{1+i}={\sqrt {2}}\exp[-{\frac {\pi }{3}}+i(log_{e}2+{\frac {\pi }{4}})]$

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Elaboro--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 01:15 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 16

Encuentra la derivación de la función $z^{2i}$ evaluada en $z=i$

Procedimiento

Realizando la derivación tenemos que

${\frac {dz^{2i}}{dz}}=2iz^{2i-1}$

En donde evaluaremos el punto z=i

$2iz^{2i-1}=2i(i)^{2i-1}$

Para obtener las raíces usaremos la expresión para potencias complejas

$z^{\alpha }=e^{\alpha ln(z)}$

con

$ln(z)=log_{e}|z|+iArg(z)$

si

$z_{1}=i;\alpha =2i-1$

Resolviendo la norma de z y su argumento

$z_{1}^{\alpha }=e^{(2i-1)ln(i)}=e^{(2i-1)(log_{e}|1|+iArg(i))}=e^{(2i-1)({\frac {i\pi }{2}})}=e^{-\pi -i{\frac {\pi }{2}}}=e^{-\pi }e^{-{\frac {i\pi }{2}}}$

En donde tenemos que

$e^{-i{\frac {\pi }{2}}}=cos(-{\frac {\pi }{2}})+isen(-{\frac {\pi }{2}})=-i$

Por lo que $z_{1}$ a la potencia $\alpha$ es en este caso

$z_{1}^{\alpha }=-ie^{-\pi }$

lo anterior multiplicando por el factor de 2i, Por lo que la derivada $z^{2i}$ en el punto $z=i$ es igual a

Solución

$z^{2i}=2i(-ie^{-\pi })=2e^{-\pi }$

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Pablo (discusión) 09:53 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 18

Determine la derivada de la función dada $z^{\sqrt{2}}$ en el punto dado $z=-i$. Sea $z^α$ el valor principal de la potencia compleja definida en el dominio $|z|>0$ , $-\pi < arg(z)> \pi$

Procedimiento

Sea $z^{\alpha}=z^{\sqrt{2}}$, Entonces es derivable en el dominio dado, por lo tanto.

$ \frac{d}{dz} z^{\alpha}= \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2} z^{\sqrt{2}-1}$$

Evaluada en el punto z=-i

$\therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}= \sqrt{2}(-i)^{\sqrt{2}-1} , -----(1) $

Tomando el valor principal de la potencia compleja se tiene que:

$ z^{\alpha}=e^{\alpha ln z} $

Donde $\alpha= \sqrt{2}-1 $

$ \therefore z^{\sqrt{2}-1}= e^{(\sqrt{2}-1)ln(-i)} , -----(2) $

Queremos encontrar cual es el valor de $ln(-i)$

Entonces tomamos como definición el valor principal del logaritmo complejo.

$ ln(z)=log_{e}|z|+iArg(z) $

Encontrando $|z|$ & $Arg(z)$

$ |z|=\sqrt{(-1)^2}=1 $

$ Arg(z)=Arg(-i)=-\frac{\pi}{2}$

$ \therefore ln(-i)=log_{e}(1)-i\frac{\pi}{2}=-i\frac{\pi}{2}$

Sustituyendo en la ec.(2)

$ z^{\sqrt{2}-1}=e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}}$

Por tanto sustituyendo en la ec.(1)

$ \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}} $

Solución

Entonces para $z=-i$, se tiene que la derivada es:

$ \therefore \frac{d}{dz} z^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}e^{-i(\sqrt{2}-1)\frac{\pi}{2}}$

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Re elaborado por Manuel Rodríguez

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Ejercicio 19

Para cualquier numero complejo $z\neq{0}$ evalue $z^{0}$

Sea $z=x+iy$ un numero complejo cualquiera distinto de cero, esto es con "$x$" y "$y$" no ambos cero, tendremos que $z^{0}$ sera;

Procedimiento

$z^{\alpha }=z^{0}$

y por definicion;

$z^{\alpha }=e^{\alpha ln(z)}$

que en este caso se convierte a;

$z^{\alpha }=e^{0ln(z)}$ ya que $\alpha=0$

Y así tendremos que;

Solución

$e^{0ln(z)}=e^{0}=1$

Por lo cual concluimos que $z^{0}=1$ para cualquier numero complejo $z$ distinto de cero

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Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 23:45 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Muestre que si $\alpha =1/n$ donde $n$ es un entero positivo, entonces el valor principal de $z^{\alpha}$ es igual que el de la $n$-ésima raíz principal de $z$.

Procedimiento

Con la definición para el valor principal de la potencia compleja:

$z^{\alpha}=e^{\alpha Lnz}=e^{\alpha(log_e|z|+iArg(z))}$, con $Arg(z)=\theta$

$z^{\alpha}=e^{\alpha(log_e|z|+i\theta)}=e^{\alpha log_e|z|}e^{i\alpha \theta}=e^{\frac{1}{n}log_e|z|}e^{i\frac{\theta}{n}}$

Dado que $\dfrac{1}{n} log_e|z|$ es real, podemos aplicar la propiedad $\dfrac{1}{n} log_e|z|=log_e|z|^{1/n}$

$z^{\alpha}=e^{\frac{1}{n}log_e|z|}e^{i\frac{\theta}{n}}=e^{log_e|z|^{1/n}}e^{i\frac{\theta}{n}}=|z|^{1/n}e^{i\frac{\theta}{n}}=|z|^{1/n}(\cos \frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})$

$z^{\alpha}=^n\sqrt{|z|}(\cos \frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})$

De capítulos anteriores se dedujo que la fórmula para la potencia $m$-ésima, la cual es:

$w_k=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta +2k\pi}{n}+i\sin \dfrac{\theta +2k\pi}{n}]$

y dado que nos piden compararla con la raíz principal, tenemos que $k=0$

$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]$, si $z=w_0$ con $|z|=r$ podemos concluir que:

$w_0=^n\sqrt{r}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=^n\sqrt{|z|}[\cos \dfrac{\theta}{n}+i\sin \dfrac{\theta}{n}]=z^{\alpha}$

Conclusión

y podemos decir que $z^{\alpha}$ con $\alpha =1/n$ con $n$ entero positivo es igual a la $n$-ésima raíz principal de $z$.

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Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 20:16 3 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 24

Una útil propiedad de los numero reales es $x^{\alpha}y^{\alpha}=(xy)^{\alpha}$

(a)¿ La propiedad anterior es valida para potencias complejas?

Procedimiento

Sabemos que

\[ z^{\alpha}=e^{\alpha lnz}=e^{\alpha(log_{e}z+iarg(z))} \]

Así que

\[ (zw)^{\alpha}=e^{\alpha zw}=e^{\alpha(log_{e}zw+iarg(zw)}=e^{\alpha Ln(zw)}=e^{\alpha(Ln(z)+Ln(w))}=e^{\alpha Ln(z)}e^{\alpha Ln(w)}=e^{Ln(z^{\alpha})}e^{Ln(w^{\alpha})}=z^{\alpha}w^{\alpha} \]

(b)¿La propiedad es valida para la principal potencia compleja?

Conclusión

También es valida para la principal potencia compleja ya que las demás potencias complejas lo único que hacen es sumar $2n\pi\hspace{1em}n\in Z$ al argumento de $z$ y eso no influye significativamente para esta situación.

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Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 22:16 5 jun 2015 (CDT)

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