Compleja:Zill-Cap3.3

Ejercicios del capítulo 3, sección 3 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.

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Sección 3.3

Ejercicio 1

a) compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$.

b) Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$,

c)forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$.

$u(x,y)=x$

Inciso c 

a)De las derivadas parciales: ${\frac {\partial u}{\partial x}}=1;{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=0;{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Vemos que $u$ satisface la ecuación de Laplace.

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}=0$

Inciso b 

b)Dado que la función armónica conjugada $v$ debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann :

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$

Debemos tener: ${\frac {\partial v}{\partial y}}=1$

${\frac {\partial v}{\partial x}}=0$

Integrando parcialmente la primera ecuación respecto a la variable $y$ se obtiene $v(x,y)=y+h(x)$, la derivada parcial respecto a $x$ de esta ultima ecuación es :

${\frac {\partial v}{\partial x}}=h'(x)$ por lo cual $h(x)=constante=C$

por lo cual :$v(x,y)=y+C$

Inciso c 

c) la función compleja resultante es:

$f(z)=x+(y+C)i$

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Realizado por: Anahi Limas (discusión) 12:02 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 2

Compruebe que la función $U(x,y)=2x-2xy$ es armónica en una adecuada dominio D.

Se dice que una función es armónica si cumple que:

\[ \nabla^{2}\,U=\frac{\partial^2 U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=0 \]

calculemos pues las segundas parciales: \[ \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial (2x-2xy)}{\partial x}=\frac{\partial (2-2y)}{\partial x}=0 \]

Conclusión 

\[ \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial (2x-2xy)}{\partial y}=\frac{\partial (-2x)}{\partial y}=0 \]

Por tanto U es armónica en todo el plano complejo ($\mathbb{C}$).

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Realizado por: Tlacaelel Cruz (discusión) 21:37 2 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 3

En los problemas 1-8 , compruebe que la función dada u es armónica en una adecuada dominio D.

$U\left(x,y\right)=x^{2}-y^{2}$

una función es armónica si cumple con lo siguiente:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$ $\nabla^{2}=0$

entonces calculemos:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-2$

Conclusión 

entonces

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=2-2=0$

por tanto U es armónica

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Realizado por: Martin Flores Molina (discusión) 14:27 30 mayo 2015 (CDT)

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ejercicio 4

$u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}$

Inciso a 

(a) compruebe que la función dada u es armónica en un dominio apropiado D

$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}$ ;$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=6x$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy$ ; $\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-6x$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=6x-6x=0$

$\nabla^{2}u=0$

por lo tanto u(x,y) es armónica

Inciso b

(b) determine v(x,y), la armónica conjugada de u

primero tomamos en cuenta que :

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial x}=-(\frac{\partial u}{\partial y})$

$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}=\frac{\partial v}{\partial y}$ ....(1)

$-\frac{\partial u}{\partial y}=-(-6xy)=6xy=\frac{\partial v}{\partial x}$ ....(2)

en (1) integramos respecto a y

$3x^{2}y-y^{3}+h(x)$

ahora derivamos respecto a x

$6xy+h'(x)$

sustituimos en (2)

y obtenemos que $h'(x)=0$ por lo tanto $h(x)=C$

entonces obtenemos que

$v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}+C$

Inciso c

(c)forme la correspondiente función analítica

$f(z)=(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^{2}y-y^{3}+C)$

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Realizado por: Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 00:09 3 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 5

(a) Compruebe que la función dada u es armónica en un dominio apropiado D, (b) determine v(x,y), la armónica conjugada de u, y (c) forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$

$u(x,y)=log_{e}(x^{2}+y^{2})$

Inciso a

(a) Primero comprobamos que sea armónica, para eso debe cumplir la ecuación de Laplace.

$\nabla^{2}u=0=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$

Entonces:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\Longrightarrow\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\Longrightarrow\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Ahora:

\[ \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{2(x^{2}+y^{2})-4x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{2(x^{2}+y^{2})-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{4(x^{2}+y^{2})-4x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=0 \]

Inciso b

(b) Sabemos la función armónica conjugada v cumple las ecuaciones CR, por ello:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}$...........(1)

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}$........(2)

Si integramos parcialmente (1) respecto a "y" y obtenemos $v(x)=2arctan(\frac{y}{x})+h(x)$ y si la derivamos parcialmente respecto a x tenemos que:

$\frac{-2y}{x^{2}(1+\frac{y^{2}}{x^{2}})}+h'(x)=\frac{-2y}{x^{2}+y^{2}}+h'(x)=\frac{\partial v}{\partial y}$.....(3)

Sustituimos el resultado de (3) en (2) y se tiene:

$h'(x)=0\Longrightarrow h(x)=c$

Finalmente, la función armónica conjugada de u es

\[ v(x)=2arctan(\frac{y}{x})+c \]

Inciso c

(c) Reescribimos la ecuación de la forma $f(z)=u+iv$

\[ f(z)=log_{e}(x^{2}+y^{2})+i(2arctan(\frac{y}{x})+c) \]

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Realizado por:Fernando Vazquez V. (discusión) 00:49 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 6

(a) Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$. b) Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$ y forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$

$u(x,y)=cosxcoshy$

Inciso a

a) Para que una función sea armónica tiene que cumplir:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$= $\nabla^{2}u=0$

Entonces:

$\frac{\partial u}{\partial x}=-senxcoshy$ ;$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=-cosxcoshy$

$\frac{\partial u}{\partial y}=cosxsenhy$ ; $\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=cosxcoshy$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=cosxcoshy-cosxcoshy=0$

$\nabla^{2}u=0$

Por lo tanto u(x,y) es armónica

Inciso b

(b) Encontrar v(x,y), la armónica conjugada de u

Tenemos las Ecuaciones de Cauchy-Riemann  :

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial x}=-(\frac{\partial u}{\partial y})$

$\frac{\partial u}{\partial x}=-senxcoshy=\frac{\partial v}{\partial y}$ ....(1)

$-\frac{\partial u}{\partial y}=-(cosxsenhy)=\frac{\partial v}{\partial x}$ ....(2)

Integramos (1) respecto a "y"

$v(x,y)=-senxsenhy+g(x)$

Ahora derivamos $v$ respecto a "x"

$v(x,y)'= -cosxsenhy+g'(x)$........(3)

Sustituimos el resultado de (3) en (2) y se tiene:

$g'(x)=0; g(x)=c$

Entonces la función armónica conjugada de u es

\[ v(x,y)=-senxsenhy+c \]

Conclusión

Por lo tanto reescribimos la ecuación de la forma $f(z)=u+iv$ \[ f(z)=(cosxcoshy+i(-senxsenhy+c)) \]

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Realizado por: Nancy Martínez Durán (discusión) 01:24 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 7

Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$. Determine $v(x,y)$, la armonica conjugada de $u$ y forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$

$u(x,y)=exp(x)[xcosy-ysiny]$

Procedimiento

De las derivadas parciales:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=exp(x)cosy+exp(x)[xcosy-ysiny]$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2exp(x)cosy+exp(x)[xcosy-ysiny]$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=exp(x)[-ycosy-siny-xsiny]$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=exp(x)[-2cosy-xcosy+ysiny]$

De acuerdo a la ecuación de Laplace

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0+0=0$, esto demuestra que $u(x,y)$ es armónica

Dado que la ecuación es armónica de satisfacer las ecuaciones de Cauchy- Riemann

$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ y,

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}$

Donde

$\dfrac{\partial v}{\partial y}=exp(x)cosy+exp(x)[xcosy-ysiny]$ y $\dfrac{\partial v}{\partial x}=exp(x)[ycosy+siny+xsiny]$

Integrado parcialmente la primera ecuación respecto $y$

$v(x,y)=exp(x)[ycosy+xsiny]+h(x)$

La derivada parcial respecto a $x$ es

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=exp(x)siny+exp(x)[ycosy+xsiny]+h'(x)$

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos $h'(x)=0$ así $h(x)=C$

Por lo tanto la función armónica conjugada de $u$ es $v(x,y)=exp(x)[ycosy+xsiny]+C$

Solución

Para finalizar la función compleja resultante es

$f(z)=e^x[xcosy-ysiny]+i[e^x[ycosy+xsiny]+C]$

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Realizado por: Miguel Medina Armendariz (discusión) 21:06 3 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 8

Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio apropiado $D$. Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$ y forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$

Para $u(x,y)=-e^{-x} \sin{y}$

Procedimiento

Esta función es armónica en un dominio D solo si satisface la ecuación de Laplace, esto es;

${\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Calculando las respectivas derivadas parciales obtendremos lo siguiente;

${\dfrac {\partial u}{\partial x}}=e^{-x}\sin {y}$

${\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=-e^{-x}\sin {y}$

${\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-e^{-x}\cos {y}$

${\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=e^{-x}\sin {y}$

De aqui es claro que se cumple la ecuacion de Laplace;

${\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=-e^{-x}\sin {y}+e^{-x}\sin {y}=0$

Por lo cual la función es armónica

Para determinar$v(x,y)$ que es la armónica conjugada recurriremos alas ecuaciones de Cauchy-Riemann Ya que La solución a esas ecuaciones nos dará la conjugada,que es lo que necesitamos, así entonces se debe de cumplir que;

${\dfrac {\partial u}{\partial x}}=e^{-x}\sin {y}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}$

y tambien que;

${\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-e^{-x}\cos {y}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}$

De esta manera tendremos que;

${\dfrac {\partial v}{\partial y}}=e^{-x}\sin {y}$

Asi despejando $dy$ e integrando respecto a $y$ tendremos;

$v(x,y)=-e^{-x}\cos {y}+h(x)$ Donde $h(x)$ es consecuencia de la integracion y es una constante que depende de $x$

Ahora derivando el resultado anterior respecto a $x$ tendremos que;

${\dfrac {\partial v}{\partial x}}=e^{-x}\cos {y}+h'(x)$

Para poder determinar a $h(x)$ debemos igualar la ecuación anterior con $-\dfrac{\partial u}{\partial y}$

Así

$e^{-x} \cos{y}=e^{-x} \cos{y}+h'(x)$

De donde es claro que $h'(x)=0$ así integrando ambas partes tendremos que $h(x)=C$ donde $C=constante$

Una vez echo esto regresamos a nuestra función $v(x,y)$ donde ahora ya es claro que;

$v(x,y)=-e^{-x}\cos {y}+h(x)=-e^{-x}\cos {y}+C$

Siendo esta ultima la armónica conjugada

Y así podemos formar la correspondiente función analítica y dar por terminado el problema

Solución

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=-e^{-x}\sin {y}-i[e^{-x}\cos {y}+C]$

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Realizado por: Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 19:34 4 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 9

(a)Compruebe que la función dada es armónica en un dominio apropiado D.

(b)Determine $v(x,y)$, la armónica conjugada de $u$.

(c)Forme la correspondiente función analítica $f(z)=u+iv$.

$u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$

Procedimiento

Para saber si la función $u(x,y)$ es armónica tiene que satisfacer con la ecuación de Laplace, entonces se calculan las primeras y segundas derivadas de la función.

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-x(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

$\frac{\partial^{2}u}{x^{2}}=\frac{-2x(x^{2}+y^{2})^{2}-(y^{2}-x^{2})(2)(2x)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(x^{2}+y^{2})[(-2x)(x^{2}+y^{2})-(y^{2}-x^{2})(2)(2x)]}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(-2x)(x^{2}+y^{2})-(y^{2}-x^{2})(2)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{(-2x^{3}-2xy^{2})-(4xy^{2}-4x^{3})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$

$=\frac{-2x^{3}-2xy^{2}-4xy^{2}+4x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{-6xy^{2}+2x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}(-2x)-(-2xy)(2)(2y)(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(x^{2}+y^{2})[(-2x)(x^{2}+y^{2})-(-2xy)(2)(2y)]}{(x^{2}+y^{2})^{4}}=\frac{(-2x)(x^{2}+y^{2})-(-2xy)(2)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{-2x^{3}-2xy^{2}+8xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{-2x^{3}+6xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$

Entonces vemos que al sacar el Lapaciano:

$\frac{-6xy^{2}+2x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}+\frac{-2x^{3}+6xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=\frac{2x^{3}-2x^{3}+6xy^{2}-6xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}=0$

Por lo tanto queda demostrado que nuestra función es armónica.

(b)Para determinar la función armónica conjugada $v(x,y)$ Sabemos a priori que debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x};\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Por lo tanto:

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}......(1)$

y

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}......(2)$

Integrando parcialmente (2) respecto a $x$ nos queda:

$v(x,y)=\int\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dx$

Y haciendo el respectivo cambio de variable, integrando y resolviendo nos queda:

$v(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+g(y)$

La derivada parcial con respecto a $y$ de esta última ecuación es:

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{-(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)=\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)=\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)$

Pero sabemos por la ecuación (2) que:

$\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+g'(y)=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Por lo que se concluye que $g'(y)=0$

Entonces:

$v(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$

es la ecuación armónica conjugada:

Por lo tanto, la función analítica se ve como:

$f(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+C$

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Realizado por:A. Martín R. Rabelo (discusión) 21:47 6 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 9 (versión en inglés)

Para cada una de las funciones u (x, y) en los problemas 1, 3, 5, y 7, encontrar v (x, y), el conjugado armónico de u. Forma la función analítica correspondiente f(z)=u+iv

PROBLEMA 1 u(x,y)=x

Tomando que debe ser una función analítica entonces u debe satisfacer C-R

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$

Pero necesitamos conocer quien es v(x,y), entonces tomamos en cuenta que:

$\frac{\partial u}{\partial x}=1=\frac{\partial v}{\partial y}$

Integrando tenemos

$\int{dv}=\int{dy}$

$v=y+h(x)$

$h(x)=cte=C$

$v=y+C$

Por lo tanto v es la función armónica de u

$f(z)=u+iv$

$\therefore f(z)=x+i(y+c)$

PROBLEMA 2 u(x,y)=x^2-y^2

De C-R sabemos que :

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$

De aquí podemos conocer quien es v(x,y) donde

$\frac{\partial u}{\partial x}=2x=\frac{\partial v}{\partial y}$

Integrando

$\int{dv}=\int{2x}dy$

$ v=2xy+h(x) $

$h(x)=cte=C$

$ v=2xy+C $

Por lo tanto v es función armónica de u

$f(z)=u+iv$

$\therefore f(z)=x^2-y^2+i(2xy+c)$

PROBLEMA 3 u(x,y)=log_{e}(x^2+y^2)

Tomamos las ecuaciones de C-R

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$

Entonces podemos conocer a v(x,y)

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2}=\frac{\partial v}{\partial y}$

Integrando

$\int{dv}=\int{\frac{2x}{x^2+y^2}}dy$

$ v=2 tan^-1(\frac{y}{x})+h(x) $

$h(x)=cte=C$

$ v=2 tan^{-1}(\frac{y}{x})+C $

Por lo tanto v es función armónica de u

$f(z)=u+iv$

$\therefore f(z)=log_{e}(x^2-y^2)+i(2tan^{-1}(\frac{y}{x})+c)$

PROBLEMA 4 u(x,y)=e^{x}(xcosy-yseny)

$$u=x e^{x}cosy-y e^{x}seny$$

Tomando C-R

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=- \frac{\partial v}{\partial x}$

Entonces podemos conocer a v(x,y)

$\frac{\partial u}{\partial x}= e^{x}cosy+e^{x}(xcosy-yseny)= \frac{\partial v}{\partial y}$

Integrando

$\int{dv}=\int{e^{x}cosy+e^{x}(xcosy-yseny)}dy$

$ v= e^{x}(xseny+ycosy)+h(x) $

$h(x)=cte=C$

$ v= e^{x}(xseny+ycosy)+C $

Por lo tanto v es función armónica de u

$f(z)=u+iv$

$\therefore f(z)=e^{x}(xcosy-yseny)+i(e^{x}(xseny+ycosy)+C)$

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Realizado por:Samantha Martinez (discusión) 18:02 05 Junio 2015 (CDT)

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Ejercicio 10

a) Compruebe que la función dad de u es armónica

b)Determinar v(x,y) y la armónica conjugada

c) Formar como f(z)=u+iv

$u\left(x,y\right)=arctan\left(\frac{-y}{x}\right)$

Procedimiento

Para saber si la función es armónica debe satisfacer la ecuación de Laplace:

$\nabla^{2}=0$

Sacamos las segundas derivadas parciales respecto a x y a y para saber si satisface:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=-\frac{2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}$

entonces así podemos ver que satisface Laplace

$\nabla^{2}u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-\frac{2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=0$

Ahora debemos sacar la conjugada de u

Para esto invocamos a las ecuaciones de Cauchy-Riemann

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$....(1)

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$...(2)

y asi tomando (1)

$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

Integrando respecto a y tenemos:

$v=\frac{1}{2}ln\left|x^{2}+y^{2}\right|+f\left(x\right)$

Derivando parcialmente respecto a x

$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}$

Igualando (1) por las acuaciones de C.R.tenemos:

$\frac{\partial f\left(x\right)}{\partial x}=0$

Por lo tanto tenemos que la función armónica conjugada es:

$u\left(x,y\right)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+C$

Finalmente tenemos que:

Conclusión

$f\left(z\right)=arctan\left(\frac{-y}{x}\right)+i\frac{1}{2}ln\left|x^{2}+y^{2}\right|+f\left(x\right)$

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Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 23:42 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 11

Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio adecuado $D$. Determinar su armónica conjugada $v$ y encontrar una función analítica $f(z)=u+iv$ que satisfaga la condición indicada.

$u(x,y)=xy+x+2y-5$ , $f(2i)=-1+5i$

Procedimiento 

De las derivadas parciales:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=y+1$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$

$\dfrac{\partial u}{\partial y}=x+2$, $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$

vemos que la $u$ satisface la ecuación de Laplace

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0+0=0$, por tanto $u$ es armónica

Dado que la función armónica conjugada $v$ debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann

$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$ y, $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}$

debemos tener

$\dfrac{\partial v}{\partial y}=y+1$ y $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-(x+2)$ , $...$ $(1)$

Integrado parcialmente la primera ecuación en (1) respecto a la variable $y$ se obtiene

$v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y+h(x)$

La derivada parcial respecto a $x$ de esta última ecuación es

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=h'(x)$

Cuando se sustituye este resultado en la segunda ecuación de (1) obtenemos $h'(x)=-(x+2)$, y así $h(x)=-\frac{x^2}{2}-2x+C$ , donde $C$ es una constante real.

Por lo tanto, la función armónica conjugada de $u$ es $v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+C$

combinando $u$ y su armónica conjugada $v$ como $u(x,y)-iv(x,y)$, la función compleja resultante

$f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+C)$

Así, evaluando tenemos

$z=2i=0+2i$, $x=0$, $y=2$

$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}-2(0)+C)=-1+4i$

Para que $f(2i)=-1+5i$, la constante debe ser, C=1

Solución 

Por tanto la función que satisface la igualdad es: $f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+y-2x+1)$

Evaluando nuevamente vemos que satisface la condición indicada

$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}+2(0)+1)=-1+5i$

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Realizado por: Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:58 1 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 12

Comprobar que la función dada $u$ es armónica en un dominio adecuado $D$. Determinar su armónica conjugada $v$ y encontrar una función analítica $f(z)=u+iv$ que satisfaga la condición indicada

$u(x,y)=4xy^3-4x^3y+x$; $f(1+i)=5+4i$

Procedimiento  

Dado que $u$ es armónica su conjugada también obedece las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que derivando:

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=4y^3-12x^2y+1=\dfrac{\partial v}{\partial y}$, integrando respecto a $y$:

$v(x,y)=y^4-6x^2y^2+y+g(x)$

Y de la otra igualdad

$-\dfrac{\partial u}{\partial y}=-12xy^2+4x^3=-12xy^2+g'(x)=\dfrac{\partial v}{\partial x}$

Despejamos a $g'$ e integramos: $g'(x)=4x^3$, $g(x)=x^4+cte$

Por lo que la función conjugada de $u$ es: $v(x,y)=y^4-6x^2y^2+y+x^4+cte$

b) Con $f(z)=(4xy^3-4x^3y+x)+i(y^4-6x^2y^2+y+x^4+cte)$, la evaluamos en $z=1+i$ e igualamos con lo dado en el problema para determinar el valor de la constante;

$f(1+i)=(4-4+1)+i(1-6+1+1+cte)=1+i(-3+cte)\neq 5+4i$, al ser la parte real diferentes, la igualdad no es válida por lo que para que la función $f$ satisfaga la relación deberá ser:

$f(z)=(4xy^3-4x^3y+x+4)+i(y^4-6x^2y^2+y+x^4+cte)$

$f(1+i)=(4-4+1+4)+i(1-6+1+1+cte)=5+i(-3+cte)=5+4i$, e igualando las partes imaginarias para obtener la constante:

$-3+cte=4$, $cte=4+3=7$

Solución 

Por lo que la función que satisface la igualdad es:

$f(z)=(4xy^3-4x^3y+x+4)+i(y^4-6x^2y^2+y+x^4+7)$

la cual también satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

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Realizado por: Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 19:02 1 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 14

Supongamos que $f(z)= u(r,\theta) + i v(r,\theta)$ es analítica en un dominio D que no contiene el origen. use la ecuaciones de Cahuchy-Riemann (10) de la seccion 3.2 en la forma $ru_{r}= v_{\theta}$ y $rv_{r}=-u_{\theta}$ para demostrar que $u(r,\theta)$ satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares:

Procedimiento 

\[ r^{2}\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}} +r\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}+\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=0 \]

Definiendo a $f(z)$ en su forma polar: \[ f(z)= r(\cos\theta + i \sin\theta)\]

Entonces $u$

\[ u= r \cos\theta\]

Calculamos las derivadas parciales:

\[ r^{2}\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}}= 0\]

\[ r\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}= r \cos\theta\]

\[ \dfrac{\partial{u^{2}}}{\partial^{2}{\theta}}= -r \cos\theta\]

Conclusion 

\[ 0 + r \cos \theta -r \cos \theta = 0\]

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Realizado por: Esther Sarai (discusión) 22:11 3 jun 2015 (CDT)Esther Sarai

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Ejercicio 15

En los problemas 15 y 16 verifique la función $u(r,\theta)$ dada es armónica en el dominio $D$ que no contiene al origen

$u(r , \theta)=r^3\cos(3\theta)$

Procedimiento 

Para que una función sea armónica debe de satisfacer la ecuación de Laplace en un dominio determinado, como la función dada $u$ esta en coordenadas polares hacemos uso del Laplaciano en coordenadas polares, el cual es:

$\nabla^2 u = r^{2}\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}} +r\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}+\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=0$

Haciendo las derivadas parciales correspondientes tenemos:

$\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}}=6r\cos(3\theta)$

$\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}=3r^2\cos(3\theta)$

$\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=-6r^3\cos(3\theta)$

Solución

Sustituyendo en el Laplaciano nos queda:

$\nabla^2 u = r^2(6r\cos(3\theta)) + r(3r^2\cos(3\theta)) - 6r^3\cos(3\theta) = 3r^3\cos(3\theta)\neq 0$

La función no cumple con la ecuación de Laplace por lo tanto la función no es armónica

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Realizado por: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:04 4 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 13

a) Demuestre que :$v(x,y)={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$ es armónica en un dominio D que no contenga el origen.

b)Determine una función :$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ que es analítica en el dominio D.

c)Exprese la función f encontrada en el inciso (b) en términos del símbolo z.

Inciso a  

a) Para esta función de dos variables reales “x” y “y” sea armonica , es necesario que sus primeras y segundas

derivadas parciales sean continuas en un dominio D, y sastifagan la ecuación de Laplace que tiene la forma:

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0$...(1)

Obtendremos sus derivadas parciales de primer y segundo orden de la función; simplificando se tiene:

${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {(x^{2}+y^{2}){\frac {\partial }{\partial x}}x-x{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+{\frac {1}{(x^{2}+y^{2})}}...(1)$

${\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {(x^{2}+y^{2}){\frac {\partial }{\partial y}}x-x{\frac {\partial }{\partial y}}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}...(2)$

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2})^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}2x^{2}-2x^{2}{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{4}}}-{\frac {2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {8x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {6x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}={\frac {(x^{2}+y^{2})^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}2xy-2xy{\frac {\partial }{\partial y}}(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{4}}}={\frac {8xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

Resumiendo los resultados anteriores,se tiene de importancia que

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}={\frac {8x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {6x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}...(3)$

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}={\frac {8xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}...(4)$

Sustituyendo (2) y (3) en (1) , agrupando términos ,factorizando y reduciendo se tiene:

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=\left[{\frac {8x^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {6x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right]+\left[{\frac {8xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right]=\left[{\frac {8x^{3}+8xy^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {8x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right]$

$=\left[{\frac {8x(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}-{\frac {8x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right]={\frac {8x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}-{\frac {8x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=0$

Inciso b  

b)Ahora encontraremos la función armónica de v, pero dado que la la función armónica de v debe satisfacer la

ecuación de Cauchy-Riemann que es:

${\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial u}{dx}};{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{dy}}$

Sustituyendo (3) y (4) en las parciales anteriores de primer orden se tiene:

donde :${\frac {\partial u}{dx}}=-{\frac {2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}...(5)$; :${\frac {\partial u}{dy}}=-{\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}...(6)$

Tomamos (5) , y por variables separables, integramos con respecto a la “x”, donde obtenemos

$u(x,y)=-2y\int {\frac {x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}dx=-2y\int {\frac {dr}{r^{2}}}$,por cambio de variable tenemos:

$r=x^{2}+y^{2};dr=2xdx\Rightarrow xdx={\frac {1}{2}}dr;$ finalmente sustituyendo e intergrando se tiene:

$u(x,y)=-y\int {\frac {dr}{r^{2}}}={\frac {y}{r}}+h(y)={\frac {y}{(x^{2}+y^{2})}}+h(y)$, donde h(y) es una constante en función de “y”.

Ahora obtendremos la parcial de primer orden “u(x,y)” con respecto a “y”

${\frac {\partial u}{dy}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2}){\frac {\partial }{\partial y}}y-y{\frac {\partial }{\partial y}}(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+h'(y)={\frac {1}{(x^{2}+y^{2})}}-{\frac {2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+h'(y)...(7)$

Igualamos (7) con (6) ,despejando h'(y) y simplificando y se tiene

$-{\frac {1}{(x^{2}+y^{2})}}+{\frac {2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {1}{(x^{2}+y^{2})}}-{\frac {2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}+h'(y)$

${\frac {2(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}-{\frac {2}{(x^{2}+y^{2})}}=h'(y)\Rightarrow h'(y)={\frac {2}{(x^{2}+y^{2})}}-{\frac {2}{(x^{2}+y^{2})}}=0$, integramos

$\int h'(y)=\int 0dy\Rightarrow h(y)=constante$

Por lo tanto, la función armonica conjugada de “v” es

$u(x,y)={\frac {y}{(x^{2}+y^{2})}}$

La función compleja que es analítica en el dominio en D es

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)={\frac {y}{(x^{2}+y^{2})}}+i{\frac {x}{(x^{2}+y^{2})}}$

Inciso c  

c) De la función anterior, factorizando “i” el término del numerador y por diferencia de cuadrados el denominador de la función, reduciendo se tiene que:

$f(z)={\frac {y}{(x^{2}+y^{2})}}+i{\frac {x}{(x^{2}+y^{2})}}={\frac {y+ix}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {i(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {i}{x+iy}}={\frac {i}{z}}$

por lo tanto

$f(z)={\frac {i}{z}}$

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Realizado por: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 09:27 2 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 16

Verificar que u(r,$\theta$) dada es armónica en el dominio D que no contiene al origen $u(r,\theta )={\frac {10r^{2}-sen(2\theta )}{r^{2}}}$

Procedimiento
 

Primero será demostrado que a función dada es armónica, Usando la expresión de Laplace en coordenadas polares.

$\nabla^2 u = r^{2} \dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{r^{2}}} +r \dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}+\dfrac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta^{2}}}=0$

Haciendo las derivadas parciales primero con respecto de r.

${\frac {\partial u(r,\theta )}{\partial r}}={\frac {\partial ({\frac {10r^{2}-sen(2\theta )}{r^{2}}})}{\partial r}}={\frac {\partial (10-{\frac {sen(2\theta )}{r^{2}}})}{\partial r}}={\frac {2sen(2\theta )}{r^{3}}}$

Obteniendo la segunda derivada parcial con respecto de r

${\frac {\partial ^{2}u(r,\theta )}{\partial r^{2}}}={\frac {\partial ({\frac {2sen(2\theta )}{r^{3}}})}{\partial r}}={\frac {-6sen(2\theta )}{r^{4}}}$

Ahora si desarrollamos las parciales con respecto de $\theta$, obtenemos que

${\frac {\partial ^{2}u(r,\theta )}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial ^{2}({\frac {10r^{2}-sen(2\theta )}{r^{2}}})}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial (-2{\frac {cos(2\theta )}{r^{2}}})}{\partial \theta }}={\frac {4sen(2\theta )}{r^{2}}}$

Al hacer la la suma del laplaciano en polares

$\nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+r{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {2sen(2\theta )}{r^{2}}}+{\frac {-6sen(2\theta )}{r^{2}}}+{\frac {4sen(2\theta )}{r^{2}}}=0$

Por lo que siendo armónica, dado que la armónica de v tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy, tenemos que para f(z)

${\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {\partial u}{r^{2}\partial \theta }}$

${\frac {\partial u}{\partial r}}={\frac {\partial v}{r\partial \theta }}$

Por lo que al integrar

${\frac {\partial v}{\partial r}}={\frac {-2(cos(2\theta ))}{r^{3}}}$

$v={\frac {-cos(2\theta )}{r^{2}}}+g(\theta )$

y al Derivar con respecto de $\theta$ e igualarla a la parcial de u con respecto de r por un factor de r a esta parcial de u con respecto de r.

${\frac {\partial v}{\partial \theta }}={\frac {2sen(2\theta )}{r^{2}}}+g'(\theta )={\frac {2sen(2\theta )}{r^{2}}}$

Conclusión  

Por lo que la derivada de g es una constante por lo que la función es

$f(z)={\frac {-cos(2\theta )}{2r^{2}}}+c$

Donde c es una constante y el dominio es el plano complejo excepto el cero.

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Realizado por: Pablo (discusión) 10:11 5 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 17

a) compruebe que $u(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)$ es armónica en un dominio adecuado D.

b) determinar su armónica conjugada $v$ y encuentre la función analítica $f(z)=u+iv$ que satisface $f(0)=1$

Inciso a 

sacando las derivadas parciales tenemos

$u(x,y)=e^{x^{2}}e^{-y}\cos(2xy)$

$\frac{\partial u}{\partial x}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=2e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+4x^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)-4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)-4y^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)=$

$=(4x^{2}-4y^{2}+2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$

$\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-2e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+4y^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)+4xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)-4x^{2}e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)=$

$=(-4x^{2}+4y^{2}-2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$

así tenemos

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=(4x^{2}-4y^{2}+2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)+(-4x^{2}+4y^{2}-2)e^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+8xye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)=0$

como $u(x,y)$ satisface la ecuación de Laplace podemos decir que es armónica en D

dado que deben de satisfacer las funciones de Cauchy-Riemann

Inciso b  

$\frac{\partial v}{\partial x}=2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$

$\frac{\partial v}{\partial y}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$

integrando $\frac{\partial v}{\partial y}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)-2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)$ respecto a $y$

$v(x,y)=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos^{2}(xy)-2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin^{2}(xy)+4ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)+h(x)=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}(\cos^{2}(xy)-\sin^{2}(xy))+4ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)+h(x)$

su derivada parcial respecto de $x$ es

$\frac{\partial v}{\partial x}=2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}\cos(2xy)+2ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(2xy)+h'(x)$ podemos ver que $h'(x)=0$

esto implica que:

$f(z)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)+i(2xe^{x^{2}}e^{-y^{2}}(\cos^{2}(xy)-\sin^{2}(xy))+4ye^{x^{2}}e^{-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)+c)$

evaluando en cero tenemos

$f(0)=1$

$\therefore f(z)=e^{x^{2}-y^{2}}\cos(2xy)+i(2xe^{x^{2}-y^{2}}(\cos^{2}(xy)-\sin^{2}(xy))+4ye^{x^{2}-y^{2}}\sin(xy)\cos(xy)$

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Realizado por:Francisco Medina Albino (discusión) 22:41 4 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 19

a) Demuestre que :$\Phi (x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ es armónica, es decir, sastiface la ecuación de Laplace

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$en un dominio D del espacio que no contiene al origen.

Inciso a  

Obtenemos las derivadas de primer y segundo orden superior con respecto a cada y respectiva variable

${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}=-{\frac {2x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}$

${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=-{\frac {2y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}$

${\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=-{\frac {2z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}{\frac {\partial }{\partial x}}2x-2x{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}={\frac {2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}-2x(3/2)(2x)(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}={\frac {2}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}{\frac {\partial }{\partial x}}2y-2y{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}={\frac {2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}-2y(3/2)(2y)(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}={\frac {2}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6y^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}{\frac {\partial }{\partial x}}2z-2z{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}={\frac {2(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}-2z(3/2)(2z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}={\frac {2}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}=\left[{\frac {2}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6x^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\right]+\left[{\frac {2}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6y^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\right]+\left[{\frac {2}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6z^{2}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\right]$

${\frac {6}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}={\frac {6}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}=0$

Inciso b  

b)¿Es el análogo bidimensional de la función en el inciso a), :$\Phi (x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$,

armónica en un dominio D del plano que no contiene el origen?

Solución

La función en la parte bidimensional debe satisfacer la ecuación de Laplace:

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}=0$

Realizamos el mismo procedimiento que en el inciso a) para la función,y observamos que:

${\frac {\partial \Phi }{\partial x}}=-{\frac {2x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}}$

${\frac {\partial \Phi }{\partial y}}=-{\frac {2y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}={\frac {2}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}}-{\frac {6x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}={\frac {2}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}}-{\frac {6y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}}$, sustituyendo en la ecuación de Laplace obtenemos:

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}=\left[{\frac {2}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}}-{\frac {6x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}}\right]+\left[{\frac {2}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}}-{\frac {6y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}}}\right]$

${\frac {4}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}={\frac {4}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}-{\frac {6}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}=-2$

por lo tanto

No, es su análogo

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Elaboro: Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:40 2 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 20

Construya un ejemplo acompañado de una breve explicación, que iluste el siguiente hecho: si $v$ es armónica conjugada de $u$ en algún dominio $D$, entonces $u$, en general, no es armónica conjugada de $v$.

Solución: 

Sea $f(z) = z^2 = x^2 - y^2 +2ixy$

Si $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ De donde $u = x^2 - y^2$ y $v = 2xy$

La función armónica conjugada satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemman, esto es,

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$; Haciendo las cuentas llegamos a $2x = 2x$

y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$; Después de los cálculos vemos que $-2y = -2y$

De aquí vemos que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ es analítica en un domino $D$

Ahora si $v$ es la función de la que partimos y $u$ es la armónica conjugada de $v$, ¿se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemman?

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$; vemos que $2y \neq -2y$

y $\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x}$; y de aquí $2x \neq -2x$

Podemos notar que $f(z) = v(x,y) + iu(x,y)$ no es analítica en el dominio D, pues no cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Por lo tanto $u$ no es armónica conjugada de $v$.

Observación: nótese que $-u$ sí es armónica conjugada de $v$, y esto es en general.

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Realizado por: Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 17:11 7 jun 2015 (CDT)

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Ejercicio 21

Si $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$es una función analítica en el dominio $D$ y $f\left(z\right)\neq0$ para toda$z$ en $D$

mostrar que $\phi\left(x,y\right)=\log_{e}\left|f\left(z\right)\right|$es armónica en $D$

Procedimiento  

Como $\phi\left(x,y\right)=\log_{e}\left|f\left(z\right)\right|=\log_{e}\left|u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)\right|=\log_{e}\sqrt{u^{2}+v^{2}}+i\arctan\left(\frac{v}{u}\right)$

Donde

$U=\log_{e}\sqrt{u^{2}+v^{2}}$

y $V=\arctan\left(\frac{v}{u}\right)$

Entonces para que la función $\phi$ sea armónica deben cumplirse las siguientes dos condiciones:

$\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}U}{\partial y^{2}}=0$...$\left(1\right)$

$\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=0$...$\left(2\right)$

De la ecuación $\left(1\right)$se calcula:

$\frac{\partial U}{\partial x}=$$\frac{1}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.\left(-\frac{2u.\frac{\partial u}{\partial x}+2v\frac{\partial v}{\partial y}}{\left(u^{2}+v^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$ '''Conclusión''' $\frac{\partial^{2}U}{\partial x^{2}}=$$-\frac{1}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.$$\left\{ 2u.\frac{\partial u}{\partial x}+2v\frac{\partial v}{\partial y}.-\frac{3}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)^{-\frac{5}{2}}+\left(u^{2}+v^{2}\right)^{\frac{3}{2}}.2\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+u\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right]\right\} $

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Realizado por:Alejandro Juárez Toribio (discusión) 17:31 7 jun 2015 (CDT)

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