Compleja:Zill-Cap3.2
Ejercicios del capítulo 3, sección 2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.
Sección 3.2
Ejercicio 1
ejercicio 1
In Problems 1 and 2, the given function is analytic for all z. Show that the Cauchy- Riemann equations are satisfied at every point.
traduccion:
En los problemas 1 y 2 , la función dada es analítico para todo z . Demostrar que cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann se cumplan en todos los puntos .
$f\left(z\right)=z^{3}$
para que una funcion cumpla con Cauchy- Riemann se requiere tener la funcion en la forma
$z=U\left(x,y\right)+iV\left(x,y\right)$
entonces tenemos:
$f\left(z\right)=z^{3}=\left(x+iy\right)^{3}=x^{3}+3x^{2}iy+3x\left(iy\right)^{2}+\left(iy\right)^{3}$
$f\left(z\right)=x^{3}+3x^{2}iy-3xy^{2}-iy^{3}$
$f\left(z\right)=\left(x^{3}-3xy^{2}\right)+i\left(3x^{2}y-y^{3}\right)$
haora que la tenemos de esa forma devemos verificar que se cumplan las condiciones de Cauchy- Riemann para lo cual devemos verificar que:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y a la ves que $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
entonces comprobemos las condiciones:
$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2}$ $\frac{\partial v}{\partial y}=3x^{2}-3y^{2}$ hambas son iguales por lo que cumple con la primara condicion de couchy
$\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy$ $\frac{\partial u}{\partial x}=6xy$ hambas son iguales adiferancia de un signo por lo que tambien cumpolen con la segunda condicion de couchy
por tanto podemos decir que la funcion es continua
Martin Flores Molina (discusión) 14:27 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 2
La función dada es analítica para toda z. Demuestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen en todo punto.
$f(z)=3z^{2}+5z-6i$
donde $z=x+iy$ , entonces sustituimos, desarrollamos y simplificamos
$3(x+iy)^{2}+5(x+iy)-6i=3x^{2}+6xiy-3y^{2}+5x+5iy-6i$
y separamos las partes reales de las imaginarias
$(3x^{2}-3y^{2}+5x)+i(-6+6xy+5y)$
y obtenemos las funciones
$u(x,y)=3x^{2}-3y^{2}+5x$
$v(x,y)=-6+6xy+5y$
ahora hacemos nuestras derivadas requeridas
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial(3x^{2}-3y^{2}+5x)}{\partial x}=6x+5$
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial(-6+6xy+5y)}{\partial y}=6x+5$
logramos ver que se cumple $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial(3x^{2}-3y^{2}+5x)}{\partial y}=-6y$
$-(\frac{\partial v}{\partial x})=-(\frac{\partial(-6+6xy+5y)}{\partial x})=-(6y)=-6y$
por lo tanto tambien se cumple $\frac{\partial u}{\partial y}=-(\frac{\partial v}{\partial x})$
--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 22:44 30 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 3
Show that the given function is not analytic at any point.
3.- $f(z)=Re(z)$
Sabemos que para que una funcion sea analitica deben de cumplirse
las ecuaciones CR:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
Y siendo bajo la funcion $f(z)=Re(z)=Re[u(x,y)+iv(x,y)]=u(x,y)+0iv(x,y)$
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial y}=0$
$\therefore\frac{\partial u}{\partial x}\neq\frac{\partial u}{\partial x}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}$ y $\frac{\partial v}{\partial x}=0$
$\therefore\frac{\partial u}{\partial y}\neq-\frac{\partial v}{\partial x}$
Por lo mismo la funcion $f(z)=Re(z)$ no es analitica en ningun punto
--Fernando Vazquez V. (discusión) 22:26 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 4
Demostrar que la función dada no es analitica en ningun punto.
$f\left(z\right)=y+ix$
Para saber si son analiticas se debe cumplir que:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y también que: $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
Sacamos las 4 derivadas parciales para verificar si la función cumple o no las ecuaciones de Cauchy Riemann antes dichas
$\frac{\partial u}{\partial x}=0$ , $\frac{\partial v}{\partial y}=0$
$\frac{\partial u}{\partial y}=1$ , $\frac{\partial v}{\partial x}$=1
Por lo tanto no se cumplen las ecuaciones y podemos decir que la función no es analititca al no satisfacer las dos ecuaciones antes dadas
Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 12:36 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 5
Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto.
sabemos que :
Sustituyendo en nuestra función tenemos:
De lo anterior podemos identifica que :
Ahora bien para conocer la analiticidad calcularemos las derivadas parciales correspondientes.
,
,
Ahora bien por Cauchy-Riemman sabemos que:
y que :
Por lo cual en base a nuetros resultados tenemos:
respectivamente.
Como podemos notar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x}≠\frac{\partial v}{\partial y} por lo cual no puede cumplirse simultáneamente en cualquier punto . --Anahi Limas (discusión) 13:03 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 6
Demuestra que la función dada no es analítica en ningún punto
$f(z)=z*^2$
Sabemos que $z*=x-iy$ sustituyendo en la funcion tenemos:
$f(z)=(x-iy)^2=(x^2 + y^2) - 2ixy$
Esta funcion puede verse como $f(z) = u(x,y) + iv (x,y)$, donde:
$u(x,y) = x^2 + y^2$
$v(x,y) = -2xy$
Para saber si la función dada es analítica debe de cumplir las ecuaciones de Cauchi - Rieman las cuales son :
$\frac{du}{dx} = \frac{dv}{dy}$
$\frac{dv}{dx} = - \frac{du}{dy}$
Al derivar parcial mente
$\frac{du}{dx} = 2x$
$\frac{dv}{dy} = -2x$
Estas ecuaciones no se cumplen
Haciendo las otras derivadas parciales tenemos
$\frac{dv}{dx} = -2y$
$\frac{du}{dy} = -2y$
Estas ecuaciones tampoco se cumple por lo tanto la función no es analítica en ningún punto, si una de las dos igualdades se hubiera cumplido la función podría ser analítica en uno o varios puntos.
Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:21 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 7
Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto
$f(z)=x^{2}+y^{2}$
$u(x,y)=x^{2}+y^{2}$
$v(x,y)=0$
$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial v}{\partial y}=0$
$\frac{\partial u}{\partial y}=2y$, $\frac{\partial v}{\partial x}=0$
Vemos que $\frac{\partial u}{\partial y}\neq-\frac{\partial v}{\partial x}$ pero que la igualdad $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ se cumple solo en la recta$x=0$.
Sin embargo, para cualquier punto $z$ en la recta no hay vecindad o disco abierto alrededor de $z$ en el que se satisfacen las ecuaciones Cauchy-Riemann.
Llegamos a la conclusion de que $f$ no es analitica en ningún punto
Miguel Medina Armendariz (discusión) 10:50 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 8
Demuestre que la función dada no es analítica en ningún punto
Si identificamos a y también a
Tenemos que
Derivando parcialmente
Tenemos que para exista la analiticidad se tiene que cumplir que
Por lo que si analizamos las parciales tenemos que
Pero vemos que
se cumple si o , pero no ambos igual a cero. Sin embargo para cualquier número no existe una vecindad en donde se cumplan las ecuaciones de Cauchy por lo tanto esta función no es analítica.
--Pablo (discusión) 11:59 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 9
9.- $f\left(z\right)=e^{-x}\cos y-ie^{-x}\sin y$
$\left(a\right)$
Si $u\left(x,y\right)=e^{-x}\cos y$; $v\left(x,y\right)=-e^{-x}\sin y$
$u$ y $v$ son continuas en todos los reales.
Además las cuatro derivadas parciales de primer orden:
$\frac{\partial u}{\partial x}=-e^{-x}\cos y$; $\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y$
$\frac{\partial v}{\partial x}=e^{-x}\sin y$; $\frac{\partial v}{\partial y}=-e^{-x}\cos y$
Siguen siendo continuas en todos los reales
Por último es fácil ver que:
$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial v}{\partial y}=e^{-x}\cos y=\frac{\partial u}{\partial x}$
las ecuaciones de Cauchy-Riemman se satisfacen por lo que
$f\left(z\right)$es analítica en cualquier dominio D
--Alejandro Juárez Toribio (discusión) 20:21 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 10
Mostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado,y encuentre la función en el dominio.
$$ f(z)=x+senx.coshy+ i(y+cosx.senhy) $$
Tomando a u y v
$$ u= x+senx.coshy$$
$$ v= y+cosx.senhy$$
Tal que las derivadas respecto a cada variable son :
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1+cosx.coshy $$ $$ \frac{\partial v}{\partial x} = -senx.senhy $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -senx.senhy $$ $$ \frac{\partial v}{\partial y} = 1+cosx.coshy $$
Donde se satistacen las 2 ecuaciones de continuidad de Cauchy-Rieman
$$ \therefore \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $$ $$ \therefore \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} $$
Así f(z) es analítica .
Donde la función en el dominio está dada como :
$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$$
$$ \therefore f'(z)= 1+cox.coshy - i(senx.seny) $$
--Samantha Martinez (discusión) 23:13 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Usando el Teorema 3.5 pruebe que $f(z)=e^{x^2-y^2}\,\cos(2xy)+i\,e^{x^2-y^2}\,\sin(2xy)$ es analítica en el dominio apropiado.
La manera más natural de resolver este problema es identificar las funciones que la forma y verificar condiciones de Cauchy-Rieman: \[ u(x,y)=e^{x^2-y^2}\,\cos(2xy) \;\;\;\;\; v(x,y)=e^{x^2-y^2}\,\sin(2xy) \] Se obtienen las derivadas parciales: \[ \frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \cos(2xy)}{\partial x}\,+\cos(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,(-2y)\,\sin(2xy)+\cos(2xy)\,2x\,e^{x^2-y^2}=2e^{x^2-y^2}\,\left[ x\cos(2xy)-y\sin(2xy) \right] \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \cos(2xy)}{\partial y}\,+\cos(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,(-2x)\sin(2xy)+\cos(2xy)\,(-2y)\,e^{x^2-y^2}=-2e^{x^2-y^2}\,\left[ y\cos(2xy)+x\sin(2xy) \right] \]
\[ \frac{\partial v}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \sin(2xy)}{\partial x}\,+\sin(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial x}=e^{x^2-y^2}\,(2y)\,\cos(2xy)+\sin(2xy)\,2x\,e^{x^2-y^2}=2e^{x^2-y^2}\,\left[ y\cos(2xy)+x\sin(2xy) \right] \]
\[ \frac{\partial v}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,\frac{\partial \sin(2xy)}{\partial y}\,+\sin(2xy)\,\frac{\partial e^{x^2-y^2}}{\partial y}=e^{x^2-y^2}\,(2x)\cos(2xy)+\sin(2xy)\,(-2y)\,e^{x^2-y^2}=2e^{x^2-y^2}\,\left[ x\cos(2xy)-y\sin(2xy) \right] \]
De donde se observa que efectivamente cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann
Para encontrar el domino, basta con observar que la función carece de divisiones o logaritmos por lo que no hay exclusión de ningún elemento del plano complejo y el Dominio es $\mathbb{C}$.
Un método en mi opinión más sencillos es reeescribir $f(z)$ como: \[ f(z)=e^{z^2} \] Donde claramente se observa que $f(z)$ es analítica en todo el plano complejo ya que tanto la exponencial como el cuadrado lo son, por la tanto la composición (por regla de la cadena también lo es), en los ejercicios anteriores ya se ha probado la analiticidad de estas funciones, de cualquier forma estas pruebas son más sencillas de realizar que la del método anteriormente descrito.
--Tlacaelel Cruz (discusión) 21:14 2 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 12
Teorema: supongamos que las funciones reales $u(x,y)\;y\:v(x,y)$son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en un dominio $D$. si $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de $D$,entonces la función compleja $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ es analítica en $D$.
12.-Use el teorema para demostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado, y b) encuentre la función en el dominio.
$f(z)=4x^{2}+5x-4y^{2}+9+i(8xy+5y-1)$
reconocemos
$u(x,y)=4x^{2}+5x-4y^{2}+9$
$v(x,y)=8xy+5y-1$
que son continuas, ademas
$\frac{\partial u}{\partial x}=8x+5$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-8y$
$\frac{\partial v}{\partial x}=8y$
$\frac{\partial v}{\partial y}=8x+5$
cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
$\therefore$es analìtica
b) $f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$
así la función en el dominio es
$f'(z)=8x+5+i(8y)$
Elaborò fàbricas --A. Martín R. Rabelo (discusión) 14:58 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 13
a) Demostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado, b) use la fórmula para encontrar la derivada de la función en el dominio.
Solución
a) Se tiene que
son continuos en el punto , es decir .
Teniendo las derivadas parciales de primer orden
![\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]\frac{\partial}{\partial x}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\frac{\partial}{\partial x}\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}=\frac{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]\left(1\right)-\left[\left(x-1\right)*2(x-1)\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37471d0df32dfc448ee7837175cef651df9f78b6)
![\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{-(x-1)^{2}+y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}=-\frac{(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d014459eac0164e1a2aa1faecc50067077036c)
![\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]\frac{\partial}{\partial x}\left(y\right)-y\frac{\partial}{\partial x}\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}=\frac{-y\left[2\left(x-1\right)\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}=-\frac{2y\left(x-1\right)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991f30868e0733ce740361fbdb0d4c0f8bd3262c)
![\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{-1}=-\frac{2y(x-1)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a202c2222f5a2644e24cb6c9a490849dedaa7db3)
![\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]\frac{\partial}{\partial y}\left(y\right)-y\frac{\partial}{\partial y}\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}=\frac{(x-1)^{2}+y^{2}-2y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}=\frac{(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b253ad5e01e2581ede595978b41db4b7f80be3f)
Recapitulando
![\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cc44c2c3ec2df150f4b75d1a05ec7a0df67d19)
![\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2y\left(x-1\right)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954403eaee7843ddad2710a206c082261c7666c3)
![\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{2y(x-1)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b00e23ad4a769551efdcd3bb86245642b1ba91e)
![\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5e1f5efc9e9949675967fdea334594110ba27a)
Por lo que se cumple la ecuación de Cauchy-Riemann de y , entonces llegamos a la conclusión que la función es analítica en cualquier dominio “D” a excepción de “z=0” y “z=1”.
b) Por lo tanto la derivada de la función en el dominio es
![f'(z)=-\frac{(x-1)^{2}-y^{2}}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}+i\frac{2y\left(x-1\right)}{\left[\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\right]^{2}}
.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d16e5cdce8eb1fad2988154608ea3ebf756f60)
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 15:02 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 14
La temperatura de estado estable φ (r) entre dos cilindros conductores circulares concéntricas mostradas en la Figura 3.14 satisface la ecuación de Laplace en coordenadas polares de la forma
$$ r^2 \frac{d^2 φ}{dr^2}+r \frac{d φ}{dr}=0 $$
A) Mostrar que una solución de la ecuación diferencial sujeta a las condiciones de contorno $φ(A) = k_{0}$ y $φ(B) = k_{1}$, donde $k_{0}$ y $k_{1}$ son constantes potenciales, está dada por $φ(r) = a + log_{e}r + B$, donde
$$ A=\frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} $$ $$ B=\frac{-k_{0}log_{e}b+k_{1}log_{e}a}{log_{e}(\frac{a}{b})} $$
Sustituimos las condiciones iniciales en $ φ(r)$
$$ φ(r)= \frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} + log_{e}r + \frac{-k_{0}log_{e}b+k_{1}log_{e}a}{log_{e}(\frac{a}{b})} $$
donde $φ(r)= φ $
Sacando derivadas parciales
$$ \frac{\partial φ}{\partial r} = \frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} \frac{1}{r} =A \frac{1}{r} $$
$$ \frac{\partial^{2} φ}{\partial r} = - \frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} \frac{1}{r^2} = -A \frac{1}{r^2} $$
Sustituyendo en la ecuación de Laplace-Euler
$$ r^2 \frac{d^2 φ}{dr^2}+r \frac{d φ}{dr}=0 $$
$$ r^2 (-\frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} \frac{1}{r^2}) + r (\frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} \frac{1}{r} =0 $$
$$ \therefore -\frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} + \frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} =0 $$
$\therefore φ(r)$ es solución a la ecuación de Laplace-Euler.
B) Encuentre el potencial complejo
Tomamos las ecuaciones de C-R
$$\frac{\partial φ}{\partial r}= \frac{\partial φ*}{\partial r'} ---- (1)$$ $$\frac{\partial φ}{\partial r'}=- \frac{\partial φ*}{\partial r}$$
Donde $φ*$ es el potencial complejo
De la ecuación (1)
$$\frac{\partial φ}{\partial r}=\frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} \frac{1}{r}= \frac{\partial φ*}{\partial r'} $$
Intengrando
$$ \int{\partial φ}= \int{ A \frac{1}{r} dr'} $$ φ= A \frac{1}{r} r' + h(r) $$ h(r)=Cte.=0 $$
$$ φ= A \frac{1}{r} r' $$
$$\therefore W(r,r')= φ + i φ* $$
$$\therefore W(r,r')= A log_{e} r + B + i(A \frac{1}{r} r') $$
$$\therefore W(r,r')= \frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} log_{e} r + \frac{-k_{0}log_{e}b+k_{1}log_{e}a}{log_{e}(\frac{a}{b})} + i(\frac{k_{0}-k_{1}}{log_{e}(\frac{a}{b})} \frac{1}{r} r') $$
Elaborado por --Samantha Martinez (discusión) 22:15 05 de Junio 2015 (CDT)
Ejercicio 15
a) Demostrar que la función dada es analítica en un dominio adecuado, b) use la fórmula para encontrar la derivada de la función en el dominio.
Solución
y
.
En coordenadas polares, las ecuaciones que Cauchy Rieman son
sustituyendo se tiene
b) La fórmula para calcular la derivada en coordenadas polares en un punto “z” es
Elaborado por --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 23:44 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 17
Encontrar las constantes de la función, para que sea analítica.
$f(z)=3x-y+5+i(ax+by-3)$
Para que una función sea analítica tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy- Riemann:
\[ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}\hspace{1em}y\hspace{1em}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}}}} \]
Donde:
$u(x,y)=3x-y+5$ y $v(x,y)=ax+by-3$
Entonces:
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=3}$
${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=b}$
${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-1}$
${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=-a}$
Por lo tanto, igualando las parciales de acuerda a Cauchy-Riemann obtenemos el valor de las constantes:
$a=1$ y $b=3$
Nancy Martínez Durán (discusión) 00:18 1 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 11
Compruebe que la función dada $u$ es armónica en un dominio adecuado $D$. Determinar su armónica conjugada $v$ y encontrar una función analítica $f(z)=u+iv$ que satisfaga la condición indicada.
$$u(x,y)=xy+x+2y-5x$$ ; $$f(2i)=-1+5i$$
$Solución: $
De las derivadas parciales:
$$\dfrac{\partial u}{\partial x}=y+1$$, $$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$$
$$\dfrac{\partial u}{\partial }=x+2$$, $$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$$
vemos que la $u$ satisface la ecuación de Laplace
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0+0=0$ Por tanto $u$ es armónica
Dado que la función armónica conjugada $v$ debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy- Riemann
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x},$ $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial}$ y
$$\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}$$ y,
$$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}$$
debemos tener
$$\dfrac{\partial v}{\partial y}=y+1$$ y $$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-(x+2)$$
Integrado parcialmente la primera ecuación en (1) respecto a la variable $y$ se obtiene
$$v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y+h(x)$$
La derivada parcial respecto a $x$ de esta última ecuación es
$$\dfrac{\partial v}{\partial x}=h'(x)$$
Cuando se sustituye este resultado en la segunda ecuación de (1) obtenemos $$h'(x)=-(x+2)$$, y así $$h(x)=-\frac{x^2}{2}+2x+C$$ , donde $C$ es una constante real.
Por lo tanto, la función armónica conjugada de $u$ es $$v(x,y)=\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}+2x+C$$
combinando $u$ y su armónica conjugada $v$ como $$u(x,y)-iv(x,y)$$, la función compleja resultante
$$f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}+2x+C)$$
Así, evaluando tenemos
$z=2i=0+2i$, $x=0$; $y=2$ $$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}+2(0)+C)=-1+4i$$ Para que $$f(2i)=-1+5i$$, la constante debe ser, C=1
Por tanto la función que satisface la igualdad es:
$$f(z)=(xy+x+2y-5)+i(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}+2x+1)$$
Evaluando nuevamente vemos que satisaface la condición indicada
$$f(2i)=((0)(2)+0+2(2)-5)+i(\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}+2(0)+1)=-1+5i$$
--Emmanuell Castro Flores (discusión) 22:54 1 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 18
Encuentre las constantes reales $a,b,c,d$ de manera que la funcion dada sea entera
18. $f(z)=x^{2}+axy+by^{2}+i(cx^{2}+dxy+y^{2})$
Sabemos que una funcion es analitica si cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann para todo el plano complejo.
Las funciones que estan en el problema, son polinomios, y sabemos que los polinomios son funciones bien portadas, de clase $C^{\infty}$. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
\[ {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}\hspace{1em}y\hspace{1em}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=-{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}}}} \]
Donde $u=x^{2}+axy+by{}^{2}$ y $v=cx^{2}+dxy+y^{2}$
Por lo que tenemos ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x+ay}$ y ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=dx+2y}$ lo que implica
\[ 2x=dx\hspace{1em}y\hspace{1em}ay=2y \]
Por lo tanto $a=2\hspace{1em}y\hspace{1em}d=2$
Asi tambien ${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=ax+2by}$ y ${\displaystyle -\frac{\partial v}{\partial x}=-2cx-dy}$ lo que implica
\[ ax=-2cx\hspace{1em}y\hspace{1em}2by=-dy \]
Por lo tanto $b=-1\hspace{1em}y\hspace{1em}c=-1$
La ecuacion queda escrita de la siguiente forma
\[ f(z)=x^{2}+2xy-y^{2}+i(-x^{2}+2xy+y^{2}) \]
Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 23:51 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 19
Demuestre que la funcion dada no es analitica en ningun punto, pero es derivable a lo largo de la curva indicada y use $(9)$ ó $(11)$ para encontrar la derivada de la funcion en la curva
Dada la funcion $f(z)=x^{2}+y^{2}+2ixy$ ;para el eje $x$
Para demostrar que esta funcion no es analitica, devemos demostrar que no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemman esto es;
ó tambien;
Debemos notar que si una de las dos desigualdades se cumple, entonces la funcion no sera analitica en ningun punto $z$;
ahora calculando las respectivas derivadas parciales obtendremos que;
Pero;
Por lo cual la funcion no es analitica en ningun punto $z$
Debemos notar que esta funcion solo es derivable cuando se cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemman y segun lo calculado anteriormente esto solo pasara cuando;
$2y=-2y$ esta igualdad solo se cumple cuando $y=0$ esto es para todos los puntos de la forma;
esto es todo el eje x, lo cual es lo que se pedia mostrar
Ahora para calcuar la derivada bastara con aplicar la definicion de derivada esto es;
Conclusion; La funcion no es analitica, ya que apesar de ser derivable, no cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemman para cualquier punto $z$ y de echos solo las cumple para los puntos $z=x$, y su derivada es $f'(z)=2x+i2y$
--Cristian Alfredo Ruiz Castro (discusión) 18:33 4 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 20
Demuestre que la funcion dada no es analitica en ningun punto, pero es derivable a lo largo de la curva indicada
$f(z) = 3x^2y^2 - 6ix^2y^2$ ; en los ejes coordenados
Solución:
Sean $u(x,y) = 3x^2y^2$ y $V(x,y) = 6ix^2y^2$
Para que $f(z)$ sea una función analítica se debe cumplir que,
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ ó $\frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$
Haciando los respectivos calculos de las derivadas parciales, llegamos a,
$\frac{\partial u}{\partial x} = 6xy^2$ ; $\frac{\partial v}{\partial y} = 12x^2y$
y $\frac{\partial v}{\partial y} = 6x^2y$ ; $\frac{\partial v}{\partial x} = 12xy^2$
De aquí vemos que
$\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial v}{\partial y} \neq - \frac{\partial v}{\partial x}$
Para que la función sea derivable debe ocurrir que,
$6xy^2 = 12x^2y$ y $6x^2y = 12xy^2$
Para que esto se cumpla, necesariamente tiene que ser $x = 0$ y $y = 0$, $i.e.$, los ejes coordenados.
Por lo tanto la función $f(z)$ no es analítica y sólo es diferenciable en los ejes coordenados.
--Arnold B. Herrera Rubert (discusión) 00:12 6 jun 2015 (CDT)
Ejercicio 23
En la sección 2.1 se define como función exponencial compleja a $f(z) = e^{z}$ en la forma siguiente $e^{z}= e^{x}\cos y + i e^{x}\sin y$.
(a) Demuestre que $f(z) = e^{z}$ es una función entera
(b) Demuestre que $f´(z)= f(z)$
Se dice que una funcion es entera, cuando es analitica para todo z.
Tenemos que: $ u(x.y)= e^{x}\cos y $; $ v(x,y)= i e^{x}\sin y$. Calculamos su derivadas
$u_{x} = e^{x}\cos y= v_{x}$
$u_{y}= e^{x}\sin y = -v_{x}$
Sus derivadas con continuas, es decir se cumplen la ecuaciones de Cauchy-Riemman
(b)
La derivada de $ f(z) = e^{z}$ es:
\[ \dfrac{de^{z}}{dz}= \dfrac{\partial u}{\partial x}+ i \dfrac{\partial v}{\partial x} =e^{x}\cos y $; $ v(x,y)= i e^{x}\sin y= e^{z}\]
--Esther Sarai (discusión) 20:08 31 mayo 2015 (CDT)Esther Sarai
Ejercicio 26
26.(de la versión en inglés) Muestre que: $|f'(z)|^2=u_x^2+v_x^2=u_y^2+v_y^2$.
Solución:
La ecuación (9) de esta sección: $f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$.
Entonces:
$|f'(z)|^2=(\frac{\partial u}{\partial x})^2+(\frac{\partial v}{\partial x})^2=u_x^2+v_x^2$...(1)
$|f'(z)|^2=(\frac{\partial v}{\partial y})^2+(\frac{\partial u}{\partial y})^2=u_y^2+v_y^2$...(2)
De (1) y (2) se concluye que:$|f'(z)|^2=u_x^2+v_x^2=u_y^2+v_y^2$.
Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 20:39 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 31
Use las ecuaciones de Cauchy - Riemann para demostrar que si $f$ es analítica en un dominio $D$, y si $f'(z)$ es una constante, entonces $f(z)$ debe de ser una función lineal compleja en $D$.
Sol. Una función lineal es tal que si $z=x+iy$ la función $f(z)=kz+c$ donde $k$ y $c$ son constantes complejas.
El problema menciona que $f$ es analítica, por lo que del teorema del criterio para la analiticidad sabemos que las partes real e imaginaria $u(x,y)$, $v(x,y)$ de $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy - Riemann. $f'(z)$ es una constante compleja, por lo que definimos:
$f'(z)=a+ib$ donde $a$ y $b$ pertenecen a los reales.
Las ecuaciones de Cauchy - Riemann son; $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial x}$, $-\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$
Y de la fórmula para la derivada: $f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}=a+ib$
Igualando primero $\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=a+ib$, las partes real e imaginaria quedan:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=a$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}=b$
E integrando parcialmente respecto a $x$ tenemos:
$u(x,y)=ax+g(y)$, $v(x,y)=bx+t(y)$
Por otro lado, con la otra parte de la igualdad para la fórmula de la derivada: $\dfrac{\partial v}{\partial y}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}=a+ib$, podemos obtener el valor de las funciones $g$ y $t$;
$\dfrac{\partial v}{\partial y}=a=t'(y)$, $-\dfrac{\partial u}{\partial y}=b=-g'(y)$
$t(y)=ay+cte$, $g(y)=-by+cte$
Por lo que las funciones reales $u$ y $v$ son:
$u(x,y)=ax-by+cte$, $v(x,y)=bx+ay+cte$
y la función $f$ queda:
$f(z)=(ax-by+cte)+i(bx+ay+cte)=ax-by+cte+ibx+iay+icte=(ax-by)+i(bx+ay)+c$, donde $c$ es una constante compleja.
Hacemos un poco de álgebra:
$f(z)=i(\dfrac{ax}{i}-\dfrac{by}{i})+i(bx+ay)+c=i(-iax+iby)+i(bx+ay)+c=i(-iax+iby+bx+ay)+c=i[b(x+iy)+a(y-ix)]+c$
$=iab[\dfrac{x+iy}{a}+\dfrac{y-ix}{b}]+c=iab[x(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})+iy(\frac{1}{a}+\frac{1}{ib})]+c=iab[x(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})+iy(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})]+c=iab(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})(x+iy)+c$
Si definimos la constante compleja $k=iab(\frac{1}{a}-\frac{i}{b})=a+ib$, tenemos que la función es:
$f(z)=(a+ib)(x+iy)+c=kz+c$ la cual representa una función lineal compleja.
Oscar Javier Gutierrez Varela 14:35 31 mayo 2015 (CDT)
Ejercicio 34
suponga que
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$
Demuestre que
a)
$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta$
$\frac{\partial u}{\partial\theta}=-\frac{\partial u}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial y}r\cos\theta$
y
b)
$\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta$
$\frac{\partial v}{\partial\theta}=-\frac{\partial v}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial y}r\cos\theta$
ahora use $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\;y\;\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ en las expreciones anteriores para $\frac{\partial v}{\partial r}\;y\;\frac{\partial v}{\partial\theta}$.Al comparar sus resultados con las expreciones $\frac{\partial u}{\partial r}\;y\;\frac{\partial u}{\partial\theta,}$ dedusca las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.
como:
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
ademas
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\theta=\arctan(\frac{x}{y})$
entonces,teniendo en cuenta la derivación de una función compuesta.
$f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta)$
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}(1)$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}(2)$
$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}(3)$
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}(4)$
tenemos
$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta$
$\frac{\partial\theta}{\partial y}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^{2}}(\frac{1}{x})=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r\cos\theta}{r^{2}}=\frac{\cos\theta}{r}$
$\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\sin\theta}{r}=\sin\theta$
$\frac{\partial\theta}{\partial x}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^{2}}(-\frac{1}{x^{2}})=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{r\sin\theta}{r^{2}}=\frac{-\sin\theta}{r}$
sustituyendo en las expresiones anteriores
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r}(5)$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}(6)$
$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r}(7)$
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}(8)$
sustituyendo 5, 6, 7 y 8 en las expresiones a y b tenemos
(9)$(\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})\cos\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})\sin\theta=\frac{\partial u}{\partial r}\cos^{2}\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta\cos\theta}{r}+\frac{\partial u}{\partial r}\sin^{2}\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\partial u}{\partial r}$
(10)$-(\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})r\sin\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})r\cos\theta=-\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta r\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\sin^{2}\theta+\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta r\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\cos^{2}\theta=\frac{\partial u}{\partial\theta}$
así
$\Longrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial y}\sin\theta$(D)
$\Longrightarrow\frac{\partial u}{\partial\theta}=-\frac{\partial u}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial y}r\cos\theta$(E)
(11)$(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})\cos\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})\sin\theta=\frac{\partial v}{\partial r}\cos^{2}\theta-\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}+\frac{\partial v}{\partial r}\sin^{2}\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta\sin\theta}{r}=\frac{\partial v}{\partial r}$
(12)$-(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})r\sin\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r})r\cos\theta=-\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta r\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\sin^{2}\theta+\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta r\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\cos^{2}\theta=\frac{\partial v}{\partial\theta}$
$\Rightarrow\frac{\partial v}{\partial r}=\frac{\partial v}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial y}\sin\theta$(F)
$\Rightarrow\frac{\partial v}{\partial\theta}=-\frac{\partial v}{\partial x}r\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial y}r\cos\theta$(G)
De las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
entonces de 5, 6, 7 y 8
$\frac{\partial u}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r}=\frac{\partial v}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}\Rightarrow(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\cos\theta=(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\sin\theta$ecuacion (1) $(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\cos\theta-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\sin\theta=0$
$\frac{\partial u}{\partial r}\sin\theta+\frac{\partial u}{\partial\theta}\frac{\cos\theta}{r}=-(\frac{\partial v}{\partial r}\cos\theta+\frac{\partial v}{\partial\theta}\frac{-\sin\theta}{r})\Rightarrow(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\cos\theta=-(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\sin\theta$ecuacion (2)$(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})\cos\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})\sin\theta=0$
si elevamos al cuadrado la ecuación 1 y 2 y las sumamos tenemos
$(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta-2((\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}))\cos\theta\sin\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta=0$
$(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta+2((\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}))\cos\theta\sin\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta=0$
$\left[(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta+(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta\right]+\left[(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\cos^{2}\theta+(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\sin^{2}\theta\right]\Rightarrow(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}+(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}=0$
$(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})^{2}=-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}\Longleftrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}=\sqrt{-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})^{2}}\Longleftrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}=(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})i\Longleftrightarrow(\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta})-(\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta})i=0$
de esto podemos decir que
$\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}=0\Longleftrightarrow\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}$
$\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}=0\Longleftrightarrow\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}$
Q.E.D.
marca registrada--Francisco Medina Albino (discusión) 05:12 31 mayo 2015 (CDT)
